第1章 一元二次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

第1章 一元二次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.一元二次方程的概念 1. 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)， 并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程；二是只含有一个未知数；三是整理后未知数的最高次数是2 . 警示误区 最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如：(m－2)x2＋3x－8=0 不一定是关于x 的一元二次方程. 要使它为一元二次方程，则二次项系数不能为0. 知识点2.一元二次方程的一般形式 1. 一般形式 关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c 是常数，a ≠ 0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 其中ax2 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数. 2. 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2＋bx＝0 (a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0 ax2＋c＝0 (a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax2＝0(a ≠ 0) a 0 0 特别提醒 a ≠ 0 是关于x 的方程ax2＋bx＋c＝0 为一元二次方程的前提；反之，如果方程ax2＋bx＋c＝0是关于x 的一元二次方程，则必隐含a ≠ 0这一条件. 知识点3.一元二次方程的解 1. 定义 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2. 判断一元二次方程的根的步骤 步骤1：将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边. 步骤2： 若方程左右两边的值相等，则这个数就是一元二次方程的根；否则，这个数就不是一元二次方程的根. 特别提醒 如果一个数是一元二次方程的根，那么这个数一定能使方程左右两边的值相等，由此可求待定字母的值. 知识点4.列一元二次方程 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤： (1)认真审题，弄清未知量和已知量之间的关系； (2)设出合适的未知数，一般设为x； (3)确定等量关系； (4)根据等量关系列出一元二次方程. 特别提醒 建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要利用题目中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式. 知识点5.直接开平方法 1. 定义 根据平方根的意义，直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 2. 关于x的一元二次方程(ax＋h)2＝k(a、h、k为常数，a ≠ 0)的解(根)的情况(有实数根时设该方程的两个实数根分别为x1、x2)： (1)当k＞0时， 方程有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝；(2)当k＝0 时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－；(3)当k＜0 时，方程没有实数根. 特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： 1. 不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； 2. 只有非负数才有平方根， 所以直接开平方法的前提是在一元二次方程(ax＋h)2＝k(a、h、k为常数，a≠0)中k≥ 0. 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项，将方程变成左边是平方式，且平方式的系数为1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根). (2)开平方，将方程转化为两个一元一次方程. (3)解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为一元二次方程的两个根. 知识储备 首先将方程化成左边是含有未知数的平方式，右边是非负数的形式；其次化平方式的系数为1；最后根据平方根的意义开平方求解. 知识点6.配方法 1. 定义 把一个一元二次方程变形为(x＋h)2＝k(h、k 为常数)的形式，当k ≥ 0 时，就可以用直接开平方法求出方程的解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 知识链接 配方的依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，其实质是将a看成未知数，b看成常数，则b2即是一次项系数一半的平方. 2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项：把方程中含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边. (2)二次项系数化为1：方程的左、右两边同时除以二次项系数. (3)配方：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x＋h)2＝k(h、k 为常数)的形式. (4)开平方：如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开平方法求解(设该方程的两个实数根分别为x1、x2)；如果方程右边是一个负数，那么这个方程无实数根. 即： ① 当k＞0 时， 方程有两个不相等的实数根， 即x1＝－h＋ ，x2＝－h－. ② 当k＝0 时，方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－h. ③ 当k＜0 时，因为对任意实数x，都有(x＋h)2 ≥0，所以方程(x＋h)2＝k(k＜ 0)没有实数根. 3. 拓展 利用配方法还可以求只含一个字母的二次三项式的最值. 解法提醒 用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，将其转化为直接开平方所需要的形式，再利用平方根的意义把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解. 知识点7.公式法 1. 关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)的求根公式是x＝(b2－4ac ≥ 0). 利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 2. 用公式法解一元二次方程的步骤 (1)把一元二次方程化成一般形式. (2)确定公式中a，b，c 的值. (3)求出b2－4ac 的值. (4)若b2－4ac ≥ 0, 则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解；若b2－4ac ＜ 0，则方程没有实数根. 特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能解法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0 中a ≠ 0，b2－4ac ≥0时，才能使用求根公式. 知识点8.一元二次方程的根的判别式 1. 定义 一般地，我们把b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)的根的判别式. 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1)b2－4ac>0方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)没有实数根. 