专题2.3 有理数的乘方及混合运算（10考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版2024）

专题2.3 有理数的乘方及混合运算 目录 【典型例题】 1 【考点一 有理数幂的概念理解】 1 【考点二 有理数的乘方运算】 2 【考点三 乘方运算的符号规律】 6 【考点四 乘方的应用】 7 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 10 【考点六 有理数四则混合运算】 11 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 17 【考点八 有理数混合运算中的错题复原问题】 20 【考点九 新定义型有理数混合运算】 24 【考点十 程序流程图与有理数计算】 27 【过关检测】 29 【典型例题】 【考点一 有理数幂的概念理解】 例1．（23-24七年级上·广西北海·阶段练习）对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 【变式训练】 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ． 3．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）表示的意义是 ，其中底数是 ，指数是 ． 【考点二 有理数的乘方运算】 例2.（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 2．（2023九年级·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ； (9)． 【考点三 乘方运算的符号规律】 例3. （23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 2．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是 ．（填“正数”或“负数”） 3．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【考点四 乘方的应用】 例4. （23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 【变式训练】 1．（2024·河南濮阳·一模）某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 例5. （23-24七年级上·四川达州·期末）中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南商丘·期中）在网络上用“”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为，这个数用科学记数法表示为 ． 2．（23-24七年级下·河北承德·期末）经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时50多名党员，发展成为今天已经拥有超过9800万党员的世界第一大政党．9800万用科学记数法表示为 ． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）据悉，截至2023年5月底，全国建成开通基站170万个，移动电话用户数达到4.28亿户，流量占移动流量比重达到．用科学记数法表示4.28亿户为 户． 【考点六 有理数四则混合运算】 例6．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式训练】 1．（22-23七年级上·山东滨州·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) 3．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 例7. （23-24七年级上·江苏常州·期末）（1）计算：； （2）计算：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算 (1) (2)． 2．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1) (2) 3．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1)； (2)． 【考点八 有理数混合运算中的错题复原问题】 例8.（23-24七年级上·浙江杭州·期末）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题． 计算： 回答： (1)上面解题过程中有两处出现了错误， 第一处是第____步，错误原因是____； 第二处是第_____步，错误原因是________； (2)写出这个计算题的正确解题过程． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下： 解：原式        ①     ②             ③ ． 根据小林的计算过程回答下列问题： (1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的 律； (2)小林的运算出现了错误，错在第 （只填写序号）步； (3)请给出正确解法． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）淇淇在计算时，步骤如下： 解：原式① ② ③ (1)请指出淇淇在第一步中的两处错误原因______、______； (2)请给出正确的解题过程． 3．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是壮壮的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题． 计算：． 解：原式…………………………第一步 …………………………………………第二步 ……………………………………………………第三步 (1)上面解答过程有两个错误，第一处是第__________步，错误的原因是__________；第二处是第__________步，错误的原因是__________． (2)请你正确解答本题，并根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议． 【考点九 新定义型有理数混合运算】 例9. （23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）对于有理数，，都不为定义运算：．例如，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）（阅读理解问题）（1）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如：．求的值． （2）对于有理数a，b，定义新运算：，求的值． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 3．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【考点十 程序流程图与有理数计算】 例10.（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东潮州·期中）如图是一个程序计算器，现输入，那么输出的结果是 ． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输入的数5，则输出的数是 ． 3．（23-24七年级上·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024年江苏省南通市中考数学试题）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河南周口·期末）在 ， ，，，0，，，中，属于负数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）求的值，可令，则，因此．仿照以上方法，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024七年级上·河北·专题练习）计算： ； ； ． 7．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 8．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）下列各组数中，①和；②和；③和；④和．互为相反数的是 ． 9．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．    10．（23-24七年级上·浙江温州·期中）对于任意有理数，规定一种新运算“◇”：，例：，求 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）计算： (1)； (2)． 12．（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）计算 (1) (2) 13．（23-24七年级上·云南曲靖·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）小云学习了有理数的运算后，在计算时，她的解法如下： 解：原式  ① ② ③ 请回答： (1)小云的解法有错误，错误处是______（填序号）错误原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 15．