精品解析：重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟试题

重庆市西南大学附属中学2023-2024学年九年级上学期数学期中模拟 考试时间：120分钟；满分：150分 学校：____________姓名：____________班级：____________考号：____________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A.     B.     C.     D.     3. 如图，下列不能判定的条件是（　　） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 4.5和5之间 B. 5和5.5之间 C. 5.5和6之间 D. 6和6.5之间 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（ ） A 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 3：2 6. 反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 7. 已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，点F在上，过点E作，垂足为点G，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中的个数为（ ） A 96 B. 88 C. 86 D. 98 10. 已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是（ ） ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等； ②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共32分） 11. 计算：___________. 12. 等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和18两部分，则腰长为_______． 13. 现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“学”、“习”．小光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是__________． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____． 15. 如图，是等边三角形，是边的中点，点在边上，连接，将沿翻折得，连接、，已知，，则的面积是______． 16. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和的平方为____________． 17. 平行四边形中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接．再以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，若，且平分，，则图中阴影部分面积为______．（结果不取近似值） 18. 对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当的值最小时，称此时的为自然数的“魅力数”，并规定．例如：时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为351、315、531、513、135、153，因为的值最小，所以315是157的“魅力数”，此时，则_______，若、都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且，，其中，，、均为整数）若能被5整除，能被11整除，则的最大值为_______． 三、解答题（共78分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 如图，在中，连接． （1）用直尺和圆规过点B作的垂线，交线段的延长线于点E，连接，要求尺规作图（用基本工具作图，要保留作图痕迹，不写作法，不写结论）． （2）若，求证：四边形为菱形． 证明：∵， ∴_________________， ∵在中，， ∴， ∴_________________， ∴， ∵， ∴_________________， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为 _________________， ∵， ∴四边形菱形（__________________________________）． 21. 在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用表示，；；；；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取七年级学生成绩在组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89 抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86 抽取的七年级学生劳动能力测评成绩条形统计图 抽取的八年级学生劳动能力测评成绩扇统计图 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78．9 79 八年级 78．9 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______________________，____________． （2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）． （3）若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ 22. 甲、乙两支队伍计划自驾去旅游．两队计划同一天出发，沿不同路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程1600千米，乙队走路线，全程2000千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的1.5倍，这样乙队用以比甲队提前1天到达目的地． （1）求甲、乙两队分别多少天到达目的地？ （2）在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为336元．甲队最开始计划有13个人同行，计划每人每天花费400元，后来又有若干个人一起加入甲队，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少40元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费48000元，后来有多少人加入甲队？ 23. 某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且米．（参考数据：，，） （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 24. 如图1，为等边三角形，，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到A点停止，作交直线于E，设，点D的运动时间为t． （1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合图象直接写出时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2） 25. 如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、． （1）判断的形状，并说明理由； （2）如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； （3）如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标． 26. 如图，在平行四边形中，是对角线，，点E是边上一点，连接，将绕着点A顺时针旋转得到线段． （1）如图1，若，连接，，，求的面积； （2）如图2，若，连接交于，求证：； （3）若在（2）的条件下，，点P为边上一动点，连接，将线段绕着点E顺时针旋转60°得到线段，连接，当线段取得最小值时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市西南大学附属中学2023-2024学年九年级上学期数学期中模拟 考试时间：120分钟；满分：150分 学校：____________姓名：____________班级：____________考号：____________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 3. 