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法： 先将一元二次方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)，当方程中的a，b，c是常数时，直接求出b2－4ac的值， 确定方程的根的情况；当方程中的a，b，c含有字母时， 求出b2－4ac后再对含有字母的代数式进行讨论，进而确定该方程的根的情况. 知识点9.因式分解法 1. 定义 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0. (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积. (3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程. (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识储备 常用的因式分解的方法： 1. 提公因式法； 2. 公式法； 3. 特殊方法： 形如x2＋(a＋b) x＋ab，可将原多项式分解为(x＋a)(x＋b)的形式. 解法提醒 可以利用整体思想和完全平方公式解决问题，把(3m＋2)看作一个整体，如令a＝3m＋2，解关于a 的方程a2－10a＋25＝0. 然后直接利用完全平方公式进行因式分解得到(a－5)2＝0. 求得该方程的解再换元即可. 知识点10.一元二次方程的根与系数的关系 1. 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1、x2，这两个根与系数的关系是x1＋x2＝－，x1·x2＝. 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3)＋＝. 特别提醒 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0. 知识点11.列一元二次方程解决问题 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤 审、设、列、解、检、答. 审 ——审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系； 特别解读 第一步“审”一般不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系才能准确列出方程. 设 ——设未知数； 列 ——根据题目中的等量关系，列出方程； 列方程，这是解决实际问题的关键一步，一般先找出一个包含问题的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含未知数的等式，即可列出方程. 解 ——解方程，求出未知数的值； 检 ——检验方程的解能否保证实际问题有意义； 答 ——写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则. 2. 列一元二次方程解应用题的注意事项 (1)在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个未知量用字母(如x)表示，然后根据各个量之间的数量关系，将其他几个量用含未知数的代数式表示出来； (2)设未知数时必须写清单位、用对单位. 列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位； (3)一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义. 知识点12.列一元二次方程解决问题的常见题型 题型1 数字问题 有关数字的应用题，大致可以分为三类，即一般数字关系问题、连续数问题、数字排列问题. 解答这类问题的关键是掌握其基本的数量关系和连续数以及一般数的表示方法. 要点精析： (1)一般数字关系问题. 一般数字关系问题比较简单，只要我们掌握加、减、乘、除、和、差、倍、商、余数、等于等知识，就可以根据题目所给的条件列出方程. (2)连续数问题. 这里有三种：连续整数、连续偶数和连续奇数，掌握它们的表示方法是解决这类应用题的关键. (3)数字排列问题. ① 要明确最高位上的数字为不大于9 的正整数，其他数位上的数字为不大于9 的非负整数； ② 要会用字母正确地表示数. 两位数＝十位上的数字×10＋个位上的数字； 三 位数＝百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字. 特别解读 1. 三个连续整数，设中间的一个数为 x，则其余两个数分别为x－1，x＋1. 2. 三个连续偶数可设为2x－2，2x，2x＋2；三个连续奇数可设为2x－3， 2x－1，2x＋1. 列方程求解数字问题的方法： 设未知数时，通常采用间接设元法，即设多位数的某一数位上的数字为未知数，然后将其他数位上的数字用含未知数的代数式表示出来，最后再根据题中的数量关系列方程即可. 题型2 面积问题 面积问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程. 对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好. 方法点拨 此类题除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法之外，关键是能用未知数表示相关的线段长，以及对方程的根进行取舍. 题型3 平均增长率(降低率)问题 平均增长率中的数量关系： 若增长的基数为a，每次增长的增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长是以a(1＋x)为基数的，第二次增长后的数量为a(1＋x)2； 当问题变为下降(或减产)率为x 时，第二次减少后的数量则为a(1－x)2. 特别解读 1. 增长率＝增量÷原来的量×100%； 2. 设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则有a(1＋m)n＝b. 题型4 营销问题 1. 销售问题中常出现的量 进价(或成本)、售价、标价(或定价)、利润等. 2. 利润问题常用的关系式 商品利润= 商品售价－商品进价＝商品标价× 折扣率－商品进价；商品利润率＝×100%＝×100%；商品销售额＝商品销售价× 商品销售量；商品的销售利润＝(商品销售价－商品成本价)× 商品销售量. 3. 商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80% 出售. 即商品售价＝ 商品标价× 折扣率. 考点1：两个概念 概念1：一元二次方程 【例题1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值不能为（  ）． A． B． C． D． 【变式1】（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）当 时，关于x的方程是一元二次方程；当 时，它是一元一次方程． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）当方程是一元二次方程时，求的值． 概念2：一元二次方程的根 【例题2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【变式1】（23-24九年级上·四川泸州·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（　　） A． B． C．2 D．6 【变式2】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，则的值为 ． 【变式3】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）若m是一元二次方程的根，求代数式的值． 考点2：一个解法——一元二次方程的解法 【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）解方程：． 【变式1】（22-23九年级上·广东汕头·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式2】（22-23九年级上·四川成都·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式3】（23-24九年级上·湖北恩施·期末）解方程： (1)； (2)． 考点3：两个关系 关系1：一元二次方程根的判别式与根的情况的关系 【例题4】（2024九年级上·河南·专题练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为 ． 