第1章 二次函数（核心素养提升+中考热点聚焦+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

第1章二次函数（核心素养提升+中考热点聚焦+中考能力提升+过关检测） 一．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 二．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 三．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 四．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 五．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 六．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 七．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 八．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 九．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 十．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 十一．二次函数在给定区间上的最值 二次函数在给定区间上的最值． 对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q）， a＞0时， 当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值 当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值 当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值 当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值 a＜0时， 同样进行分类讨论． 1、 逻辑推理——二次函数图像与系数a，b，c的关系 【例题1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象与轴负半轴相交，其顶点为下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·广西玉林·阶段练习）二次函数的图象的开口向 ，顶点坐标为 ． 【变式3】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴，以及点A的对称点B的坐标． (2)若该抛物线与x轴交于和两点（其中． ①若，求a的值； ②若，求a的取值范围． 2、 数学抽象——函数思想的运用 【例题2】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有两个实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）二次函数的图像如图所示，若关于x的一元二次方程（t为实数）的解满足，则t的取值范围是（　　）      A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，利用函数的图象，直接回答： （1）方程的解是 ； （2）当时，的取值范围为 ； 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象如图所示． (1)利用图象判断方程较大的解在哪两个整数范围内？ (2)若关于x的方程有四个不等实数根，求m的取值范围． 3、 数学建模——建立二次函数模型解决问题 【例题3】（23-24九年级上·全国·单元测试）某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为（   ） A．50元 B．80元 C．90元 D．100元 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（    ）元． A．50 B．90 C．80 D．70 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 【变式3】（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）某商场购进一批进货价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．调查发现，若按每件元的价格销售，每月能卖出件，若按每件元的价格销售，每月能卖件，假定每月销售量（件）是销售价格（元/件）的一次函数． (1)求与之间的关系式； (2)销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？ 热点1：抛物线的平移 【例题1】（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·西藏·中考真题）将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（    ） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【变式3】（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 热点2：求二次函数的表达式 【例题2】（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【变式1】（2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【变式3】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 热点3：二次函数的图像与性质 【例题3】（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【变式3】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 热点4：利用二次函数解决实际问题 【例题4】（2020·四川绵阳·中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【变式1】（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．    【变式2】（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【变式3】（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：        热点5：二次函数与几何图形的结合 【例题5】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是 ．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是 ．    【变式2】（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 一、单选题 1．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 3．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是 4．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点． 7．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为，则汽车刹车后到停下来需要 秒． 8．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 三、解答题 9．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 10．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． (1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度； (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 一、单选题 1．（22-23九年级上·贵州遵义·期中）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 2．（22-23九年级上·河南漯河·阶段练习）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）关于抛物线，下列说法中错误的是（    ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标为 4．（23-24九年级上·河北保定·期中）顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（    ） A．月和月 B．月至月 C．月 D．月、月和月 8．（22-23九年级上·广东佛山·期末）下列四个函数中，在各自的自变量的取值范围内，函数值y随x值的增大而增大的函数是（   ） A． B． C． D． 9．