如图，下列不能判定的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，本选项不符合题意； B、，则，不能判断，本选项符合题意； C、，则，本选项不符合题意； D、，则，本选项不符合题意； 故选：B． 4. 估计值应在（ ） A. 4.5和5之间 B. 5和5.5之间 C. 5.5和6之间 D. 6和6.5之间 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简二次根式进而得出的取值范围进而得出答案． 【详解】解： ∵ ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（ ） A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 3：2 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似性质，两个三角形相似周长比等于相似比，根据题意求解即可得到答案． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ， ， 两个三角形的相似比为， 与的周长比是， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形性质，熟记两个三角形相似的周长比等于相似比是解决问题的关键． 6. 反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，将点代入解析式，求解即可． 【详解】解：由题意可得，将点代入解析式可得， ，解得， 故选：C． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7. 已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根与系数的关系得，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得：，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 8. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，点F在上，过点E作，垂足为点G，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，可得，再利用等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 9. 下列图形都是由同样大小△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中的个数为（ ） A. 96 B. 88 C. 86 D. 98 【答案】A 【解析】 【分析】写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第个图形中正三角形个数一共是：（个）， 所以，第⑧个图形中圆和正三角形个数一共是：（个）． 故选：A． 【点睛】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键． 10. 已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是（ ） ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等； ②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的意义求解． 【详解】解：①， 故①正确； ②， 则，添绝对值变为16，则之和为0， 故②正确； ③， 可得：的符号不变，、、、的符号会发生变化， 列举法得到化简后的结果为：，，，，，，，，共八种， 故③正确， 综上，正确的有①②③海，共3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、相反数的定义，理解新定义及绝对值是的意义是解题关键． 二、填空题（共32分） 11. 计算：___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据求一个数的算术平方根、乘方运算、零指数幂运算法则进行运算，再进行有理数的加减运算，即可求得结果． 详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根、乘方运算、零指数幂运算法则，有理数的加减运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 12. 等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和18两部分，则腰长为_______． 【答案】8或12 【解析】 【分析】设腰长为x，分①12是腰长与腰长的一半的和，②18是腰长与腰长的一半的和求解，再求出底边长，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形． 【详解】解：设腰长为x， ①若12是腰长与腰长的一半的和，则， 解得，此时，底边， 8、8、14能组成三角形； ②若18是腰长与腰长的一半的和，则， 解得，此时，底边， 12、12、6能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的腰长是8或12． 故答案为：8或12． 【点睛】本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形． 13. 现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“学”、“习”．小光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法的知识，解题的关键是根据题意，画出树状图或者列表法，求出所有等结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】树状图如下： ∴共种结果，其中这两张刮刮卡上的文字刚好是“我”和“学”共种等可能的结果， ∴这两张刮刮卡上的文字刚好是“我”和“学”的概率为：， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据方程有实数根可得，解不等式即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ ∴解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 15. 如图，是等边三角形，是边的中点，点在边上，连接，将沿翻折得，连接、，已知，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据中点和折叠的性质，推出，进而推出，得到，利用平行线间的距离处处相等，得到，设，则：，，利用，求出的值，连接，勾股定理求出的长，再利用进行求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵折叠， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则：，， ∴， ∴， ∴， 连接，则：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键熟练掌握相关知识点，并灵活运用，本题的综合性强，难度较大，属于填空题中的压轴题． 16. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和的平方为____________． 【答案】625 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，根据解集为，得出；把a当做已知数，求解分式方程，再根据分式方程有意义的条件，以及分式方程解为整数，得出a的值，即可求解． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵不等式组的解集为， ∴； ， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得∶ ， 化系数为1，得：； ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或, 解得：或13或4． ∴符合条件的所有整数的和的平方， 故答案为：625． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，解题的关键是掌握写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”；以及解分式方程的方法和步骤． 