1.6有理数的乘方（4知识点+5题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

1.6 有理数的乘方 课程标准 学习目标 ①理解乘方的意义； ②会运用乘方的意义准确进行有理数乘方运算，掌握有理数的乘方及简单的混合运算(以3步以内为主)； ③能运用有理数的乘方运算解决简单问题。 ①了解乘方的概念，掌握有理数乘方法则并能应用其法则正确进行有理数的乘方运算； ②在实际情境中体会有理数乘方运算的意义，并利用有理数的乘方解决实际问题； ③熟练进行有理数的加、减、乘、除混合运算，并解决简单问题。 知识点01 乘方的概念 ·一般地，n个相同的因数a相乘，记作，即这种求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂 ·在乘方运算中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数． 既表示n个a相乘，又表示n个a相乘的结果．因此可读作a的n次方，或a的n次幂 【即学即练1】的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【即学即练2】的次幂是 ，是 的平方数． 【即学即练3】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 知识点02 有理数的乘方运算法则 ·乘方运算的法则： 非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是： 正数的任何次乘方都取正号；负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号。 【即学即练4】计算： ； ； ． 【即学即练5】计算： ． 【即学即练6】（2024·江苏南京·一模）计算的结果是 ． 知识点03 有理数的混合运算 ·有理数混合运算的运算顺序： 先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算 【即学即练7】计算： (1) (2) (3) (4) 知识点04 科学计数法 · 科学计数法表示绝对值较大的数：一般地，一个绝对值大于10的数都可记成的形式，其中1≤a<10，n等于原数的整数位数减1. 【即学即练8】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）中国第三艘航母“福建舰”满载排水量约达80000吨，则80000用科学记数法表示为 ． 【即学即练9】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）根据合肥公安数据统计，截止2023年7月底，合肥实有人口万人，其中户籍人口万人，流动人口万人．其中万用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【即学即练10】（23-24七年级上·安徽六安·期末）近十年我国不断加快推进科技自立自强，全社会研发经费支出达亿元，研发人员总量居世界首位．亿，将“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． ·辨别的底数a： 例：的底数为-1，的底数是1，的底数为-1． ·偶次方幂的非负性：2n表示偶数，2n+1表示奇数 （1）对于任意的a，； （2） 案例1. ， ． 案例2. ①：因为，所以±9；②x为有理数，若，则±1． 【题型一：科学计算器的使用】 例1．下面科学计算器的按键顺序： 对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 变式1. （2024·山东淄博·一模）用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如下，则计算结果为 ． 【技巧方法与总结】根据计算器的按键顺序和按键功能代数求得结果。 【题型二：平方的非负性与绝对值的非负性】 例2．如果，则的值是（ ） A．-2015 B．2015 C．-1 D．1 变式2-1.若|﹣2＋1|＋4（3﹣）2＝0，则＝ ；＝ ． 变式2-2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上，，三点对应的有理数分别为，，．其中点在点左侧，，两点间的距离为4，且，，满足，则 （1）的值为 ； （2）数轴上任意一点，点对应的数为，若存在使的值最小，则的值为 ． 【技巧方法与总结】应用绝对值、平方的非负性进行解题：若两个非负数的和为0，则令每一个非负数的式子为0. 【题型三：程序流程图&“24点”与有理数的混合运算】 例3.有一个数值转换器，原理如图，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，……．请你探索第2023次输出的结果是 ．    变式3.（23-24七年级上·安徽合肥·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图．若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．    【技巧方法与总结】程序流程图——数值机问题：根据题意，可以写出前几个输出结果，找到输出结果的变化特点，从而求得所需的第n次输出的结果。 例4．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花、方块8、红桃，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 变式4.小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式． 【技巧方法与总结】注意数字符号：选用运算符号解决问题． 利用数字24特点，对24的因数进行讨论：24=2×12=3×8=4×6，先确定“×”运算，再根据剩下的数，确定其它运算符号。 【题型四：应用有理数的加减运算解实际问题】 例5．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大． (1)求第二个正方体纸盒的棱长； (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？ 例6．（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 例7. （23-24七年级上·广东梅州·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过（为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 变式7.有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为毫米．请在下面括号内填上适当的数： (1)对折2次后，厚度为 毫米；对折3次后，厚度为 毫米； (2)对折20次后，厚度为多少毫米？大约有多少层楼高？（友情提示：，，．设每层楼高度为3米） 【方法技巧与总结】细胞分裂和折纸问题主要考查了的应用，第一次分裂（折纸）后得到个，第二次分裂（折纸）后得到个……第n次分裂（折纸）后得到个。 