专题01 空间向量及其线性运算（一）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

01空间向量及其线性运算（一） 一、知识填空： 1．空间向量 在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量.空间向量的 叫做空间向量的长度或 ． 2．几类特殊向量： （1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记为.（2）单位向量：模为 的向量叫做单位向量. （3）相反向量：与长度 而方向 的向量叫做的相反向量，记为. （4）共线向量或平行向量：若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量；规定：零向量与任意向量 ．即对任意向量，都有. （5）相等向量：方向 且模 的向量. 3．空间向量的线性运算 （1）加法： ；（2）减法： . （3）数乘运算：当时,;当时,;当时,. 4.运算律 （1）交换律： ；（2）结合律： ， ； （3）分配律： . 5．一般地，对于三个不共面的向量，以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以O为起点的平行六面体的 所表示的向量. 自检自纠：1．大小,方向,大小,模 2．（1）0 （2）1（3）相同 ,相反（4）平行,重合,平行（5）相同,相等 3． （1）（2） 4.（1）（2）， （3） 5．体对角线 二、分层小练： A.基础训练 1．下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 2．在长方体中，若，，，则与有相等模的向量共有 个． 3．空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 4．如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． B.提升强化 7．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若，则 x＋y＋z等于(　 　) A． B． C． D． 8．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 9．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01空间向量及其线性运算（一） 一、知识填空： 1．空间向量 在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量.空间向量的 叫做空间向量的长度或 ． 2．几类特殊向量： （1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记为. （2）单位向量：模为 的向量叫做单位向量. （3）相反向量：与长度 而方向 的向量叫做的相反向量，记为. （4）共线向量或平行向量：若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量；规定：零向量与任意向量 ．即对任意向量，都有. （5）相等向量：方向 且模 的向量. 3．空间向量的线性运算 （1）加法： ；（2）减法： . （3）数乘运算：当时,;当时,;当时,. 4.运算律 （1）交换律： ；（2）结合律： ， ； （3）分配律： . 5．一般地，对于三个不共面的向量，以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以O为起点的平行六面体的 所表示的向量. 自检自纠：1．大小,方向,大小,模 2．（1）0 （2）1（3）相同 ,相反（4）平行,重合,平行（5）相同,相等 3． （1）（2） 4.（1）（2）， （3） 5．体对角线 二、分层小练： A.基础训练 1．下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 2．在长方体中，若，，，则与有相等模的向量共有 个． 【答案】7 【详解】如图，与有相等模的向量有，共7个，故答案为7 3．空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据向量的加法、减法法则，得.故选：A. 4．如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以．故选C 5．已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C. B.提升强化 6．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若，则 x＋y＋z等于(　 　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，又，可得，则. 7．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】,所以，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$