6.2.1排列与排列数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.1 排列与排列数 1.拔河比赛时，运动员的站位排列顺序，有没有方法技巧？ 2.扑克牌游戏 每人三张牌，每张牌只能用一次，谁大谁赢，三局两胜。 小红能赢吗？ 创设情境 【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 分析：1.“要完成的一件事”： 选出2名参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动. 2.如何完成“分步”： 第1步：确定参加上午活动的同学，从3人中任选1名，有3种选法. 第2步：确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法. N=3×2=6种. 探究新知 上午 下午 相应的排法 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 推广：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为： 从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 提示：所有不同的排列是：ab，ac，ba，bc，ca，cb，不同的排列方法种数为 N=3×2=6. 问题1中关注的顺序是什么？ 参加上午的活动在前，参加下午的活动在后. 【问题2】从1，2，3，4这4个数中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数？ 百位 十位 个位 由此可写出所有的三位数： 123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432. １ ２ ３ ４ ３ ４ ２ ４ ２ ３ ２ １ ３ ４ ３ ４ １ ４ １ ３ ３ １ ２ ４ ２ ４ １ ４ １ ２ ４ １ ２ ３ ２ ３ １ ３ １ ２ ４种 ３种 ２种 ４× ３×２＝２４种 【思考】上述问题1、2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？ 【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 【问题2】从1，2，3，4这4个数中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数？ 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出一部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数. 一般地，从n个不同元素中取出m(m ≤ n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 注意： ⑴元素不能重复.（互异性） ⑵“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键.（有序性） ⑶两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同. ⑷m＜n时的排列叫选排列,m＝n时的排列叫全排列. 7 判断：下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长 （3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除 （5）20位同学互通一封信 （6）以圆上的10个点为端点作弦 （7）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线 （8）有10个车站，共需要多少种车票？ （9）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位 √ √ √ √ √ √ 【例1】某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，这个问题是不是排列问题？如果是的话，请求出每组共进行多少场比赛。 【例2】(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ (2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 总结提升：排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）． 由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题． “一个排列”和“排列数”有什么区别？ “一个排列”所指的是“从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列”，是排列问题中的一种具体情况，而不是数量； “排列数”指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，是一个数值。 排列数公式：从 n 个不同元素中取出 m (mn) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示。 问题１中是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，记为 算得 问题2 中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为 算得 探究1：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？ 第1位 第2位 n n-1 探究2：从n个不同元素中取出3个元素的排列数是多少？ 第1位 第2位 第3位 n-2 n n-1 探究3：从n个不同元素中取出m(m<n)个元素的排列数是多少？ …… 第1位 第2位 第3位 第m位 n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种 探究4：从n个不同元素中取出n个元素的排列数是多少？ 探究5：从n个不同元素中取出n-1个元素的排列数是多少？ 排列数公式: 注意：（1）第一个因数是n，后面每一个比它前面一个数少1． （2）最后一个因数是n－m＋1． （3）共有m个因数． 14 练一练： 17 14 7!=5040 【例4】求解下列各式的值. 【例5】求证下列各式： 课堂小结 这节课你有哪些收获？ 知识方面：（1）排列与排列数的定义 （2）排列数公式的简单应用 数学思想方面：（1）由具体到抽象，由特殊到一般的数学思想 （2）体会数学建模在解决实际问题中的应用 THE END 20 $$