专题04 有理数的乘法与除法（9考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（华东师大版2024）

专题04 有理数的乘法与除法 目录 【典型例题】 1 【考点一 两个有理数的乘法运算】 1 【考点二 多个有理数的乘法运算】 3 【考点三 有理数乘法运算律】 5 【考点四 有理数乘法的实际应用】 7 【考点五 倒数】 11 【考点六 有理数的除法运算】 12 【考点七 有理数的乘除混合运算】 13 【考点八 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 15 【考点九 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 18 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 两个有理数的乘法运算】 例1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1.（2024·天津红桥·二模）计算：的结果等于（    ） A． B．1 C． D．6 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【考点二 多个有理数的乘法运算】 例2.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1) (2) 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）下列各式中，计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·全国·七年级假期作业）计算：． 3.（2023·全国·九年级专题练习）计算： （1）； （2）． 【考点三 有理数乘法运算律】 例3.（2023·全国·七年级假期作业）用简便算法计算： 【变式训练】 1.（2023春·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中） 2.（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 3.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1) (2) (3) 【考点四 有理数乘法的实际应用】 例4.（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表 标准质量的差（单位：千克） 0 2 3 箱数 1 3 2 2 2 4 1 请解答下列问题： (1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重 千克． (2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？ 【变式训练】 1.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨) 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 表中星期五的进出数被墨水涂污了． (1)请你算出星期五的进出数； (2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？ 2.（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？ (2)离开下午出发点最远时是__________千米； (3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？ 3.（2023·浙江·七年级假期作业）出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米） (1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？ (2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示） (3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱） 【考点五 倒数】 例5. （2023·江苏镇江·统考二模）的倒数等于 ． 【变式训练】 1.（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）下列互为倒数是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2.（2023春·上海普陀·六年级统考期末）的倒数是 ． 3.（2023春·上海宝山·六年级校考期中）的倒数是 ． 【考点六 有理数的除法运算】 例6. （2023·浙江·七年级假期作业）计算： ． 【变式训练】 1.（2023·山西晋城·校联考模拟预测）计算的结果为(   ) A． B． C．1 D．6 2.（2023·全国·九年级专题练习）计算： ． 3.（2023春·上海·六年级专题练习）计算：＝ ． 【考点七 有理数的乘除混合运算】 例7. （2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练】 1.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． 2.（2023·全国·九年级专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 3.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【考点八 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例8.（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ． 【变式训练】 1.（22-23七年级上·福建漳州·期中）对于有理数，定义一种新运算“※”如下：，则2※ . 2.（23-24七年级上·贵州毕节·期中）对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值． 3.（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)． 【考点九 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例9. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ． 【变式训练】 1.（2023秋·七年级单元测试）如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）． A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4 2.（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题： (1)已知，是有理数， ①当，时，则________； ②当，时，则________； ③当，时，则_______； (2)已知，，是有理数，当时，求 3.（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·山东东营·模拟预测）的倒数是（　　） A． B．2024 C． D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）一个数与的乘积等于，这个数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（23-24六年级上·山东济南·阶段练习）的倒数是 ． 7．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）计算： ． 8．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）对于任意有理数，定义一种新运算“”，规则如下：．例如：．则当时， ． 9．（2024七年级·全国·竞赛）定义某种新运算，运算原理如图所示，则 ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，，且，则的值为 ． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数． (1)； (2)； (3)； (4)5 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（23-24七年级上·辽宁本溪·开学考试）神机妙算你最棒！ (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 16．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）有筐白菜，以每筐为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值单位： 筐数 (1)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？ 