【变式3】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 关系2：一元二次方程根与系数的关系 【例题5】（23-24九年级上·四川达州·期末）设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（22-23九年级上·全国·单元测试）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·广东佛山·期中）若一元二次方程的两根分别为a，b，则 ． 【变式3】（23-24九年级上·河南周口·期末）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 考点4：一个应用——一元二次方程的应用 【例题6】（22-23九年级上·广东佛山·期末）用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 【变式3】（23-24九年级上·广东佛山·期中）甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 考点5：三种数学思想 思想1：整体思想 【例题7】（23-24九年级上·重庆渝北·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知是方程的根，则代数式的值为 . 【变式2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知：是方程的一个根，求代数式的值． 【变式3】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 思想2：转化思想 【例题8】（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）方程，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）若实数x满足，则 ． 【变式3】（2024九年级·安徽·专题练习）． 思想3：分类讨论思想 【例题9】（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（　　） A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知有且只有一个数大于小于0，且满足关于的方程，则的取值范围是 ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： 【变式3】（23-24九年级上·广东佛山·期中） 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 一、单选题 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 4．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C．−3 D．−1 5．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．0 C．2022 D．4044 6．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 二、填空题 7．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 8．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 9．（2024·江苏连云港·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 三、解答题 10．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 11．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 12．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）随着经济的发展和人们生活水平的提高，春节旅游逐渐成为了人们追求幸福的新方式，越来越多的人选择在春节期间出游，体验不一样的年味．据统计.2022年春节假期国内旅游出游人数约亿人次，2024年达到亿人次．设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）方程的二次项系数和常数项分别为（　　） A．，3 B．， C．1，3 D．1， 3．（21-22九年级上·宁夏银川·阶段练习）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 4．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）九年级毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片．设晚会上有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·四川成都·期中）根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·四川达州·期末）若是方程的一个解，则m的值为（ ） A． B．1 C． D．2 8．（23-24九年级上·广东佛山·期中）下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为 ． 12．（2024九年级上·江苏·专题练习）若关于x的方程（k为常数）有一个实数根为，则k的值为 ． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程至少有一个整数根，则整数a的值为 ． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 15．（23-24九年级上·吉林白城·期末）关于x的一元二次方程根的判别式的值是 ． 16．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）代数式的最值是 ． 17．（23-24九年级上·四川广安·期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为 ． 18．（23-24九年级上·四川广安·期末）方程的根是 ． 三、解答题 19．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 20．（23-24九年级上·四川南充·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 21．（23-24九年级上·四川达州·期末）解方程： (1) (2) (3) 22．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 23．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知关于的一元次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)设的两个实数根为，，若，求的值． 24．（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 25．（22-23九年级上·河南郑州·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 26．（23-24九年级上·新疆喀什·阶段练习）如图，中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，同时从点出发以相同的速度向点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间为， (1)用含的代数式表示、的长，并直接写出的取值范围； (2)多长时间后的面积为？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.一元二次方程的概念 1. 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)， 并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程；二是只含有一个未知数；三是整理后未知数的最高次数是2 . 