第05讲 圆 （2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第05讲 圆 （2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端 题型强化 题型一．圆的认识 1．（2021秋•灌云县月考）如图，是的直径，点在上，，垂足为，已知，，求的长是　　． 2．（2023秋•兴化市月考）能决定圆的位置的是　　 A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 3．（2022秋•灌云县月考）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．若，求的度数． 题型二．点与圆的位置关系 4．（2023秋•射阳县期末）的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件　　 A． B． C． D．无法确定 5．（2024•邗江区校级模拟）在中，，，，是以点为圆心，2为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为 　　． 6．（2021秋•海州区校级月考）阅读下列材料： 平面上两点，，，之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设是圆心坐标为、半径为的圆上任意一点，则点适合的条件可表示为，变形可得：，我们称其为圆心为，半径为的圆的标准方程． 例如：由圆的标准方程可得它的圆心为，半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． （1）圆心为，半径为2的圆的标准方程为：　　； （2）若已知的标准方程为：，圆心为，请判断点与的位置关系． 题型三、圆的基本概念辨析 7．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 8．（2024九年级上·江苏·专题练习）平面上有及内一点到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 题型四、求圆弧的度数 10．（2020·江苏南通·一模）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（   ） A．160o B．120o C．100o D．80o 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 12．（九年级上·江苏宿迁·期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． （1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数； （2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE． 分层练习 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．圆心角的角度与它所对的弧的度数相等 B．同圆中，所有半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相同的弧是等弧 2．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 3．如图，的直径，半径，点是弧上的一个动点，，，垂足分别是、，则长（     ）    A．变大 B．变小 C．先变小，再变大 D．不变，始终等于2 4．已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 5．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 7．如图，抛物线与轴交于A、B两点，P是以点为圆心、2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结，则线段的最小值是（      ） A． B． C． D． 8．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 9．如图，中， ， ， ， 点D为斜边上一任意点， 连接， 将点B关于直线作轴对称变换得到点 E， 连接， ， 则面积的最大值为（  ） \ A．18 B．30 C．15 D．24 10．如图，点是直径上的动点，过点作弦，，分别过点、作，，垂足分别为、，点从点出发向点运动的过程中，与的面积和的变化情况是（    ） A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大 二、填空题 11．若⊙O的直径等于8，圆的半径为 ，面积为 ．（结果保留π） 12．如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，则的度数是 ． 13．如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 14．如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 15．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 16．已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    17．如图，在中，，，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为 ． 18．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题 19．已知：如图，是的直径，点在上，于E，于F，且与相等吗？为什么？ 20．如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 21．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A的度数. 22．在平面直角坐标系中，的半径为，一次函数与相交于点． (1)求点的坐标； (2)判断点与的位置关系并说明理由； (3)过点作轴的垂线交于点，将直线沿轴向下平移多少个单位，该直线刚好经过点． 23．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于E，若，求的度数． 24．已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0． （1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根． ①求m、n满足的关系式； ②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是　 　． 25．（1）发现：如图1，点A为一动点，点B和点C 为两个定点，且BC=a，AB=b.（a>b） 填空：当点A位于______时，线段AC的长取得最小值，且最小值为______(用含a，b的式子表示) （2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE. ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最小值. ③如图3所示，分别以AB，AC为边，作正方形ADEB和正方形ACFG，连接CD，BG.图中线段CD，BG的关系是____________，线段BG 的最大值是__________. 26．在中，，，给出如下定义：作直线l分别交、边于点M、N，点A关于直线l的对称点为，则称为等腰直角关于直线l的“直角对称点”．（点M可与点B重合，点N可与点C重合） (1)在平面直角坐标系中，点，直线，O'为等腰直角关于直线l的“直角对称点”． ①当时，写出点的坐标______； ②连接，求 长度的取值范围； (2)⊙O的半径为8，点M是上一点，以点M为直角顶点作等腰直角，其中，直线l与、分别交于E、F两点，同时为等腰直角关于直线l的“直角对称点”，连接；当点M在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆 （2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端 题型强化 题型一．