（23-24七年级上·湖北恩施·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 16．（23-24七年级上·江西南昌·期中）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的“哈利数”． 如：2的“哈利数”是，的“哈利数”是． 问题：已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则解决下列问题： (1) ， ， ； (2)请根据（1）中的计算结果，直接写出 ； (3)计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 有理数的乘方及混合运算 目录 【典型例题】 1 【考点一 有理数幂的概念理解】 1 【考点二 有理数的乘方运算】 2 【考点三 乘方运算的符号规律】 6 【考点四 乘方的应用】 7 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 10 【考点六 有理数四则混合运算】 11 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 17 【考点八 有理数混合运算中的错题复原问题】 20 【考点九 新定义型有理数混合运算】 24 【考点十 程序流程图与有理数计算】 27 【过关检测】 29 【典型例题】 【考点一 有理数幂的概念理解】 例1．（23-24七年级上·广西北海·阶段练习）对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义解答． 【详解】解：式子中： 指数是3，故A选项正确； 底数是，故B选项正确； 结果为，故C选项正确； 表示3个相乘，故D选项错误； 故选D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：D． 2．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，中，叫做底数，叫做指数，乘方的结果叫做幂． 【详解】在中，底数是，指数是，幂是． 故答案为：；； 3．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）表示的意义是 ，其中底数是 ，指数是 ． 【答案】 6个5相乘所得积的相反数 5 6 【分析】n个相同的因数a相乘，记作，其中底数是a，指数是n． 【详解】解：表示的意义是6个5相乘所得积的相反数，其中底数是5，指数是6， 故答案为：6个5相乘所得积的相反数，5，6． 【点睛】此题考查的是乘方的定义，n个相同的因数a相乘，记作，这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在乘方运算中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数． 【考点二 有理数的乘方运算】 例2.（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 【点睛】本题主要考查有理数乘方运算，掌握有理数乘方运算的意义是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)9 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据乘方的定义直接计算即可得到答案； （2）根据乘方的定义直接计算即可得到答案； （3）根据乘方的定义直接计算即可得到答案； （4）根据乘方的定义直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【点睛】本题考查乘方的定义：n个a相乘叫的n次方，记作，掌握乘方的定义是解题的关键． 2．（2023九年级·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ； (9)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】（）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘法运算，然后计算乘方即可； （）利用乘方逆运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算加法即可； 本题考查了乘方的运算，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是，熟练掌握运算法则． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式； （8）原式； （9）原式 ． 【考点三 乘方运算的符号规律】 例3. （23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 2．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是 ．（填“正数”或“负数”） 【答案】负数 【分析】根据一个数的15次幂是负数，得到这个数为负数，进而得到这个数的2021次幂也是负数． 【详解】解：因为正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数， 故一个数的15次幂是负数，可知这个数为负数， 所以这个数的2021次幂还是负数； 故答案为：负数． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟练掌握正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数，是解题的关键． 3．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【答案】 奇数 0 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键． 【考点四 乘方的应用】 例4. （23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，列出正确的算式是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解析：解：根据题意得：， 则截第四次后，剩下的小木棒的长度为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·河南濮阳·一模）某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个． 【答案】8 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据1小时中有3个，得到细菌分裂了3次，归纳总结即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（次， 则经过1小时后这种细菌由1个分裂成（个． 故答案为：8． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1) (2)32000 (3)32倍 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 例5. （23-24七年级上·四川达州·期末）中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】1131000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南商丘·期中）在网络上用“”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为，这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为． 2．（23-24七年级下·河北承德·期末）经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时50多名党员，发展成为今天已经拥有超过9800万党员的世界第一大政党．9800万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】9800万用科学记数法表示为． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）据悉，截至2023年5月底，全国建成开通基站170万个，移动电话用户数达到4.28亿户，流量占移动流量比重达到．用科学记数法表示4.28亿户为 户． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】用科学记数法表示4.28亿户为． 故答案为：． 【考点六 有理数四则混合运算】 例6．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)5 (2) (3)1 (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决本题的关键. （1）根据有理数的加减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减法运算法则计算即可； （3）先将除法转化为乘法运算，再进行乘法运算即可； （4）先将除法转化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可； （5）先计算乘法和乘方运算，再根据有理数的加减法运算法则计算即可； （6）先计算乘方、括号内的式子和乘法运算，再根据有理数的加减法运算法则计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式训练】 1．