专题05 有理数的乘方及混合运算（10考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（华东师大版2024）

专题05 有理数的乘方及混合运算 目录 【典型例题】 1 【考点一 有理数幂的概念理解】 1 【考点二 有理数的乘方运算】 3 【考点三 乘方运算的符号规律】 5 【考点四 乘方的应用】 6 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 8 【考点六 有理数四则混合运算】 10 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 13 【考点八 有理数错题复原问题】 15 【考点九 新定义型有理数混合运算】 19 【考点十 程序流程图与有理数计算】 21 【过关检测】 23 【典型例题】 【考点一 有理数幂的概念理解】 例1．（2023·浙江·七年级假期作业）代数式可以表示为（    ） A． B． C． D．n2 【变式训练】 1.表示的意义是(    ) A．与相乘 B．与相加 C．个相乘 D．个相加 2.（2023秋·广东茂名·七年级统考期末）在中，底数是 ，指数是 ； 3.（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）字母表示一个有理数，下列关于的运算： ①    ②    ③    ④ 其中一定成立的有 （把你认为正确的序号都填上）． 【考点二 有理数的乘方运算】 例2.（2023·全国·九年级专题练习）计算： (1)； (2)； (3) 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 2.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【考点三 乘方运算的符号规律】 例3. （2023春·上海·六年级专题练习）任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 2.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3.下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点四 乘方的应用】 例4. （2023·全国·七年级假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？    【变式训练】 1.（2023·全国·七年级假期作业）如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）    A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 2.（2023·浙江·七年级假期作业）一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为 米． 3.（2023·全国·七年级假期作业）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？ 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 例5. （2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为牛．将用科学记数法表示应为 ． 【变式训练】 1.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次．其中，万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的约有人，将用科学记数法表示为 ． 3.第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于年4月日至日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据亿用科学记数法表示为 ． 【考点六 有理数四则混合运算】 例6．计算 (1)； (2) (3)； (4)； 【变式训练】 1.计算： (1) (2) 2.计算题 (1)． (2)． (3)． (4)． 3.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 例7. 计算： 【变式训练】 1.（2023春·吉林松原·七年级统考期末）计算： 2.（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：． 3.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【考点八 有理数错题复原问题】 例8. （2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？ 原题是：计算： 这是小刚的计算过程： 解：原式    第一步         第二步             第三步 ．            第四步 观察小刚的计算过程回答下列问题： (1)小刚在进行计算第一步时运用了______律； (2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？ (3)请你给出正确的解答过程． 【变式训练】 1.在计算时，小明的解法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________； (2)请在下面给出正确的解答过程． 2.阅读下列解题过程： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 解答问题： (1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______． (2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议． 3.（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题 (1)计算： (2)认真阅读材料，解决问题： 计算： 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 【考点九 新定义型有理数混合运算】 例9. 计算规定，试计算：的值． 【变式训练】 1.洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序 ． 2.（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：， (1)计算的值； (2)计算的值； (3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 3.若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如： ．依据以上内容，求下列式子的值． (1)； (2)． 【考点十 程序流程图与有理数计算】 例10.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ． 【变式训练】 1.（2023·江苏·七年级假期作业）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ． 2.（2023·全国·七年级假期作业）按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 3.根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为 . 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）计算下列各式，结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）年春节，嘉兴文旅市场大放异彩！据统计，我市假日期间共接待游客万人次，实现旅游收入亿元，较年分别增长和．则数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 二、填空题 6．（2024·重庆沙坪坝·一模）计算： ． 7．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 8．（2024七年级·全国·竞赛）规定：对任意有理数对，进行“”运算后得到一个有理数：，记作，例如．则 ． 9．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴上A，B两点表示的数分别为，5，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若，则点C表示的数是 ． 10．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是 ． 三、解答题 11．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 12．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 13．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 14．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 15．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）已知有理数： (1)请填空：底数是_________，指数是_________；底数是_________，指数是_________． (2)画出数轴，用数轴上的点表示上面各数，并用“”将它们连接起来． 16．