专题2.1 有理数的加法与减法（10考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版2024）

专题2.1 有理数的加法与减法 目录 【典型例题】 1 【考点一 有理数的加法运算】 1 【考点二 有理数加法运算律】 4 【考点三 有理数加法利用拆项法进行简便运算】 8 【考点四 有理数的减法运算】 11 【考点五 有理数的加减混合运算中的符号问题】 14 【考点六 有理数的加减混合运算】 16 【考点七 有理数的加减中的简便运算】 20 【考点八 新定义下的有理数加减混合运算】 24 【考点九 有理数的加减混合运算的应用】 25 【过关检测】 29 【典型例题】 【考点一 有理数的加法运算】 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 3．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【考点二 有理数加法运算律】 例2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）用适当的方法计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算： (1)； (2)． 2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【考点三 有理数加法利用拆项法进行简便运算】 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：． 3．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【考点四 有理数的减法运算】 例4. （24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2)； (3)． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 4.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点五 有理数的加减混合运算中的符号问题】 例5.（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）将式子写成省略加号的和的形式 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 2．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）把式子写成省略算式中的括号和加号的形式是 ． 3．（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【考点六 有理数的加减混合运算】 例6.（23-24六年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖北荆门·阶段练习）计算∶ (1)； (2)； 2．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）计算下列各小题． (1)； (2)； (3)． 3．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 4.（2023·江苏·七年级假期作业）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【考点七 有理数的加减中的简便运算】 例7. （2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 2.（2023·全国·七年级假期作业）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 3.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【考点八 新定义下的有理数加减混合运算】 例8. （2023·全国·九年级专题练习）对于任意有理数m、n，定义新运算：，则________________． 【变式训练】 1.用“”定义一种新运算，对于任意有理数a、b，都有，则的值为_____． 2.（2023·全国·九年级专题练习）规定一种新运算：，如，那么的值是____． 3.（2022秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定：． (1)计算的值； (2)计算的值； 【考点九 有理数的加减混合运算的应用】 例9. （24-25七年级上·全国·随堂练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式训练】 1．（23-24六年级上·山东济南·期末）邮递员从邮局出发，先向西骑行到达 A 村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行到达C村，最后回到邮局． (1)如图，请在以邮局为原点，向东为正方向，为1个单位长度的数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置． (2)C村离A 村相隔多少千米? ． (3)邮递员一共行驶了多少千米? 2．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超 产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 (1)根据记录的数据求出小明妈妈星期三生产玩具的个数； (2)根据记录的数据求小明妈妈本周实际生产玩具多少个； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ 4．（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品改变原来的销售模式，实行网上销售，刚大学毕业的小强把自家的冬枣产品放到网上，他原计划每天卖100千克，但由于种种原因，实际每天的销售量相比原计划有出入，下表是上周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千克） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额 (1)根据记录的数据求出销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (2)求上周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少千克？ (3)上周星期一的前一天小明卖了100千克冬枣，现在用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量，完成下面的销售变化表（单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量与前一天相比的变化量 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课前预习）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·三模）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 5．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下图是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与日期的表格，根据表格中的信息，下列说法不正确的是（    ） 日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日 气温℃ A．4月8日的最低气温是，最高气温是 B．日期是自变量，气温是因变量 C．气温随着日期的增加而逐渐升高 D．4月12日温差最大 二、填空题 6．（23-24七年级上·河南许昌·阶段练习）计算的结果是 ． 7．（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）把写成省略加号的代数和的形式是 ． 8．