第二章 常用逻辑用语 压轴题专练（单元复习 7类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第二章 常用逻辑用语 压轴题专练（题型清单） 题型一　充分条件与必要条件的探求 例题：已知关于x的一元二次方程x2-2x＋m2＝0. (1)求出该方程有实数根的充要条件; (2)写出该方程有实数根的一个充分不必要条件; (3)写出该方程有实数根的一个必要不充分条件. 解　(1)方程有实数根的充要条件是Δ≥0,即4-4m2≥0,解得-1≤m≤1. (2)有实数根的一个充分不必要条件是m＝0. (3)有实数根的一个必要不充分条件是-2＜m≤2. 【点睛】条件的充要关系的常用判断方法 1定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假. 2等价法：利用A⇒B与B⇒A，B⇒A与A⇒B，A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. 3利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件. 巩固训练 1.设p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当1＜x＜2时，0＜x－1＜1，所以|x－1|＜1，即p⇒q；但由|x－1|＜1，得0＜x＜2，所以qp．故选A． 2.“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的 (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件． 解析　当a＝0时，二次函数y＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，关于y 轴对称； 若二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象对称轴为x＝－，其关于y 轴对称，则－＝0，解得a＝0． 综上可知，“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的充要条件． 答案　充要 题型二　根据命题的真假求参数 例题：已知命题p:∃x＞0,x＋a-1＝0.若p为假命题,则a的取值范围是　　　　.  解析　∵p为假命题,∴􀱑p为真命题,即∀x＞0,x＋a-1≠0,所以x≠1-a,∴1-a≤0,则a≥1.故a的取值范围是[1,＋∞). 答案　[1,＋∞) 【点睛】含量词的命题中求参数范围的讨论步骤 1先根据条件推出每一个命题的真假． 2求出每个命题为真命题时参数的取值范围． 3最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． 巩固训练 1.已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,3) C．(－3，＋∞) D．(－3,1) 解析 原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，命题的否定为真命题， 则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0， 则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，故选B． 2.已知p：∃x0∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q都是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2 解析 依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2． 因此，由p，q均为假命题得 即m≥2，故选A． 题型三　充分、必要、充要条件的应用 例题：已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}． (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解　(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 所以A⊆B，又A≠∅， 则 解得－1≤a≤1，所以a∈[－1,1]． (2)若存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件，即A＝B，则必有 即 则方程组无解． 故不存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件． 【点睛】利用条件的充要性求参数范围的两个策略 (1)转化为集合关系解决此类问题，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)利用命题的等价性转化解决，利用转化的方法理解充分必要条件：若p是q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件． (3)充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性． 巩固训练 1.已知p：－1≤x≤4，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，且p是q的充分条件但不是必要条件，则实数m的取值范围为________. 答案　[3，＋∞) 解析　因为p是q的充分条件但不是必要条件，所以p⇒q且q⇒p， 即{x|－1≤x≤4}{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}， 所以或 解得m≥3.∴m的取值范围为[3，＋∞). 2.求证：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|． 证明　充分性：因为a>|b|，所以a>0， 即|a|>|b|≥0，所以a2>b2， 所以a>|b|是a2>b2的充分条件， 因为a＝－2，b＝1时a2>b2，但a<|b|， 所以a>|b|不是a2>b2的必要条件． 综上：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|． 题型四　充要条件的应用 例题：设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　结合Venn图可知，A∩B＝A⇒A⊆B；反之A⊆B⇒A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件.故选C. 题型五　应用充分、必要、充要条件确定参数的值(取值范围) 例题：(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：ax＋1＝0(a≠0).若p是q的必要条件但p不是q的充分条件，则实数a的值为________. 答案　－或 解析　令A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A＝{－3，2}，B＝. 由题意p⇒q，q⇒p， ∴BA，∴－＝2或－＝－3， ∴a＝－或a＝. 