（2024九年级上·上海·专题练习）已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 10．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … ①物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③方程的根为0和2；④当时，x的取值范围是或以上结论中其中的是（   ） A．①④ B．②④ C．②③ D．③④ 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 12．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为 ，它的对称轴为 ． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ． 14．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数．当时，则的取值范围 ． 15．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ． 16．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的方程有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论 ． 17．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知抛物线与直线l交于点，（）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为 ． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的是 三、解答题 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 21．（23-24九年级上·广西柳州·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：    (1)点B的坐标为______； (2)方程的两个根为______； (3)当时，自变量x的取值范围为______． 22．（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 23．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，用长为米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米．    (1)求关于的函数解析式； (2)求的最大面积． 24．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 25．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点和． (1)①求a，b之间的等量关系式． ②若时，总有，求a的取值范围． (2)函数的图象经过两个不同的点，． ①若，求a的值： ②若，，请说明点M和点N都在函数的图象上，并求出a的值． 26．（23-24九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中． (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点B在x轴上时，求点A的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连接、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章二次函数（核心素养提升+中考热点聚焦+中考能力提升+过关检测） 一．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 二．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 三．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 四．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 五．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 六．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 七．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 八．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 九．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 十．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 十一．二次函数在给定区间上的最值 二次函数在给定区间上的最值． 对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q）， a＞0时， 当﹣≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值 当﹣≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值 当q≥﹣≥时，x＝﹣时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值 当≥﹣≥p时，x＝﹣，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值 a＜0时， 同样进行分类讨论． 1、 逻辑推理——二次函数图像与系数a，b，c的关系 【例题1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象与轴负半轴相交，其顶点为下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：如图． ①抛物线开口向上，则． 抛物线与轴交于负半轴，则， 所以，． 故①正确； ②根据抛物线与轴的一个交点是，，对称轴知，抛物线与轴的另一个交点是，，则当时，，即．故②正确； ③根据图示知，当时，，即．故③错误； ④根据图示知，对称轴，则，所以．故④正确； ⑤由图示知，抛物线的顶点为，则，所以．故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②④⑤，共有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，解题的关键是熟知函数的性质并会观察图象．由对称轴和点A得到图象与轴的另一个交点坐标，从而判断选项；由开口方向和与轴的交点得到和的正负，从而判断选项B；由对称轴为直线判断选项C；由图象与轴的交点个数判断选项D． 【详解】解：函数图象过点，对称轴是直线， 图象与轴的另一个交点为，即当时，， ，故选项A正确； 开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， ，， ，故选项B错误； 对称轴为直线， ， ，故选项C错误； 函数图象与轴有两个交点， ，即，故选项D错误． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·广西玉林·阶段练习）二次函数的图象的开口向 ，顶点坐标为 ． 【答案】 上 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数各种表达式形式的转化是解题的关键． 先将一般式配方成顶点式，然后即可得出答案． 【详解】解：， 二次函数的图象的开口向上， ， 二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：上，． 【变式3】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴，以及点A的对称点B的坐标． (2)若该抛物线与x轴交于和两点（其中． ①若，求a的值； ②若，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）将点代入二次函数解析式求得，求得对称轴为，再根据二次函数的对称性求解即可； （2）①根据二次函数的对称性求得，，即可求得，再代入解析式求解即可； ②由可知，，当时，图象经过点，则，故此需满足，根据二次函数的对称性可得当时，；时，，求得；当时，由图象经过点，根据对称性得，故此时需满足，故时，，则，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入二次函数解析式得：， 解得， 抛物线对称轴为：直线， ∴对称轴为直线， ∴点A的对称点B为； （2）解：①由抛物线与x轴交于和两点，点P和点Q关于直线对称． 又∵， 则，， ∴， 将点代入二次函数解析式得，， 解得； ②由可知，， 当时，由图象可知，，则，故此时需满足， 故当时，；时，，则； 当时，由图象可知，，则，故此时需满足， 故时，，则， 综上，或． 