专题09 比例线段（8大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（沪科版）

专题09 比例线段 目录 【题型一 成比例线段的概念辨析】 1 【题型二 成比例线段与比例尺的结合】 2 【题型三 利用用成比例的性质求字母的值】 2 【题型四 利用用成比例的性质求代数式的值】 2 【题型五 利用用比例的性质进行证明】 3 【题型六 比例的性质在阅读理解中的运用】 3 【题型七 黄金分割的概念辨析】 5 【题型八 黄金分割的实际应用】 5 【题型一 成比例线段的概念辨析】 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）已知线段，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练】 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 2．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为 ． 【题型二 成比例线段与比例尺的结合】 例题：（23-24九年级上·安徽安庆·期末）2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为的导游图上，它们之间的距离大约相当于（     ） A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度 C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度 【变式训练】 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在比例尺为 的地图上，量得线段 两地距离是 ，则两地实际距离为 ． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为，该市城区南北实际长为，则该规划图的比例尺是 ． 【题型三 利用用成比例的性质求字母的值】 例题：（23-24八年级下·山东烟台·期中）如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若，且，则 ， ， ． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知比例，则的值为 ． 【题型四 利用用成比例的性质求代数式的值】 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）若，则 ． 2．（22-23九年级上·海南海口·期中）已知，则的值是 ． 【题型五 利用用比例的性质进行证明】 例题：（22-23九年级上·江西萍乡·期末）若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如果，那么下列比例式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型六 比例的性质在阅读理解中的运用】 例题：（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）请阅读下面材料，并回答所提出的问题． 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． 已知：如图，中，是角平分线，求证：． 分析：在比例式中，恰是、、的第四比例项，所以考虑过作，交的延长线于，从而得到、、的第四比例项，这样，证明就可以转化成证明． AI   证明：如图，过作，交的延长线于，则，．平分，，，，，，． (1)上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可） (2)在上述分析、证明过程中，主要用到了下面三种数学思想中的哪一种？选出一个填在后面的括号内（只填序号）（    ） ①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想． (3)用三角形内角平分线性质定理解答问题：    已知：如图，在中，是角平分线，，，．求的长． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考： 数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题． “兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”． “智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为． 解决问题： (1)“兴趣小组”设计的方案中，小正方形的边长约等于_______（）； (2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？ 【题型七 黄金分割的概念辨析】 例题：（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）点P是线段的黄金分割点，，若，则 ． 【题型八 黄金分割的实际应用】 例题：（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（    ）．（结果保留根号）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为20米，试计算主持人应走到离A点 米，就处在比较得体的位置．（，结果精确到米） 2．（2021·陕西·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）对于线段a，b，若，则下列四个选项一定正确的（   ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，那么下列等式中一定正确的是    （    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）若，则的值是 ． 7．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是 ． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 9．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，其中，那么 ． 10．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）已知，则= ．化简= ． 三、解答题 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 12．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 13．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 14．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）若，且，求的值； （2）若，则______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 比例线段 目录 【题型一 成比例线段的概念辨析】 1 【题型二 成比例线段与比例尺的结合】 2 【题型三 利用用成比例的性质求字母的值】 4 【题型四 利用用成比例的性质求代数式的值】 5 【题型五 利用用比例的性质进行证明】 6 【题型六 比例的性质在阅读理解中的运用】 7 【题型七 黄金分割的概念辨析】 11 【题型八 黄金分割的实际应用】 13 【题型一 成比例线段的概念辨析】 例题：（23-24九年级上·全国·单元测试）已知线段，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段，根据线段a，b，c，d成比例，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴ ∴； 故选D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的意义和性质的运用，掌握比例的基本性质“两外项的积等于两内项的积”成为解题的关键． 根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以0.4，0.6，1，1.5能组成比例，符合题意； B、因为，所以不能组成比例，不符合题意； C、因为，所以1，3，4，6不能组成比例，不合题意； D、因为，所以1，2，3，4不能组成比例，不合题意． 故选：A． 2．