专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 1．下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．有下列函数： ①y=5x-4；②；③；④；⑤； 其中属于二次函数的是 （填序号）． 3．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 1．若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 2．已知函数的图象是抛物线，则 ． 3．若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 1．若函数是二次函数，则常数满足的条件为（    ） A． B． C． D．为任意实数 2．已知函数 是二次函数，则常数a 的取值范围是 ． 3．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）． （1）若这个函数是一次函数，求k的值； （2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？ 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 1．二次函数，下列说法错误的是（    ）． A． B．二次项为 C．一次项系数为 D．常数项为 2．二次函数的二次项系数是 ． 3．把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 1．如图，已知、是反比例函数图象的点，轴交于点轴，交轴于点，动点从坐标点出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为过作轴，轴，垂足分别为、，设四边形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．  B． C．   D．   2．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ． 3．已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 1．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为 ． 3．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 1．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式． 解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为 ． 因为矩形的面积为， 所以与之间的函数关系式为 ，整理为 ． 3．矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 1．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为 ． 3．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 1．如图，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象经过点(1，0)和(3，0)，则其函数解析式为 ． 3．已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式． 1．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是关于的二次函数，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 4．下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　） A．125个 B．100个 C．48个 D．10个 6．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 7．已知是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．0 8．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 9．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ． 10．已知函数，当 时，它是二次函数． 11．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 12．如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与互为旋转函数，则的值为 ． 113．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 14．若二次函数的图像经过点，则的值是 ． 15．已知是y关于x的二次函数，求m的值． 16．已知函数的图象是一条抛物线，求这条抛物线表达式． 17．已知函数． (1)当a为何值时，此函数是二次函数； (2)当a为何值时，此函数是正比例函数． 18．已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式． 19．抛物线经过、、三点，求抛物线解析式． 20．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”逐一判断即可． 【详解】A、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； B、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； C、是二次函数，故该选项正确，符合题意； D、可整理为，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 1．下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义：一般地，把形如 ，（a、b、c是常数）的函数叫作二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2，逐项解答即可 【详解】解：A． ，符合二次函数的定义，故该选项符合题意； B．，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； C． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； D． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．有下列函数： ①y=5x-4；②；③；④；⑤； 其中属于二次函数的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：②y=；④y=﹣1符合二次函数的定义，属于二次函数； ①y=5x﹣4是一次函数，不属于二次函数； ③y=自变量的最高次数是3，不属于二次函数； ⑤y=的右边不是整式，不属于二次函数． 综上所述，其中属于二次函数的是②④． 故答案为：②④． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【答案】（2）（4）是二次函数 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1． （2）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3． （4）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x． （6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式． 故（2）（4）是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键． 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，且）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键． 二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数不为0． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解得或． ， ， 当时，这个函数是二次函数． 故选：A． 1．若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，求参数，根据二次函数的定义得出关于m的不等式和方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故选：D． 2．已知函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得， ∴的值为1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可得到答案． 【详解】由二次函数的定义可得， ， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握(是常数，)的函数，叫做二次函数． 