精品解析：福建省莆田市荔城区中山中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试题

2022−2023学年中山九年级上第三次月考试卷 一．选择题 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 平面直角坐标系内，与点关于原点对称的点的坐标是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】与点P（−3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，−2）， 故选：A． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故选C． 4. 如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是理清角之间的关系．由，得由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，利用直角三角形的性质即可得解。 【详解】解：∵， ∴ ∵为直径， ∴， ∴， 故选：． 5. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A. x（x - 12）= 864 B. x（x + 12）= 864 C. x（12 - x）= 864 D. 2（2x - 12）= 864 【答案】A 【解析】 【分析】由宽比长少12步可得宽为（x-12）步，再由面积列方程即可； 【详解】解：由题意得：x（x-12）=864， 故选： A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积计算；读懂题意弄清数量关系是解题关键． 6. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 7. 如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用切线的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，结合圆周角定理得出答案． 【详解】解：PA切⊙O于点A， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查切线的性质以及圆周角定理，正确得出的度数是解题关键． 8. 如图，已知抛物线与直线交于，则关于的不等式的解集是( ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，关键是利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题．根据图象求出抛物线在直线上方的部分对应的x的范围即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线在直线的上方部分对应的x的范围即是不等式的解集， 由图象可知，当时，抛物线在直线的上方， ∴不等式的解集是， 故选：C． 9. 已知的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程有实根，则点P（　　） A. 在的内部 B. 在的外部 C. 在上 D. 在上或的内部 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，，解得，，即，然后判断点与圆的位置关系即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， ∴点P在上或的内部， 故选：D． 10. 一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕直角顶点按每秒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为（ ） A. 5秒或7秒 B. 5秒或19秒 C. 5秒或17秒 D. 7秒或19秒 【答案】D 【解析】 【分析】依据两块三角板的斜边平行，即可得到旋转角的度数，再依据旋转的速度，即可得到三角板旋转运动的时间． 【详解】解：如图， 当斜边ABDC时，∠CFE=∠B=60°， ∴∠BED=60°-45°=15°， ∴旋转角为90°+15°=105°， 105°÷15°=7； 如图，将△ABE继续逆时针旋转180°，可得斜边A'B'DC， 此时，旋转角为105°+180°=285°， 285°÷15°=19； 综上所述，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为7秒或19秒， 故选D． 二．填空题 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：∵二次根式实数范围内有意义， ∴，则， 故答案为：． 12. 若m，n是一元二次方程x2+x-12=0的两根，则m+n+mn=______． 【答案】-13． 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到m+n=-1，mn=-12，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+x-12=0的两根， ∴m+n=-1，mn=-12， 则m+n+mn=-1-12=-13. 故答案为-13． 【点睛】本题考查根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= - ，x1x2=． 13. 在中，，，，则的长等于_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据计算即可得出答案，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心． 【详解】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心 ∴M点坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 15. 如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为______．（只考虑小于90°的角度） 【答案】70° 【解析】 【分析】设大量角器左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数． 【详解】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°-20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°． 故答案为70°； 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键． 16. 如图，正方形ABCD的边长为4，点P在边AB上，PE⊥PC交AD于点E，点F在CP上且PF=PE，G为EF的中点，若点P沿着AB方向移动（不与A重合），则下列结论正确的是______．（填序号即可） ①∠CEP与∠CPB可能相等； ②点G的运动路径是圆弧； ③点G到AD、AB的距离相等； ④点G到AB的距离的最大值为2． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】证明Rt△APE∽Rt△BCP，推出，再证明Rt△PCE∽Rt△BCP，即可判断①； 证明A、E、G、P四点共圆，推出点G在线段AC上，即可判断②； 利用点G在线段AC上，即可判断③和④． 【详解】解：①当点P是AB的中点时，∠CEP与∠CPB可能相等，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴∠EAP=∠EPC=∠PBC=90°，AP=PB=2， ∴∠APE+∠CPB=90°，∠PCB +∠CPB=90°， ∴∠APE=∠PCB， ∴Rt△APE∽Rt△BCP， ∴， ∵， ∴，又∠EPC=∠PBC=90°， ∴Rt△PCE∽Rt△BCP， ∴∠CEP=∠CPB， ∴∠CEP与∠CPB可能相等，故①正确； ②连接AC，PG， ∵PE⊥PC，∴∠EPF=90°， ∵PF=PE，∴△EPF是等腰直角三角形，∴∠PEF=45°， ∵G为EF的中点，∴GE=GP=GF， ∴∠EGP=90°， ∵∠DAB =∠EGP=90°， ∴A、E、G、P四点共圆， ∴∠GEP=∠GAP=45°， ∴点G在线段AC上，故②不正确； ③∵AC是正方形ABCD的对角线，即AC是∠DAB的平分线， ∴点G到AD、AB的距离相等；故③正确； ④当点P与点B重合时，点G到AB的距离最大，最大值为2．故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了四点共圆的知识，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 三．解答题 17. 解方程:． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用提取公因式法分解因式解方程得出答案． 【详解】解：． 则：或， 解得： 【点睛】此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，先计算特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 如图，在中，D，E分别是半径，的中点，点C在圆上，．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，证明，得出，即可得证． 【详解】证明：∵D，E分别是半径，的中点， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3. 【解析】 【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10， ∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10， ∴m2﹣2m﹣3=0， ∴m=﹣1或m=3 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型． 