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）我们知道，被减数与减数都增大相同的数，差不变，例如：与相等．根据以上规律，探索计算 ． 9．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 10．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数轴上两点对应的数分别为，y，且y是的最小值，点P为数轴上一点，且原点O是的中点，点C是的三等分点，则点C在数轴上表示的数是 ． 三、解答题 11．（2024七年级上·广西·专题练习）计算 (1) (2) 12．（22-23七年级上·内蒙古·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2) 13．（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（23-24六年级上·山东泰安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 16．（23-24六年级上·山东泰安·期中）阅读下面文字： 对于）可以按如下方法进行计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：． 17．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）身体健康是人生最大的财富开学伊始，“重外教师跑团”正式成立，蔡蔡老师是其中的成员之一，天天坚持跑步锻炼他每天以米为标准，超过记为正数，不足记为负数下表记录了蔡蔡老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)蔡蔡老师星期三跑了多少米？ (2)上周，蔡蔡老师跑步最多的一天比跑步最少的一天多跑了多少米？ 18．（23-24七年级上·广西玉林·期中）【阅读材料】对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： 【类比运用】（1）把下列式子写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ① ；② ； 【深入运用】（2）当时， ；当时， ； 【拓展运用】（3）计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 有理数的加法与减法 目录 【典型例题】 1 【考点一 有理数的加法运算】 1 【考点二 有理数加法运算律】 4 【考点三 有理数加法利用拆项法进行简便运算】 8 【考点四 有理数的减法运算】 11 【考点五 有理数的加减混合运算中的符号问题】 14 【考点六 有理数的加减混合运算】 16 【考点七 有理数的加减中的简便运算】 20 【考点八 新定义下的有理数加减混合运算】 24 【考点九 有理数的加减混合运算的应用】 25 【过关检测】 29 【典型例题】 【考点一 有理数的加法运算】 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)0.75 (3)0 (4) 【分析】本题考查了有理数的加法法则，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加； （2）（3）（4）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3)1.6 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数加法及绝对值，掌握其运算法则是解题关键． （1）根据加法法则，同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加即可，计算即可； （2）根据加法法则，任何数与0相加仍得这个数，计算即可． （3）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可； （4）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可． （5）先去绝对值，再相加计算即可； （6）先去绝对值，再相加计算即可． 【详解】（1）解：原式，； （2）解：原式； （3）解：原式，； （4）解：原式，； （5）解：原式，； （6）解：原式 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)130 (2) (3) (4) 【分析】此题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）运用加法交换律与结合律计算即可； （4）运用加法交换律与结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)100 (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算： （1）根据有理数的加法法则计算，即可求解； （2）根据有理数的加法法则计算，即可求解； （3）根据有理数的加法法则计算，即可求解； （4）根据有理数的加法运算律计算，即可求解； （5）根据有理数的加法运算律计算，即可求解； （6）根据有理数的加法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6）解： 【考点二 有理数加法运算律】 例2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）用适当的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则． （1）利用结合律简便计算法计算； （2）利用结合律简便计算法计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】（1）根据有理数加法运算法则，结合加法运算律进行简便计算即可； （2）根据有理数加法运算法则，结合加法运算律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法的交换律和结合律． 2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4)0 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，化简绝对值．掌握有理数的加法运算法则和运算律是解题关键． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先通分，再计算加减运算即可； （2）把分数化为小数，再计算加减运算即可； （3）先把小数化为分数，结合运算律，再计算即可； （4）利用加法运算律，先计算和为的两个数的加法，再计算即可. 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握加减混合运算的运算顺序以及利用运算律进行简便运算是解本题的关键. 【考点三 有理数加法利用拆项法进行简便运算】 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【考点四 有理数的减法运算】 例4. （24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)2 (3)21 (4) (5) (6)119 【分析】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可 （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； （）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； （）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； 本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查了有理数的减法．先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)3 【分析】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可， （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 4.