专题01 空间向量及其线性运算（二）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

02空间向量及其线性运算（二） 一、知识填空： 1.共线（平行）向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为 ． （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使 ． （2）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使，若在上取，则. （3）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中. 2.共面向量：平行于 的向量，叫做共面向量． （1）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在 的有序实数对，使 （2）空间共面向量的表示：如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使或者（为空间任意一点）. （3）对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是. （其中）． 自检自纠： 1．平行,重合, （1） （2）， （3）1 2．同一平面 （1）唯一 （2）， （3） 二、分层小练： A.基础训练 1．下列命题中正确的是（    ） A．空间任意两个向量共面 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．若，，则与所在直线平行 D．若，则存在唯一的实数，使 【答案】A 【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确； 空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错； 若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错； 若，当时，不存在唯一的实数，使，D错． 故选：A． 2．已知为空间任意一点，若，则四点（    ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 【答案】B 【详解】由题设，所以，则，故四点共面.故选：B 3．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 【答案】 【详解】由，，共面得四点共面，则根据四点共面的充要条件可得，，即．故答案为：. 4．（多选）下列命题中是真命题的为（    ） A．若与共面，则存在实数，使 B．若存在实数，使向量，则与共面 C．若点四点共面，则存在实数，使 D．若存在实数，使，则点四点共面 【答案】BD 【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量.若与不共线，则不能表示，故A项错误； 对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确； 对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误； 对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确. 故选：BD. B.提升强化 5.在长方体中，为的中点，在上，且，为的中点.求证：，，三点共线. 【详解】由图作出如图所示长方体,由题可得，， ， 所以，所以，E，N三点共线. 6.已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面． 证明：因为， 所以，，，． 因为四边形是平行四边形，所以． 因此 ． 由向量共面的充要条件可知，，，共面， 又，，过同一点， 所以，，，四点共面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01空间向量及其线性运算（二） 一、知识填空： 1.共线（平行）向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为 ． （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使 ． （2）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使，若在上取，则. （3）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中. 2.共面向量：平行于 的向量，叫做共面向量． （1）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在 的有序实数对，使 （2）空间共面向量的表示：如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使或者（为空间任意一点）. （3）对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 自检自纠：1．平行,重合, （1） （2）， （3）1 2．同一平面 （1）唯一 （2）， （3） 二、分层小练： A.基础训练 1．下列命题中正确的是（    ） A．空间任意两个向量共面 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．若，，则与所在直线平行 D．若，则存在唯一的实数，使 2．已知为空间任意一点，若，则四点（    ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 3．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 4．（多选）下列命题中是真命题的为（    ） A．若与共面，则存在实数，使 B．若存在实数，使向量，则与共面 C．若点四点共面，则存在实数，使 D．若存在实数，使，则点四点共面 B.提升强化 5.在长方体中，为的中点，在上，且，为的中点.求证：，，三点共线. 6.已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$