圆的认识 1．（2021秋•灌云县月考）如图，是的直径，点在上，，垂足为，已知，，求的长是　10　． 【分析】先连接，在中，根据勾股定理得出的长，即可求出的长． 【解答】解：连接， ，， 在中， ， ， 故答案为：10． 【点评】此题考查了圆的认识，解题的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单． 2．（2023秋•兴化市月考）能决定圆的位置的是　　 A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【分析】根据圆的定义即可解答． 【解答】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心， 故选． 【点评】本题考查了圆的认识，熟悉圆的定义是解题的关键． 3．（2022秋•灌云县月考）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．若，求的度数． 【分析】先利用互余计算出，再利用半径相等得到，所以，然后利用三角形外角性质计算的度数． 【解答】解：，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了圆的认识：常常利用半径相等组成等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解决问题． 题型二．点与圆的位置关系 4．（2023秋•射阳县期末）的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【解答】解：点在外， ． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则点在圆外；点在圆上；点在圆内． 5．（2024•邗江区校级模拟）在中，，，，是以点为圆心，2为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为 　3.5　． 【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后确定的范围． 【解答】解：取的中点，连接、、． 在直角中， ． 是直角斜边上的中点， ． 是的中点，是的中点， ． ， 即． 最大值为3.5， 故答案为：3.5． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形三边之间的关系解答． 6．（2021秋•海州区校级月考）阅读下列材料： 平面上两点，，，之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设是圆心坐标为、半径为的圆上任意一点，则点适合的条件可表示为，变形可得：，我们称其为圆心为，半径为的圆的标准方程． 例如：由圆的标准方程可得它的圆心为，半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． （1）圆心为，半径为2的圆的标准方程为：　　； （2）若已知的标准方程为：，圆心为，请判断点与的位置关系． 【分析】（1）根据圆的标准方程的定义求解即可． （2）求出的长，可得结论． 【解答】解：（1）圆心为，半径为2的圆的标准方程为：． 故答案为：． （2）由题意圆心为， ， ， 点在内部． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，方程的定义，坐标与图形性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解圆的标准方程的定义，灵活运用所学知识解决问题． 题型三、圆的基本概念辨析 7．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 8．（2024九年级上·江苏·专题练习）平面上有及内一点到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．点P在的内部，则的直径为和的和． 【详解】解：点P在的内部，则的直径为， 所以的半径为； 故答案为7． 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． （1）分别以点为圆心，为半径画和，则到点A和点B的距离都等于的点为两圆的公共部分，即它们的交点； （2）到点A的距离小于的点在以A点为圆心，为半径圆内；到点B的距离大于的所有点在以B点为圆心，为半径的圆外． 【详解】（1）解：如图1， 分别以点为圆心，为半径画和，它们的交点为所求； （2）解：以A点为圆心，为半径画；以B点为圆心，为半径画， 如图2，和相交于P和Q，则在内，除去与的公共部分为所求． 题型四、求圆弧的度数 10．（2020·江苏南通·一模）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（   ） A．160o B．120o C．100o D．80o 【答案】A 【分析】在⊙O取点，连接 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，可得答案． 【详解】解：如图，在⊙O取点，连接 四边形为⊙O的内接四边形， ． 故选A 【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 12．（九年级上·江苏宿迁·期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． （1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数； （2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE． 【答案】（1）35°；（2）见解析 【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°； （2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE． 【详解】（1）解：连接AC． ∵弧AD为120°，弧BC为50°， ∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°， ∵∠ACD＝∠BAC+∠E ∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°； （2）证明：连接AD． ∵AB＝CD， ∴弧AB＝弧CD， ∴弧AC＝弧BD， ∴∠ADC＝∠DAB， ∴AE＝DE． 【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．圆心角的角度与它所对的弧的度数相等 B．同圆中，所有半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相同的弧是等弧 【答案】D 【分析】利用圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】A、圆心角的度数与它所对应的弧的度数相等，说法正确，故A不符合题意． B、同圆中，所有半径都相等，说法正确，故B不符合题意． C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，故C不符合题意． D、在同样大小的圆或同一个圆中，长度相同的弧是等弧，所以原说法错误，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆的基本性质，正确判断每个选项是否符合圆的基本性质是解答本题的关键． 2．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 3．如图，的直径，半径，点是弧上的一个动点，，，垂足分别是、，则长（     ）    A．变大 B．变小 C．先变小，再变大 D．