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)3.6； (3)； (4) 【分析】（1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟练掌握有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 【考点五 有理数的加减混合运算中的符号问题】 例5.（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）将式子写成省略加号的和的形式 ． 【答案】 【分析】根据有理数去括号法则直接计算即可得到结果． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 【答案】 【分析】根据去括号的法则：同号得正，异号得负，计算即可得到答案． 【详解】解：， 将式子写成省略括号和加号的形式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减—去括号，熟练掌握去括号的法则：同号得正，异号得负，是解此题的关键． 2．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）把式子写成省略算式中的括号和加号的形式是 ． 【答案】 【分析】根据和式里可以把加号及加数的括号省略不写，进行作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数加法中的括号问题．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【考点六 有理数的加减混合运算】 例6.（23-24六年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的加减法进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减法进行计算即可求解； （3）根据有理数的加减法进行计算即可求解； （4）根据有理数的加减法进行计算即可求解； （5）根据有理数的加减法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖北荆门·阶段练习）计算∶ (1)； (2)； 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先去括号，然后根据理有理数的加减法则计算即可； （2）把各带分数拆成整数与分数的和，然后计算整数部分的和，分数部分的和即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）计算下列各小题． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则及绝对值计算即可； （3）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） ． 3．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算； （1）先去绝对值，再进行计算即得结果； （2）先去括号，然后进行有理数的加减运算即得结果； （3）先去括号，然后进行有理数的加减运算即得结果； （4）先去括号，然后根据加法的结合律进行有理数的加减运算即得结果； 熟练掌握运算法则和运算律，是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 ． 4.（2023·江苏·七年级假期作业）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的减法进行计算； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算； （5）根据有理数的加减混合运算进行计算； （6）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了有理数数的加减混合运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 【考点七 有理数的加减中的简便运算】 例7. （2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可； （2）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可； （3）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，先把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．方法总结：（1）为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．（2）注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．（3）当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便． 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算，即可解答； （2）根据有理数的加减运算法则计算，即可解答； （3）利用加法的结合律和交换律，即可解答； （4）利用加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算法，解决本题的关键是利用加法运算律进行简算． 2.（2023·全国·七年级假期作业）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)17 (3) (4)10 【分析】（1）先去括号、化简绝对值，再计算有理数的减法即可得； （2）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得； （3）先将小数化为分数，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得； （4）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解题关键． 3.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 (5) (6)5 【分析】（1）先去绝对值，再按照有理数的加法运算顺序计算． （2）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （3）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （4）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （5）先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． （6）先去小括号，后去中括号，再按照有理数的加法运算顺序计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．是解答此题的关键． 【考点八 新定义下的有理数加减混合运算】 例8. （2023·全国·九年级专题练习）对于任意有理数m、n，定义新运算：，则________________． 【答案】 【分析】根据新运算展开，再求出即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式训练】 1.用“”定义一种新运算，对于任意有理数a、b，都有，则的值为_____． 【答案】0 【分析】由题目中给出的新运算方法，即可推出原式，通过计算即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算和绝对值是解题的关键． 2.（2023·全国·九年级专题练习）规定一种新运算：，如，那么的值是____． 【答案】6 【分析】根据新运算，把、代入计算即可． 【详解】解：根据题意得 ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，熟练运用法则是解题的关键． 