压轴专题02 空间角问题（4类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020必修第三册）

压轴专题02 空间角问题 目录 1 3 一．异面直线所成角 3 二．直线与平面所成角（定值） 5 三．直线与平面所成角最值范围问题 7 四．求二面角（定值） 8 10 1.异面直线 （1）异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 （2）判定定理 　 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 （3）异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） （4）异面直线所成角的范围 由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即. 注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是. （5）核心技巧：平移使相交 具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 2.直线与平面所成角 (1)直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. (3)等体积法求垂线段法(如右图） ①利用等体积法求垂线段的长； ② 3.二面角 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． 符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. （2）定义法求二面角 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. （3）三垂线法求二面角 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） （4）射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 一．异面直线所成角 例题1．（24-25高二上·上海·单元测试）ABCD是空间四边形，且AB和CD成角，E、F分别是BC和AD的中点，则EF和AB所成的角是（    ） A． B． C． D．或 例题2．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 对点训练 1．（23-24高二下·上海·期末）设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，那么与所成角的取值范围为 ． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体SABC的所有棱长为a． (1)求异面直线的公垂线段EF的长； (2)求异面直线EF与SA所成角的大小． 二．直线与平面所成角（定值） 例题1．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAB； (2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小． 例题2．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 对点训练 1．（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二 (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2024·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. (1)设平面与直线相交于点，求证：； (2)若，，，求直线与平面所成角的大小. 三．直线与平面所成角最值范围问题 例题1．（23-24高二·上海嘉兴·期中）已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 . 例题2．（23-24高二上·广东广州·期中）在三棱锥中，，，，，若与平面所成角的最大值为，则的值为 ． 对点训练 1．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线与平面所成角为，求的最大值． 2．（22-23高二·上海·单元试卷）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．    (1)若平面平面，求证：； (2)若，设和平面所成角为，求的最大值． 四．求二面角（定值） 例题1．（24-25高二下·上海·课后作业）在如图所示的六面体中，四边形和均为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，则平面与平面所成的锐二面角为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，．求： (1)二面角的大小； (2)二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 例题3．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，，E为线段CD中点． (1)求证：； (2)求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 对点训练 1．（23-24高二上·上海·单元测试）在正方体中，点M是棱的中点，点O是对角线的中点． (1)求证：OM所在直线为异面直线和的公垂线； (2)求二面角的大小（结果用反三角函数值表示） 2．（23-24高三下·上海虹口·期中）如图，在圆锥中，是底面的直径，且，，，是的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 1．（25-26高二上·上海·单元测试）在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，，，，AB⊥AD，若M为PB的中点，则AM与平面ABCD所成角的大小是（    ） A．； B．； C．； D．． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）在长方体中，，点P是上底面的中心，若二面角的大小为，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 ．（结果用反三角函数值表示） 3．（24-25高二·上海·课堂例题）在长方体中，，，P、Q分别为上底面的边AD、CD的中点，过P、Q的平面与底面交于R、S两点，R、S分别在下底面的边、上，，平面PSRQ与棱交于点T，则直线TS与侧面所成角的正切值为 ． 4．（25-26高二上·上海·单元测试）正方体中，二面角的大小为 ． 5．