压轴专题01 线面平行，垂直证明中补全条件问题（4类压轴题型）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020必修第三册）

压轴专题01 线面平行、垂直证明中补全条件问题 目录 1 3 一．补全线面平行条件 3 二．补全面面平行条件 6 三．补全线面垂直的条件 8 四．补全面面垂直的条件 10 12 1：直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 (2)直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 2：直线与平面垂直 （1） 定义： 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. 符号语言：对于任意，都有. 图形语言： （2）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， 图形语言：如图 （3）三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 3：平面与平面平行 （1）两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） 符号语言 图形语言 （2）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言 图形语言 4：平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的判定定理 定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) 符号（图形）语言:， （2）平面与平面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号（图形）语言：，， . 一．补全线面平行条件 例题1．（23-24高二·上海·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面， (1)证明：平面平面； (2)若平面，证明：为的中点； (3)若，在上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时？直线与底面所成角为 例题2．（23-24高二·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； 对点训练 1．（23-24高二下·上海徐汇·期中）在正方体中，是棱的中点． （1）作出平面与平面的交线，保留作图痕迹； （2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，说明点的位置，若不存在，请说明理由． 2．（23-24高二下·上海长宁·期中）如图所示，有矩形所在平面外一点，平面，，，，为的中点． （1）求点到平面的距离； （2）探究在直线上是否存在点，使得面？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 二．补全面面平行条件 例题1．（23-24高二·上海浦东新）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 例题2．（23-24高二·上海阶段练习）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 对点训练 1．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且. (1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 2．（23-24高三·上海·课堂练习）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且、分别是、上靠近的三等分点． (1)求证：； (2)在上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 三．补全线面垂直的条件 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2．（23-24高二下·上海长宁）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点： （1）求的取值范围： （2）若为面内的一点，且，，求的余弦值： （3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面?若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由. 对点训练 1．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，在直三棱柱：中，，，是的中点，在上，为中点.    (1)求证：平面； (2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使平面？并证明你的结论.①为的中点；②；③. 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.    (1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小； (2)若E是PB的中点，问在棱AD上是否存在一点F，使侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由. 四．补全面面垂直的条件 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 2．（2024高二·上海·专题练习）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由. 对点训练 1．（2023·上海静安·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 2．（22-23高一下·江苏常州·阶段练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点.    (1)求证：； (2)若点分别在上，且.求证：； (3)棱上是否存在点，使平面平面？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由. 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 2．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2，    (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点N，使得∥平面MCN﹖若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 4．