第05讲 反比例函数的图象与性质（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第05讲 反比例函数的图象与性质（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 题型强化 题型一．反比例函数的定义 1．（2023秋•庐阳区校级期中）下列函数中，是反比例函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•蜀山区校级月考）若函数是反比例函数，则的值是 　　． 题型二．反比例函数的图象 3．（2023•蚌山区一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是　　 A． B． C． D． 4．已知函数和． （1）在所给的坐标系中画出这两个函数的图象． （2）求这两个函数图象的交点坐标． （3）观察图象，当在什么范围时，？ 题型三．反比例函数图象的对称性 5．（潜山市期末）已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则它的另一个交点的坐标是　　 A． B． C． D． 6．（萧县校级期末）已知正比例函数与反比例函数的一个交点是，则另一个交点是　　，　　． 题型四．反比例函数的性质 7．（2024•烈山区三模）下列函数中，当时，随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•青阳县期末）反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则的取值范围是 　　． 9．（贵池区月考）若函数． （1）当为何值时，该函数为二次函数？ （2）该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 题型五．反比例函数图象上点的坐标特征 10．（2023秋•亳州期末）若反比例函数的图象经过点，则的值是　　 A．3 B． C． D．2 11．（2024•庐江县一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数图象上，若，，则的值为 　　． 12．（2023秋•宣州区校级月考）如图，反比例函数的图象分别交正方形的边、于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值． 分层练习 一、单选题 1．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 2．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（      ） A． B．图象也经过点 C．若时，则 D．，y随x的增大而减小 4．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知点在反比例函数 的图象上，点在正比例函数的图象上，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知点在同一个函数图象上，则这个函数的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   8．函数的图象经过点，那么等于（          ） A． B． C． D． 9．若在反比例函数图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 10．在函数（为常数）的图象上有三个点，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点，在反比例函数上，则 ． 12．若反比例函数的图象经过点，则图象在第 象限. 13．已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为 ． 14．如图，直线与双曲线交于点A,B．过点A作轴，垂足为点P，连接．若B的坐标为，则 ． 三、解答题 15．已知点在双曲线上． (1)求a的值； (2)当时，求y的取值范围． 16．如图所示是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，试比较和的大小． 17．如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)求的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 18．已知y=y1-y2，y1与x成反比例，y2与x-2成正比例，并且当x=2时，y=5；当x=1时，y=-1．当x=-1时，求y的值． 19．已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象过第一象限的两点，，且，求的取值范围． 20．已知，与在正比例关系，与成反比例函数关系，且时，，时， (1)求与的关系式. (2)求当时，的值. 21．如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点． (1)求直线的解析式； (2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程 22．如图是反比例函数y＝的图象，当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1. (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点M，N分别在该反比例函数的两支图象上，请指出什么情况下线段MN最短(不需要证明)，并注出线段MN长度的取值范围． 23．某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 反比例函数的图象与性质（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点2．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点3．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点5．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 题型强化 题型一．反比例函数的定义 1．（2023秋•庐阳区校级期中）下列函数中，是反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义，逐项判断即可求解． 【解答】解：、是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； 、是二次函数，不是反比例函数，不符合题意； 、是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； 、是反比例函数，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般式是是解题的关键． 2．（2022秋•蜀山区校级月考）若函数是反比例函数，则的值是 　　． 【分析】形如为常数，的函数称为反比例函数，由此即可判断． 【解答】解：因为函数是自变量为的反比例函数， 所以，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是记住反比例函数的定义，属于中考基础题． 题型二．反比例函数的图象 3．（2023•蚌山区一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴左侧， ， 抛物线与轴交点在轴下方， ， 直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系． 4．已知函数和． （1）在所给的坐标系中画出这两个函数的图象． （2）求这两个函数图象的交点坐标． （3）观察图象，当在什么范围时，？ 【分析】（1）画图的步骤：列表，描点，连线．需注意函数的自变量取值范围是：全体实数；函数的自变量取值范围是：． （2）交点都适合这两个函数解析式，应让这两个函数解析式组成方程组求解即可． （3）从交点入手，看在交点的哪一边一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 【解答】解：（1）函数的自变量取值范围是：全体实数；函数的自变量取值范围是：．列表可得： （2）联立解析式：， 解得：，． 两函数的交点坐标分别为；； （3）由图象观察可得：当或时，． 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的图象．无论是求自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考． 题型三．反比例函数图象的对称性 5．（潜山市期末）已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则它的另一个交点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【解答】解：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 它的另一个交点的坐标是． 故选：． 