【点睛】本题是二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，数形结合、分类讨论是解题的关键 2、 数学抽象——函数思想的运用 【例题2】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有两个实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，关键是将关于x的一元二次方程（t为实数）的解转化为函数图象的交点问题；本题先根据二次函数对称轴为求得b值，从而得出二次函数表达式，再根据题意确定的取值范围，最后求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ， ， 二次函数的表达式为， （为实数）在的范围内有两个实数解， 即（为实数）在的范围内有两个实数解， 可以理解为与的图象有两个交点或相切， 当时，， 当时，， 当时，， ， ， 故选：C． 【变式1】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）二次函数的图像如图所示，若关于x的一元二次方程（t为实数）的解满足，则t的取值范围是（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，学会利用图像法解决问题，画出图象是解决问题的关键．如图，关于x的一元二次方的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，然后利用图像法即可解决问题． 【详解】解：如图：关于x的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标， ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为，且最大值为4， 当时，    由图像可知关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解， ∴解满足，则t的取值范围是． 故选：D 【变式2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，利用函数的图象，直接回答： （1）方程的解是 ； （2）当时，的取值范围为 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与对应的一元二次方程、一元二次不等式的联系，旨在考查学生的数形结合能力．找到二次函数图象与轴的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由题意可知：二次函数图象与轴的交点坐标为 ∴方程的解是：， 当时，， 故答案为：①② 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象如图所示． (1)利用图象判断方程较大的解在哪两个整数范围内？ (2)若关于x的方程有四个不等实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)方程较大的解在整数2和3之间 (2)当时，方程有四个不等实数根 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性． （1）把方程看作二次函数的图象与直线的图象的交点横坐标，画出图像根据图像求解即可． （2）把方程看作二次函数与直线的图象的交点横坐标，画出图像根据图像求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：抛物线的对称轴为直线， ∵可以整理为的形式， 故可以把方程看作二次函数的图象与直线的图象的交点横坐标， 如图， 根据图象可得二次函数与直线的交点横坐标在和上， ∴方程较大的解在整数2和3之间． （2），其顶点坐标为：， 如图，画出函数的图象， 可以把方程看作二次函数与直线的图象的交点横坐标， 根据图象可得，当二次函数与直线有四个交点时，， ∴当时，方程有四个不等实数根 3、 数学建模——建立二次函数模型解决问题 【例题3】（23-24九年级上·全国·单元测试）某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为（   ） A．50元 B．80元 C．90元 D．100元 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设售价为每个x元，则每个利润为元，销售量为，根据：每个利润销售量总利润，可得出W关于x的二次函数，利用配方法求最值即可． 【详解】解：设单价定为x元，总利润为W元， 则可得销量为：，单件利润为：， 由题意得，， 故可得当时，W取得最大值，为90元， 故选：C． 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（    ）元． A．50 B．90 C．80 D．70 【答案】D 【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及二次函数图象与性质、二次函数最值等，根据题意，设降价元，每月获得最大利润为，得到，利用二次函数最值求法即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：设降价元，每月获得最大利润为，则 ， ， 抛物线开口向下，即当时，有最大值， 该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 【答案】205 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．由可获得利润，即可知当时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值． 【详解】解： ∴当时，取最大值41， （万元）， 年所获利润的最大值205万元， 故答案为：205． 【变式3】（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）某商场购进一批进货价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．调查发现，若按每件元的价格销售，每月能卖出件，若按每件元的价格销售，每月能卖件，假定每月销售量（件）是销售价格（元/件）的一次函数． (1)求与之间的关系式； (2)销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)销售价定为元时，该商场每月获得利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查二次函数的应用能力，理解题意找到题目的等量关系列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意利用待定系数法求函数解析式； （2）根据月利润单件利润月销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可； 【详解】（1）解：（1）设与之间的关系式为， 根据题意得：， 解得：， 则与之间的函数关系式为； （2）设利润元，则与的函数关系式是： ， ， 当时，有最大值，最大值为， 销售价定为元时，该商场每月获得利润最大，最大利润是元 热点1：抛物线的平移 【例题1】（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 【变式1】（2023·西藏·中考真题）将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（    ） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】D 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到， 所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式；二是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式 【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 【变式3】（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B， 当时，代入得：，故， 当时，代入得：，故， （2）设， 则可设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， 将代入得：， ∵， ∴， 即， ∴将代入， 整理得：， 故，； （3）如图： ∵轴，点P在x轴上， ∴设，， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点，点向下平移的距离相同， ∴， 解得：， 由（2）知， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将代入可得：， ∴抛物线N的函数解析式为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 热点2：求二次函数的表达式 【例题2】（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 【变式1】（2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（    ） x 1 2 4 y 4 2 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断． 【详解】解：A、若直线过点， 则，解得， 所以， 当时，，故不在直线上，故A不合题意； B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意； C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得 ，解得，符合题意； D、由C可知，不合题意． 