（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由. 5．（2024·山东·）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的大小； (3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面． 6．（2024高三·河北·专题练习）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． 7．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 8．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题01 线面平行、垂直证明中补全条件问题 目录 1 3 一．补全线面平行条件 3 二．补全面面平行条件 10 三．补全线面垂直的条件 15 四．补全面面垂直的条件 22 27 1：直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 (2)直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 2：直线与平面垂直 （1） 定义： 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. 符号语言：对于任意，都有. 图形语言： （2）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， 图形语言：如图 （3）三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 3：平面与平面平行 （1）两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） 符号语言 图形语言 （2）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言 图形语言 4：平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的判定定理 定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) 符号（图形）语言:， （2）平面与平面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号（图形）语言：，， . 一．补全线面平行条件 例题1．（23-24高二·上海·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面， (1)证明：平面平面； (2)若平面，证明：为的中点； (3)若，在上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时？直线与底面所成角为 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）依题意可得、，即可得到平面，从而得证； （2）设，连接，即可得到为的中点，根据线面平行的性质得到，即可得证； （3）由线面平行的判定定理得出点在靠近点的三等分点处，再证得平面，所以即为与底面所成角，求解即可得出答案. 【详解】（1）底面平面， 又底面为正方形，， 而，平面，平面， 又平面平面平面； （2）设，连接，因为为正方形，所以为的中点， 又平面，平面，平面平面， 所以， 又为的中点，所以为的中点； （3）存在点在靠近点的三等分点处，即，使得平面． 在线段上取点，使，连接，，． ∵中，，即， ∴且， 在正方形中，点在靠近点的三等分点处，∴且， ∴且，∴为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴平面， 取靠近点的三等分点为，连接． 中，点，分别为的三等分点，∴，且， ∵平面，∴平面， ∴在平面上的射影， ∴即为与底面所成角，                           在中，，若，所以，∴， 例题2．（23-24高二·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在为线段中点，证明见解析 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论； （2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论； 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； 方法总结：通过补条件，达到线面平行（目标）一般可以从两个方向思考，一个是通过线面平行的判定定理，在平面内找一条线和平面外这条线平行；二是通过构造平面与平面平行（如例题1），根据平面平行性质定理，两个平面平行，一个平面内任何一条直线平行另一条平面（如例题2） 对点训练 1．（23-24高二下·上海徐汇·期中）在正方体中，是棱的中点． （1）作出平面与平面的交线，保留作图痕迹； （2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，说明点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析；（2）存在，中点． 【分析】（1）延长与交于点，连接即为所求； （2）存在，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，通过证明EG∥A1B可得四点共面，根据正方体的性质得到B1F∥BG，根据线面平行判定定理即可得结论. 【详解】（1）延长与交于点，连接， 由于，∴，平面 又∵平面，∴为面和面的公共点， 同时也为面和面的公共点， 根据公理3可得为平面与平面的交线. （2）存在，当为的中点时，满足题意，理由如下，如图所示， 分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG， 因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形， 因此D1C∥A1B， 又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B， 这说明A1，B，G，E共面，所以平面A1BE， 又F，G为C1D1和CD的中点，，且 因此四边形为平行四边形 B1F∥BG，而平面A1BE， 故B1F∥平面A1BE. 2．（23-24高二下·上海长宁·期中）如图所示，有矩形所在平面外一点，平面，，，，为的中点． （1）求点到平面的距离； （2）探究在直线上是否存在点，使得面？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【分析】（1）求出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得到平面的距离； （2）分别取、的中点、，连接、、，证明出四边形为平行四边形，可得出，延长至点，使得，利用中位线的性质得出，进而得出，利用线面平行的判定定理可得出面，并求出此时的长，即可得出结论. 