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘方及混合运算 目录 【典型例题】 1 【考点一 有理数幂的概念理解】 1 【考点二 有理数的乘方运算】 3 【考点三 乘方运算的符号规律】 5 【考点四 乘方的应用】 6 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 8 【考点六 有理数四则混合运算】 10 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 13 【考点八 有理数错题复原问题】 15 【考点九 新定义型有理数混合运算】 19 【考点十 程序流程图与有理数计算】 21 【过关检测】 23 【典型例题】 【考点一 有理数幂的概念理解】 例1．（2023·浙江·七年级假期作业）代数式可以表示为（    ） A． B． C． D．n2 【答案】C 【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得. 【详解】解：代数式可以表示为； 故选：C. 【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键. 【变式训练】 1.表示的意义是(    ) A．与相乘 B．与相加 C．个相乘 D．个相加 【答案】C 【分析】根据幂的意义分析即可求解． 【详解】解：表示的意义是个相乘， 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的意义，掌握幂的意义是解题的关键． 2.（2023秋·广东茂名·七年级统考期末）在中，底数是 ，指数是 ； 【答案】 4 【分析】根据幂的相关概念解答即可． 【详解】解：在中，底数是，指数是4， 故答案为：，4． 【点睛】本题考查了幂的概念，,一般地中a叫做底数，n叫做指数，正确理解定义是解题的关键 3.（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）字母表示一个有理数，下列关于的运算： ①    ②    ③    ④ 其中一定成立的有 （把你认为正确的序号都填上）． 【答案】①②/②① 【分析】根据幂的意义，绝对值的意义分别判断即可． 【详解】解：①，故正确； ②，故正确； ③，故错误； ④当时，；当时，，故错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值，体现了分类讨论的思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键． 【考点二 有理数的乘方运算】 例2.（2023·全国·九年级专题练习）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据乘方计算法则计算即可； （2）根据乘方法则计算； （3）根据乘方法则计算． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【点睛】此题考查了有理数乘方计算法则：n个相同因数的乘法等于这个数的n次幂，同时可以逆用． 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)625 (2) (3)0.027 【分析】（1）表示4个相乘，即可得出答案； （2）先计算2的立方，即可得出答案； （3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键． 2.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． 3.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)2.25 (3) (4) (5)8 【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） （5）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 【考点三 乘方运算的符号规律】 例3. （2023春·上海·六年级专题练习）任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0， 故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握． 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 2.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据乘方的定义以及乘法法则解决此题． 【详解】解：A、因为，，所以和不相等，故A不符合题意； B、因为，，所以和相等，故B符合题意． C、因为，，所以和不相等，故C不符合题意． D、因为，，所以和不相等，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查乘方以及乘法，熟练掌握乘方的定义以及有理数的乘法法则是解决本题的关键． 3.下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题的关键在于掌握运算法则． 【考点四 乘方的应用】 例4. （2023·全国·七年级假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？    【答案】第次后可拉出根面条． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 答：这样捏合到第6次后可拉出根面条． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义． 【变式训练】 1.（2023·全国·七年级假期作业）如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）    A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 【答案】B 【分析】根据题意30分钟由一个分裂成2个，依次计算即可． 【详解】解：第一次：30分钟变成2个； 第二次：1小时变成个； 第三次：1.5小时变成个； 第四次：2小时变成个； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点． 2.（2023·浙江·七年级假期作业）一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为 米． 【答案】 【分析】根据题意可求出第一次截去全长的，剩下米，第二次截去余下的，剩下，从而即可得出第五次截去余下的，剩下米． 【详解】解：第一次截去全长的，剩下米， 第二次截去余下的，剩下米， … 第五次截去余下的，剩下米． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键． 3.（2023·全国·七年级假期作业）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？ 【答案】(1)16 (2)3 【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案； （2）根据题意，得到规律，设经过个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞， 经过2小时后，可分裂成16个细胞； （2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第个30分钟分裂为个细胞； ，解得， 经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞． 【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键． 【考点五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 例5. （2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为牛．将用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式训练】 1.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次．其中，万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：万． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 2.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的约有人，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3.第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于年4月日至日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 【考点六 有理数四则混合运算】 例6．计算 (1)； (2) (3)； (4)； 【答案】(1)1 (2)7 (3) (4) 【分析】（1）先化简符号，再算加减法； （2）利用乘法分配律展开计算； （3）先算乘法，再算加减法； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解运算性质，确定运算顺序是关键． 【变式训练】 1.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算绝对值，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可； （2）先计算乘方与乘法运算，再计算加减运算即可． 