故选：C． 【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【变式2】（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 热点3：二次函数的图像与性质 【例题3】（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 【变式1】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 【变式2】（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为 热点4：利用二次函数解决实际问题 【例题4】（2020·四川绵阳·中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【答案】B 【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解． 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=， 设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+， ∵BC=10， ∴点B（﹣5，0）， ∴0=a×（﹣5）2+， ∴a=-， ∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2， ∵EF=14， ∴点E的横坐标为-7， ∴点E坐标为（-7，-），     ∴-=m（x﹣b）2， ∴x1=+b，x2=-+b， ∴MN=4， ∴|+b-（-+b）|=4 ∴m=-， ∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2， ∵大孔水面宽度为20米， ∴当x=-10时，y=-， ∴-=-（x﹣b）2， ∴x1=+b，x2=-+b， ∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米）， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答 【变式1】（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．    【答案】121 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得： ， 解得， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元， ， ∵1<0， ∴当时，w有最大值为121， 故答案为：121． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键． 【变式2】（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】(1)抛物线的表达式 (2)水火箭距离地面的竖直高度米 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， （2）解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 【变式3】（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：        【答案】3.2米 【分析】先以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，设设抛物线的解析式为，把代入，求得，即，再求出点D的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，      由题意知：，， ∵抛物线的最高点B， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， ∴ (米)， 答：步行通道的宽的长约为3.2米． 【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题的关键 热点5：二次函数与几何图形的结合 【例题5】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 【变式1】（2023·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是 ．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得，设，从而，由此得到四边形是平行四边形，结合边上的高为，即可得到函数解析式，进而得到答案． 【详解】解：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； 如图，设，    由题意得，，且， ∴， 又F、G分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 由题意得，与的距离是， ∴， ∴边上的高为， ∴四边形面积， ∵， ∴， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，二次函数的性质，求函数解析式，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键 【变式2】（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式3】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴负半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意； 综上所述，①②③结论正确，符合题意． 故选：D． 2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 3．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是 【答案】D 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意； B、， ， 即图象与轴有两个交点， 故此选项不符合题意； C、抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， 故此选项不符合题意； D、， 图象的顶点坐标是， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 4．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：由题意，∵有两实根， ． ∴得，． ∴，故①正确． ， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴抛物线的顶点为． 又， ∴，即． ∴． ∴． ∴顶点坐标为，故②正确． ∵， ∴． 又， ， ∴，故③错误． ， ， ∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ∵，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ， ∴，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 5．（2023·湖北十堰·中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为 联立 解得：或 ∴， 由，则，对称轴为直线， 设，则点在上， ∵且， ∴点在点的左侧，即，， 当时， 对于，当，，此时， ∴， ∴ ∵对称轴为直线，则， ∴的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键． 二、填空题 6．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点． 【答案】2或4/4或2 【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为， 令，则， 解得，， ∴抛物线与的交点坐标为和， ∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点． 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 7．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式为，则汽车刹车后到停下来需要 秒． 【答案】/1.25 【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出的最大值即可得出结论． 【详解】∵， ∴当时，汽车刹车后到停下来, 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键． 8．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 三、解答题 9．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 10．