【题型五：定义新运算】 例8．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（为正数） (3)若，分别计算；． 变式8-1．（23-24七年级上·四川成都·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 变式8-2．对于任意一个自然数，如果的各个数位上的数字之和是一个整数的平方，那么称为“方数”，例如，自然数32587各位数字之和是，所以32587就是一个“方数”；对于任意一个自然数，如果是一个整数的立方，那么称为“立方数”，例如，，所以8是一个立方数． (1)判断9999是不是方数？729是不是立方数？ (2)若自然数既是“方数”又是“立方数”，则称为完美数，请求出小于1000的自然数中的所有完美数． 【方法技巧与总结】新定义的运算及规律探究：根据已知等式正确归纳出运算法则，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算。 例9.（23-24七年级上·山东潍坊·期中）十进制是用～这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一，例：二进制数转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．    (1)根据以上信息，将二进制数“”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．根据图，计算采集到的野果数量． 一、选择题 1．（    ） A． B．6 C． D．8 2．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）平方等于121的数是（    ） A． B．11 C．±12 D．12 3．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： （    ） A．10 B．0 C．-10 D．1 4．已知与互为相反数，那么（    ） A．3 B．-3 C．-9 D．9 5．（23-24七年级下·广西贵港·期中）计算：（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 6.已知实数，满足，则代数式的值为（    ） A．-1 B．1 C．2012 D．-2008 7．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）在2023中国财富峰会发布的《中国县域高质量发展报告2023》中，肥东县入围2023县域高质量发展百强县排名第64位．据最新数据统计，2023年一季度肥东县地区生产总值约亿元，亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）用计算器，按下列按键顺序输入，则它表达的算式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）计算： ． 10．计算： ， ， ． 11．比较大小： （填“”、“”或“”）． 12．已知，则 ，若， ． 13．当整数为 时，；若是正整数，则 ． 14．计算： ， ． 15.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第七次后可拉出 根面条． 16．（22-23七年级上·安徽阜阳·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，则第2020次输出的结果是 ． 三、解答题 17．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 18.计算： （1） （2） （3） （4） （5） 19．计算： （1） （2） （3） （4） （5） 20．求下图的表面积和体积．    21．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 1．如图，A、B、C、D四张卡片分别代表一种运算．    例如，5经过顺序的运算，可列式为：．请你解决下列问题： (1)请你计算：； (2)列式计算：经过顺序的运算结果； (3)若数x，经过顺序的运算，结果是20，则求初始数字x是几？ 2.小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片(如图)，小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题： 3 0 (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小？如何抽取？最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子．（一种即可） 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.6 有理数的乘方 课程标准 学习目标 ①理解乘方的意义； ②会运用乘方的意义准确进行有理数乘方运算，掌握有理数的乘方及简单的混合运算(以3步以内为主)； ③能运用有理数的乘方运算解决简单问题。 ①了解乘方的概念，掌握有理数乘方法则并能应用其法则正确进行有理数的乘方运算； ②在实际情境中体会有理数乘方运算的意义，并利用有理数的乘方解决实际问题； ③熟练进行有理数的加、减、乘、除混合运算，并解决简单问题。 知识点01 乘方的概念 ·一般地，n个相同的因数a相乘，记作，即这种求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂 ·在乘方运算中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数． 既表示n个a相乘，又表示n个a相乘的结果．因此可读作a的n次方，或a的n次幂 【即学即练1】的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【答案】D 【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 【即学即练2】的次幂是 ，是 的平方数． 【答案】 16 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，乘方运算的逆运算，根据运算法则可得答案． 【详解】解：， 是的平方数， 故答案为：， 【即学即练3】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5；(2)，底数为，指数为6 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 知识点02 有理数的乘方运算法则 ·乘方运算的法则： 非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是： 正数的任何次乘方都取正号；负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号。 【即学即练4】计算： ； ； ． 【答案】 / 【详解】解：； ； ； 故答案为：；；． 【即学即练5】计算： ． 