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据是的比例中项，得到，代入计算即可． 本题考查了比例中项的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：6． 【题型二 成比例线段与比例尺的结合】 例题：（23-24九年级上·安徽安庆·期末）2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为的导游图上，它们之间的距离大约相当于（     ） A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度 C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度 【答案】A 【分析】本题考查了比例尺，比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离． 【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得它们之间的图上距离是米厘米． 大约相当于一支粉笔的长度． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在比例尺为 的地图上，量得线段 两地距离是 ，则两地实际距离为 ． 【答案】240 【分析】本题考查比例线段，比例尺的定义，设实际距离为，根据比例尺的定义列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设实际距离为， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：240． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为，该市城区南北实际长为，则该规划图的比例尺是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离，列比例式求得这两地的实际距离． 【详解】解：根据题意得：该规划图的比例尺是． 故答案为：． 【题型三 利用用成比例的性质求字母的值】 例题：（23-24八年级下·山东烟台·期中）如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得，代入，即可求解． 【详解】解：， ， ． ， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若，且，则 ， ， ． 【答案】 4 10 14 【分析】本题考查比例的性质，设，得到，代入，求出的值即可． 【详解】解：设，则：， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知比例，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质：比例的内项之积与外项之积相等．据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴的值为或． 故答案为：或． 【题型四 利用用成比例的性质求代数式的值】 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了比例的性质，直接利用已知进而表示出a，b，c，进而代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴设，，， ， 故选：D． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 利用比例的性质，设，再把它们代入所求的代数式，然后约分即可． 【详解】解：∵， 设， ， 故答案为：3． 2．（22-23九年级上·海南海口·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型五 利用用比例的性质进行证明】 例题：（22-23九年级上·江西萍乡·期末）若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解∶A．由得，故本选项不符合题意； B．由得，故本选项符合题意； C．由得，故本选项不符合题意； D．由得，故本选项不符合题意； 故选∶B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如果，那么下列比例式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，把比例式化成等积式是解题的关键．从选项判断，把每一个比例式化成等积式即可解答． 【详解】选项A中，因为所以，故A不符合题意； 选项B中，因为，所以，故B不符合题意； 选项C中，因为，所以，故C符合题意； 选项D中，因为，所以，所以，所以，故D不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，那么下列四个选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意； B、由，得，则，故本选项错误，不符合题意； C、由，得，则 ，故本选正确，符合题意； D、由，得，则，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【题型六 比例的性质在阅读理解中的运用】 例题：（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）请阅读下面材料，并回答所提出的问题． 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． 已知：如图，中，是角平分线，求证：． 分析：在比例式中，恰是、、的第四比例项，所以考虑过作，交的延长线于，从而得到、、的第四比例项，这样，证明就可以转化成证明． AI   证明：如图，过作，交的延长线于，则，．平分，，，，，，． (1)上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可） (2)在上述分析、证明过程中，主要用到了下面三种数学思想中的哪一种？选出一个填在后面的括号内（只填序号）（    ） ①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想． (3)用三角形内角平分线性质定理解答问题：    已知：如图，在中，是角平分线，，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)② (3) 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的理解及运用，等腰三角形的性质． （1）由比例式，用到了平行线的性质定理；只要证明即可，用到了等腰三角形的判定定理；由，写出比例式，用到了平行线分线段成比例定理； （2）把转化成，是用的转化思想； （3）利用三角形内角平分线性质定理，列出比例式，代入数据计算出结果． 【详解】（1）解：证明过程中用到的定理有： ①平行线的性质定理； ②等腰三角形的判定定理； （2）把转化成，是用的转化思想； 故答案为：②． （3）∵是角平分线， ∴， 又，，． ∴ 解得： 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考： 数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题． “兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”． “智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为． 解决问题： (1)“兴趣小组”设计的方案中，小正方形的边长约等于_______（）； (2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由黄金矩形的定义可得，再分别求出长度，即可求解； （2）根据正方形的性质得出，再由勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比，且四边形为黄金矩形， ， ∵正方形， ， ， ∵图中四个矩形全等， ， ∴； 故答案为：4.8； （2）如图，由题意可得：正方形中，， ∴正方形的边长为． 设， ， ， 整理可得：， 解得：（负数舍去）， ， ∴小直角三角形的两条直角边分别是． 