新疆石河子第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

2023-2024学年第二学期高二年级3月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 2、等比数列的前项和为，，，则为（ ） A. B. C. D. 或 3、函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4、已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（ ） A. B. C. D. 5、若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．的解集为 6、在长方体中，E为的中点，F为BC的中点，与平面DEF相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 7、若函数单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8、已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9、下列命题正确的有（ ） A．已知函数在上可导，若，则 B． C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 10、 在四面体中，以上说法正确的有（ ） A. 若，则可知=2 B. 若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则 C. 若 D. 若为的重心，则 11、已知函数， 则（    ） A． 存在唯一的极值点 B． 存在唯一的零点 C．直线与的图像相切 D．若， 则 12、双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．当反射光线过时，光由所经过的路程为7 C．反射光线所在直线的斜率为，则 D．记点，直线与相切，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、抛物线的准线方程为 . 14、已知函数在时取得极大值4，则 ． 15、若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是______. 16、已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题10分）在等差数列中，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18、（本小题12分）记函数的导函数为，已知，． (1)求实数的值； (2)求函数在上的值域． 19、（本小题12分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，△PAB是边长为2的正三角形，平面平面ABCD，，，E为棱PD的中点． （1）证明：平面PAB． （2）求直线BE与平面PAC所成角的正弦值． 20、（本小题12分）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 21、（本小题12分）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前项积，证明：. 22、（本小题12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4． （1）求椭圆C的标准方程 （2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2023-2024学年第二学期高二3月月考 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 缺考标记 注意事项 1．答题前请将姓名、班 级、考场、准考证号填写清 楚。 2．客观题答题，必须使用 2B铅笔填涂，修改时用橡皮 擦干净。 3．必须在题号对应的答题 区域内作答，超出答题区域 书写无效。 考  号             [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 一、选择题。1--8为单项选择题，每小题5分，共40分。9--12为多项选择 题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错 的得0分。 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步棸。 17. （本小题10分） 18. （本小题12分） 19. （本小题12分） 20. （本小题12分） 21. （本小题12分） 22. （本小题12分） 2023-2024学年第二学期高二年级3月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论双曲线焦点在轴和轴的情况，由可求得结果. 【详解】当双曲线方程为时，，则离心率； 当双曲线方程为时，，则离心率； 综上所述：双曲线的离心率为或. 故选：D. 2. 等比数列的前项和为，，，则为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列片段和性质可构造方程求得，再由可得最终结果. 【详解】由题意知：，，成等比数列， ，解得：或； ，. 故选：A. 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意， 在中， 当时，解得（舍）或 当即时，函数单调递减 ∴单调递减区间为 故选：B. 4. 已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案. 【详解】由题可得，则以PQ为直径圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D 5．若函数的导函数图象如图所示，则（    ）    A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．的解集为 【答案】A 【分析】根据导数与单调性的关系，可得答案. 【解析】对于A，由图可知，当时，；当时，. 所以为函数的极小值点，故A正确； 对于B，有图可知，当时，， 所以不是的极值点，故B错误； 对于C，由图可知，当时，，当且仅当，， 所以在上单调递增，故C错误； 对于D，由图可知，当时，单调递增，所以，故D错误. 故选：A. 6．在长方体中，E为的中点，F为BC的中点，与平面DEF相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则， 所以， 因为点在平面内，所以存在唯一一对实数，使得， 所以， 所以，解得， 所以，所以， 故选：A 7．若函数单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】依题意，即对任意恒成立， 即恒成立，因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 故选：D 8. 已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图象，过点作，垂足为，连接，则有，从而得点D的轨迹方程为²，由向量的加法法则可得，根据圆与圆的位置关系求出即可得答案. 