【答案】27 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先算乘方再算乘法，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：27 【即学即练6】（2024·江苏南京·一模）计算的结果是 ． 【答案】 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 知识点03 有理数的混合运算 ·有理数混合运算的运算顺序： 先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算 【即学即练7】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)9； (3)；(4) （1）解： ． （2）原式 ． （3）解： ； （4）解： ． 知识点04 科学计数法 · 科学计数法表示绝对值较大的数：一般地，一个绝对值大于10的数都可记成的形式，其中1≤a<10，n等于原数的整数位数减1. 【即学即练8】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）中国第三艘航母“福建舰”满载排水量约达80000吨，则80000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：80000用科学记数法表示为． 故答案为：． 【即学即练9】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）根据合肥公安数据统计，截止2023年7月底，合肥实有人口万人，其中户籍人口万人，流动人口万人．其中万用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选：B． 【即学即练10】（23-24七年级上·安徽六安·期末）近十年我国不断加快推进科技自立自强，全社会研发经费支出达亿元，研发人员总量居世界首位．亿，将“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将“”用科学记数法表示为． 故选：A． ·辨别的底数a： 例：的底数为-1，的底数是1，的底数为-1． ·偶次方幂的非负性：2n表示偶数，2n+1表示奇数 （1）对于任意的a，； （2） 案例1. ， ． 案例2. ①：因为，所以±9；②x为有理数，若，则±1． 【题型一：科学计算器的使用】 例1．下面科学计算器的按键顺序： 对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：表示，表示， 故对应的计算任务是， 故选：． 变式1. （2024·山东淄博·一模）用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如下，则计算结果为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：． 【技巧方法与总结】根据计算器的按键顺序和按键功能代数求得结果。 【题型二：平方的非负性与绝对值的非负性】 例2．如果，则的值是（ ） A．-2015 B．2015 C．-1 D．1 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故答案选C. 变式2-1.若|﹣2＋1|＋4（3﹣）2＝0，则＝ ；＝ ． 【答案】3；2 【详解】解：∵|﹣2+1|+4（3﹣）2＝0， ∴﹣2+1＝0，3﹣＝0， 解得：＝3，＝2． 故答案为：3，2 变式2-2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上，，三点对应的有理数分别为，，．其中点在点左侧，，两点间的距离为4，且，，满足，则 （1）的值为 ； （2）数轴上任意一点，点对应的数为，若存在使的值最小，则的值为 ． 【答案】2024；2 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点在点左侧，，两点间的距离为4， ∴，， ∵表示与，2和2024三个数的距离之和， ∴当取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 【技巧方法与总结】应用绝对值、平方的非负性进行解题：若两个非负数的和为0，则令每一个非负数的式子为0. 【题型三：程序流程图&“24点”与有理数的混合运算】 例3.有一个数值转换器，原理如图，若开始输入的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，……．请你探索第2023次输出的结果是 ．    【答案】1 【详解】解：第一次输出：， 第二次输出：， 第三次输出：， 第四次输出：， 第五次输出：， 第六次输出：， …… 从第二次开始，每3次为一循环，按照4，2，1的顺序进行循环， ∵， ∴第2023次输出的结果是第674组的第3个数， ∴第2023次输出的结果是1， 故答案为：1． 变式3.（23-24七年级上·安徽合肥·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图．若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．    【答案】8 【详解】解：第一次：， 第二次：， 故答案为：8． 【技巧方法与总结】程序流程图——数值机问题：根据题意，可以写出前几个输出结果，找到输出结果的变化特点，从而求得所需的第n次输出的结果。 例4．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花、方块8、红桃，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【详解】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 变式4.小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式． 【答案】， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故答案为，． 【技巧方法与总结】注意数字符号：选用运算符号解决问题． 利用数字24特点，对24的因数进行讨论：24=2×12=3×8=4×6，先确定“×”运算，再根据剩下的数，确定其它运算符号。 【题型四：应用有理数的加减运算解实际问题】 例5．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大． (1)求第二个正方体纸盒的棱长； (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？ 【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为 (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多 【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：， 第二个正方体纸盒的体积为：， ∵， ∴第二个正方体纸盒的棱长为； （2）解：， 答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多． 