17．（23-24七年级上·福建泉州·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：． (1)求的值； (2)求和，并判定这种运算满足结合律吗？ 18．（22-23七年级上·山东青岛·期中）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的乘法与除法 目录 【典型例题】 1 【考点一 两个有理数的乘法运算】 1 【考点二 多个有理数的乘法运算】 3 【考点三 有理数乘法运算律】 5 【考点四 有理数乘法的实际应用】 7 【考点五 倒数】 11 【考点六 有理数的除法运算】 12 【考点七 有理数的乘除混合运算】 13 【考点八 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 15 【考点九 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 18 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 两个有理数的乘法运算】 例1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （3）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （4）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】 1.（2024·天津红桥·二模）计算：的结果等于（    ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】（1）； （2） ； （3）； （4） ． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)12 (3)0 (4) (5) 【分析】本题考查有理数的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用有理数的乘法法则计算各题即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【考点二 多个有理数的乘法运算】 例2.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)−200 【分析】（1）根据乘法交换律和结合律简便计算即可求解． （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【点睛】此题考查了有理数乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母，并化为最简分数，熟练掌握乘法计算法则是解题的关键． 【变式训练】 1.（2023·浙江·七年级假期作业）下列各式中，计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个以上有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数个数为偶数时，积为正，负因数个数为奇数时，积为负．任何数与0的积为0． 【详解】A选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意， B选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意， C选项：中负因数个数为3，积为负， 符合题意， D选项：，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法的符号规律，解决本题的关键是要熟练掌握有理数乘法法则． 2.（2023·全国·七年级假期作业）计算：． 【答案】 【分析】根据乘法交换律计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数的乘法运算．掌握有理数的乘法运算法则是解题关键． 3.（2023·全国·九年级专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）6 【分析】根据有理数乘法法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ． 【考点三 有理数乘法运算律】 例3.（2023·全国·七年级假期作业）用简便算法计算： 【答案】 【分析】将改写为，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查乘法分配律．熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 【变式训练】 1.（2023春·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中） 【答案】 【分析】逆用乘法分配律进行计算即可得到结果． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握和运用运算律是解题的关键． 2.（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 3.（2023·浙江·七年级假期作业）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解； （3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键． 【考点四 有理数乘法的实际应用】 例4.（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表 标准质量的差（单位：千克） 0 2 3 箱数 1 3 2 2 2 4 1 请解答下列问题： (1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重 千克． (2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？ 【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重5千克． (2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克． (3)这15箱苹果全部售出共可获利3068元． 【分析】（1）从表格中找出与标准质量差值中的最大与最小的数据，用最大数减去最小数，即可得到； （2）用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结果为正，则超过标准；若结果为负，则不足标准； （3）用单价乘以总质量，即可得到答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克． （2）解：（千克）， 答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克． （3）解：（千克）， （元）， 答：这15箱苹果全部售出共可获利3068元． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键． 【变式训练】 1.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨) 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 表中星期五的进出数被墨水涂污了． (1)请你算出星期五的进出数； (2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？ 【答案】(1)星期五的进出数为吨 (2)1160元 【分析】（1）用这周进出数之和减去除星期五的进出数，即可得； （2）先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得． 【详解】（1）解：周五的进出数为 (吨)， 答：星期五的进出数为吨． （2）解：这一周的装卸费为：(元)． 【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点． 2.（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？ (2)离开下午出发点最远时是__________千米； (3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边 (2)26 (3)元 【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边； （2）分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可； （3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和． 