不变，始终等于2 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定和性质，圆的认识，考虑利用矩形的对角线相等把转化为是解题的关键．． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴为矩形， ∴， ∴长不变，始终等于2， 故选D．    4．已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴，则点在外， 故选：． 5．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 6．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 7．如图，抛物线与轴交于A、B两点，P是以点为圆心、2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结，则线段的最小值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线，点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．连接，如图，先解方程得，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，连接交圆于P时，最小，然后计算出的最小值即可得到线段的最小值． 【详解】解：连接，如图， 当时，， 解得，则， ∵Q是线段的中点， 为的中位线， ， 当最小时，最小， 连接交圆于P时，最小， ， 的最小值， ∴线段的最小值为． 故选：C． 8．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案． 【详解】解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图， ∵，是的中点， ∴∠COE=45°， ∵，， ∴CE⊥OB， ∴∠OCE=∠COE=45°， ∴CE=OE=， ∴BE=OB－OE=， ∵OA=OB，， ∴∠ABO=45°， ∴∠BDE=∠ABO=45°， ∴EB=ED=， ∴CD=CE－DE=． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键． 9．如图，中， ， ， ， 点D为斜边上一任意点， 连接， 将点B关于直线作轴对称变换得到点 E， 连接， ， 则面积的最大值为（  ） \ A．18 B．30 C．15 D．24 【答案】A 【分析】本题考查轴对称，根据题意得到，则点E在以A为圆心，6为半径的圆上，然后确定点E到得最大距离最大值计算即可． 【详解】解：∵点B关于直线作轴对称变换得到点 E， ∴， ∴点E在以A为圆心，6为半径的圆上， 即当时，点E到得最大距离最大，最大为6， ∴面积的最大值为， 故选A． 10．如图，点是直径上的动点，过点作弦，，分别过点、作，，垂足分别为、，点从点出发向点运动的过程中，与的面积和的变化情况是（    ） A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定，求三角形的面积等， 先连接，，设，，，根据表示出面积和，再根据勾股定理，得出，进而得出，最后根据勾股定理得出结论． 【详解】连接，，设，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，． 可知． 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以这两个三角形的面积和不变． 故选：B． 二、填空题 11．若⊙O的直径等于8，圆的半径为 ，面积为 ．（结果保留π） 【答案】 4； 16π． 【分析】根据直径是半径的2倍，圆的面积公式计算即可． 【详解】∵圆的直径为8， ∴圆的半径为4，圆的面积为， 故答案为：4，16π． 【点睛】本题考查了半径，圆的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 12．如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，则的度数是 ． 【答案】/27度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角定理，正确作出辅助线是解题的关键．由得到，则，而，因此，即可求出． 【详解】 解：连，如图， ，， ， ， 而， ， ， ， ， 而， ， 所以． 故答案为：． 13．如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和圆的性质，以为弦，构造延长到Q，使得，连接，则，此时周长，结合为定值，当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形，即，即可求得最小值． 【详解】解：如图：以为弦，构造延长到Q，使得，连接， 则，周长 ∵为定值， ∴当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形， ∴， 则周长的最大值． 故答案为：12． 14．如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】证明四边形是菱形，连接，得到是等边三角形，过点作交于点，利用等边三角形的性质和勾股定理，求出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C在上， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，过点作交于点， 则， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形了圆的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的判定方法以及等边三角形的判定方法是解题的关键． 15．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 16．已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则= ．    【答案】 【分析】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解． 【详解】解：如图，连接，，    根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键． 17．如图，在中，，，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，作的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 【详解】解：作的中点E，连接， 在直角中，， ∵E是直角斜边上的中点， ∴， ∵M是的中点，E是的中点， ∴， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆， ∴线段长度的最小值为． 故答案为：5． 18．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 三、解答题 19．已知：如图，是的直径，点在上，于E，于F，且与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由见解析 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．连接，由，，得到，由得到，再根据“HL”可判断，则，所以弧弧，． 【详解】解：与相等．理由如下： 连接，如图， ∵， ∴ ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断． 【详解】解：连接． C在上； 在直角中，， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 21．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A的度数. 