3.（2022秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定：． (1)计算的值； (2)计算的值； 【答案】(1)8 (2)8 【分析】（1）根据新定义规定的运算公式列式计算即可； （2）根据新定义规定的运算公式列式先计算，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握新定义规定的运算公式是解决问题的关键． 【考点九 有理数的加减混合运算的应用】 例9. （24-25七年级上·全国·随堂练习）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【分析】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据表格中的数据可以解答本题； （2）根据表格中的数据可知周六生产的最多，周五生产的最少，从而可以解答本题； （3）根据题意和表格中的数据可以解答本题． 【详解】（1）解：（辆）， 故答案为：599； （2）（辆）， 故答案为：26； （3）， （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是84675元． 【变式训练】 1．（23-24六年级上·山东济南·期末）邮递员从邮局出发，先向西骑行到达 A 村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行到达C村，最后回到邮局． (1)如图，请在以邮局为原点，向东为正方向，为1个单位长度的数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置． (2)C村离A 村相隔多少千米? ． (3)邮递员一共行驶了多少千米? 【答案】(1)见解析 (2)7千米 (3)18千米 【分析】本题考查了数轴，有理数加减的应用： （1）根据已知条件在数轴上表示A，B，C三个村庄的位置即可； （2）根据数轴上两点间距离公式求解； （3）将邮递员行驶路程相加即可． 【详解】（1）解：A，B，C三个村庄的位置如图所示． （2）解：C村离A村的距离为：， （3）解： 答：邮递员一共骑行了18km． 2．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超 产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 (1)根据记录的数据求出小明妈妈星期三生产玩具的个数； (2)根据记录的数据求小明妈妈本周实际生产玩具多少个； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)小明妈妈星期三生产玩具的个数为个； (2)小明妈妈本周实际生产玩具为个； (3)小明妈妈这一周的工资总额是元． 【分析】此题考查了正负数的应用能力，有理数的加减混合运算，关键是能准确问题间的数量关系和该知识， 并能正确列式、计算． （1）用星期三的生产情况记录结果—4加上平均每天生产量20进行求解； （2）用厂里规定的每个工人每周的生产量加上实际每天生产量与计划量相比有出入之和即可； （3）用这周每生产一个玩具可得工资数加上超额完成量的奖励即可． 【详解】（1）解：小明妈妈星期三生产玩具的个数为： (个)， （2）解：小明妈妈本周实际生产玩具为： (个)． （3）解： (元)， ∴小明妈妈这一周的工资总额是元． 4．（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品改变原来的销售模式，实行网上销售，刚大学毕业的小强把自家的冬枣产品放到网上，他原计划每天卖100千克，但由于种种原因，实际每天的销售量相比原计划有出入，下表是上周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千克） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额 (1)根据记录的数据求出销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ (2)求上周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少千克？ (3)上周星期一的前一天小明卖了100千克冬枣，现在用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量，完成下面的销售变化表（单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量与前一天相比的变化量 【答案】(1)销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售千克； (2)上周实际销售总量与计划总量相比，增加了千克； (3)见解析． 【分析】本题主要考查正数与负数，有理数的运算，找准题目中的等量关系是解题的关键． （1）利用7天计划量的最大差额−最小差额可求解； （2）将表中计划量的差额相加即可求解． （3）根据计划量的差额可求解每一天的实际销售量，进而可求解本周每天实际销售量比前一天的变化量，再列表即可求解； 【详解】（1）解：（千克）， 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售千克． （2）解：（千克）， 答：上周实际销售总量与计划总量相比，增加了千克． （3）解：星期一实际销售（千克）， 星期二实际销售（千克）， 星期三实际销售（千克）， 星期四实际销售（千克）， 星期五实际销售（千克）， 星期六实际销售（千克）， 星期日实际销售（千克）， 上周每天实际销售量相比前一天的变化量分别为：． 填表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际销售量与前一天相比的变化量 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课前预习）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题的关键． 直接利用有理数的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：． 2．（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握相关的运算性质是解题的关键． 根据有理数的加减法则对各选项依次计算判断即可． 【详解】A．，原式计算错误，故此选项符合题意； B．，原式计算正确，故此选项不符合题意； C．，原式计算正确，故此选项的计算正确； D．，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（2024·江苏南京·三模）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正误，直接利用，在数轴上位置进而分别分析得出答案．正确结合数轴分析是解题关键． 【详解】根据数轴可知：，，则： 、，原选项判断错误，不符合题意； 、，原选项判断错误，不符合题意； 、，原选项判断错误，不符合题意； 、，原选项判断正确，符合题意； 故选：． 4．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法法则，解题关键是熟记法则，逐项判断即可． 【详解】解：A. 对于任意有理数，若，则，符合题意； B. 对于任意有理数，若，则或，不符合题意； C. 对于任意有理数，若，若，则，不符合题意； D. 两个有理数的和为正数，这两个数可能都为正数也可能一正一负，且正数的绝对值较大，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下图是根据某地4月6日至12日的天气情况绘制的气温与日期的表格，根据表格中的信息，下列说法不正确的是（    ） 日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 4月12日 气温℃ A．4月8日的最低气温是，最高气温是 B．日期是自变量，气温是因变量 C．气温随着日期的增加而逐渐升高 D．