1．若函数是二次函数，则常数满足的条件为（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解；∵函数是二次函数， ∴， ∴， 故选B． 2．已知函数 是二次函数，则常数a 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，可得，进一步求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知函数y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）． （1）若这个函数是一次函数，求k的值； （2）若这个函数是二次函数，则k的值满足什么条件？ 【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1 【分析】（1）由一次函数的定义求解可得； （2）由二次函数的定义求解可得． 【详解】解：（1）若这个函数是一次函数， 则k2﹣k＝0且k≠0， 解得k＝1； （2）若这个函数是二次函数， 则k2﹣k≠0， 解得k≠0且k≠1． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键． 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 1．二次函数，下列说法错误的是（    ）． A． B．二次项为 C．一次项系数为 D．常数项为 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义即可求解，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：二次函数， A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. 二次项为，故该选项正确，不符合题意； C. 一次项系数为，故该选项不正确，符合题意； D. 常数项为，故该选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 2．二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】根据二次项系数的定义即可进行解答． 【详解】解：二次函数的二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的相关定义，解题的关键是掌握二次函数中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 3．把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空水瓶的形状可知空水瓶的横截面先增大后减小，横截面为圆形，所以水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，整体为水面高度增长速度先快、后慢、再快，对应函数图像先陡、后缓、再陡． 【详解】解：下面的容器较粗，中间最粗，上面最细， ∵容器横截面为圆形，横截面， ∴水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线， ∴对应函数图像先陡、后缓、再陡， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图像，解决本题的关键是根据底面积在变化从而判断水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线． 1．如图，已知、是反比例函数图象的点，轴交于点轴，交轴于点，动点从坐标点出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为过作轴，轴，垂足分别为、，设四边形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分①当点P从点O运动到点A的过程中，②当点P从点A运动到点B时，③当点P从点B运动到点C过程中，三种情况，分别判断各所对的函数图像即可. 【详解】设∠AOM=α，点P运动的速度为a， ①当点P从点O运动到点A的过程中， S=at·cosα·at·sinα=a2t2sinαcosα， 由于α及a均为常量， ∴本段图象应为抛物线，且S随着t的增大而增大； ②当点P从点A运动到点B时， 由反比例函数性质可知四边形OMPN的面积为k，保持不变， 故本段图象应为与x轴平行的线段； ③当点P从点B运动到点C过程中， OM的长在减小，△OPM的高与在B点时相同， 故本段图象应为一段下降的线段， 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，判断每个时间段面积的变化，从而确定其图象． 2．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】 分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点在上时；当点在上，且点在上时；当点在上，且点在上时．图2中的最高点是当点与点重合时，的值为；当点和点相遇时，即到达点时，用时秒．由此可求出，由此可求出当点运动秒后的值，即可求出的值，进而可求出的取值． 【详解】解：由图2可知，当点运动到点时， ，即， 当点和点相遇时，即到达点时，运动了秒，即， ， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，如图，， ； 当时，点在上，点在上，如图， 此时，，， ∴， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到与的函数关系，然后根据一元二次方程和二次函数和一次函数图象与性质解决问题，能够准确进行分类讨论是解题的关键． 3．已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况． 【答案】，图见解析 【分析】首先得出与的关系，进而由图象得出平行四边形的面积随其底边变化情况． 【详解】解：平行四边形的高与底边的比是， ， 则， 如图所示：平行四边形的面积随其底边增大而增大． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及函数图象性质，解题的关键是利用数形结合的思想求解． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 1．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2．某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可. 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： 故答案为： 【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键. 3．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： 1．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式． 【详解】解：如图所示， ∵中，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系． 2．用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式． 解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为 ． 因为矩形的面积为， 所以与之间的函数关系式为 ，整理为 ． 【答案】 【分析】（1）由矩形的周长求解； （2）由矩形的面积公式求解． 【详解】解：宽， 面积，． 故答案为：，， 【点睛】本题考查矩形的性质，列函数解析式；由矩形的性质得到等量关系是解题的关键． 3．矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)1 (2)； (3)的长为或2或． 【分析】（1）证明，即可求解； （2），，由勾股定理即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设交于点， 则， ，， ， ， ，， 则； （2）解：由题意得：则，， ，， ，， ， 则， 化简得：； （3）解：①当时， 过点作，则， 则， 连接，则， 在中，， 即：②， 联立①②并解得：， 故； ②当时， 则， 点与点重合， 即：； ③当时， 则， 即：是的角平分线， 故：， 则，而， 则； 故的长为或2或． 【点睛】本题为四边形综合应用题，涉及到矩形与折叠问题、勾股定理运用、二次函数基本知识等，其中（3），关键是按条件分类，正确画图、确立线段间的关系，进而求解，本题综合性强，难度较大． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元， ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 1．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 2．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为，第二次降价后价格为，进而可得与之间的关系式． 