【详解】（1）解：  ； （2） 【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，熟记混合运算的运算顺序是解本题的关键． 2.计算题 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)14 (2)2 (3) (4)0 【分析】（1）按照有理数的加减混合运算法则运算即可． （2）按照乘法对加法的分配律计算即可． （3）按照绝对值与有理数乘除运算法则进行运算即可． （4）按照乘方、有理数混合混合运算的顺序进行运算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、乘方和绝对值的运算等知识点，解题的关键是熟练运用各种运算技巧． 3.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）先去括号，然后计算加减法即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可即可； （3）先算乘方，再算乘除法即可； （4）先算乘除法，再算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解∶ ． 【考点七 含乘方的有理数混合运算】 例7. 计算： 【答案】 【分析】按照先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法的运算顺序求解即可． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式训练】 1.（2023春·吉林松原·七年级统考期末）计算： 【答案】 【分析】根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 2.（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 3.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的乘法运算，加减法运算，乘法分配律即可求解； （2）根据含有乘方的有理数运算法则即可求解； （3）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解； （4）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则，有理数混合运算法则是解题的关键． 【考点八 有理数错题复原问题】 例8. （2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？ 原题是：计算： 这是小刚的计算过程： 解：原式    第一步         第二步             第三步 ．            第四步 观察小刚的计算过程回答下列问题： (1)小刚在进行计算第一步时运用了______律； (2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？ (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)乘法分配 (2)二 (3)见解析 【分析】（1）观察运算过程可知第一步运用了乘法分配律； （2）观察运算过程可知第二步运用了除法分配律，而除法没有分配律，由此即可得到答案； （3）根据有理数四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，小刚在进行计算第一步时运用了乘法分配律， 故答案为：乘法分配； （2）解：由题意得，在第二步的时候，运用了除法的分配律，而除法没有分配律，从而导致运算结果错误， 故答案为：二； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数四则混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键，注意除法没有分配律． 【变式训练】 1.在计算时，小明的解法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________； (2)请在下面给出正确的解答过程． 【答案】(1)一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算 (2)见解析 【分析】（1）观察小明的计算过程可以发现，第一步没有按照运算顺序计算，所以错误； （2）按照有理数混合运算顺序和法则计算即可． 【详解】（1）解：通过观察小明的计算过程发现，第一步在计算乘除的同级运算时，没有按照从左到右的顺序依次计算导致错误， 故答案为：一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，掌握有理数的混合运算顺序和法则是解题的关键．． 2.阅读下列解题过程： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 解答问题： (1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______． (2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议． 【答案】(1)二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正 (2)；建议：有括号先算括号内的（答案不唯一） 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可作答； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）根据有理数的混合运算法则可知： 解答过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是同级运算应按照从左到右顺序进行；第二处是第三步，错误的原因是同号相除结果应为正， 故答案为：二；同级运算应按照从左到右顺序进行；三；同号相除结果应为正； （2） ， 建议：有括号先算括号内的（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键． 3.（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题 (1)计算： (2)认真阅读材料，解决问题： 计算： 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算； 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）先计算乘方，去绝对值符号，再结合乘法分配律进行有理数的加减运算即可计算求值； （2）根据题目中所给方法，将除法转换成乘法再利用乘法分配律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式的倒数是： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘方运算，绝对值，乘法分配律，熟练掌握相关运算法则与运算律是解题关键． 【考点九 新定义型有理数混合运算】 例9. 计算规定，试计算：的值． 【答案】5 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练】 1.洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序 ． 【答案】8.5 【分析】根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：8.5． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 2.（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：， (1)计算的值； (2)计算的值； (3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】(1)8 (2)8 (3)不成立，见解析 【分析】（1）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可； （2）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可； （3）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算和，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得， ∴； （3）解：不成立，理由如下： ∵，， ∴，即定义的新运算“▲”对交换律不成立． 【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数四则混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则． 3.若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如： ．依据以上内容，求下列式子的值． (1)； (2)． 【答案】(1)38 (2) 【分析】（1）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得； （2）将、代入，根据有理数混合运算顺序和法则计算可得． 【详解】（1）解：； （2）． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． 【考点十 程序流程图与有理数计算】 例10.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ． 