（22-23七年级上·山东滨州·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)10 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了含乘方有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再进行加减运算，即可求解； （2）将除法变为乘法，再进行运算，即可求解； （3）先计算括号内的，再将除法变为乘法运算即可； （4）先计算平方，绝对值，立方，乘法，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)17 (2) (3) (4) (5)1 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算减法即可； （2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解； （4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式= ． 3．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用有理数的加减运算的法则进行运算即可； 先算除法，乘法，再算加减即可； 先算乘方，绝对值，再算乘法，最后算加减即可； 先算乘方，再算括号里的运算，除法转为乘法，接着算乘法，最后算加减即可； 先算乘方，乘法的分配律，再算加减即可； 先算乘方，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 例7. （23-24七年级上·江苏常州·期末）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）先计算乘方和乘法，再计算加减，即可求解； （2）先计算乘方，再计算除法，最后算加减法，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 【变式训练】 1．（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先算乘方和括号，再算加减即可； （2）先算乘方，再算括号，进而算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 2．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则进行计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解； （2）先根据有理数的乘方和有理数的乘法分配律计算，再计算乘法，然后计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 3．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点八 有理数混合运算中的错题复原问题】 例8.（23-24七年级上·浙江杭州·期末）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题． 计算： 回答： (1)上面解题过程中有两处出现了错误， 第一处是第____步，错误原因是____； 第二处是第_____步，错误原因是________； (2)写出这个计算题的正确解题过程． 【答案】(1)第②步，没有按运算顺序计算；第③步，符号错误； (2)过程见解析． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算的顺序和相关的运算法则． （1）观察解答观察可得答案； （2）先算括号内的，把除化为乘，再计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一处错误是第②步，错误原因是没有按运算顺序计算，第二处错误是第③步，错误原因是符号错误． （2）解：原式 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下： 解：原式        ①     ②             ③ ． 根据小林的计算过程回答下列问题： (1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的 律； (2)小林的运算出现了错误，错在第 （只填写序号）步； (3)请给出正确解法． 【答案】(1)分配 (2)③ (3) 【分析】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． （1）（2）根据小林的计算步骤分析即可； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）小林在进行第②步运算时，运用了乘法的分配律． 故答案为：分配； （2）∵第③步计算乘法时符号确定错误， ∴小林的运算出现了错误，错在第③步． 故答案为：③； （3）原式 ． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）淇淇在计算时，步骤如下： 解：原式① ② ③ (1)请指出淇淇在第一步中的两处错误原因______、______； (2)请给出正确的解题过程． 【答案】(1)乘方的意义理解错误，除法对加法没有分配律 (2)28 【分析】（1）根据有理数的运算法则可知从①计算错误； （2）根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】（1）乘方的意义理解错误，除法对加法没有分配律； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的运算，解题的关键是掌握运算法则并能够正确计算． 3．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是壮壮的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题． 计算：． 解：原式…………………………第一步 …………………………………………第二步 ……………………………………………………第三步 (1)上面解答过程有两个错误，第一处是第__________步，错误的原因是__________；第二处是第__________步，错误的原因是__________． (2)请你正确解答本题，并根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议． 【答案】(1)二；在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行；三；没有正确运用“两数相除，同号得正”的除法法则 (2) 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可作答； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据有理数的混合运算法则可知： 解答过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是同级运算应按照从左到右顺序进行； 第二处是第三步，错误的原因是同号相除结果应为正， 故答案为：二；在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行；三；没有正确运用“两数相除，同号得正”的除法法则； （2）解：原式 ； 注意：有括号先算括号内的（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键． 【考点九 新定义型有理数混合运算】 例9. （23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）对于有理数，，都不为定义运算：．例如，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义先计算，再根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）（阅读理解问题）（1）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如：．求的值． （2）对于有理数a，b，定义新运算：，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意，明确运算规则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴的值为． （2）解：由题意知，， ∴的值为． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空： （填“＞”或“＝”或“＜”）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)13 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数四则混合运算等知识点，将新定义运算转化成有理数四则混合运算成为解题的关键； （1）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可； （2）先分别根据新运算法则计算两个代数式，然后比较即可； （3）先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：． （3）解： ． 