【点评】此题考查了反比例函数图象的对称性，同学们要熟记才能灵活运用． 6．（萧县校级期末）已知正比例函数与反比例函数的一个交点是，则另一个交点是　　，　　． 【分析】此题可直接将坐标代入函数解析式，再联立解方程即可求出另一个交点． 【解答】解：正比例函数①与反比例函数②的一个交点是， 将代入①得，代入②得，即正比例函数③，反比例函数④， ，解之得，把代入③得． 另一个交点是． 故答案为：；． 【点评】本题考查函数与方程的应用，函数图象经过某点，则某点适合解析式，转化为方程求解． 题型四．反比例函数的性质 7．（2024•烈山区三模）下列函数中，当时，随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数图象的增减性即可求解． 【解答】解：、中，取全体实数，随的增大而减小，不符合题意； 、，在每个象限中，随的增大而减小，不符合题意； 、的顶点坐标为，开口向上，与轴的交点坐标分别为，，当时，随的增大而增大，符合题意； 、的顶点坐标为，开口向下，与轴的交点坐标分别为，，当，随的增大而减小，不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数、反比例函数，二次函数图象的性质，掌握上述函数图象的增减性是解题的关键． 8．（2023秋•青阳县期末）反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则的取值范围是 　　． 【分析】根据反比例函数的图象的一个分支在第二象限，可得，解不等式即可求解． 【解答】解：反比例函数的图象的一个分支在第二象限， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 9．（贵池区月考）若函数． （1）当为何值时，该函数为二次函数？ （2）该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 【分析】（1）直接利用二次函数的定义分析得出答案； （2）直接利用反比例函数的定义分析得出答案． 【解答】解：（1）函数， 时，解得：，， ， 时，该函数为二次函数； （2）该函数不可能为反比例函数． 理由：当该函数为反比例函数，则， 此时△，方程无实数根， 故该函数不可能为反比例函数． 【点评】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义，正确掌握乙元二次方程的解法是解题关键． 题型五．反比例函数图象上点的坐标特征 10．（2023秋•亳州期末）若反比例函数的图象经过点，则的值是　　 A．3 B． C． D．2 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值． 【解答】解：根据题意，得， 解得，． 故选：． 【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点． 11．（2024•庐江县一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数图象上，若，，则的值为 　　． 【分析】利用相似解答出三角形的面积，根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【解答】解：作轴，垂足为，轴，垂足为． ， ，， ， ， ， ， 丨丨， 图象在第二象限， ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握值几何意义是关键． 12．（2023秋•宣州区校级月考）如图，反比例函数的图象分别交正方形的边、于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值． 【分析】证明，可得，从而得到，设，则，根据勾股定理可得，从而得到点的坐标为，即可求解． 【解答】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 点坐标为， ， ，， ， 解得：，，（不合题意，舍去）， ， 即点的坐标为， ． 【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数的几何意义、正方形和等边三角形的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点． 分层练习 一、单选题 1．函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．全体实数 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义即可求解． 【详解】解：函数中，自变量的取值范围是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的自变量取值范围，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 2．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 当时，反比例函数图像经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小； 当时，反比例函数图像经过第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 本题中，图象分布在第二、四象限，可知，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 3．如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（      ） A． B．图象也经过点 C．若时，则 D．，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中． 把代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可． 【详解】】 解：把代入反比例函数的解析式得：，故A正确； ∵反比例函数的解析式为， 把代入求得， ∴图象也经过点，故B正确； 由图象可知时，则，故C错误； ， 随x的增大而减小， ，y随x的增大而减小，故D正确； 故选：C． 4．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不符合题意； B．可以化为是正比例函数，不符合题意； C．当时，不是反比例函数，不符合题意； D．是是反比例函数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得关于m的不等式，解不等式得，再根据反比例函数的性质作答即可． 【详解】∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴反比例函数的图象在第二象限， 故选：B． 6．已知点在反比例函数 的图象上，点在正比例函数的图象上，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数、正比例图象上点的坐标特征，将点A，点B坐标代入相对应的解析式即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数 的图象上， ∴，即，且， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 7．已知点在同一个函数图象上，则这个函数的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数，以及二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．利用排除法求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称， ∴可排除选项A、B； ∵点，可知在y轴左侧，y随x的增大而减小，可排除选项D． 故选C． 8．函数的图象经过点，那么等于（          ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点（2，3）代入y＝，求得k值，即利用待定系数法求函数的解析式． 【详解】∵函数y=的图象经过点(2,3)， ∴点(2,3)满足y=， ∴3=， 解得，k=6. 故选A. 【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式. 9．若在反比例函数图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质判断即可，熟知反比例函数中,当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当 时，在每一个象限，随的增大而增大是解题的关键． 【详解】解：因为在反比例函数 图象的任一支上，都随的增大而增大， ∴ A、故A不符合题意； B、故B不符合题意； C、故C符合题意； D、故D不符合题意． 故选：． 10．在函数（为常数）的图象上有三个点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可． 【详解】∵反比例函数的比例系数为a2+1＞0， ∴图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小， ∵-1＜-＜0， ∴点（-1，y1），（-，y2）在第三象限， ∴y2＜y1＜0， ∵＞0， ∴点（，y3）在第一象限， ∴y3＞0， ∴y2＜y1＜y3． 