7.4.1二项分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.1二项分布 【思考】分析下面的试验结果，它们有什么共同的特点？ 1.射击中靶或脱靶； 2.在一定条件下，种子发芽或不发芽； 3.医学检验结果阴性或阳性； 4.购买的彩票中奖或不中奖； 5.正常新生儿性别。 只包含两个结果 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials). 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. “重复”意味着各次试验的概率相同 【追问】以下三个试验和伯努利试验相关吗？它们有何共同特点？ 1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次. 2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. 3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. (1) 同一个伯努利试验重复做n次 (2) 各次试验的结果相互独立. 【思考】(1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？ (2)在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？ (1) 伯努利试验做一次试验,n重伯努利试验做n次试验. (2)在伯努利试验中, 我们关注某个事件A是否发生; 在n重伯努利试验中, 我们关注事件A发生的次数X . 试验结果 X的值 【探究】某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的? 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，用树状图表示试验的可能结果： 由概率的加法公式和乘法公式得 思考：可以利用组合数来表示吗？ 同理可求中靶0次、1次、3次的概率. 3次射击恰好2次中靶的概率为 . 即 于是，中靶次数X的分布列可表示为 连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有 中靶次数X的分布列为 【思考】如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些? 写出中靶次数X的分布列. 我们把上面这种分布称为二项分布. 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 二项分布的定义： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p). 【思考】对比二项分布和二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？ 如果把p看成b ，1-p看成a ，则 就是二项式定理[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布. 由二项式定理，可得 二项分布的分布列如下表： 【思考】二项分布和两点分布有什么联系？ 二项分布的分布列如下表： 当n=1时，可以得到两点分布的分布列如下表： 两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布； 二项分布可以看做两点分布的一般形式. 【例1】将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求: (1) 恰好出现5次正面朝上的概率； (2) 正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率. 解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(10, 0.5). (2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为 (1) 恰好出现5次正面朝上的概率为 【练】某射手射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在5次射击中: (1) 恰有3次击中目标的概率； (2) 至少有4次击中目标的概率. 解：设A＝“击中目标”，则P(A)＝0.8. 用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(5, 0.8). (2) 至少有4次击中目标的概率为 (1) 恰有3次击中目标的概率为 随机变量X服从二项分布的三个前提条件： (1) 每次试验都是在同一条件下进行的； (2) 每一次试验都彼此相互独立； (3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生. 只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算. 方法总结 【例2】如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0, 1, 2, ‧‧‧, 10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5. 因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10, 0.5). X的概率分布图如右图所示： 于是，X的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0009765625 0.009765625 0.0439453125 0.1171875 0.205078125 0.24609375 0.205078125 0.1171875 0.0439453125 0.009765625 0.0009765625 【例3】甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? THE END 17 $$