4月12日温差最大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的应用，自变量因变量的意义，有理数大小的比较，根据有理数大小的比较，自变量因变量的定理，有理数减法的应用，等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、由表格可知4月8日的最低气温是，最高气温是，正确，不符合题意； B、日期是自变量，气温是因变量，正确，符合题意； C、气温随着日期的增加有时升高，有时下降，故题中说法错误，符合题意； D、4月12日最高温度是这几天最高的，最低气温也是最低的，温差，最大，正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．（23-24七年级上·河南许昌·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】18 【分析】首先计算绝对值，然后按照有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，进行计算求解． 本题考查绝对值，有理数的减法运算，掌握运算法则正确计算是解题关键． 【详解】 ． 故答案为：18． 7．（23-24七年级上·广东汕头·阶段练习）把写成省略加号的代数和的形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算中去括号的法则：括号前面有“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不改变，括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都要改变，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案：． 8．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）我们知道，被减数与减数都增大相同的数，差不变，例如：与相等．根据以上规律，探索计算 ． 【答案】150 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据题意，结合有理数的加减运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故答案为：． 10．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数轴上两点对应的数分别为，y，且y是的最小值，点P为数轴上一点，且原点O是的中点，点C是的三等分点，则点C在数轴上表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，有理数的加减计算，先根据绝对值的几何意义求出的最小值为2，即，进而求出点P表示的数为，再分当点C是靠近点A的三等分点时，当点C是靠近点B的三等分点时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵表示的是数轴上表示x的数到表示和表示的数的距离之和， ∴当时有最小值，最小值为， ∴， ∵原点O是的中点， ∴点P表示的数为， ∴， ∵点C是的三等分点， ∴当点C是靠近点A的三等分点时，点C表示的数为， 当点C是靠近点B的三等分点时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（2024七年级上·广西·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减法的运算法则从左往右计算，即可求解； （2）利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（22-23七年级上·内蒙古·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）将和为整数的两个数，分别结合为一组求解； （2）先去绝对值符号和括号，再将分母相同的两个数，分别结合为一组求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)100 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算：有理数加减法统一成加法．利用运用加法的运算律是解决问题的关键． （1）先写成省略括号的和的形式，然后利用加法的交换律进行取整计算； （2）先写成省略括号的和的形式，再进行同分母的加减运算，最后进行减法运算； （3）先写成省略括号的和的形式，再化成同分母，然后进行加减运算； （4）先写成省略括号的和的形式，再进行整数与整数的加减运算和分数的减法运算，然后利用加法计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 （3） 原式 （4）原式 14．（23-24六年级上·山东泰安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算， （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加法运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （4）先化简绝对值，然后根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 15．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则即可求解； （2）把各数统一为小数，即可求解； （3）利用结合律即可求解； （4）先求绝对值，再各数统一为小数，即可求解． 【详解】（1） = =； （2） = = =； （3） = = =； （4） = = 16．（23-24六年级上·山东泰安·期中）阅读下面文字： 对于）可以按如下方法进行计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算及方法拓展，解题关键是看懂题目，并根据题目所给示例进行正确拆分．根据所给方法示例，将、、、拆分，然后再运用简便方法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 17．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）身体健康是人生最大的财富开学伊始，“重外教师跑团”正式成立，蔡蔡老师是其中的成员之一，天天坚持跑步锻炼他每天以米为标准，超过记为正数，不足记为负数下表记录了蔡蔡老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)蔡蔡老师星期三跑了多少米？ (2)上周，蔡蔡老师跑步最多的一天比跑步最少的一天多跑了多少米？ 【答案】(1)2750米； (2)890米 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的减法的实际应用，理解表中数据的含义是关键． （1）利用3000米减去250米就是所求； （2）最大值与最小值的差就是跑得最多的一天比最少的一天多跑的距离． 【详解】（1）解：； 答：蔡蔡老师星期三跑了2750米； （2）解：； 答：跑得最多的一天比最少的一天多跑了890米． 18．（23-24七年级上·广西玉林·期中）【阅读材料】对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： 【类比运用】（1）把下列式子写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ① ；② ； 【深入运用】（2）当时， ；当时， ； 【拓展运用】（3）计算：． 【答案】（1）①；②；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，绝对值的化简，正确化简绝对值是解答本题的关键． （1）结合有理数减法运算法则以及绝对值的意义进行化简； （2）根据绝对值的意义进行化简； （3）根据有理数加减运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． 【详解】解：（1）①， ②， 故答案为：①；②； （2）当时，；当时，； 故答案为：；； （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$