【答案】0 【分析】按照程序流程图，把代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1.（2023·江苏·七年级假期作业）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 ． 【答案】4 【分析】根据程序流程图的流程，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：输入的值为1时，由图可得：； 输入可得：； ∴输出的值应为4； 故答案为：4． 【点睛】本题考查程序流程图．按照流程图的流程准确的列出算式，是解题的关键． 2.（2023·全国·七年级假期作业）按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 【答案】5 【分析】把x=-1代入程序中计算，判断结果大于3，输出即可． 【详解】解：把代入得：， 由于第一次所得结果不满足大于3的要求，所以再将输入，得： ，满足大于3的要求； 则输出结果是5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了程序框图和有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题关键． 3.根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为 . 【答案】4 【分析】把代入程序中计算，判断结果是否大于0，即可确定出y的值． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴输出y的值为4． 故答案为：4 【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中给出的计算程序的含义． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）计算下列各式，结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正、负数的意义，有理数的乘方及负整数幂的运算，根据运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、，为正数，不符合题意； B、，为负数，符合题意； C、，为正数，不符合题意； D、，为正数，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）年春节，嘉兴文旅市场大放异彩！据统计，我市假日期间共接待游客万人次，实现旅游收入亿元，较年分别增长和．则数据“万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选A． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先计算各式，然后再进行比较即可解答． 【详解】A选项：，， ∴与不相等， 故A选项不符合题意； B选项：，， ∴与相等， 故B选项符合题意； C选项：∵， ∴与不相等， 故C选项不符合题意； D选项：∵，， ∴与不相等， 故D选项不符合题意． 故选：B 4．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 5．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使此次结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”后的结果是（   ） A．16 B．4 C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题考查有理数的新定义运算，程序流程图与有理数计算．根据新定义的运算法则，分别计算出当时，第一到九次运算的结果，发现循环规律即可解答，找到循环规律是解此题的关键． 【详解】解：当时，历次运算的结果是： ，，，，，，，，…… 运算结果为 从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， 第2024次“F运算”后的结果是4， 故选B． 二、填空题 6．（2024·重庆沙坪坝·一模）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方和去绝对值，然后计算加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 7．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【详解】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， 8．（2024七年级·全国·竞赛）规定：对任意有理数对，进行“”运算后得到一个有理数：，记作，例如．则 ． 【答案】76 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题中运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：76． 9．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴上A，B两点表示的数分别为，5，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若，则点C表示的数是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算； 根据先求出点表示的数，再根据数轴特点分情况求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，， ∴点表示的数为或， ∴点C表示的数为或， 故答案为：或0． 10．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了数字类型规律探索，依次将数列列出来，并找到规律是解题关键．求出数列的前个数，从而得出这个数列以，，依次循环，用除以，再根据余数可求的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， …… ∴每三个一次循环， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 12．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算减法即可； （2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解； （4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 13．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 14．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 【答案】(1)（1） (2)过程见解析 【分析】 本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键； （1）由乘方计算错误与除法计算错误可得答案； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号计算括号内的运算即可； 【详解】（1）解：第（1）步就出现错误； （2） ； 15．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）已知有理数： (1)请填空：底数是_________，指数是_________；底数是_________，指数是_________． (2)画出数轴，用数轴上的点表示上面各数，并用“”将它们连接起来． 【答案】(1)，，， (2)数轴见解析； 【分析】（1）根据有理数乘方的相关概念：求n个相同因数乘积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂：求相同因式积的运算,叫做乘方；乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂； （2）根据数轴的三要素画出数轴，将已知有理数表示在数轴上，根据数轴上右边的数总是大于左边的数进行解答即可． 【详解】（1）解：底数是，指数是； 底数是，指数是； 故答案为：，，，； （2），，，， 有理数在数轴上表示如下： ∴． 【点睛】本题考查了乘方的概念，在数轴上表示有理数以及根据数轴比较有理数的大小，能够正确将原数化简并表示在数轴上是解本题的关键． 16．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 【答案】(1)2；1； (2)负 (3)0或（n为自然数） 【分析】本题考查了倒数、绝对值及相反数的概念，解答本题的关键是弄懂图表中的程序的意义． （1）先判断出2、6、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律； （3）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0． 【详解】（1）解：根据题意得： 当小明输入2时，输出的结果是； 当小明输入6时，输出的结果是； 当小明输入时．输出的结果是； 故答案为：2；1；； （2）解：由图表知，不管输入正数、0或者负数，输出的结果都是非负数．所以输出的数应为非负数，不可能输出负数． 故答案为：负 （3）解：∵0的相反数及绝对值均为0，且， ∴输入0时，输出结果为0； ∵当输入的数大于4时要加上再重新输入，一直需要循环到小于4时， ∴只要输入的数是7的正整数倍数即可输出0， ∴应输入0或（n为自然数）． 故答案为：0或（n为自然数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$