警示误区 最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如：(m－2)x2＋3x－8=0 不一定是关于x 的一元二次方程. 要使它为一元二次方程，则二次项系数不能为0. 知识点2.一元二次方程的一般形式 1. 一般形式 关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c 是常数，a ≠ 0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 其中ax2 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数. 2. 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2＋bx＝0 (a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0 ax2＋c＝0 (a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax2＝0(a ≠ 0) a 0 0 特别提醒 a ≠ 0 是关于x 的方程ax2＋bx＋c＝0 为一元二次方程的前提；反之，如果方程ax2＋bx＋c＝0是关于x 的一元二次方程，则必隐含a ≠ 0这一条件. 知识点3.一元二次方程的解 1. 定义 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2. 判断一元二次方程的根的步骤 步骤1：将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边. 步骤2： 若方程左右两边的值相等，则这个数就是一元二次方程的根；否则，这个数就不是一元二次方程的根. 特别提醒 如果一个数是一元二次方程的根，那么这个数一定能使方程左右两边的值相等，由此可求待定字母的值. 知识点4.列一元二次方程 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤： (1)认真审题，弄清未知量和已知量之间的关系； (2)设出合适的未知数，一般设为x； (3)确定等量关系； (4)根据等量关系列出一元二次方程. 特别提醒 建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要利用题目中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式. 知识点5.直接开平方法 1. 定义 根据平方根的意义，直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 2. 关于x的一元二次方程(ax＋h)2＝k(a、h、k为常数，a ≠ 0)的解(根)的情况(有实数根时设该方程的两个实数根分别为x1、x2)： (1)当k＞0时， 方程有两个不相等的实数根，x1＝ ，x2＝；(2)当k＝0 时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－；(3)当k＜0 时，方程没有实数根. 特别警示 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： 1. 不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； 2. 只有非负数才有平方根， 所以直接开平方法的前提是在一元二次方程(ax＋h)2＝k(a、h、k为常数，a≠0)中k≥ 0. 3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项，将方程变成左边是平方式，且平方式的系数为1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根). (2)开平方，将方程转化为两个一元一次方程. (3)解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为一元二次方程的两个根. 知识储备 首先将方程化成左边是含有未知数的平方式，右边是非负数的形式；其次化平方式的系数为1；最后根据平方根的意义开平方求解. 知识点6.配方法 1. 定义 把一个一元二次方程变形为(x＋h)2＝k(h、k 为常数)的形式，当k ≥ 0 时，就可以用直接开平方法求出方程的解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 知识链接 配方的依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，其实质是将a看成未知数，b看成常数，则b2即是一次项系数一半的平方. 2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项：把方程中含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边. (2)二次项系数化为1：方程的左、右两边同时除以二次项系数. (3)配方：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x＋h)2＝k(h、k 为常数)的形式. (4)开平方：如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开平方法求解(设该方程的两个实数根分别为x1、x2)；如果方程右边是一个负数，那么这个方程无实数根. 即： ① 当k＞0 时， 方程有两个不相等的实数根， 即x1＝－h＋ ，x2＝－h－. ② 当k＝0 时，方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－h. ③ 当k＜0 时，因为对任意实数x，都有(x＋h)2 ≥0，所以方程(x＋h)2＝k(k＜ 0)没有实数根. 3. 拓展 利用配方法还可以求只含一个字母的二次三项式的最值. 解法提醒 用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，将其转化为直接开平方所需要的形式，再利用平方根的意义把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解. 知识点7.公式法 1. 关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)的求根公式是x＝(b2－4ac ≥ 0). 利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 2. 用公式法解一元二次方程的步骤 (1)把一元二次方程化成一般形式. (2)确定公式中a，b，c 的值. (3)求出b2－4ac 的值. (4)若b2－4ac ≥ 0, 则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求解；若b2－4ac ＜ 0，则方程没有实数根. 特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能解法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0 中a ≠ 0，b2－4ac ≥0时，才能使用求根公式. 知识点8.一元二次方程的根的判别式 1. 定义 一般地，我们把b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)的根的判别式. 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1)b2－4ac>0方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)没有实数根. 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的方法： 先将一元二次方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)，当方程中的a，b，c是常数时，直接求出b2－4ac的值， 确定方程的根的情况；当方程中的a，b，c含有字母时， 求出b2－4ac后再对含有字母的代数式进行讨论，进而确定该方程的根的情况. 知识点9.因式分解法 1. 