例6．（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了，有理数的乘法运算，科学记数法，正确理解题意是解题的关键．根据题意列式，利用有理数的乘法运算及科学记数法，即得答案． 【详解】解：(元)， 所以该企业一年的国债利息收益为元． 故答案为：． 例7. （23-24七年级上·广东梅州·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过（为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用； （1）根据题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个． （2）根据题意，5次分裂成个； （3）根据规律可得次后分裂为个 【详解】（1）解：依题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个； 故答案为：． （2）解：依题意，5次分裂成个； 故答案为：． （3）解：根据规律可得次后分裂为个 故答案为：． 变式7.有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为毫米．请在下面括号内填上适当的数： (1)对折2次后，厚度为 毫米；对折3次后，厚度为 毫米； (2)对折20次后，厚度为多少毫米？大约有多少层楼高？（友情提示：，，．设每层楼高度为3米） 【答案】(1)4，8；(2)毫米，35层 【详解】（1）解：对折2次后，厚度为毫米； 对折3次后，厚度为毫米； （2）解：对折20次后，厚度为：毫米， 104857.6毫米米， ． 答：厚度为104857.6毫米，大约有35层楼高． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记有理数的乘方的概念是解题的关键，计算时要注意单位换算． 【方法技巧与总结】细胞分裂和折纸问题主要考查了的应用，第一次分裂（折纸）后得到个，第二次分裂（折纸）后得到个……第n次分裂（折纸）后得到个。 【题型五：定义新运算】 例8．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（为正数） (3)若，分别计算；． 【答案】(1)1，；(2)3；(3)0.6020，0.699． （1），，则有；，，则有； （2）根据，进行求解即可； （3）由题意得：，． 【详解】（1）由题意得：， ， ； 由题意得：， ， ； 故答案为：1，； （2）∵，， ∴ 故答案为3； （3）， ， ． 变式8-1．（23-24七年级上·四川成都·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)正，负，平方相加；平方 (3)存在，当，时，；当，时， 【详解】（1）解：由题意得 ① ； ② ； （2）解：由题意得 归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的平方． 故答案：正，负，平方相加；平方． （3）解：存在，理由如下 ， 或； ， ， 是整数， ①当，时， 此时，，符合题意； ； ②当，时， ， 此时，，不符合题意； ③当，时， ， 此时，，符合题意； ； ④当，时， ， 此时，，不符合题意； 综上所述：当，时，；当，时，． 变式8-2．对于任意一个自然数，如果的各个数位上的数字之和是一个整数的平方，那么称为“方数”，例如，自然数32587各位数字之和是，所以32587就是一个“方数”；对于任意一个自然数，如果是一个整数的立方，那么称为“立方数”，例如，，所以8是一个立方数． (1)判断9999是不是方数？729是不是立方数？ (2)若自然数既是“方数”又是“立方数”，则称为完美数，请求出小于1000的自然数中的所有完美数． 【答案】(1)9999是方数，729是立方数 (2)0，1，27，216 【分析】（1）根据“方数”的定义，求出9999各位数字之和进行判断即可；判断729是9的立方即可求解； （2）根据“完美数”的概念，先找到所有“立方数”，再从中找到所有的“方数”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴9999是方数； ∵， ∴729是立方数． （2）解：小于1000的自然数中的立方数有：0，1，8，27，64，125，216，343，512，729 其中又是方数的有：0，1，27，216， ∴小于1000的所有完美数有：0，1，27，216． 【方法技巧与总结】新定义的运算及规律探究：根据已知等式正确归纳出运算法则，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算。 例9.（23-24七年级上·山东潍坊·期中）十进制是用～这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一，例：二进制数转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．    (1)根据以上信息，将二进制数“”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．根据图，计算采集到的野果数量． 【答案】(1) (2)采集到的野果数量为个 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用； （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满六进一，类似于六进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 【详解】（1）解： 101110转化为十进制数是： ， 故答案为：； （2）由于满六进一，类似于六进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 一、选择题 1．（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【详解】解：， 故选C． 2．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）平方等于121的数是（    ） A． B．11 C．±12 D．12 【答案】 【分析】根据有理数的乘方进行求解即可． 【详解】解：， 故平方等于121的数是； 故答案为：A． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟记常见数字的平方是解题的关键． 3．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： （    ） A．10 B．0 C．-10 D．1 【答案】0 【详解】解：原式 ， 故答案为：B． 4．已知与互为相反数，那么（    ） A．3 B．-3 C．-9 D．9 【答案】9 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 则， 故答案为：D． 5．