【详解】解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为2， 如图，过点作，垂足为，连接， 为中点，即， 又， ， 点D的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 点D的轨迹方程为²， 是AB中点， ， ， 所以的最大值为 故选： 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列命题正确的有（ CD ） A．已知函数在上可导，若，则 B． C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 10. 在四面体中，以上说法正确的有（ ） A. 若，则可知=2 B. 若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则 C. 若 D. 若为的重心，则 【答案】CD 【解析】 【分析】结合向量的线性运算及数量积运算，依次判断即可. 【详解】解：如图： 对于A项，由得，， 得， 得，则，故A项错误； 对于B项，， 得， 得 ， 得，故B项错误； 对于C项，因为， 所以， 得， 而， 得， 得， 得，故C项正确； 对于D项， ，则D项正确. 故选：CD. 11．已知函数， 则（    ） A． 存在唯一的极值点 B． 存在唯一的零点 C．直线与的图像相切 D．若， 则 【答案】BCD 【分析】求得，令，根据的单调性，求得，可判定A错误；结合在上递增，且，可判定B正确；令，求得切点坐标，得出切线方程，可判定C正确；根据递增，把不等式转化为且，令，利用导数求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，函数，可得， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 所以函数在上没有极值点，所以A错误； 对于B中，因为函数在上单调递增，且， 所以在上存在唯一的零点，所以B正确； 对于C中，令，可得，即切点为， 所以切线方程为，即，所以C正确； 对于D中，因为函数在上单调递增，且， 所以且，可得且， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 12．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ BCD ） A．若，则 B．当反射光线过时，光由所经过的路程为7 C．反射光线所在直线的斜率为，则 D．记点，直线与相切，则 3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 抛物线的准线方程为 . 14．已知函数在时取得极大值4，则 ． 【答案】 【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可. 【详解】由题意可知， 因为函数在时取得极大值4，所以， 解之得， 检验，此时，令或， 令， 即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意， 故. 故答案为： 15. 若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】设切点，然后利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程化简，得到关于的二次方程，则此方程有两个不相等的实根，从而由可求得答案. 【详解】，设切点，则切线的斜率为， 故切线方程为， 取，代入，得， ∵，∴有两个不等实根， 故，解之，得或， 故答案为：或 16. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题10分）在等差数列中，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17．解：（1）设的公差为d，则， 解得， 2分 所以 4分 （2）由（1）知， 6分 所以 8分 （或） 10分 18．（本小题12分）记函数的导函数为，已知，． (1)求实数的值； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求导，即可代入求解， （2）根据导数确定单调性，即可根据单调性求解极值以及端点处的函数值，比较大小即可. 【详解】（1） 因为，所以，解得 （2）由（1）可知 由，解得或；由，解得 所以函数在，单调递增；在单调递减 又，，，． 所以，， 所以函数在上的值域为． 19．（本小题12分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，△PAB是边长为2的正三角形，平面平面ABCD，，，E为棱PD的中点． （1）证明：平面PAB． （2）求直线BE与平面PAC所成角的正弦值． 19．（1）证明： 2分 ，即． 3分 平面平面ABCD，平面平面， 4分 平面PAB． 5分 （2）解：如图，分别取AB，BC的中点O，F，连接OP，OF． ，平面PAB． 以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设是平面PAC的法向量，则 令，得，则 故直线BE与平面PAC所成角的正弦值为 12分 20．（本小题12分）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程； (2)函数求导 ，对分类讨论，进而求得单调性. 【详解】（1）当时，， ，所以，曲线在处的切线方程为. （2）， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，则(舍)或， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. ③当时，令，则或(舍)， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增； 当时，当时，函数单调递减             当时，函数单调递增； 当时，当时，函数单调递减；             当时，函数单调递增 21. （本小题12分）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前项积，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得； （2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证. 【小问1详解】 由是首项为、公差为的等差数列， 故， 即， 当时，， 故 ， 当时，，符合上式， 故； 【小问2详解】 由，， 故， 则 ， 由， 故， 则. 22. （本小题12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4． （1）求椭圆C的标准方程 （2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）标准方程为． （2）直线l过定点 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线性质可得四边形OMPN的周长即为2a，椭圆的右顶点到右焦点的距离为a－c， 联立即可得椭圆方程； （2）分类讨论斜率存在与斜率不存在，当斜率存在时设出直线方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，再由可得k与m的关系式，将其代入直线方程可得定点，当斜率不存在时，代入计算即可. 【小问1详解】 M，N分别为线段的中点，O是坐标原点， ， 四边形OMPN的周长为， ， ， ， 椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 设， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 代入，整理得， 则， ． 