定义 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0. (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积. (3)令两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程. (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识储备 常用的因式分解的方法： 1. 提公因式法； 2. 公式法； 3. 特殊方法： 形如x2＋(a＋b) x＋ab，可将原多项式分解为(x＋a)(x＋b)的形式. 解法提醒 可以利用整体思想和完全平方公式解决问题，把(3m＋2)看作一个整体，如令a＝3m＋2，解关于a 的方程a2－10a＋25＝0. 然后直接利用完全平方公式进行因式分解得到(a－5)2＝0. 求得该方程的解再换元即可. 知识点10.一元二次方程的根与系数的关系 1. 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1、x2，这两个根与系数的关系是x1＋x2＝－，x1·x2＝. 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3)＋＝. 特别提醒 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0. 知识点11.列一元二次方程解决问题 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤 审、设、列、解、检、答. 审 ——审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系； 特别解读 第一步“审”一般不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系才能准确列出方程. 设 ——设未知数； 列 ——根据题目中的等量关系，列出方程； 列方程，这是解决实际问题的关键一步，一般先找出一个包含问题的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含未知数的等式，即可列出方程. 解 ——解方程，求出未知数的值； 检 ——检验方程的解能否保证实际问题有意义； 答 ——写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则. 2. 列一元二次方程解应用题的注意事项 (1)在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个未知量用字母(如x)表示，然后根据各个量之间的数量关系，将其他几个量用含未知数的代数式表示出来； (2)设未知数时必须写清单位、用对单位. 列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位； (3)一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义. 知识点12.列一元二次方程解决问题的常见题型 题型1 数字问题 有关数字的应用题，大致可以分为三类，即一般数字关系问题、连续数问题、数字排列问题. 解答这类问题的关键是掌握其基本的数量关系和连续数以及一般数的表示方法. 要点精析： (1)一般数字关系问题. 一般数字关系问题比较简单，只要我们掌握加、减、乘、除、和、差、倍、商、余数、等于等知识，就可以根据题目所给的条件列出方程. (2)连续数问题. 这里有三种：连续整数、连续偶数和连续奇数，掌握它们的表示方法是解决这类应用题的关键. (3)数字排列问题. ① 要明确最高位上的数字为不大于9 的正整数，其他数位上的数字为不大于9 的非负整数； ② 要会用字母正确地表示数. 两位数＝十位上的数字×10＋个位上的数字； 三 位数＝百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字. 特别解读 1. 三个连续整数，设中间的一个数为 x，则其余两个数分别为x－1，x＋1. 2. 三个连续偶数可设为2x－2，2x，2x＋2；三个连续奇数可设为2x－3， 2x－1，2x＋1. 列方程求解数字问题的方法： 设未知数时，通常采用间接设元法，即设多位数的某一数位上的数字为未知数，然后将其他数位上的数字用含未知数的代数式表示出来，最后再根据题中的数量关系列方程即可. 题型2 面积问题 面积问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程. 对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好. 方法点拨 此类题除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法之外，关键是能用未知数表示相关的线段长，以及对方程的根进行取舍. 题型3 平均增长率(降低率)问题 平均增长率中的数量关系： 若增长的基数为a，每次增长的增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长是以a(1＋x)为基数的，第二次增长后的数量为a(1＋x)2； 当问题变为下降(或减产)率为x 时，第二次减少后的数量则为a(1－x)2. 特别解读 1. 增长率＝增量÷原来的量×100%； 2. 设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则有a(1＋m)n＝b. 题型4 营销问题 1. 销售问题中常出现的量 进价(或成本)、售价、标价(或定价)、利润等. 2. 利润问题常用的关系式 商品利润= 商品售价－商品进价＝商品标价× 折扣率－商品进价；商品利润率＝×100%＝×100%；商品销售额＝商品销售价× 商品销售量；商品的销售利润＝(商品销售价－商品成本价)× 商品销售量. 3. 商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80% 出售. 即商品售价＝ 商品标价× 折扣率. 考点1：两个概念 概念1：一元二次方程 【例题1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值不能为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，据此即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的定义包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，另外一元二次方程的一般形式是．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是一元一次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．是二元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）当 时，关于x的方程是一元二次方程；当 时，它是一元一次方程． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．注意：未知数的最高次数的系数不为根据一元二次方程和一元一次方程的定义计算即可． 【详解】解：当关于x的方程是一元二次方程时，，则． 当关于x的方程是一元一次方程时，且，则． 故答案是：； 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）当方程是一元二次方程时，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是． 根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，解得． 又∵， ∴， ∴． 概念2：一元二次方程的根 【例题2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将代入得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：是x的一元二次方程，且一个根是0， 故，即， 将代入， 即， 解得， 由于， ． 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·四川泸州·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（　　） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 把代入一元二次方程中即可解得的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中得：， 解得：． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）若m是一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，完全平方公式的变形，把m代入方程变形得，然后利用计算即可解题． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，且， ， ， ，即， ，即． 考点2：一个解法——一元二次方程的解法 【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；解题的关键是熟练掌握平方根的定义， 【详解】解： 或， 解得或． 【变式1】（22-23九年级上·广东汕头·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）公式法解一元二次方程即可； （2）直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴； （2） ∴． 【变式2】（22-23九年级上·四川成都·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ∴ 原方程的解为：； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的解为： 【变式3】（23-24九年级上·湖北恩施·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴； （2） 或， ∴ 考点3：两个关系 关系1：一元二次方程根的判别式与根的情况的关系 【例题4】（2024九年级上·河南·专题练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求得m的取值范围即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程即有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了方程有实数根，一元二次方程的定义及根的判别式，分类讨论是解本题的关键．根据方程有实数根，分为一元一次方程、一元二次方程两种情况讨论，当为一元二次方程时，根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值． 【详解】解：①若，则方程为一元一次方程，有实数根，符合题意，即； ②若，则，解得； 综上所述：整数a的最大值为． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为 ． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程的二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且， 为整数， 整数的最大值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式正确建立不等式组是解题关键． 【变式3】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根可得，据此即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 关系2：一元二次方程根与系数的关系 【例题5】（23-24九年级上·四川达州·期末）设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题意得，，， 所以 ， 故选：D． 【变式1】（22-23九年级上·全国·单元测试）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据，，代入求解即可得到答案； 【详解】解：方程的两个根，， ，， ， ，， ，， ， 解得：，， ， ， 解得：，故， 故选：C. 【变式2】（23-24九年级上·广东佛山·期中）若一元二次方程的两根分别为a，b，则 ． 【答案】2 【分析】直接根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：根据题意得一元二次方程的两根分别为a，b ∴． 故答案为：2 【变式3】（23-24九年级上·河南周口·期末）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，能根据根与系数之间的关系解决相关问题． （1）分析题意，先得出和的值，把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． （2）把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得， ； （2）解： 考点4：一个应用——一元二次方程的应用 【例题6】（22-23九年级上·广东佛山·期末）用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．根据长方形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 根据题意得，， 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均降低率问题，熟练掌握是解决问题的关键，其中a是起始量，b是终止量，x是平均降低率，n是降低次数． 根据“2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，”可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】根据题意得：， 即 故选：C． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值． 【详解】解：设经过x秒，的面积等于， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ，， ∴， 解得或4， 又知， 故符合题意， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ， 解得． 故答案为：2或 【变式3】（23-24九年级上·广东佛山·期中）甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】(1) (2)该商品在原售价的基础上，再降低25元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键． (1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． (2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x， 依题意得： 解得：，（舍去） 答：这个降价率为。 （2）设降价y元，则多销售件， 根据题意得， 解得：， 因为尽可能扩大销售量，所以（舍去） 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元． 考点5：三种数学思想 思想1：整体思想 【例题7】（23-24九年级上·重庆渝北·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算可简化计算． 先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ， ， ， 故选：D． 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知是方程的根，则代数式的值为 . 【答案】4046 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， 故答案为：4046 【变式2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知：是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】，． 【分析】根据解的定义得，然后根据完全平方公式，平方差公式，合并同类项运算化简，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 原式， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，代数式化简求值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，将代入方程， 得， ∴，， ∴ ， ∴的值为2． 