（24-25高二·上海·课堂例题）在中，，，E为CD的中点，过斜边BD的中点F作平面BCD，使． (1)求异面直线AE与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)求直线AF与平面ACD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 6．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点． (1)求异面直线与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)求直线到平面DAB的距离． 7．（24-25高二·上海·课堂例题）矩形ABCD，，，沿把折起，使点在平面上的射影恰好落在上．    (1)求证：； (2)求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 8．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在几何体中，点E、O分别是SC、AC的中点，底面ABC，． (1)求证：平面SAB； (2)若点F在线段BC上，求异面直线OE、SF所成角的大小； (3)若，，求二面角的平面角的余弦值． 9．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知正方体. (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题02 空间角问题 目录 1 3 一．异面直线所成角 3 二．直线与平面所成角（定值） 7 三．直线与平面所成角最值范围问题 12 四．求二面角（定值） 19 25 1.异面直线 （1）异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 （2）判定定理 　 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 （3）异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） （4）异面直线所成角的范围 由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即. 注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是. （5）核心技巧：平移使相交 具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角 2.直线与平面所成角 (1)直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)具体操作方法： ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. (3)等体积法求垂线段法(如右图） ①利用等体积法求垂线段的长； ② 3.二面角 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面． 符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. （2）定义法求二面角 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. （3）三垂线法求二面角 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） （4）射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 一．异面直线所成角 例题1．（24-25高二上·上海·单元测试）ABCD是空间四边形，且AB和CD成角，E、F分别是BC和AD的中点，则EF和AB所成的角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】取中点，连结，推导出是异面直线与所成的角（或所成角的补角），或，由，得是异面直线和所成的角，由此能求出异面直线和所成的角． 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：D. 例题2．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先说明或其补角即为异面直线与所成角，进而可得出答案. 【详解】（1）连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又， 所以或其补角即为异面直线与所成角平面角， 因为，所以， 即异面直线与所成角的大小为． 方法总结:异面直线所成角主要通过平移直线（一条或两条都平移）使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中结合正，余弦定理求解。注意异面直线所成角 的范围。 对点训练 1．（23-24高二下·上海·期末）设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，那么与所成角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】不妨设相交于点，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所成角的最小值与最大值，可得答案. 【详解】设为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为， 不妨设相交于点，如图，根据题意构造两个圆锥，其中底面圆心为， 轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面； 大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上．    由题意，，可知, 由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小， 最小值为； 当移动到，移动到时，可得与所成角的最大，最大值为， 所以，与与所成角的取值范围为. 故答案为：. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体SABC的所有棱长为a． (1)求异面直线的公垂线段EF的长； (2)求异面直线EF与SA所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，根据三角形的性质可证明是的公垂线段，再根据勾股定理求其长度即可； （2）取的中点，连接，可得和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接． 由已知，得．所以，是的中点， 所以， 同理可证， 所以是的公垂线段． 在中，， 所以． （2）取的中点，连接，则， 所以和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角， 连接，在中， ， 由余弦定理，得，所以，故异面直线和所成的角为． 二．直线与平面所成角（定值） 例题1．