【详解】（1）解：小李离下午出车点的距离（千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边； （2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； 当行程为千米时离开下午出发点（千米）； ∵， ∴离开下午出发点最远时是26千米， 答：离开下午出发点最远时是26千米； （3）解：∵这天下午小李所走路程 （千米）， ∴这天下午共需付油钱（元）， 答：这天下午共需支付元油钱． 【点睛】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和． 3.（2023·浙江·七年级假期作业）出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米） (1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？ (2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示） (3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱） 【答案】(1)千米 (2)升 (3)元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得答案； （3）将每次收入相加可求解． 【详解】（1）解：（千米） 答：距离出车时地点为30千米． （2）解：（升） 答：小明共耗油升． （3）解：（元） 答：小王收入了元． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，理解题意，掌握有理数的加减混合运算的运算法则是解题关键． 【考点五 倒数】 例5. （2023·江苏镇江·统考二模）的倒数等于 ． 【答案】2023 【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案． 【详解】解：的倒数是2023． 故答案为：2023． 【点睛】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义． 【变式训练】 1.（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）下列互为倒数是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴和不互为倒数，不符合题意； B、，∴和互为倒数，符合题意； C、和，∴和不互为倒数，不符合题意； D、∵，∴和不互为倒数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键． 2.（2023春·上海普陀·六年级统考期末）的倒数是 ． 【答案】 【分析】根据倒数的定义可直接解答． 【详解】的倒数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了倒数的定义，即乘积为1的两个数互为倒数，准确掌握知识点是解题的关键． 3.（2023春·上海宝山·六年级校考期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】根据倒数的定义即可完成． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 【考点六 有理数的除法运算】 例6. （2023·浙江·七年级假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数的除法，求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则． 【变式训练】 1.（2023·山西晋城·校联考模拟预测）计算的结果为(   ) A． B． C．1 D．6 【答案】A 【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可求解． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知除法运算法则． 2.（2023·全国·九年级专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】原式利用除法法则变形，计算即可求出值． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 3.（2023春·上海·六年级专题练习）计算：＝ ． 【答案】 【分析】两个负数相除，结果为正，再利用除以一个数，等于乘这个数的倒数计算即可． 【详解】解：原式＝﹣3×（﹣）＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【考点七 有理数的乘除混合运算】 例7. （2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计算即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可； （3）先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键． 【变式训练】 1.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算． 2.（2023·全国·九年级专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3)2 (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算、有理数的乘法运算律、两个有理数的乘法运算．掌握各运算法则是解题关键． 3.（2023·全国·七年级假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 【考点八 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 例8.（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，代入新定义运算即可求解，理解新运算的定义是解题关键． 【详解】解：根据新定义，， ∴； ． 故答案为：； 【变式训练】 1.（22-23七年级上·福建漳州·期中）对于有理数，定义一种新运算“※”如下：，则2※ . 【答案】 【分析】根据，可以求得所求式子的值． 【详解】：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 2.（23-24七年级上·贵州毕节·期中）对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键；本题先计算括号内的，再进行下一步的计算，从而可得答案． 【详解】解： ． 3.（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义列式计算即可； （2）先根据新定义算括号内的，再算括号外的． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握有理数相关运算的法则． 【考点九 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 例9. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】由已知推出b、c都是负数，据此去绝对值符号，即可求解． 【详解】解：∵单项式a是一个正数，且， ∴b、c都是负数， ∴，，，， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，得到b、c都是负数是解答本题的关键. 【变式训练】 1.（2023秋·七年级单元测试）如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）． A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4 【答案】D 【分析】由题意分情况讨论：①a，b，c均是正数；②a，b，c均是负数；③a，b，c中有一个正数，两个负数；④a，b，c中有两个正数，一个负数；利用绝对值的性质，先化简绝对值，再求出结果． 【详解】解：①a，b，c均是正数，原式=； ②a，b，c均是负数，原式=； ③a，b，c中有两个负数，一个正数，原式=； ④a，b，c中有两个正数，一个负数，原式=． 所有可能的值为－4，0，4． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的计算等，注意多种情况讨论，不能丢解． 2.（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题： (1)已知，是有理数， ①当，时，则________； ②当，时，则________； ③当，时，则_______； (2)已知，，是有理数，当时，求 【答案】(1)①；②；③ (2)或 【分析】本题考查了有理数的除法， 绝对值的意义； （1）①根据由，时，则，代入即可求解； ②根据由，时，则，代入即可求解； ③根据由，时，则，代入即可求解； （2）当时，分两种情况讨论：①，，，②，，，进行求解即可． 