3．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 【考点十 程序流程图与有理数计算】 例10.（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，根据题中的流程图计算即可得出答案，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 【详解】解：把代入可得：， 再把代入可得：， 所以y， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东潮州·期中）如图是一个程序计算器，现输入，那么输出的结果是 ． 【答案】25 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确计算程序．根据右面的程序，可以得到输入后，执行的命令，然后即可得到问题的答案． 【详解】解：根据计算程序可得， 时，． 故答案为：25． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）小明编制了一个计算机计算程序如图所示，如果输入的数5，则输出的数是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了有理数的混合运算，把5代入计算程序中，根据图中流程列出式子，计算，即可确定输出的数，解题关键是掌握有理数的混合运算法则． 【详解】解：把5代入计算程序中得： ， ， 输出的数是6， 故答案为：6． 3．（23-24七年级上·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果． 【答案】320 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：把20代入程序中得：， 把代入程序中得：， 把80代入程序中得：， 把代入程序中得：， 则最后输出的结果为320． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数和有理数的乘方，先求出，然后根据倒数的定义即可求解，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：． 2．（2024年江苏省南通市中考数学试题）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：1582亿． 故选：C． 3．（23-24七年级上·河南周口·期末）在 ， ，，，0，，，中，属于负数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，乘方运算，将每个数化简是正确判断的前提．根据正数和负数的意义，绝对值，有理数的乘方将每个数化简后可得答案． 【详解】解：∵，，，， ，，， ∴正数有： ，，，，共5个， 故选：C． 4．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是一道关于有理数混合运算的题目，解答本题的关键是熟练掌握有理数的运算顺序． 按照有理数混合运算的运算顺序逐个运算对每个选项进行判断即可． 【详解】解：A.，故不正确； B.，故不正确； C.，故不正确； D.，故正确． 故选：D． 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期中）求的值，可令，则，因此．仿照以上方法，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解数列的求和方法是解题的关键．理解范例给出的方法，再使用相同的方法进行计算． 【详解】解：设， 则， 所以，， ， 故选：C． 二、填空题 6．（2024七年级上·河北·专题练习）计算： ； ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：； ； ； 故答案为：；；或． 7．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：4060万用科学记数法表示为． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）下列各组数中，①和；②和；③和；④和．互为相反数的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，有理数的乘方．先将各数化简，再根据有理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①∵，，∴和互为相反数，符合题意； ②∵，，∴和互为相反数，符合题意； ③∵，，∴和不互为相反数，不符合题意； ④∵，，∴和不互为相反数，不符合题意； 综上：互为相反数的有①②； 故答案为：①②． 9．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，将代入计算，将结果和比较大小，如果小于就输出，即可求解． 【详解】解：由题意得：第一次输入，列出算式为：， 应该直接输出，的值为：， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·浙江温州·期中）对于任意有理数，规定一种新运算“◇”：，例：，求 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算．掌握相关定义是解题关键．根据定义列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据有理数的混合运算法则，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号，进行计算即可； （2）先乘方，再进行乘法运算，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 12．（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24七年级上·云南曲靖·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)24 (2)41 (3)350 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）根据有理数加减运算法则进行计算； （2）先算乘除法，再算减法即可； （3）逆用乘法分配律进行简便计算； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）小云学习了有理数的运算后，在计算时，她的解法如下： 解：原式  ① ② ③ 请回答： (1)小云的解法有错误，错误处是______（填序号）错误原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)①，没有按照有理数乘除同级运算，从左到右顺序进行计算 (2)运算过程见详解 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，混合运算，根据先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号，即可求解，掌握运算顺序，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据运算顺序即可求解； （2）运用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，从左往右的方法可得， 小云的做法中错误的地方是①，原因是没有按照有理数混合运算的运算顺序进行计算， 故答案为：①，没有按照有理数混合运算的运算顺序进行计算． （2）解： ． 15．（23-24七年级上·湖北恩施·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列式计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 16．（23-24七年级上·江西南昌·期中）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的“哈利数”． 如：2的“哈利数”是，的“哈利数”是． 问题：已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则解决下列问题： (1) ， ， ； (2)请根据（1）中的计算结果，直接写出 ； (3)计算： 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】此题主要考查学生对倒数和数字变化类知识点的理解和掌握，解答此题的关键是依次计算出、、、，找出数字变化的规律． （1）根据，可得，同理求得，的值各是多少即可； （2）根据（1）中的规律解答即可； （3）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：，，； （2）∵，，，，，，…， ∴每3个数为一个循环，分别是，，， ， 故答案为：； （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$