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAB； (2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线得出，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）根据平面，得出就是直线与平面所成角，解三角形即可． 【详解】（1）因为E、F分别是为的中点， 所以，又因为， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）连接， 因为ABCD为菱形，，， 所以三角形为等边三角形， 故， 又，所以， 因为平面， 所以就是直线与平面所成角， 在直角三角形中， ， 所以， 即直线与平面所成角的大小为． 例题2．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P，M，N分别为CD，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面平行的定理，转化为证明两组线面平行，即证明两组线线平行； （2）利用等体积转化求点到平面的距离，再根据公式，求线面角的正弦值. 【详解】（1）因为，分别为线段，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面.    因为，分别为线段，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面平面. （2）由题知平面，平面，故，故， 因为四边形是菱形，且， 则，所以. 而，故.     设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而，故，故.     故，即与平面所成角的正弦值为. 方法总结:线面角问题主要有①定义法，如例题1，核心是找垂线，然后在直角三角形中求解线面角；②等体积法求高，如例题2，核心是通过等体积法求出垂线段的长，然后在直角三角形中求解线面角。 对点训练 1．（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二 (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）补全图形得到三棱锥，由线面垂直证得； （2）等体积法求得到平面的距离，再用几何法求得线面角. 【详解】（1）延长交于点过作于，过作于， 又四边形为等腰梯形，则，则， 又，所以，为的中点， 延长交于点，则，为的中点，则， 与重合于点，为三棱锥， 设为中点，等腰直角中， 又为的中点，为的中点，，∴， ，又平面平面， 又平面，. （2） 为中点，，， 又， 又，平面，∴平面， ，为等边三角形，设到平面的距离为， ∴， . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2024·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. (1)设平面与直线相交于点，求证：； (2)若，，，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出平面，然后根据平面平面，利用线面平行的性质定理证出； （2）连接，取中点，连接、，根据线面垂直的判定定理，证出平面，可得是直线与平面的所成角，然后在中利用锐角三角函数的定义算出答案． 【详解】（1）证明：平面与直线相交于点，平面平面， 四边形是菱形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ； （2）连接，取中点，连接、， 菱形中，，，是等边三角形， 是中点，， 平面，平面，， 、平面，，平面． 是直线与平面的所成角， 是中点，，． 平面，平面，， 为中点，，中，， 等边中，高， 中，， 可得，即直线与平面的所成角等于． 三．直线与平面所成角最值范围问题 例题1．（23-24高二·上海嘉兴·期中）已知正的顶点A在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 . 【答案】 【分析】取的中点为，连接，则可知，即为直线与平面所成的角.设边长为2，，，表示出.在以及中，根据勾股定理得出，进而求出.令，，然后根据对勾函数的单调性，求出的值域，即可得出答案. 【详解】   如图，取的中点为，连接，则可知， 所以，即为直线与平面所成的角. 设边长为2，则，设，，， 则，，. 因为，所以. 又是的中点，所以. 又， 所以有，整理可得. 因为，，所以有. 在中，有. 令，， 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递减. 又，， 所以， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：取的中点为，连接，则可知，即可得出即为直线与平面所成的角. 例题2．（23-24高二上·广东广州·期中）在三棱锥中，，，，，若与平面所成角的最大值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】取中点分别为O，D，E，连，过D作于G，连，可证为所求线面角，设，用表示出求最值. 【详解】取中点分别为O，D，E，连，过D作于G，连， 由，则，又，则， 又平面，平面，， 所以平面，又平面，则， 又平面，平面，，则平面． 又，故与面所成角与与面所成角相等，所以为所求线面角， 设，则， ， 故 ， 令，则， 因为，所以，当且仅当时取等号． 所以， 又因为， 可知的最大值为时，也取到最大值. 故答案为：. 方法总结:线面角最值（范围）问题，主要结合基本不等式，对勾函数，二次函数，来求解最值（范围）后期还可以通过求导来求解。 对点训练 1．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，平面平面，，，．平面内一点满足，记直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】 【分析】作出图形，找出直线与平面所成的角，证出平面，得出，得出点的轨迹就是平面内以线段为直径的圆（点除外），转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果. 【详解】如图①所示，过作的延长线，垂足为， 连接、，取的中点，连接， 过点作，垂足为． ∵平面平面，且平面平面，平面OAB，， ∴，平面， ∴在平面上的射影就是直线， 故就是直线与平面所成角， 即． ∵，∴， 又∵，， ∴平面，则． ∴点的轨迹是平面内以线段为直径的圆（点除外）． ∵，且， ∴，设，则， 从而， ∴，如图②所示， 当且仅当，即是圆的切线时， 角有最大值，有最大值， 的最大值为． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了立体几何中线面角的最值，解题的关键在于通过辅助线作出线面角，并求线面角的最值，空间思维能力较强，容易混淆. 2．（22-23高二·上海·单元试卷）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．    (1)若平面平面，求证：； (2)若，设和平面所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】 （1）取中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，再利用线面垂直的性质即可证明； （2）解法一：取中点，连接，．利用面面垂直的性质定理得平面，设，分、和讨论，再利用换元法和基本不等式即可求出最值；解法二：取中点，连接，．利用面面垂直的性质定理得平面，延长至点，使得，设，则，计算得，利用基本不等式即可得到最值. 【详解】（1） 取中点，连接． 因为，，，，为中点， 所以四边形为正方形，所以， 所以，，所以，， 所以，即． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以，即．   . （2） 解法一：取中点，连接，． 在中，，，所以， 所以为等腰直角三角形． 所以，． 因为为等腰直角三角形，所以， 又平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 在平面中，过点作于点，连接， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面． 所以和平面所成角为，即． 设，则 ①当时，在中，，， 所以． ②当时，在中， ，， 所以． 在中，因为，所以， 在中，，（※） ③当，，，符合（※）． 综上， 令，， 则， 所以，当且仅当等号成立， 此时，所以的最大值为． 解法二：取中点，连接，． 在中，，， 所以，所以为等腰直角三角形．所以，． 因为为等腰直角三角形，所以， 又平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 在平面中，过点作于点，连接， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．所以和平面所成角为，即． 延长至点，使得，设，则． 当点与点不重合时，即， 在中，，，所以， 在中，，，所以， 在中，（※）， 当点与重合时，此时，，，符合（※）， 所以． 所以， 令，则，． 所以，当且仅当等号成立， 此时，所以的最大值为．   . 【点睛】 关键点睛：本题第二问的关键是作出合理辅助线，设，则，利用勾股定理得到，最后利用基本不等式即可得到最值. 四．求二面角（定值） 例题1．（24-25高二下·上海·课后作业）在如图所示的六面体中，四边形和均为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，则平面与平面所成的锐二面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为四边形和均为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱， ∵四边形与四边形均为直角梯形，A，D，C，B是直角顶点，其他面均是矩形，∴这个六面体是四棱柱． 由题意可知两两垂直， 平面． 同理都垂直于平面，∴矩形是矩形在平面上的射影． ∴设平面与平面所成的锐二面角为，则． 故选：B. 例题2．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，．求： (1)二面角的大小； (2)二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面得为二面角的平面角可得答案； （2）取的中点得为二面角的平面角，求出正切值可得答案. 【详解】（1）长方体中，平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为是正方形，所以， 所以二面角的大小为； （2）取的中点，连接， 因为是正方形，所以， ，， 所以，可得， 所以为二面角的平面角， 因为， 所以， 可得. 例题3．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，，E为线段CD中点． (1)求证：； (2)求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面得证线线垂直； （2）根据三垂线定理作出二面角的平面角，在直角三角形中计算出此角即得． 【详解】（1）为正方形，所以， 平面，平面，则， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以； （2）作，垂足为，连接， 因为平面，由三垂线定理得， 所以是二面角的平面角． 长方形中，，是中点，则， 由，得， 在直角中，， 所以． 所以二面角的大小为． 方法总结:二面角求解方法主要有①定义法，如例题2，其核心是在二面角的棱上取一特殊点，然后分别过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线②三垂线法（使用频率高）具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： Ⅰ第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） Ⅱ第二垂：在平面中，过点作,垂足为 Ⅲ第三垂：连接（解答题需证明） ③面积投影法，如例题1. 对点训练 1．（23-24高二上·上海·单元测试）在正方体中，点M是棱的中点，点O是对角线的中点． (1)求证：OM所在直线为异面直线和的公垂线； (2)求二面角的大小（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）转化为证明和； （2）根据垂直关系构造二面角的平面角，再根据直角三角形求解正切值，即可求解角的大小. 【详解】（1）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK． 因为M是棱的中点，点O是的中点，所以． 所以，由，得． 因为，，且，平面 所以AK⊥平面，平面，所以，所以． 又因为OM与异面直线和都相交． 故OM所在直线为异面直线和的公垂线； （2）取中点N，连接MN，则MN⊥平面， 过点N作于H，连接MH， 由平面，所以，又，且平面， 所以平面，平面，得． 从而，∠MHN为二面角的平面角． ，． 在中，， 故二面角的大小为 2．（23-24高三下·上海虹口·期中）如图，在圆锥中，是底面的直径，且，，，是的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知证明，，可得平面，即可得到平面平面； （2）在平面中，过作，垂足为，在平面中，过作，垂足为，连接，可得为二面角的平面角，再由已知求解三角形得答案． 【详解】（1）如图，由题意，是底面的直径，， 为的中点，为的中点，则， 则，而平面平面， 则， 又，平面，平面 平面， 又平面平面平面； （2）在平面中，过作，垂足为， 在平面中，过作，垂足为， 连接， ∵平面平面，， 又，平面，平面， 平面，平面，， ，平面，平面 则平面，可得为二面角的平面角． 由已知可得，，， ，， ， 又，得． 在中，， ∴． 即二面角的余弦值为．    1．