易知， ， 化简得， 或(舍去)， 直线l的方程为，即，直线l过定点． 当直线l的斜率不存在时，设， 代入，解得， 由得， ，解得或(舍去)， 此时直线l过点． 综上，直线l过定点． 【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 学科网（北京）股份有限公司 $$2023-2024 学年第二学期高二年级 3 月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1、已知双曲线的渐近线方程为 2y x  ，则双曲线的离心率为（ ） A. 5 2 B. 5 C. 5 5 D. 5 2 或 5 2、等比数列 na 的前 n项和为 nS ， 2 7S  ， 6 91S  ，则 4S 为（ ） A. 28 B. 32 C. 21 D. 28或 21 3、函数 2 1 ln 2 y x x  的单调递减区间为（ ） A．  1,1 B．  0,1 C． 1, D．  0,  4、已知点  4,2P  和圆 Q：    2 24 2 16x y    ，则以 PQ为直径的圆与圆 Q的公共弦长是（ ） A. 2 5 B. 2 3 C. 4 5 D. 4 3 5、若函数 ( )y f x 的导函数 ( ) ( )y x f x   图象如图所示，则（ ） A． 3 是函数 ( )f x 的极小值点 B． 1 是函数 ( )y f x 的极小值点 C．函数 ( )f x 的单调递减区间为 ( 2,1) D． ( ) 0x   的解集为 ( , 3)  6、在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E为 1 1AB 的中点，F 为 BC 的中点， 1AC 与平面 DEF 相交于点 O，则 1 AO OC  （ ） A． 4 5 B． 3 5 C． 1 3 D． 2 3 7、若函数   4 lnf x x a x x    单调递增，则实数 a的取值范围为（ ） A．  , 0 B．  , 4  C． 4,4 D．  , 4 8、已知点 P是圆 2 2: ( 2) ( 2) 2M x y    上的动点，线段 AB是圆 2 2: ( 1) ( 1) 4C x y    的一条动弦， 且 | | 2 3AB  ，则 | |PA PB   的最大值是（ ） A. 3 2 B. 8 2 C. 5 2 D. 8 2 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。 9、下列命题正确的有（ ） A．已知函数  f x 在R 上可导，若  1 2f   ，则     0 1 2Δ 1 lim 2 Δx f x f x     B． 2 cos sin cosx x x x x x        C．已知函数    ln 2 1f x x  ，若  0 1f x  ，则 0 1 2 x  D．设函数  f x 的导函数为  f x ，且    2 3 2 lnf x x xf x   ，则   92 4 f    10、 在四面体 P ABC中，以上说法正确的有（ ） A. 若 1 2 3 3 AD AC AB     ，则可知 BC  =2 BD  B. 若四面体 P ABC各棱长都为 2，M N， 分别为 PA BC， 的中点，则 1MN   C. 若 0, 0, 0则            PA BC PC AB PB AC D. 若Q为 ABC 的重心，则 1 1 1 3 3 3 PQ PA PB PC   uuur uur uur uuur 11、已知函数    1 ln f x x x， 则（ ） A．  f x 存在唯一的极值点 B．  f x 存在唯一的零点 C．直线2 2 0x y   与  f x 的图像相切 D．若    lnf ax f x ， 则 1a e  12、双曲线具有如下光学性质：如图 1F ， 2F 是双曲线的左、右焦点，从右焦点 2F 发出的光线m交双曲线右支于点 P，经双曲线反射后，反射光线 n的反向延长线 过左焦点 1F ．若双曲线C的方程为 2 2 1 9 16 x y   ，下列结论正确的是（ ） A．若m n ，则 1 2 16PF PF  B．当反射光线 n过  7,5Q 时，光由 2F P Q  所经过的路程为 7 C．反射光线 n所在直线的斜率为 k，则 40, 3 k     D．记点  1,0T ，直线 PT 与C相切，则 2 12PF  三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。 13、抛物线 2 4x y 的准线方程为 . 14、已知函数   3 2f x x ax b   在 2x   时取得极大值 4，则 a b  ． 15、若曲线  1 exy x  过点  ,0P a 的切线有且仅有两条，则实数 a的取值范围是______. 16、已知椭圆和双曲线有共同的焦点 1F 、 2F ，M 是它们的一个交点，且 1 2 1cos 4 FMF  ，记椭圆和双曲线 的离心率分别为 1e 、 2e ，则 1 2 1 e e 的最大值为__________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本小题 10分）在等差数列 na 中， 2 4 6 6a a a   ． （1）求 na 的通项公式； （2）求数列 1 2 1 2 ( ) na n na a a      的前 n项和 nS ． 18、（本小题 12 分）记函数  f x 的导函数为  f x ，已知   3 21 2 4 6 3 2 kf x x x kx         ，  5 3f   ． (1)求实数 k的值； (2)求函数  f x 在 0,5 上的值域． 19、（本小题 12分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是平行四边形，△PAB是边长为 2的正三角形， 平面 PAB 平面 ABCD， 3 ABC   ， 4BC  ，E为棱 PD的中点． （1）证明： AC 平面 PAB． （2）求直线 BE与平面 PAC所成角的正弦值． 20、（本小题 12 分）已知函数    2 212 ln 2 f x a x x ax a    R ． (1)当 1a  时，求曲线  y f x 在   1, 1f 处的切线方程； (2)讨论函数  f x 的单调性； 21、（本小题 12 分）设 nS 为数列 na 的前 n项和，已知  1 nS n n        是首项为 1 2 、公差为 1 3 的等差数列. （1）求 na 的通项公式； （2）令  2 1 n n n n a b S   ， nT 为数列 nb 的前 n项积，证明： 1 6 1 5 nn i i T    . 22、（本小题 12 分）已知 1 2,F F 分别是椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左、右焦点，A 是 C 的右顶点， 2 2 3AF   ，P 是椭圆 C 上一点，M，N 分别为线段 1 2,PF PF 的中点，O 是坐标原点，四边形 OMPN 的周 长为 4． （1）求椭圆 C 的标准方程 （2）若不过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于 D，E两点，且 0AD AE    ，判断直线 l是否过定点，若过定点， 求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．