21. 如图，为圆O直径，C为圆上一点，连接． （1）尺规作图：作的中点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点作于，交于，即可得解； （2）由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由垂径定理得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求作． 【小问2详解】 解：设交于． ∵是直径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保护不变．现有一个经销商，按市场价收购了这种活螃蟹放养在塘内，此时市场价为元．据测算此后每千克的活螃蟹市场价每天可上升元，但是，放养一天各种费用支出元，且平均每天还有的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是元． （1）设天后每千克活蟹的市场价为元，请写出关于的函数关系式； （2）如果经销商将这批蟹出售后能获利元，那么他应放养多少天后再一次性售出？ 【答案】（1） （2）天 【解析】 【分析】本题考查了列一次函数及一元二次方程的应用，正确找出数量关系是解题的关键． （1）根据市场价与天数间的关系列式即可； （2）根据售后利润等于所有售价减去管理费用，再减购买成本列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得：每千克的活螃蟹市场价每天可上升元， ∴． 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：他应放养天后再一次性售出． 23. 如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明CF为的切线； 方法二：如图2，连接OC，BC．设．同方法一证明，即可证明CF为的切线； （2）方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得； 方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．，D是的中点，可得，根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 （1）方法一：如图1，连接OC，OD． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，D是的中点， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴CF为的切线． 方法二：如图2，连接OC，BC．设． ∵AB是的直径，D是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵AB是的直径， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴CF为的切线． 【小问2详解】 解：方法一：如图3，过G作，垂足为H． 设的半径为r，则． 在Rt△OCF中，， 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵G为BD中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 方法二：如图4，连接AD．由方法一，得． ∵AB是的直径， ∴． ∵，D是的中点， ∴． ∵G为BD中点， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 24. 如图a，在正方形中，E、F分别为边的中点，连接交于点G． （1）求证：； （2）如图b，连接，交于点H． 求证：； 若，求三角形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明得出，求出，即可得证； （2）①过点B作于N，证明得出，证明，得出，推出，结合勾股定理即可得证；②证明，由相似三角形的性质求出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵正方形，E、F分别为边的中点， ∴，，， ∴， ∵在和中， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图b，过点B作于N， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25. 已知抛物线，顶点为点D，D始终在直线上． （1）若，求b的值； （2）若当时，抛物线函数有最大值4，求此时a的值； （3）若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线交x轴于点G，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先把二次函数得解析式化成顶点式，然后根据顶点的特点求出a，b的关系式，即可求出b； （2）根据顶点的位置分两种情况讨论即可； （3）先表示出点C的坐标，然后表示出G的坐标，再写出 的比值即可． 【小问1详解】 解：， ∴该抛物线的顶点D为， 由∵D在上， ∴， 当时，， ； 【小问2详解】 解：若，即， 则该函数的最大值为， ∴， 若，即， 则该函数的最大值为， 解得（舍），， ∴a的值为或； 【小问3详解】 解：由（2）知，，， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点G的坐标为， 设A的横坐标为，点B的横坐标为， 则， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，难度较大，要牢记二次函数一般式和顶点式相互转化的方法，要熟悉一次函数与坐标轴交点的求法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022−2023学年中山九年级上第三次月考试卷 一．选择题 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系内，与点关于原点对称的点的坐标是（　　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A. x（x - 12）= 864 B. x（x + 12）= 864 C. x（12 - x）= 864 D. 2（2x - 12）= 864 6. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 7. 如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线与直线交于，则关于的不等式的解集是( ) A. 或 B. 或 C. D. 9. 已知的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程有实根，则点P（　　） A. 在的内部 B. 在的外部 C. 在上 D. 在上或的内部 10. 一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕直角顶点按每秒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为（ ） A. 5秒或7秒 B. 5秒或19秒 C. 5秒或17秒 D. 7秒或19秒 二．填空题 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则取值范围为______． 12. 若m，n是一元二次方程x2+x-12=0的两根，则m+n+mn=______． 13. 在中，，，，则的长等于_______． 14. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________． 15. 如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为______．（只考虑小于90°的角度） 16. 如图，正方形ABCD的边长为4，点P在边AB上，PE⊥PC交AD于点E，点F在CP上且PF=PE，G为EF的中点，若点P沿着AB方向移动（不与A重合），则下列结论正确的是______．（填序号即可） ①∠CEP与∠CPB可能相等； ②点G的运动路径是圆弧； ③点G到AD、AB的距离相等； ④点G到AB的距离的最大值为2． 三．解答题 17. 解方程:． 18. 计算：． 19. 如图，在中，D，E分别是半径，中点，点C在圆上，．求证： 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 21. 如图，为圆O直径，C为圆上一点，连接． （1）尺规作图：作的中点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，在（1）的条件下，求的长． 22. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保护不变．现有一个经销商，按市场价收购了这种活螃蟹放养在塘内，此时市场价为元．据测算此后每千克的活螃蟹市场价每天可上升元，但是，放养一天各种费用支出元，且平均每天还有的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是元． （1）设天后每千克活蟹的市场价为元，请写出关于的函数关系式； （2）如果经销商将这批蟹出售后能获利元，那么他应放养多少天后再一次性售出？ 23. 如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长． 24. 如图a，在正方形中，E、F分别为边的中点，连接交于点G． （1）求证：； （2）如图b，连接，交于点H． 求证：； 若，求三角形的面积． 25. 已知抛物线，顶点为点D，D始终在直线上． （1）若，求b值； （2）若当时，抛物线函数有最大值4，求此时a值； （3）若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线交x轴于点G，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$