（25-26高二上·上海·单元测试）在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，，，，AB⊥AD，若M为PB的中点，则AM与平面ABCD所成角的大小是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】取取的中点，作出线面角，利用线面的定义求解即得. 【详解】取的中点，连接，由M为PB的中点，得，， 由PD⊥平面ABCD，得平面ABCD，则是AM与平面ABCD所成的角， 而，则， 在中，，， 所以AM与平面ABCD所成角的大小是. 故选：C 2．（24-25高二·上海·课堂例题）在长方体中，，点P是上底面的中心，若二面角的大小为，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 ．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【分析】作出二面角的平面角，求出正四棱柱的侧棱与底面边长的关系，再利用定义法求出异面直线的夹角. 【详解】在长方体中，，则此长方体为正四棱柱，取下底面中心，连接， 则平面，而平面，则有，取正方形边的中点， 连接，则，而平面，于是平面， 而平面，则，是二面角的平面角，即， 令，则，，连接， 由平面，得，而， 于是，又， 因此是异面直线PA与BC所成的角，， 所以异面直线PA与BC所成角的大小等于. 故答案为： 3．（24-25高二·上海·课堂例题）在长方体中，，，P、Q分别为上底面的边AD、CD的中点，过P、Q的平面与底面交于R、S两点，R、S分别在下底面的边、上，，平面PSRQ与棱交于点T，则直线TS与侧面所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】在线段上取一点R，使得，则，延长交于点K，连接，交线段于点T，则直线与平面所成的角为，即可求解． 【详解】如图： 因为，所以在线段上取一点R，使得，则， 延长交于点K，连接，交线段于点T， 则直线与平面所成的角为， 由得， 而， 由得，，得， 得， 则， 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·单元测试）正方体中，二面角的大小为 ． 【答案】60° 【分析】取中点，过作于，连接，根据条件可知为二面角的平面角，即可求解. 【详解】先找到二面角的平面角，再求平面角的大小即可求解. 取中点，过作于，连接， 因为，又，面， 所以面，又面，所以，又， ，面，所以面，又面， 所以，得到为二面角的平面角， 设正方形的边长为，易知， 又，所以，得到， 在中，，所以， 故答案为：. 5．（24-25高二·上海·课堂例题）在中，，，E为CD的中点，过斜边BD的中点F作平面BCD，使． (1)求异面直线AE与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)求直线AF与平面ACD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知异面直线AE与BC所成角即为（或其补角），结合长度关系运算求解即可； （2）利用等体积法求点到平面的距离为，进而求线面夹角. 【详解】（1）因为分别为的中点，则∥，， 可知异面直线AE与BC所成角即为（或其补角）， 又因为平面BCD，平面BCD，则， 在中，，可得， 所以异面直线AE与BC所成角为. （2）由题意可知：， 设点到平面的距离为， 因为，即，解得， 可知直线AF与平面ACD所成角的正弦值， 所以直线AF与平面ACD所成角的大小. 6．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点． (1)求异面直线与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)求直线到平面DAB的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异面直线所成角的定义通过平行线找到（或其补角）为异面直线与BC所成的角，再根据三角形即可求解； （2）根据等积法即可求解. 【详解】（1） 取中点E，连接、DE， ∵，∴（或其补角）为异面直线与BC所成的角， 由题意得：在中，； 在中，；在等腰三角形中，． 所以异面直线与BC所成角的大小为； （2） 延长至点，使，连接、， 即补成了斜三棱柱， ， ， 得． 所以直线到平面的距离为. 7．（24-25高二·上海·课堂例题）矩形ABCD，，，沿把折起，使点在平面上的射影恰好落在上．    (1)求证：； (2)求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质可证线线垂直； （2）由已知可得就是直线与平面所成的角，进而求解即可. 【详解】（1）∵是矩形，∴， 由题意，在上，且平面， ∵平面，∴， 又，平面， ∴平面平面， ∴； （2）∵平面，在上，∴就是直线与平面所成的角， ∵是矩形，， 又由（1）知，又，平面， ∴平面，∵平面，∴， 则， 则，即与平面所成角的大小为. 8．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在几何体中，点E、O分别是SC、AC的中点，底面ABC，． (1)求证：平面SAB； (2)若点F在线段BC上，求异面直线OE、SF所成角的大小； (3)若，，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)90° (3) 【分析】（1）借助中位线性质，运用线面平行判定可解； （2）运用线面垂直得到线线垂直即可得到异面直线OE、SF所成角; （3）找出二面角的平面角，借助锐角三角函数求出余弦值即可. 【详解】（1）证明：因为点E、O分别是SC、AC的中点，所以． 又因为平面，平面,所以平面SAB． （2）解：因为，所以∠ASF（或其补角）是异面直线OE、SF所成的角． 因为平面ABC，又平面ABC，所以． 又，即，又平面， 所以平面ASC，平面,于是． 因为，即，又平面， 所以平面SBC，从而，所以， 即异面直线OE、SF所成角的大小为90°． （3）解：由（2）可得平面SBC，所以，而， 所以∠BSC是二面角的平面角． 在Rt△ASC中，，，则，而，则． 由上面证明知道，平面ASC，平面ASC. 则，，，则， 所以，所以二面角的平面角的余弦值为． 9．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知正方体. (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）连接,设，连接，可得是二面角的平面角，求解即可； （2）取的中点，链接，可得为二面角的平面角，求解即可. 【详解】（1）如图，连接,设，连接， 因为为正方形，所以为的中点. 因为,所以， 所以是二面角的平面角. 设正方体的棱长为1， 则,所以， 所以 ， 所以，即二面角的大小为. （2）如图，取的中点，链接， 因为， 所以， 所以为二面角的平面角. 因为平面,平面,所以. 因为，所以， 所以，即二面角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$