17. 平行四边形中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接．再以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，若，且平分，，则图中阴影部分面积为______．（结果不取近似值） 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质推出是等边三角形，是等腰三角形，由直角三角形的性质求出的长，得到的长，求出扇形的面积，扇形的面积，的面积，的面积，即可求出阴影的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，平行四边形的性质，直角三角形的性质，关键是证明是等边三角形，是等腰三角形；明白阴影的面积． 18. 对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当的值最小时，称此时的为自然数的“魅力数”，并规定．例如：时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为351、315、531、513、135、153，因为的值最小，所以315是157的“魅力数”，此时，则_______，若、都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且，，其中，，、均为整数）若能被5整除，能被11整除，则的最大值为_______． 【答案】 ①. 64 ②. 100 【解析】 【分析】利用“魅力数”的定义求出248的“魅力数”，再利用，计算即可；利用整数的整除的性质和数位上的数字的特征求得，值，求得值，利用“魅力数”的定义求出的“魅力数”，再利用，分别计算即可得出结论． 【详解】解：当时， 其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6、2、4， 重新组合后的数为：624，642，426，462，246，264， 的值最小， 是248的“魅力数”， 此时． ，， ， 能被5整除， 也能被5整除， ，整数， 或9． ，， ， 能被11整除， 也能被11整除， ，为整数， ． 或129． 当时， 其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、6、2， 重新组合后的数为：623，632，326，362，236，263， 的值最小， 是124“魅力数”， 此时． 当时， 其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6、3、7， 重新组合后的数为：637，673，736，763，376，367， 的值最小， 是129的“魅力数”， 此时． 综上，则的最大值为100． 故答案为：64；100． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，有理数的混合运算，有理数的整除性，本题是阅读型题目，准确理解题目中概念与公式并熟练应用是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用整式的混合运算法则即可求解． （2）利用分式的混合运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算及分式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 20. 如图，在中，连接． （1）用直尺和圆规过点B作的垂线，交线段的延长线于点E，连接，要求尺规作图（用基本工具作图，要保留作图痕迹，不写作法，不写结论）． （2）若，求证：四边形为菱形． 证明：∵， ∴_________________， ∵在中，， ∴， ∴_________________， ∴， ∵， ∴_________________， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为 _________________， ∵， ∴四边形为菱形（__________________________________）． 【答案】（1）见解析 （2），，，平行四边形，邻边相等的平行四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）如图，以为圆心，适当长为半径画弧，交、的延长于，分别以为圆心，大于的长为半径画弧交点为，连接，交的延长线于，连接即可； （2）按照步骤进行作答即可． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）． 故答案为：，，，平行四边形，邻边相等的平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查了作垂线，平行四边形判定与性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 21. 在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用表示，；；；；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89 抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86 抽取的七年级学生劳动能力测评成绩条形统计图 抽取的八年级学生劳动能力测评成绩扇统计图 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78．9 79 八年级 78．9 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______________________，____________． （2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）． （3）若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ 【答案】（1）82，85，24 （2）八年级学生的劳动能力更强；理由见解析 （3）该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩，由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个，即可求出a；根据抽取的八年级学生成绩在、组共有17人，求出八年级B组和C组学生人数所占百分比，即可求出m；求出八年级A、D两组组学生人数，根据题意可得：成绩为85分的有7人，即可求出b； （2）根据表格中的数据进行分析即可； （3）用该校七、八年级总人数乘以抽取的七八年级学生中成绩为优秀的人数所占百分比即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得：七年级抽取25名学生的测试成绩， ∴七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩， 由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个， 将抽取的七年级学生成绩在组的全部数据排序为：81、81、82、83、84、84、86、87、88、89， ∴七年级第13名学生测试成绩为82，即； 根据题意可得：抽取的八年级学生成绩在、组共有17人， ∴八年级B组和C组学生人数所占百分比为：， ∴八年级D组学生人数所占百分比为：，则； ∴八年级A组学生人数为：（人），八年级D组学生人数为：（人）， 根据抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据可得：成绩为85分的有7人，是B、C两组中出现次数最多的，且大于A、D两组人数， ∴八年级学生测试成绩众数为85，即； 故答案为：82，85，24； 【小问2详解】 解：八年级学生的劳动能力更强，理由：七年级和八年级测评成绩的平均数相同，但是八年级学生测评成绩的中位数和众数都高于七年级，故八年级学生的劳动能力更强； 【小问3详解】 解：（人） 答：该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀． 【点睛】本题主要考查了根据统计图获取信息，求中位数和众数，用样本估计总体，解题的关键是掌握中位数和众数的定义，用样本估计总体的方法． 22. 甲、乙两支队伍计划自驾去旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程1600千米，乙队走路线，全程2000千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的1.5倍，这样乙队用以比甲队提前1天到达目的地． （1）求甲、乙两队分别多少天到达目的地？ （2）在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为336元．甲队最开始计划有13个人同行，计划每人每天花费400元，后来又有若干个人一起加入甲队，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少40元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费48000元，后来有多少人加入甲队？ 【答案】（1）甲队花了6天到达目的地，乙队花了5天 （2）后来有7人加入甲队 【解析】 【分析】（1）设甲队花了x天到达，则乙队花了天，由题意，列出分式方程求解即可得到答案； （2）设后来有人加入甲队，由题意，列一元二次方程方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲队花了x天到达，则乙队花了天，由题意可得 ，解得， 经检验，为原方程的解且符合题意， ∴（天）， 答：甲队花了6天到达目的地，乙队花了5天； 【小问2详解】 解：设后来有人加入甲队，由题意可得 ， 整理得，即， 解得∴，（舍去） 答：后来有7人加入甲队． 【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． 23. 某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且米．（参考数据：，，） （1）求的长度（精确到个位）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 【答案】（1）米； （2）应选择乘坐观光车． 【解析】 【分析】（1）作于M，于N，推出四边形是矩形，得到，求出（米），由锐角的正切定义求出的长，由是等腰直角三角形，得到，求出的长，即可解决问题； （2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断． 【小问1详解】 解：作于M，于N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：由勾股定理得到（米）， ∴（米）， ∴乘坐观光车的时间是（分钟）， 乘坐空中缆车的时间是（分钟）， ∴应选择乘坐观光车． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题． 24. 如图1，为等边三角形，，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到A点停止，作交直线于E，设，点D的运动时间为t． （1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合图象直接写出时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）画图见解析，当时，取最小值3 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，可得，，分两种情况：当时，，，当时，，； （2）描点再顺次连接可得函数图象，由图象可得函数的一条性质； （3）观察图象可得答案． 【小问1详解】 根据题意得：，，， ，， ， ， ， 当时，如图： ， ， 当时，如图： ， ； ； 【小问2详解】 当时，，当时，；当时，， 画出函数图象如下： 由图象可知，当时，取最小值3（答案不唯一）； 【小问3详解】 观察图象可得，时，或． 【点睛】本题考查三角形综合应用，等边三角形的性质，涉及一次函数及图象，解题的关键是分类讨论思想的应用． 25. 如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、． （1）判断的形状，并说明理由； （2）如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； （3）如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标． 【答案】（1）是直角三角形； （2）四边形面积的最大值为36，点M的坐标为； （3）或，，， 【解析】 【分析】（1）令，则，得到；令，则，，得到，，则，，，则，利用勾股定理在中，求得，在中，求得，因此，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形； （2）采用待定系数法设直线的函数解析式为，把点，代入可求得直线的函数解析式为．设点M的坐标为 过点M作轴于点E，交于点F，则点F的坐标为，根据两点间距离可求得，因此；由于，，根据平行线间距离处处相等可得，所以，根据二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值，进而求得此时点M的坐标； （3）由原抛物线可得对称轴为，将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，因此新抛物线的对称轴为，设点P的坐标为，根据两点间距离公式可得，，．若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：①，②，③，分别代入即可得到方程，求解即可解答． 【小问1详解】 令，则， ∴点A的坐标为， 令，则， 解得，， ∴点B的坐标为，点C的坐标为． ∵，， ∴，，， ∴在中，， 在中，， ， ∴， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 设直线的函数解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为． 设点M的坐标为 过点M作轴于点E，交于点F，则点F的坐标为 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为， 此时， 即点M的坐标为． 【小问3详解】 原抛物线的对称轴为， ∵在中，，，， ∴将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移， ∴新抛物线的对称轴为 ∵点P是新抛物线对称轴上的一点， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴， ， ． 若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况： ①，则， 解得， 此时点P的坐标为； ②，则， 解得， 此时点P的坐标为或； ③，则， 解得， 此时点P的坐标为或． 综上所述，若以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，，． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，勾股定理与其逆定理，二次函数的性质，二次函数的平移，等腰三角形的性质，综合运用各个知识，运用分类讨论的数学思想是解题的关键． 26. 如图，在平行四边形中，是对角线，，点E是边上一点，连接，将绕着点A顺时针旋转得到线段． （1）如图1，若，连接，，，求的面积； （2）如图2，若，连接交于，求证：； （3）若在（2）的条件下，，点P为边上一动点，连接，将线段绕着点E顺时针旋转60°得到线段，连接，当线段取得最小值时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图：过点A作的垂线交于点M，再证可得，进而得到，再根据直角三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式计算即可； （2）在上截取，连接，先证可得，再证可得，然后再线段的和差和等量代换即可解答； （3）先求得,,再连接,则，当，即有最小值，再根据勾股定理求得，最后根据平行四边形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过点A作的垂线交于点M， ， ， 在和， ， ， ， 又∵，， ， 又∵，， ， ． 【小问2详解】 解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∵ ． 【小问3详解】 解：如图：∵， ∴，, 连接， 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点E顺时针旋转60°得到线段， ∴，，即, 在和中， , ∴, ∴, ∵， ∴, ∴，点的轨迹为过点H且平行的直线， 过H作，其延长线角于M，过C作于Q， 由点到直线的距离，垂线段最短，可知：当时，即有最小值 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边性的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$