【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 3．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，解题的关键是明确关于直线翻折得到的图像与原图像关于直线对称．根据直线对称的特点即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数的图像的顶点为， ∴沿直线翻折后的二次函数的图像的顶点为， ∴另一个二次函数的表达式为，即． 故选：C． 1．如图，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象可知函数与坐标轴的交点坐标，设，代入整理即可． 【详解】解：由图象可得函数与x轴的交点坐标为和， 可设， ∵函数与y轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴，整理可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 2．二次函数的图象经过点(1，0)和(3，0)，则其函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，把点(1，0)和(3，0)代入，求出的值即可． 【详解】解：把点(1，0)和(3，0)代入，得： ， 解得， ∴二次函数解析式为 故答案为： 3．已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将、代入解析式即可求解；掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． 1．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 2．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成，，为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．当时是一次函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．是一次函数，故不符合题意 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如，，为常数，的函数叫做二次函数． 3．已知函数是关于的二次函数，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义得到且，求出的值即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， 且， 且， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数是关键． 4．下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可． 【详解】A． ，选项错误，不符合题意； B． ，选项正确，符合题意； C． ，选项错误，不符合题意； D． ，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证． 5．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　） A．125个 B．100个 C．48个 D．10个 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案 【详解】由题意， ∴a有四种选法：1、2、3、4， ∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4， ∴共有=100种， 故选：B 【点睛】此题考查二次函数的定义，有理数的乘法运算，根据题意得到a、b、c的选法是解题的关键． 6．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可． 【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x， 矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）． 故选：C． 【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键． 7．已知是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：，是关于x的二次函数， 且， ， 故选：B． 8．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 9．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数解析式，解题关键是利用长方形的面积公式求得答案． 根据长方形的面积公式即可获得y与x的关系式． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边， 另一边长为， ， 故答案为：． 10．已知函数，当 时，它是二次函数． 【答案】1 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得或，且， ∴． 故答案为：1． 11．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 12．如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与互为旋转函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，根据新定义得到关于m、n的方程组，解方程组得到m、n的值，代入代数式求值． 【详解】解：∵函数与互为旋转函数， ， 解得， ∴， 故答案为： 113．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 14．若二次函数的图像经过点，则的值是 ． 【答案】2020 【分析】首先根据二次函数的图象经过点得到，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴==2020， 故答案为2020． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算，此题比较简单． 15．已知是y关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 【详解】解：∵是y关于x的二次函数， ∴，且， 解得或，且， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 16．已知函数的图象是一条抛物线，求这条抛物线表达式． 【答案】 【分析】根据题意知，函数是二次函数，则，且，据此可以求得的值． 【详解】解：∵函数的图象是一条抛物线， ∴函数是二次函数， ，且， 解得，， 该函数的解析式为：． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意． 17．已知函数． (1)当a为何值时，此函数是二次函数； (2)当a为何值时，此函数是正比例函数． 【答案】(1)时，此函数是二次函数； (2)或或2，此函数是正比例函数． 【分析】（1）根据二次函数的定义解答即可； （2）根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：且，解得：， ∴当时，此函数是二次函数； （2）解：由题意得：且，或，且， 解得：或或2， 当时或或2，此函数是正比例函数． 【点睛】本题考查二次函数的定义，正比例函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义：形如这样的式子叫做二次函数；正比例函数定义：形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 18．已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】将x与y的三对值代入二次函数解析式求出a、b、c的值，即可确定出解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c， 将x=1，y=3；x=2，y=0；x=3，y=4代入得： ， 解得： ， 则二次函数解析式为y=x2-x+13． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19．抛物线经过、、三点，求抛物线解析式． 【答案】 【分析】把、、三点代入抛物线中，解方程组即可得答案． 【详解】∵抛物线经过、、三点， ∴， 解得：， ∴． ∴抛物线的解析式为：． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键把点代入抛物线的解析式，解出，，． 20．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    【答案】 【分析】注意实际场景中数量间关系，得，且，求解得自变量取值范围，根据矩形面积公式求函数关系式． 【详解】解：由题意，，，且，解得，， 于是 ， ∴． 【点睛】本题考查列二次函数关系式，不等式组的求解，由几何图形及实际场景确定数量间的关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$