专题2.2 有理数的乘法与除法（9考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版2024）

专题2.2 有理数的乘法与除法 目录 【典型例题】 1 【考点一 两个有理数的乘法运算】 1 【考点二 多个有理数的乘法运算】 3 【考点三 有理数乘法运算律】 5 【考点四 有理数乘法的实际应用】 7 【考点五 倒数】 10 【考点六 有理数的除法运算】 12 【考点七 有理数的乘除混合运算】 14 【考点八 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 18 【考点九 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 20 【过关检测】 24 【典型例题】 【考点一 两个有理数的乘法运算】 例1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点二 多个有理数的乘法运算】 例2.（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【考点三 有理数乘法运算律】 例3.（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算题：． 2.（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【考点四 有理数乘法的实际应用】 例4.（23-24七年级上·云南红河·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某特技飞行队在某风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后高度变化如下，其中上升记为正，下降记为负： ，，，， (1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不计飞机的损耗，每升燃油价格是6.5元．那么这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费多少元？ (3)若这架飞机做完5个特技后，又做两个表演动作，这两个动作不确定是上升还是下降，只知道产生的高度变化分别是0.8km和1.7km，请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度． 【考点五 倒数】 例5. （2024·江苏无锡·中考真题）4的倒数是（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练】 1．（2024·山东东营·模拟预测）的倒数是（　　） A． B．2024 C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【考点六 有理数的除法运算】 例6. （24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【考点七 有理数的乘除混合运算】 例7. （23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【考点八 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例8.（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ． 【变式训练】 1.（22-23七年级上·福建漳州·期中）对于有理数，定义一种新运算“※”如下：，则2※ . 2.（23-24七年级上·贵州毕节·期中）对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值． 3.（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)． 【考点九 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例9. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ． 【变式训练】 1.（2023秋·七年级单元测试）如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）． A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4 2.（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题： (1)已知，是有理数， ①当，时，则________； ②当，时，则________； ③当，时，则_______； (2)已知，，是有理数，当时，求 3.（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·北京·二模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·吉林·阶段练习）下列各项计算所得的结果最大的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）有下列四个算式：①；②；③；④．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·山东济宁·期中）现定义运算“*”：对于任意有理数a，b，满足．例如：，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题 6．（2024·江苏镇江·二模）的倒数是 ． 7．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）计算： ． 8．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，其中是三个正数，把三个数从小到大的顺序排列起来： （用“”符号连接）． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）规定，例如，则 ． 10．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知、、都是有理数，其中为正数，若代数式的值为，则代数式的值为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·广东珠海·期中）计算： (1) (2) 12．（23-24七年级上·重庆万州·阶段练习）请用简便方法运算（不用简便方法不得分）： (1)； (2)； (3)． 13．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； 15．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（简便方法计算） 16．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）计算： ① ② ③ ④ ⑤ 17．（22-23七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：，．例如：，．若，则称有理数，为“开心数对”． 例如：，，，所以2、3就是一对“开心数对”． (1)下列各组数是“开心数对”的是________；（请填序号） ①，；②，；③， (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“开心数对”，计算：． 18．（23-24七年级上·河南南阳·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量（单位：单）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量 (1)该外卖小哥这一周送餐最多的一天比送餐最少的一天多了______单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 有理数的乘法与除法 目录 【典型例题】 1 【考点一 两个有理数的乘法运算】 1 【考点二 多个有理数的乘法运算】 3 【考点三 有理数乘法运算律】 5 【考点四 有理数乘法的实际应用】 7 【考点五 倒数】 10 【考点六 有理数的除法运算】 12 【考点七 有理数的乘除混合运算】 14 【考点八 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 18 【考点九 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 20 【过关检测】 24 【典型例题】 【考点一 两个有理数的乘法运算】 例1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． 根据有理数的乘法法则解答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)13 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． （1）根据有理数乘法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法．解题的关键是掌握有理数的乘法法则，特别要注意积的符号． （1）零乘以任何数都等于零，由此即可求解； （2）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数的乘法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解：． 【考点二 多个有理数的乘法运算】 例2.（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键， （1）首先根据负因数的个数可判断积为负，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （2）首先根据负因数的个数可判断积为正，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （3）观察发现因数中有0，故结果为零． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)60 (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法交换律，结合律计算即可； （2）利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是运用乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律等运算法则较为简便． （1）根据有理数的乘法的结合律进行简算即可； （2）根据有理数的乘法的交换律与结合律计算即可； （3）利用乘法分配律进行简便计算即可； （4）逆用乘法分配律计算较为简便． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） ． 【考点三 有理数乘法运算律】 例3.（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有有理数的乘法运算： （1）利用有理数乘法运算律进行求解即可； （2）逆用有理数的乘法运算律即可求解； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算题：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及乘法分配律是解本题的关键． 原式逆用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解： ． 2.（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点四 有理数乘法的实际应用】 例4.（23-24七年级上·云南红河·期末）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产________辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）根据最大数减去最小数即可得出答案； （3）根据工资的计算方法列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据记录可知前三天共生产（辆）； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； （3）解：， （元）， 该厂工人这一周的工资总额是元． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【分析】（）根据表格求出月日的库存即可； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； 此题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，月日晚库存千克， 故答案为：； （2）解：根据题意得，元， ∴当天是赔钱， 规定赚钱为正，当天赚元， 故答案为：； （3）解：根据题意得，元， 答：月日到月日该个体户共赚元钱． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某特技飞行队在某风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后高度变化如下，其中上升记为正，下降记为负： ，，，， (1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不计飞机的损耗，每升燃油价格是6.5元．那么这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费多少元？ (3)若这架飞机做完5个特技后，又做两个表演动作，这两个动作不确定是上升还是下降，只知道产生的高度变化分别是0.8km和1.7km，请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度． 【答案】(1)最终这架飞机比起飞点高了千米 (2)这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费元 (3)这两个表演动作结束后飞机离地面的高度为或或或． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的运算的应用； （1）将已知数据相加，即可求解； （2）根据飞机平均上升和下降的油耗求得总耗油，然后乘以燃油单价，即可求解； （3）根据题意，分4种情况讨论，根据加减法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 答：最终这架飞机比起飞点高了千米 （2）解： （升） （元） 答：这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费元 （3） 答：这两个表演动作结束后飞机离地面的高度为或或或． 【考点五 倒数】 例5. （2024·江苏无锡·中考真题）4的倒数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要了考查倒数的意义，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：4的倒数是， 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·山东东营·模拟预测）的倒数是（　　） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键； 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】 解： 的倒数是， 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) (5) 【分析】本题考查了倒数的定义，熟知倒数的定义是解题的关键． （1）根据两数相乘为1的数互为倒数，直接解答即可； （2）根据两数相乘为1的数互为倒数，直接解答即可； （3）小数化为分数，再根据倒数的定义解答即可； （4）带分数要化为假分数，再根据倒数的定义解答即可； （5）小数化为分数，再根据倒数的定义解答即可； 【详解】（1）， ﹣5的倒数为； （2）， 的倒数为 （3）， ， 的倒数为4； （4）， ， 的倒数为； （5）， ， 的倒数为． 【考点六 有理数的除法运算】 例6. （24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了两个有理数的除法法则，熟练掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）把除法转化为乘法，再按乘法法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （2）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （3）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （4）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【考点七 有理数的乘除混合运算】 例7. （23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出绝对值，根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的运算等知识，根据有理数的运算法则进行运算即可求解． （1）根据两个有理数相乘的法则进行乘法计算即可求解； （2）先把除法运算化为乘法运算，再进行多个有理数乘法运算即可求解； （3）先进行乘除运算，再进行加减运算即可求解； （4）利用分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，掌握运算律以及运算顺序是解本题的关键； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先化为省略加号的和的形式，再结合运算律进行简便计算即可； （3）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可； （4）先把除法化为乘法，再计算即可； （5）逆用乘法的分配律，进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； 3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【考点八 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例8.（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，代入新定义运算即可求解，理解新运算的定义是解题关键． 【详解】解：根据新定义，， ∴； ． 故答案为：； 【变式训练】 1.（22-23七年级上·福建漳州·期中）对于有理数，定义一种新运算“※”如下：，则2※ . 【答案】 【分析】根据，可以求得所求式子的值． 【详解】：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 2.（23-24七年级上·贵州毕节·期中）对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键；本题先计算括号内的，再进行下一步的计算，从而可得答案． 【详解】解： ． 3.（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义列式计算即可； （2）先根据新定义算括号内的，再算括号外的． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握有理数相关运算的法则． 【考点九 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例9. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】由已知推出b、c都是负数，据此去绝对值符号，即可求解． 【详解】解：∵单项式a是一个正数，且， ∴b、c都是负数， ∴，，，， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，得到b、c都是负数是解答本题的关键. 【变式训练】 1.（2023秋·七年级单元测试）如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）． A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4 【答案】D 【分析】由题意分情况讨论：①a，b，c均是正数；②a，b，c均是负数；③a，b，c中有一个正数，两个负数；④a，b，c中有两个正数，一个负数；利用绝对值的性质，先化简绝对值，再求出结果． 