综上：a＝－或a＝. (2)已知p：实数x满足4a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足－1≤x≤4.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 解　设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则A＝{x|4a＜x＜a}，B＝{x|－1≤x≤4}. 由题意p⇒q，∴A⊆B， ∴∴－≤a＜0. ∴实数a的取值范围为. 巩固训练 1.设x∈R，则“2－x≥0”是“0≤x≤2”的________条件. 答案　必要条件但不是充分 解析　设A＝{x|2－x≥0}＝{x|x≤2}，B＝{x|0≤x≤2}，显然B是A的必要不充分条件，故填必要条件但不是充分. 2.－2＜x＜2的一个必要条件但不是充分条件的是(　　) A.－2≤x≤2 B.－2＜x＜0 C.0＜x≤2 D.1＜x＜3 答案　A 解析　由集合关系可知选A. 3.不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求实数a的值. 解　3x＋a≥0化为x≥－. 由题意＝{x|x≥2}， 所以－＝2，a＝－6. 题型六　利用全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 例题：若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 答案　B 解析　命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)，∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，∴m>1. ∴实数m的取值范围是(1，＋∞).故选B. 巩固训练 1.已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞) D.(0，4) 答案　D 解析　∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题， ∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题， 即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0， 即(a－2)2<4，则－2<a－2<2， 即0<a<4，故选D. 题型七　转化与化归思想的应用 例题：设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}，且q是p的充分条件但不是必要条件，求实数a的取值范围. 解　∵q是p的充分条件但不是必要条件， ∴BA， ∴或 解得－≤a<0或a≤－4. ∴a的取值范围为. 巩固训练 1.若“∀x∈[－5，3]，x2－2m＋3>0”为真，求实数m的取值范围； 解析　∀x∈[－5，3]，x2－2m＋3>0可转化为x2>2m－3，令y＝x2，x∈[－5，3]，∴ymin＝0，∴0>2m－3， ∴m<，即实数m的取值范围为. 2.若“∃x∈[2，4]，＋2>m－1”为真，求实数m的取值范围. 解析　∃x∈[2，4]，＋2>m－1可转化为>m－3，令y＝，x∈[2，4]， 由反比例函数图象易知ymax＝， ∴>m－3，∴m<， 即m的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 常用逻辑用语 压轴题专练（题型清单） 题型一　充分条件与必要条件的探求 例题：已知关于x的一元二次方程x2-2x＋m2＝0. (1)求出该方程有实数根的充要条件; (2)写出该方程有实数根的一个充分不必要条件; (3)写出该方程有实数根的一个必要不充分条件. 巩固训练 1.设p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的 (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件． 题型二　根据命题的真假求参数 例题：已知命题p:∃x＞0,x＋a-1＝0.若p为假命题,则a的取值范围是　　　　.  巩固训练 1.已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,3) C．(－3，＋∞) D．(－3,1) 2.已知p：∃x0∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q都是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2 题型三　充分、必要、充要条件的应用 例题：已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}． (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 巩固训练 1.已知p：－1≤x≤4，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，且p是q的充分条件但不是必要条件，则实数m的取值范围为________. 2.求证：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|． 题型四　充要条件的应用 例题：设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型五　应用充分、必要、充要条件确定参数的值(取值范围) 例题：(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：ax＋1＝0(a≠0).若p是q的必要条件但p不是q的充分条件，则实数a的值为________. (2)已知p：实数x满足4a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足－1≤x≤4.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 巩固训练 1.设x∈R，则“2－x≥0”是“0≤x≤2”的________条件. 2.－2＜x＜2的一个必要条件但不是充分条件的是(　　) A.－2≤x≤2 B.－2＜x＜0 C.0＜x≤2 D.1＜x＜3 3.不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求实数a的值. 题型六　利用全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 例题：若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1] 巩固训练 1.已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞) D.(0，4) 题型七　转化与化归思想的应用 例题：设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}，且q是p的充分条件但不是必要条件，求实数a的取值范围. 巩固训练 1.若“∀x∈[－5，3]，x2－2m＋3>0”为真，求实数m的取值范围； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$