【答案】48° 【分析】连接OB，利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可． 【详解】连接OB 则OA=OB ∵OA=BC ∴OB=BC ∴∠C=∠BOC=24° ∴∠A=∠OBA=∠C+∠BOC=24°+24°=48° 【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系．关键是利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答． 22．在平面直角坐标系中，的半径为，一次函数与相交于点． (1)求点的坐标； (2)判断点与的位置关系并说明理由； (3)过点作轴的垂线交于点，将直线沿轴向下平移多少个单位，该直线刚好经过点． 【答案】(1) (2)点在圆上，理由见解析 (3)8 【分析】（1）联立两条直线的解析式，求解即可； （2）求出的长，与的半径比较大小后，即可得到结论； （3）对称性得到点坐标，设直线沿轴向下平移个单位，经过点，得到平移后的直线的解析式为，代入点坐标，求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵的半径为， ∴点在圆上； （3）如图，过点作轴的垂线交于点，    则：关于轴对称， ∴， 设直线沿轴向下平移个单位，经过点， 则平移后的直线为，把，代入得：； ∴将直线沿轴向下平移8个单位，该直线刚好经过点． 【点睛】本题考查两条直线的交点问题，点与圆的位置关系，圆的对称性，以及一次函数图象的平移．熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 23．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于E，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识、等腰三角形的性质及三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，进而根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得的度数，从而利用三角形的外角的性质，由求解即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0． （1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根． ①求m、n满足的关系式； ②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是　 　． 【答案】（1）±2；（2）①m2+n2＝5；②5﹣． 【分析】（1）把m=1，x=1代入方程得1+2-n2+5=0，然后解关于n的方程即可； （2）①利用判别式的意义得到△=4m2-4（-n2+5）=0，从而得到m与n的关系； ②利用勾股定理得到OP=＝，则点P在以O点为圆心，为半径的圆上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点（3，4）的距离最小值． 【详解】解：（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0， 解得n＝±2， 即n的值为±2； （2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0， 整理得m2+n2＝5； ②∵OH＝|m|，PH＝|n|， ∴OP＝＝， 即点P在以O点为圆心，为半径的圆上， ∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小， ∵原点到点（3，4）的距离为＝5， ∴点P到点（3，4）的距离最小值是5﹣． 故答案为5﹣． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了点与圆的位置关系． 25．（1）发现：如图1，点A为一动点，点B和点C 为两个定点，且BC=a，AB=b.（a>b） 填空：当点A位于______时，线段AC的长取得最小值，且最小值为______(用含a，b的式子表示) （2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE. ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最小值. ③如图3所示，分别以AB，AC为边，作正方形ADEB和正方形ACFG，连接CD，BG.图中线段CD，BG的关系是____________，线段BG 的最大值是__________. 【答案】（1）线段BC上， a-b；（2）①BE=CD，证明见解析；②2；③相等且垂直，. 【分析】（1）根据点A为一动点，且BC=a，AB=b，可得当点A位于线段CB上时，线段AC的长取得最小值，且最小值为BC-AB=a-b； （2）①根据等边三角形ABD和等边三角形ACE，可得△CAD≌△EAB（SAS），根据全等三角形的性质可得CD=BE； ②BE的最小值即CD的最小值，当D在线段BC上时最小; ③当D点在CB的延长线上时，BG取得最大值. 【详解】(1)如图1，∵点A为一动点，且BC=a，AB=b， ∴当点A位于线段CB上时，线段AC的长取得最小值，且最小值为BC-AB=a-b. 故答案为在线段CB上，a-b； (2)①CD=BE. 理由：如图2，∵等边三角形ABD和等边三角形ACE， ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC， 即∠CAD=∠EAB， 在△CAD和△EAB中， ， ∴△CAD≌△EAB(SAS)， ∴CD=BE； ②BE的最小值即CD的最小值，当D在线段BC上时CD最小;此时BE=CD=BC-AB=3-1=2. ③易证△BAG≌△CAD，所以BG=CD，当D点在CB的延长线上时，BG取得最大值.最大值等于BD＋BC=． 【点睛】本题考查了最短路径的问题，明确何时取得最短路径是解题的关键. 26．在中，，，给出如下定义：作直线l分别交、边于点M、N，点A关于直线l的对称点为，则称为等腰直角关于直线l的“直角对称点”．（点M可与点B重合，点N可与点C重合） (1)在平面直角坐标系中，点，直线，O'为等腰直角关于直线l的“直角对称点”． ①当时，写出点的坐标______； ②连接，求 长度的取值范围； (2)⊙O的半径为8，点M是上一点，以点M为直角顶点作等腰直角，其中，直线l与、分别交于E、F两点，同时为等腰直角关于直线l的“直角对称点”，连接；当点M在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值． 【答案】(1)①；② (2)的最大值为，的最小值为 【分析】（1）①根据直角对称点的定义求解即可；②如图中，设直线交y轴于E，则，连接，如图，由题意知，，点在以点E为圆心，以为半径的一段圆弧上；当直线经过点B时，最长，即，当点为与的交点时，最短，； （2）如图，由对称知，,可求，当点三点共线，且在圆外时，最长，当点三点共线，且在圆内时，最短，的最大值为，OM′的最小值为． 【详解】（1）解：（1）①如图2中，当时， 设直线交y轴于点E，交x轴于点F．则，， 是的中位线， ，都是等腰直角三角形， 点O关于的对称点O′在线段上，， ． 故答案为：； ②如图中，设直线交y轴于E，则，连接，    在中，，， ， 如图，由题意知，，点在以点E为圆心，以为半径的一段圆弧上； 设直线经过点B时，点O关于的对称点为点D，由对称知，， 此时，最长，即 当点为与的交点时，最短， 此时，； ∴， （2）如图，连接，作点M关于的对称点，连接，，．    如图，是等腰直角三角形，，由对称知，,, ， 由图，， 当点三点共线，且在圆外时，最长，此时; 当点三点共线，且在圆内时，最短，此时; ， 的最大值为，OM′的最小值为 【点睛】本题属于圆综合题，轴对称，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆外一点到圆上点的距离等知识，解题的关键是对于动态问题确定临界状态，从而确定极值. 学科网（北京）股份有限公司 $$