【点睛】本题考查了黄金矩形的含义和勾股定理的应用、正方形的性质、二次根式的混合运算，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型七 黄金分割的概念辨析】 例题：（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是理解题意，先根据，，求出，再求出，再根据求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）点P是线段的黄金分割点，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可． 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点， ， 故答案为：． 【题型八 黄金分割的实际应用】 例题：（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（    ）．（结果保留根号）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，比值为．正确掌握黄金分割的概念是解题的关键． 因为线段有两个黄金分割点，因此根据黄金分割的概念分别求出两段较长线段的长度，最后根据即可得出结论． 【详解】点是靠近点的黄金分割点，， ， 点是靠近点的黄金分割点， ， ， 支撑点之间的距离为． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为20米，试计算主持人应走到离A点 米，就处在比较得体的位置．（，结果精确到米） 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割，分两种情况进行计算是解题的关键． 设主持人应走到离点米，就处在比较得体的位置，分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：设主持人应走到离点米，就处在比较得体的位置， 分两种情况： 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 综上所述：主持人应走到离点7.6或12.4米，就处在比较得体的位置， 故答案为：7.6或12.4． 2．（2021·陕西·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），的长度为， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【分析】若线段a，b，c，d，满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴A不符合题意； ∵， ∴B不符合题意； ∵， ∴C不符合题意； ∵， ∴D符合题意； 故选D． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入即可求解． 【详解】解：设， , 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）对于线段a，b，若，则下列四个选项一定正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，故A选项错误，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ，不一定等于1，故C选项错误，不符合题意； ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 4．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，那么下列等式中一定正确的是    （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， ，， A、，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 5．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解．根据、，通过勾股定理计算得；结合，计算得，从而得到的值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，根据已知得到，代入分式化简即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为： 7．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设两地的实际距离是，根据比例尺可得，解比例式即可求解，理解比例尺的意义是解题的关键． 【详解】解：设两地的实际距离是， 由题意得，， ∴， ∵， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，即可得的长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故答案为：． 9．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，其中，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例的基本性质，变形计算即可． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）已知，则= ．化简= ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的基本性质以及求值 设，根据比例的性质求出，，，再代入求出答案即可． 根据分式的性质将分式变形为，再代入计算即可． 能求出，，是解此题的关键． 【详解】解：设， 则，，， ． 故答案为：． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【答案】(1)1440m，900m (2)， 【分析】本题考查比例尺： （1）根据比例尺为图上距离与实际距离的比例，进行求解即可； （2）根据图上距离，和实际距离，相比即可得出结果． 【详解】（1）解：∵比例尺为， ∴新安大街的实际长度为：； 光华大街的实际长度为； （2）图上长度之比为：， 实际长度之比为：． 12．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 【答案】（1）（米）；（2）见详解；（3）或． 【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于，已知长为30，则可以求出宽． （2）若的长为2，由折纸的过程可知，，．求得，则，则可得，进而可求得，即可得证． （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键． 【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于， ∴它的宽为： （米）． （2）证明：， 由题意得，，， ， ， ， ， ∴矩形是黄金矩形． （3）由折叠的性质可得， 又， ， ∴ ， 又， ， ． 当 为黄金矩形的长时，则宽为， 则面积为． 当 为黄金矩形的宽时，则长为， 则面积为． 综上，矩形的面积为：或． 13．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 14．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程，开平方法解一元二次方程等知识点，学会用代数的方法解决几何问题是解题的关键． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，利用开平方法解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， 设，，， 又， ， 即， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ， ， ； （2）解：是、的比例中项， ， ， 即， 或（与题意不符，舍去）， 的值为． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）若，且，求的值； （2）若，则______． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查比例的性质， （1）设，然后用含的代数式表示出、、，再代入求出的值，即可得解； （2）由，得，，再代入，即可得解； 解题的关键是掌握比例的性质：比例的内项之积与外项之积相等． 【详解】解：（1）设， ∴，，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴的值为； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$