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． (1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度； (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键． （1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可； （2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题意得： 整理得， 当时，则， 解得：． ， 不符合题意，舍去， 该商场建造的隔热层厚度为6． （2）由（1）得， ， ． ， 随的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得； 的取值范围为． 11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①根据题意得出，得出直线的解析式为，联立得出，在直线上；②设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：对于，令， 解得： ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则 ∴， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ （3）①点与点重合，则， ∵点为中点，， ∴, 设直线的解析式为，代入, ∴ 解得： ∴ 联立 解得：或 ∴，在直线上 即，，三点共线； ②设， ∵，，三点共线； ∴设的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， 设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴的面积为是定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 一、单选题 1．（22-23九年级上·贵州遵义·期中）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了求抛物线的对称轴的方法．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即：y轴， 故选：C． 2．（22-23九年级上·河南漯河·阶段练习）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的增长率问题．本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 根据题意可知，原价为，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则即可求得函数关系式． 【详解】解：原价为18， 第一次降价后的价格是， 第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：， 则函数解析式为：， 故选：C 3．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）关于抛物线，下列说法中错误的是（    ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线，， ∴该抛物线开口向上，故选项A正确； 对称轴是直线，故选项B错误； 当，y随x的增大而增大，故选项C正确； 顶点坐标为，故选项D正确； 故选：B． 4．（23-24九年级上·河北保定·期中）顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，且开口方向，形状与函数的图象相同， 这个二次函数的解析式为． 故选：A． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，求参数，根据二次函数的定义得出关于m的不等式和方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故选：D． 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 7．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（    ） A．月和月 B．月至月 C．月 D．月、月和月 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意可知没有盈利时，利润为和小于的月份都不合适，从而可以解答本题． 【详解】解：，且为整数， 当时，或， 当时，， 故选：D． 8．（22-23九年级上·广东佛山·期末）下列四个函数中，在各自的自变量的取值范围内，函数值y随x值的增大而增大的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图形和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键．根据题意依次进行判断函数的增减性即可． 【详解】解：，函数值y随x值的增大而减小，故不符合题意； ，函数值y随x值的增大而减小，故不符合题意； ，函数值y随x值的增大而减小，故不符合题意； 函数值y随x值的增大而增大，符合题意． 故选D． 9．（2024九年级上·上海·专题练习）已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点． 故选：B． 10．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … ①物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③方程的根为0和2；④当时，x的取值范围是或以上结论中其中的是（   ） A．①④ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图象与性质求解可得． 【详解】解：抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，故②错误； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③正确； 当时，，由函数图象解得或，故④正确； 故选：D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时y的值，进而求解． 【详解】解：由题可得抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线经过点， ∴时， 即． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为 ，它的对称轴为 ． 【答案】 直线 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，先根据两点式求出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求出对称轴即可． 【详解】解：抛物线的解析式为，即， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为，直线． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ． 【答案】 9米/ 162平方米/ 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设的长为米，则的长为米，利用面积公式列出二次函数解析式，求最值即可． 【详解】解：设的长为米，则的长为米 则窗框的面积 ∵ ∴ ∴当时，窗框的面积最大，最大面积为； 故答案为：9米，162平方米． 14．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数．当时，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，已知自变量的值求函数值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．将二次函数的解析式化为顶点式，得到二次函数顶点坐标为，抛物线开口向上，再分别计算出当时，当时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：， ∴二次函数顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，； 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 15．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出点I左边和右边端点的坐标，求出当，时的y值，比较即可． 【详解】 由题意得：点I左边端点的坐标为，右边端点的坐标为 对于抛物线，当时，，当时，， 当时，解得或5， ∴点P在台阶I上，落点的坐标是 故答案为：． 16．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的方程有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论 ． 【答案】④⑥/⑥④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线与轴的正半轴相交， ∴， 由函数图象可知，抛物线的对称轴在轴的的右侧， ∴ ∵ ∴ 所以． 故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， 又因为， 所以． 