思想2：转化思想 【例题8】（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）方程，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要利用换元法变形，注意变形时与互为相反数，符号要变化．注意变形时符号的变化． 【详解】解：∵ ∴ 所以． 故选：D． 【变式2】（2024九年级上·江苏·专题练习）若实数x满足，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．设，则原方程换元为，即，可得，即可求解． 【详解】设，则原方程换元为，即， ∴， 解得：， 即或（无实数根，舍去）， ∴． 故答案为：6． 【变式3】（2024九年级·安徽·专题练习）． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 【详解】解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 思想3：分类讨论思想 【例题9】（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（　　） A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首先设原两位数个位数字为，则十位数字为，则原来的两位数是，交换数字位置后得到的新的两位数是，再根据新的两位数与原两位数之积为1612列出方程，再解即可． 【详解】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为，由题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，， 则原来的两位数为62或26， 故选：C 【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知有且只有一个数大于小于0，且满足关于的方程，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了字母系数与方程的关系，解决本题的关键是分情况讨论． 根据字母系数与方程的关系分情况讨论方程的解是否符合题意即可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 方程的解大于小于0， 不符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ①当时，， 解得， ， 解得，， 不符合题意； ②当时，， ， 解得，，符合题意． 当， 化简，得， ， ， ， 或， 或无解， 综上所述：的取值范围是． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，设，则，通过解一元二次方程可得m的值，即可求出可能的值，然后再分别得出分式方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上，该方程的解为：， 【变式3】（23-24九年级上·广东佛山·期中） 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【答案】(1)2或4 (2)秒 【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）设秒后，面积为，用含x的代数式表示出和，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设秒后，，两点间距离是，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果． 【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，， 由可得， 解得，； 答：经过2秒或4秒后，面积为． （2）解：设秒后，，两点间距离是， 由勾股定理，得，即， 解得：（舍去）； 答：秒后，，两点间距离是 一、单选题 1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 2．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 故选B． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C．−3 D．−1 【答案】B 【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值． 【详解】解：根据题意得， 解得； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 5．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．0 C．2022 D．4044 【答案】B 【分析】根据题意有，即有，据此即可作答． 【详解】∵m为的根， ∴，且m≠0， ∴， 则有原式=， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键． 6．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 二、填空题 7．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 9．（2024·江苏连云港·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 三、解答题 10．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 11．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 12．（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）随着经济的发展和人们生活水平的提高，春节旅游逐渐成为了人们追求幸福的新方式，越来越多的人选择在春节期间出游，体验不一样的年味．据统计.2022年春节假期国内旅游出游人数约亿人次，2024年达到亿人次．设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为x，根据2022年春节假期国内旅游出游人数约亿人次，2024年达到亿人次列出方程即可． 【详解】解：设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为x， 根据题意，得． 故选：A． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）方程的二次项系数和常数项分别为（　　） A．，3 B．， C．1，3 D．1， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程的二次项系数和常数项分别为1，3， 故选C． 3．（21-22九年级上·宁夏银川·阶段练习）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 4．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破． 把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）九年级毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片．设晚会上有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握题目中的等量关系是解题的关键． 设晚会上有x人，那么每名同学要送出张，根据一共送出110张照片列出方程即可． 【详解】解：设晚会上有x人， ∴每名同学要送出张； ∵全班同学是互赠照片，一共送出110张照片， ∴． 故选：C． 6．（22-23九年级上·四川成都·期中）根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出的解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B 7．（23-24九年级上·四川达州·期末）若是方程的一个解，则m的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程的解求参数，把把代入即可得出m的值． 