故选：D． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 二、填空题 11．已知点，在反比例函数上，则 ． 【答案】 【分析】此题只需将（，），（，）代入反比例函数，再令其相等就可解得的值． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征：反比例函数图象上的点的坐标，一定满足该函数的解析式，能够准确代入解出未知数是解题的关键． 12．若反比例函数的图象经过点，则图象在第 象限. 【答案】一、三 【分析】根据反比例函数图象经过点，求出k值，继而判断图象所在象限． 【详解】解：把点代入得：， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故答案为：一、三． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是掌握函数图象与比例系数的关系． 13．已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， 故答案为：． 14．如图，直线与双曲线交于点A,B．过点A作轴，垂足为点P，连接．若B的坐标为，则 ． 【答案】3 【分析】先根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，从而可得的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题意得：点与点关于原点对称， ， ，边上的高为2， 轴， ， 则， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质（对称性）是解题关键． 三、解答题 15．已知点在双曲线上． (1)求a的值； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式即可求解， （2）根据反比例函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入解析式得， 解得 （2）当时， 当时， 当时，的图象，随的增大而减小， 【点睛】本题考查了反比例函数的定义以及反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的图象的性质是解题的关键． 16．如图所示是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，试比较和的大小． 【答案】(1)第三象限， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质， （1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数大于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而减小，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据反比例图象的性质得，其中一支在第一象限，则另一支在第三象限， ∵图象在第一、三象限，则 ∴， （2）∵函数图象在第一、三象限，在每个象限内随增大而减小， ∴如果，则． 17．如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)求的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象和性质，可以得出答案； （2）把点代入函数关系式，求出m的值即可． 【详解】（1）解：因为反比例函数的图象的一个分支在第二象限，由反比例函数的性质可知， ， 得； （2）解：把代入得到： ， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 18．已知y=y1-y2，y1与x成反比例，y2与x-2成正比例，并且当x=2时，y=5；当x=1时，y=-1．当x=-1时，求y的值． 【答案】-43． 【分析】设，，得到，然后再将x=2，y=5和x=1，y=-1代入求出a，b的值即可求解． 【详解】解：由题意知：设，，其中a，b不等于0， 此时， 将x=2，y=5和x=1，y=-1代入， ，解得， 故， 当x=-1时，代入得到y=-10-11-22=-43， 故答案为：-43． 【点睛】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，成反比例一般设成，成正比例一半设成． 19．已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若，此函数的图象过第一象限的两点，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式（组）．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小， ∵， ∴，解得，， ∵， ∴， ∴的取值范围为． 20．已知，与在正比例关系，与成反比例函数关系，且时，，时， (1)求与的关系式. (2)求当时，的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据正比例关系与反比例关系设出比例式，然后把两组数据代入关系式，解方程组即可； （2）把x的值代入所求函数关系式，计算即可得解． 【详解】(1)∵与在正比例关系，与成反比例函数关系， ∴ ∵与成反比例函数关系， ∴ ∴ 代入数据可得 解得 所以，y与x之间的函数关系式为 (2)当x=−2时， 【点睛】考查待定系数法求函数解析式，能够正确的设出与的关系式，进而用待定系数法求得解析式是解题的关键. 21．如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点． (1)求直线的解析式； (2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程 【答案】(1)； (2)当在双曲线的同一支上时，；当在双曲线的不同的一支上时，． 【分析】()由点求出双曲线解析式，再求出点坐标，利用待定系数法即可求出； ()分成两种情形：一种是在双曲线的同一支上；一种是在双曲线的两一支上，然后根据反比例函数的图象及性质即可解答； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点代入双曲线解析式 得，， ∴， ∴双曲线解析式为， 把代入得， ， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由题意，可分成两种情形： 在双曲线的同一支上， ∵双曲线，在同一支上时函数值随的增大而增大， ∴当时，； 在双曲线的不同的一支上， ∵， ∴， 此时，由图象可知，，， ∴当时，； 综上，当在双曲线的同一支上时，；当在双曲线的不同的一支上时，． 22．如图是反比例函数y＝的图象，当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1. (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点M，N分别在该反比例函数的两支图象上，请指出什么情况下线段MN最短(不需要证明)，并注出线段MN长度的取值范围． 【答案】（1）（2）MN≥4 【分析】（1）根据反比例函数自变量与因变量的取值知当x＝－4时，y＝－1，当x=-1，时y=-4，代入其中一组即可求出反比例函数的解析式;（2）根据反比例函数的中心对称图性知当点M，N都在直线y＝x上时，此时线段MN的长度最短，联立y＝与y＝x即可求出M、N的坐标，再求出此时MN的距离，故线段MN长度的取值范围为MN≥4. 【详解】∵反比例函数图象的两支曲线分别位于第一、三象限， ∴当－4≤x≤－1时，y随着x的增大而减小， 又∵当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1， ∴当x＝－4时，y＝－1，由y＝ 得k＝4， ∴该反比例函数的表达式为y＝. 当点M，N都在直线y＝x上时，线段MN的长度最短， 解， 得x1=2,x2=-2, ∴点M，N的坐标分别为(2，2)，(－2，－2)， MN =4， 故线段MN长度的取值范围为MN≥4. 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是利用变量的取值来确定坐标，从而解出解析式. 23．某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2) (3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解； （3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得 ，再结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． （，为整数）； （2）解：由题意，将，代入中， ． ． ． （3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 学科网（北京）股份有限公司 $$