（23-24七年级下·广西贵港·期中）计算：（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 【答案】1 【详解】解：． 故答案为：A． 6.已知实数，满足，则代数式的值为（    ） A．-1 B．1 C．2012 D．-2008 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴. 故选A. 【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键. 7．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）在2023中国财富峰会发布的《中国县域高质量发展报告2023》中，肥东县入围2023县域高质量发展百强县排名第64位．据最新数据统计，2023年一季度肥东县地区生产总值约亿元，亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 【详解】解：亿． 故选：C 8．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）用计算器，按下列按键顺序输入，则它表达的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用计算器进行有理数运算，根据按键顺序，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：它表达的算式为， 故选：C． 二、填空题 9．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方和乘法，根据有理数的乘方和乘法运算法则进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可，熟记相关法则，正确计算出结果是解题的关键． 【详解】解：；；； 故答案为：，4，． 11．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、乘方运算、有理数的大小比较，先计算，再比较大小即可，正确计算、比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， 故答案为：． 12．已知，则 ，若， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． 13．当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【答案】 奇数 0 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 14．计算： ， ． 【答案】 1 【分析】根据乘方法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：1，． 15.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第七次后可拉出 根面条． 【答案】 【分析】第一次捏合后可拉出2根面条，第二次捏合后可拉出22根面条，第三次捏合后可拉出23根面条，依此类推． 【详解】解：第一次捏合后有根面条，第二次捏合后有根面条，第三次捏合后有根面条，…，第7次捏合后有根面条， 故答案为：． 16．（22-23七年级上·安徽阜阳·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，则第2020次输出的结果是 ． 【答案】 【分析】把代入程序中计算 ，以此类推得到一般性的规律，即可确定出第2020次输出的结果． 【详解】解：把代入得， 把代入得， 把代入得， 把代入得， 把代入得， 把代入得， 把代入得， 把代入得， 以此类推， ， 第2020次输出的结果是， 故答案为：． 三、解答题 17．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 18.计算： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)3；(5) 【详解】（1）解： （2） （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解： 19．计算： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】 (1)；(2)；(3)-19；(4)0；(5)0 【详解】 （1）解： ． （2） ； （3） ． （4）解： ． （5） ． 20．求下图的表面积和体积．    【答案】表面积为平方分米，体积为立方分米． 【详解】解：由题意得，（平方分米）， （立方分米）， 答：表面积为平方分米，体积为立方分米． 21．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 1．如图，A、B、C、D四张卡片分别代表一种运算．    例如，5经过顺序的运算，可列式为：．请你解决下列问题： (1)请你计算：； (2)列式计算：经过顺序的运算结果； (3)若数x，经过顺序的运算，结果是20，则求初始数字x是几？ 【答案】(1)；(2)；(3)或 【详解】（1）解： ； （2）由题意可得， ； （3）由题意可得， ， 解得， 即初始数字是或． 2.小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片(如图)，小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题： 3 0 (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小？如何抽取？最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子．（一种即可） 【答案】(1)抽取和，最大值是 (2)抽取3和，最小值是 (3)（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题； （2）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题； （3）根据题意可以写出相应的算式，本题答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可得， 从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，抽取和， 最大值是； （2）解：由题意可得， 从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，抽取3和， 最小值是； （3）解：由题意可得， （答案不唯一）． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) (3)42天 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）将八进制数“4372”转化为十进制数； （3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$