【详解】解：①a，b，c均是正数，原式=； ②a，b，c均是负数，原式=； ③a，b，c中有两个负数，一个正数，原式=； ④a，b，c中有两个正数，一个负数，原式=． 所有可能的值为－4，0，4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的计算等，注意多种情况讨论，不能丢解． 2.（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题： (1)已知，是有理数， ①当，时，则________； ②当，时，则________； ③当，时，则_______； (2)已知，，是有理数，当时，求 【答案】(1)①；②；③ (2)或 【分析】本题考查了有理数的除法， 绝对值的意义； （1）①根据由，时，则，代入即可求解； ②根据由，时，则，代入即可求解； ③根据由，时，则，代入即可求解； （2）当时，分两种情况讨论：①，，，②，，，进行求解即可． 【详解】（1）解：①由，时，则， ∴； 故答案为：． ②由，时，则， ∴； 故答案为：0． ③由，时，则， ∴； 故答案为：． （2）当时， 都小于，或中一个小于，另外两个都大于，分两种情况讨论： ①当，，时， ； ②当，，时， ； 综上所述：或． 3.（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)0； (2)1或； (3)或3． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时， ∴同号， 当，时， ， 当，时， ； （2）∵ ∴m，n，t全负或m，n，t两正一负 ①当m，n，t全负时， ②当m，n，t两正一负时 Ⅰ）当，，时， Ⅱ）当，，时， Ⅲ）当，，时， 综上所述，的值为1或； （3）∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴m，n，t两正一负 由（2）可知的值为或3． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·北京·二模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义——“若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数”是解题的关键． 符号不变，然后将这个数的分子和分母互换位置，即可求得这个数的倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选：． 2．（22-23七年级上·吉林·阶段练习）下列各项计算所得的结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，先计算出各选项的值，再进行比较即可得；掌握有理数的运算时解题的关键． 【详解】解：A、， B、， C、， D、， ∵， ∴计算所得结果最大的是4， 故选：C． 3．（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）有下列四个算式：①；②；③；④．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的运算法则，逐一计算后判断即可． 【详解】解：，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确； 正确的有3个， 故选D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法法则，即可求解． 【详解】解：                       ． 故选：B． 5．（22-23七年级上·山东济宁·期中）现定义运算“*”：对于任意有理数a，b，满足．例如：，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算，直接利用新的运算法则将和，从而求出，读懂运算规则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（2024·江苏镇江·二模）的倒数是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查倒数．乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案． 【详解】解：的倒数是2024， 故答案为：2024． 7．（23-24七年级上·新疆喀什·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知，其中是三个正数，把三个数从小到大的顺序排列起来： （用“”符号连接）． 【答案】 【分析】本题考查了分数的除法、通分和大小比较．解题的关键在于进行通分．首先把已知统一成乘法，然后再把分数通分，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）规定，例如，则 ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题． 【详解】 解：由题意可得： ， ， 故答案为：． 10．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知、、都是有理数，其中为正数，若代数式的值为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的性质以及有理数的加法运算，根据为正数，得出：中有一个负数，进而即可求解． 【详解】解∵为正数， ∴中有一个负数，一个正数， 设，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级上·广东珠海·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 12．（23-24七年级上·重庆万州·阶段练习）请用简便方法运算（不用简便方法不得分）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)100 【分析】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键． （1）利用有理数的乘法求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）利用乘法分配律的逆运算求解即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 13．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简，再计算加减法; （2）从左往右依次计算即可; （3）根据乘法分配律计算即可； （4）将带分数变为假分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化是解题的关键. 14．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 15．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（简便方法计算） 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 16．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）计算： ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】①；②1000；③；④；⑤ 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则及加法交换律和结合律计算即可； （2）按有理数乘法法则计算即可； （3）按运算顺序，先算括号内的乘法运算，再进行除法运算即可； （4）按运算顺序，先乘除后加减，有括号的先算括号内的，进行运算即可； （5）按运算顺序，先算括号内的减法运算，再进行除法运算即可； 【详解】解：① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 17．（22-23七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：，．例如：，．若，则称有理数，为“开心数对”． 例如：，，，所以2、3就是一对“开心数对”． (1)下列各组数是“开心数对”的是________；（请填序号） ①，；②，；③， (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“开心数对”，计算：． 【答案】(1)①③， (2) (3) 【分析】（1）根据已知新运算公式分别计算，再根据“开心数对”的定义判断即可； （2）根据已知新运算公式，结合有理数混合运算法则，即可计算求值； （3）根据“开心数对”的定义，将代数式变形，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①，， ，， ，即，是“开心数对”； ②，， ，， ，即，不是“开心数对”； ③， ，， ，即，是“开心数对”； 故答案为：①③； （2）解： ； （3）解：两个连续的非零整数都是“开心数对”， ． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，有理数的混合运算，正确理解“开心数对”的定义，掌握相关运算法则是解题关键． 18．（23-24七年级上·河南南阳·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量（单位：单）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量 (1)该外卖小哥这一周送餐最多的一天比送餐最少的一天多了______单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)19 (2)43单 (3)1554元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． （1）表格中的最大值减去最小值进行计算即可； （2）求出表格中所有数据的平均数再加上40即可； （3）根据工资的计算方式算出每天的工资再求和即可． 【详解】（1） 该外卖小哥这一周送餐最多的一天比送餐最少的一天多了单； （2）由题意，得（单） 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐43单； （3）由题意，得(元) 答：该外卖小哥这一周工资收入是1554元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$