【详解】解：把代入，可得出， 解得：， 故选：A． 8．（23-24九年级上·广东佛山·期中）下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D、含未知数的项的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 【详解】解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 10．（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程． 【详解】解：把代入一元二次方程得： ， 解得，， ∵， ∴的值为， 故选：． 二、填空题 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为 ． 【答案】 一 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和它的标准形式，熟练一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义和标准形式进行填空即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程，它的一般形式是． 故答案为：一；． 12．（2024九年级上·江苏·专题练习）若关于x的方程（k为常数）有一个实数根为，则k的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元一次方程的求解，把代入已知方程，列出关于k的新方程，解新方程即可求得k的知． 【详解】解：关于x的方程（k为常数）有一个实数根为， ． 解得． 故答案为：7． 13．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程至少有一个整数根，则整数a的值为 ． 【答案】1或9 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先判断出，再解方程得到 ，根据 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．把它的两个根解出来，判断a的值即可． 【详解】解：当时，则，等式不成立； ∴， ∴方程是一元二次方程， ∴， ∵方程至少有一个整数根， ∴必须是整数， ∴必须是整数， ∴或， ∴或 故答案为：1或9． 14．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先把方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解方程和不等式得到m的值． 【详解】解：方程化为一般式为， 根据题意得且， 解得m， 即m的值为． 故答案为：． 15．（23-24九年级上·吉林白城·期末）关于x的一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，难度较低，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．将a、b、c的值代入根的判别式即可解答． 【详解】∵ ∴，， ∴． 故答案为：． 16．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）代数式的最值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用、偶次方的性质，先将原式配方得出，结合，即可得出答案，正确配方是解此题的关键． 【详解】解： ， ， 当时，有最大值，为， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·四川广安·期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，再将两边都加上一次项系数一半得平方，配成完全平方式，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·四川广安·期末）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法——直接开方法，利用直接开方法求解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化为左平方，右常数；（2）把系数化为1；（3）开平方取正负；（4）分开求得方程解． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，进而得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴，， ∴． 20．（23-24九年级上·四川南充·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）将方程进行整理，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． 21．（23-24九年级上·四川达州·期末）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴ ∴，； （2） ∴ ∴ ∴，； （3） ∴或 ∴，． 22．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 23．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知关于的一元次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)设的两个实数根为，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再由（1）中的取值范围即可确定的值． 【详解】（1）解：该方程有两个实数根， ， ， ； （2）解：，， ， ， 即， ， ，， ， ． 24．（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】(1) (2)这两个正整数分别是4和5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可； （2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3， ∴较大的数是4， ∴它们的平方之和为； （2）设较小的整数是，则较大的整数是， 由题可得：， 方程可化为：， 把方程左边因式分解，得：， 解得：，（舍去）， 答：这两个正整数分别是4和5． 25．（22-23九年级上·河南郑州·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答． 【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元． 26．（23-24九年级上·新疆喀什·阶段练习）如图，中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，同时从点出发以相同的速度向点运动，当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动，设运动时间为， (1)用含的代数式表示、的长，并直接写出的取值范围； (2)多长时间后的面积为？ 【答案】(1)；． (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式； （1）由的长度，结合点的出发点、运动方向及运动时间即可用含的代数式表示出的长，由点的出发点、运动方向及运动时间即可用含的代数式表示出的长，由，的长及点，的运动速度，即可找出的取值范围； （2）利用三角形的面积计算公式，结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：，点从点出发以每秒的速度向点运动， 当运动时间为时，； 点从点出发以每秒的速度向点运动， ． ，，点，的运动速度为每秒，且当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止运动， 的取值范围为． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：经过s或时，的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$