【详解】（1）解：①由，时，则， ∴； 故答案为：． ②由，时，则， ∴； 故答案为：0． ③由，时，则， ∴； 故答案为：． （2）当时， 都小于，或中一个小于，另外两个都大于，分两种情况讨论： ①当，，时， ； ②当，，时， ； 综上所述：或． 3.（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)0； (2)1或； (3)或3． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时， ∴同号， 当，时， ， 当，时， ； （2）∵ ∴m，n，t全负或m，n，t两正一负 ①当m，n，t全负时， ②当m，n，t两正一负时 Ⅰ）当，，时， Ⅱ）当，，时， Ⅲ）当，，时， 综上所述，的值为1或； （3）∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴m，n，t两正一负 由（2）可知的值为或3． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·山东东营·模拟预测）的倒数是（　　） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键； 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】 解： 的倒数是， 故选：C． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）一个数与的乘积等于，这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 根据有理数的除法法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ； 故选：B． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A、∵，故选项A错误； B、∵，故选项B错误； C、∵，故选项C正确； D、∵，故选项D正确； 故选：C． 4．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，利用除法法则即可得到结果． 【详解】解： 故选：C． 5．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据题意，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由图可知：， ，①错误； ，④错误； ， ， ，③正确； ， ，②正确； 综上所述，正确的选项有②③，共两个， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24六年级上·山东济南·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和倒数等知识点，根据绝对值和倒数的性质求解即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵，的倒数为， ∴的倒数为， 故答案为： 7．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法，根据有理数的乘除法法则计算即可，熟练掌握其运算法则是本题的关键． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）对于任意有理数，定义一种新运算“”，规则如下：．例如：．则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的加法和乘法运算，理解新定义规则是解题的关键． 根据新定义列出算式即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时， ． 故答案为：． 9．（2024七年级·全国·竞赛）定义某种新运算，运算原理如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，程序框图的含义，按照新定义运算的含义先分别计算，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴； 故答案为： 10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，，且，则的值为 ． 【答案】35或/或35 【详解】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法．先根据绝对值确定a，b的值，再根据有理数的乘法，即可解答． 【解答】解：，， ，， ， ， ，或，， 或， 故答案为：35或． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数． (1)； (2)； (3)； (4)5 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义（乘积是1的两数互为倒数）是解答本题的关键． （1）由可得结论； （2）把化为，由可得结论； （3）把化为，由可得结论； （1）由可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴的倒数为：； （2）解：， ∵， ∴的倒数为：， 即的倒数为：； （3）解：， ∵ ∴的倒数是， 即的倒数是； （4）解：∵， ∴5的倒数是， 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可； （2）首先计算括号里面的除法，再计算括号外面的除法即可； （3）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据0除以任何一个不等于0的数，都得0可得答案； （2）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （3）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （4）先化成乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（23-24七年级上·辽宁本溪·开学考试）神机妙算你最棒！ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则，运算律是解题的关键． （1）先算乘除，再算加减，有括号的先算括号，把小数转化为分数进行计算，即可求解； （2）先算乘除，再算加减，有括号的先算括号，由此即可求解； （3）根据有理数的乘除混合运算即可求解； （4）先算括号，即通分，再算除法，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵ ， ∴原式． 16．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）有筐白菜，以每筐为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值单位： 筐数 (1)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)这30筐白菜总计超过6千克． (2)出售这30筐白菜可卖约元． 【分析】此题考查了正、负数的应用，以及有理数混合运算的应用． （1）分别用与标准质量的差值乘以筐数，然后求和即可； （2）根据总价=单价×数量即可． 【详解】（1）解： （千克）， ∴这30筐白菜总计超过6千克． （2）解：（元） 答：出售这30筐白菜可卖约元． 17．（23-24七年级上·福建泉州·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：． (1)求的值； (2)求和，并判定这种运算满足结合律吗？ 【答案】(1)11； (2)，，不满足结合律． 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的四则混合运算，理解新定义运算的运算法则是解本题的关键； （1）根据新定义运算法则把列式为，再计算即可； （2）根据新定义的运算法则分别计算与，再根据结果作判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵11=， ， ∵， ， ∵， 这种运算不满足结合律． 18．（22-23七年级上·山东青岛·期中）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)315；29 (2)本周实际销售总量达到了计划量 (3)该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． 【详解】（1）解：本周前三天销售儿童滑板车：（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： （辆）； 故答案为：315；29． （2）解：， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划量． （3）解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$