故③错误． 由函数图象可知，当时，函数取得最大值， 所以当时的函数值小于时的函数值， 即， 所以，故④正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 而，且， 所以．故⑤错误． 方程的解可看成函数和直线交点的横坐标， 因为两个函数的图象有四个不同的交点， 所以方程有四个根； 又因为点A和点D，点B和点C关于直线对称， 所以，， 即，． 所以， 即方程的四个根之和为4． 故⑥正确． 故答案为：④⑥． 17．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知抛物线与直线l交于点，（）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质，熟练配合函数图像将复杂问题直观化是解决问题的关键．先求出点和点的坐标，确定直线l的函数表达式，配合两个函数的图象求解即可． 【详解】解：分别将 、 代入得： ， 解得： ，（舍） ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线l的表达式为：， ，顶点为，开口向上，两个函数图象如图所示， 由图象可知，点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为， 故答案为： 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为可判断③；由二次函数的性质可判断④．解题关键是掌握二次函数的图像与性质． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴，故结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，且当时，， ∴时，， 即，故结论②正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ∴，故结论④不正确， ∴正确的是①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的平移和性质，首先得到平移后抛物线为，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：平移抛物线，其顶点始终在二次函数上， ∴顶点坐标为，故平移后的解析式为， ∴， ∵直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q， ∴ ∵， ∴当时，长的最大值为． 21．（23-24九年级上·广西柳州·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：    (1)点B的坐标为______； (2)方程的两个根为______； (3)当时，自变量x的取值范围为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键. （1）根据函数图象判断出对称轴和抛物线与y轴一个交点，即可得到点B的坐标； （2）根据抛物线与y轴的交点即可得到答案； （3）判断出抛物线的图象在x轴上方时x的取值范围，即可得到答案. 【详解】（1）解：由二次函数的图象可知，对称轴为直线，抛物线过点 ∴点B的坐标为， 故答案为： （2）由（1）知抛物线与x轴交于点与， 即当时，， 当时，， ∴方程的两个根为， 故答案为：， （3）由抛物线的图象可知， 当时，抛物线的图象在x轴上方， ∴当时，自变量x的取值范围为， 故答案为： 22．（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)能，说明见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； （2）把代入解析式，即可求得； （3）根据题意可以求得当时的y的值然后与3.4比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：根据题意，得点，，． 设抛物线的解析式为． 把点代入，得． 解得． 抛物线的解析式为． （2）解：在中，令，得． 解得，． ， 在距离地面高处，隧道的宽度是． （3）解：这辆货运卡车能通过该隧道． ． 将代入，得． ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 23．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，用长为米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米．    (1)求关于的函数解析式； (2)求的最大面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据矩形的面积公式即可求解； （）根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意求出关于的函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为． 24．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再化成顶点式即可求解； （）把代入得，，解方程得到，，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点式，二次函数的性质，利用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线为， ∴此抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入得，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，． 25．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点和． (1)①求a，b之间的等量关系式． ②若时，总有，求a的取值范围． (2)函数的图象经过两个不同的点，． ①若，求a的值： ②若，，请说明点M和点N都在函数的图象上，并求出a的值． 【答案】(1)①；②或 (2)①；②见解析，． 【分析】题目主要考查待定系数法确定函数解析式及二次函数的性质，根据题意，作出相应草图，分情况分析是解题关键． （1）①把点和代入函数解析式即可；②分两种情况分析：；；分别根据二次函数的性质作出草图求解即可； （2）①根据题意得出当时，对称轴：，再由（1）②得出对称轴，然后求解即可；②根据题意分别将点点M和点N代入一次函数，即可确定点在函数图象上，然后联立一次函数与二次函数求解即可． 【详解】（1）解：①∵经过和两点， ∴， ∴， ∴c的值为，a，b满足的关系式为． ②由①可知： ∴对称轴，． 若，则 ， ∵A，B之间，y随x增大而增大， 在对称轴右边，y随x增大而增大， ∴， ∴． 若，则 ，A，B之间，y随x增大而增大， 在对称轴左边，y随x增大而增大， ∴， 解得：． ∴综上：a的取值范围：或． （2）①由题可知：当时， ∴对称轴：， 由（1）②可知： ， 对称轴， ∴， ∴． ②∵，， ∴，． ∵M在直线上， ∴， 再将代入， ∴成立， ∴N也在直线上． 联立与有两个不同的实数根， ∴， ∵， ∴． 26．（23-24九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中． (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点B在x轴上时，求点A的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连接、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2) (3)或 (4)或或 【分析】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为，其中，得出，即可求解； （3）证明点一定在对称轴右侧，分情况讨论：①如图所示，当，即时，②当，即时分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论：①当是的中点时，②当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中， 得， 解得：， 抛物线解析式为， 顶点坐标为． （2）由， 当时，， 解得：，， 抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中． ， ， 解得：， 点的坐标为， ． （3）令， 得，， ，， ， ， 点一定在对称轴右侧， ． ①如图所示，当，即时， 根据题意，， 解得； ②当，即时， 依题意，， 解得：或（舍去）． 综上所述，或． （4）如图所示， 在轴的上方， 且， ， 以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为， ， ，， ①当是的中点，如图， 则， ，代入， 即， 解得 （舍去）或； ②同理当为的中点时，如图所示， ，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半， ， 解得； ③如图所示， 设， 则， 以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为， ， 即， ， ， ， ，关于对称， ， 解得：． 综上所述，或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$