【详解】（1）如下图所示，连接，为的中点，则， 且平面，故， 平面，、平面，则，， 由勾股定理可得，， ，， 所以，，故，所以，， 故，解得； （2）分别取、的中点、，连接、、， 、分别为、的中点，则且， 因为四边形为矩形，则且， 为的中点，则且，故且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 延长至点，使得，则为的中点， 又因为为的中点，故，， 因为平面，平面，故平面，此时. 二．补全面面平行条件 例题1．（23-24高二·上海浦东新）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，E为PC中点，证明见解析 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可； （2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可； 【详解】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB．    例题2．（23-24高二·上海阶段练习）知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当的值为时，能使平面平面，证明见解析 【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意先证平面，结合（1）平面，分析证明. 【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 方法总结：补全面面平行问题，动点优先试探①中点②和题目中已知比例的特殊点。通过试探特殊点，看能否证明两条相交直线都与另一平面平行。 对点训练 1．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且. (1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由题意结合几何性质可作出两平面的交线，然后证明线面平行即可； （2）首先确定点R的位置，然后给出证明即可. 【详解】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以，所以. 又平面，PQ不在平面内， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即，故，所以. 又平面，PR不在平面内， 所以平面，又，平面. 所以平面平面. 2．（23-24高三·上海·课堂练习）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且、分别是、上靠近的三等分点． (1)求证：； (2)在上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)＝，理由见解析 【分析】 （1）借助面面垂直的性质定理，可得线面垂直，再借助线面垂直的性质定理可得线线垂直； （2）假设存在该点，构造出相应的点后结合性质即可得. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． （2）设，则为正方形的中心， 如图，连接，交于点，连接并延长交于点． 若平面平面，平面平面，平面平面，所以． 因为、分别是、上靠近的三等分点， 所以，所以，， 又是的中点，所以， 所以，所以． 故上存在一点，使平面平面，此时的值为． 三．补全线面垂直的条件 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，． 【分析】（1）由题意可证平面，从而有，又，可证平面，可得证； （2）取的中点，则，平面即为平面，由平面，是等腰三角形底边的中点，可证平面，从而平面． 【详解】（1）证明：由已知得且， ，又， 平面，面平面， ， 又平面， . （2） 线段上存在点，使平面. 理由如下：如图，分别取的中点，则. 平面即为平面. 由（1）知平面， 又是等腰三角形底边的中点，， 平面，从而平面， 故线段上存在点，使平面，其中. 2．（23-24高二下·上海长宁）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点： （1）求的取值范围： （2）若为面内的一点，且，，求的余弦值： （3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面?若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）点M为的中点，理由见解析 【分析】（1）设，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范围． （2）设在，三边上的投影分别是，转化求出，即可得到它的余弦值． （3）设与的交点为，连接，说明平面，过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面．通过，求解即可． 【详解】解：（1）设， 则， 所以， 的取值范围为； （2）解：设在，三边上的投影分别是，，， 则由于， ． ， ， 即，它的余弦值为 （3）解：设与的交点为．连接， 则由以及，知平面， 于是面面，在面内过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面， 在平面内，由， 知，又， ∴． 这说明点M为的中点． 【点睛】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力． 方法总结：补全面面平行问题，动点优先试探①中点②和题目中已知比例的特殊点。 对点训练 1．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，在直三棱柱：中，，，是的中点，在上，为中点.    (1)求证：平面； (2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使平面？并证明你的结论.①为的中点；②；③. 【答案】(1)证明见解析 (2)选①③能证明平面证明见解析 【分析】（1）根据线线平行即可求解， （2）根据线线垂直，结合线面垂直的判断定理即可证明线面垂直. 【详解】（1）连接，由于是的中点，为中点，则且，故四边形为平行四边形，所以， 又平面,平面，故平面，    （2）若选①②， 由于，则, 故四边形为矩形，此时与不垂直， 为的中点，为的中点，故，故与不垂直， 因此不可能得到平面 若选②③ 由于，，所以, 由于三棱柱为直三棱柱，所以,此时不可能满足，，，故无法得到平面 选①③能证明平面 连接，，， 在中，，， 则，又，则， 又，， 由于平面平面，且两平面的交线为，平面 所以平面，平面， ，又平面， 平面．    2．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.    (1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小； (2)若E是PB的中点，问在棱AD上是否存在一点F，使侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，是的四等分点，靠近A点的位置 【分析】（1）取的中点，根据题意分析可得为所求二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，进而运算求解即可； （2）根据题意可得平面平面，结合面面垂直的性质可得平面，进而结合平行关系分析证明. 【详解】（1）取的中点，连接、， 由正四棱锥的性质可知平面，且平面，则， 依条件可知，则为所求二面角的平面角. 由面，可知为侧棱与底面所成的角， 则，设，则， 所以， 则，因为，故. （2）延长交于，则为的中点，取的中点，连接、. 因为，为的中点，则， 同理可得， 且，平面，故平面， 由平面，可知平面平面， 又因为，， 所以为正三角形，且为的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 取的中点，连接， 因为、分别为、的中点，则∥且， 因为∥且，、分别为、的中点， 则∥且， 且为的中点，则∥且，所以∥且， 可得四边形为平行四边形，则∥，故平面， 因此是的四等分点，靠近A点的位置.    四．补全面面垂直的条件 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，. (1)求四棱锥体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；点为线段中点. 【分析】（1）利用锥体的体积公式即可求解； （2）通过添加相应辅助线，然后结合面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为， 则：. 故四棱锥的体积为：. （2）存在，点为线段中点，理由如下： 取的中点，取中点，连接、，如下图： 因为、分别为、的中点，所以：，， 所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：， 因为底面，平面，所以：， 又因为底面为正方形，所以：，且，平面， 所以：平面，因为：平面，所以：， 又因为：，点为中点，所以：， 又因为：，平面，所以：平面， 又因为：，所以：平面， 又因为：平面，所以：平面平面. 故当点为的中点时，平面平面. 2．（2024高二·上海·专题练习）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点N为AB中点，证明见解析 【分析】（1）通过证明底面来证得. （2）取为的中点，通过证明平面来证得平面平面. 【详解】（1）正三角形中，为的中点，故， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又底面，所以； （2）存在点N，当N为AB中点时，平面平面，证明如下： 由（1）知：底面，又底面，所以， 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，N为AB中点，所以， ，所以，所以， 因为，所以，所以， 而平面，所以平面， 又平面，所以平面平面；    方法总结：补全条件问题，优先也是试探特殊点，将面面垂直转化为线面垂直的问题，进而验证特殊点是否符合。 对点训练 1．（2023·上海静安·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且点为棱的中点 【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）当点为棱的中点时，推导出平面，再结合面面垂直的判定定理可得出结论. 【详解】（1）证明：取的中点，连接、、， 因为且，故四边形为平行四边形，所以，且， 因为为的中点，则且， 因为、分别为、的中点，所以，且， 所以，且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为、分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，故平面. （2）解：当点为的中点时，平面平面，    因为四边形为矩形，则，因为，则， 因为四边形为菱形，则， 因为，则为等边三角形， 因为为的中点，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面， 因此，当点为的中点时，平面平面. 2．（22-23高一下·江苏常州·阶段练习）如图，在正方体中，分别是棱的中点.    (1)求证：； (2)若点分别在上，且.求证：； (3)棱上是否存在点，使平面平面？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，点P为棱CC1的中点 【分析】（1）根据正方体的特征得到AB1⊥B1A 和BC⊥平面，进而得到，利用线面垂直的判定得到AB1⊥平面A1D1CB，从而得到； （2）连接DE，CD1 ，利用三角形全等得到DE⊥AF，然后根据正方体的特征得到DD1⊥平面ABCD，进而得到AF⊥DD1，利用线面垂直的判定得到AF⊥平面D1DE，从而得到AF⊥D1E，结合（1）的结论和线面垂直的判定得到D1E⊥平面AB1F和MN⊥平面B1AF，进而得到； （3）连接FP，AP，利用中位线定理得到FP∥C1D，再利用正方体的特征得到FP与AB1共面于平面AB1PF.结合（2）的结论，利用面面垂直的判定即可求证. 【详解】（1）如图，    连接A1B，CD1 ∵正方体 ∴四边形为正方形，∴AB1⊥A1B， 又∵正方体，∴BC⊥平面， AB1⊂平面，所以BC⊥AB1， 又BC∩A1B＝B，平面 ∴所以AB1⊥平面A1D1CB，又∵D1E⊂平面A1D1CB， ∴AB1⊥D1E ； （2）如图，连接DE，CD1 在正方形ABCD中，E，F分别为棱的中点 ∴AD＝DC，DF＝EC，∠ADF＝∠DCE，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE. ∵∠CDE+∠ADE=，所以∠DAF+∠ADE=， 即DE⊥AF. 又∵正方体中，DD1⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴AF⊥DD1， ∵DD1∩DE＝D，D1D，DE⊂平面D1DE ∴AF⊥平面D1DE. 又∵D1E⊂平面D1DE，∴AF⊥D1E. 由（1）可知AB1⊥D1E 又∵AB1∩AF＝A，AB1，AF⊂平面AB1F    ∴D1E⊥平面AB1F. 又∵，AB1//C1D ∴MN⊥AB1，又∵MN⊥AF  AB1∩AF＝A，AB1，AF⊂平面AB1F 所以MN⊥平面B1AF， 所以. （3）存在.如图，当点P为棱CC1的中点时，平面平面. 连接FP，AP，∵点P，F分别为棱CC1，CD的中点∴FP∥C1D， ∵正方体，∴AD∥B1C1，∴， ∴C1D∥AB1，∴FP∥AB1 ，∴FP与AB1共面于平面AB1PF. 由（2）知D1E⊥平面B1AF，即D1E⊥平面AFP. 又因为D1E⊂平面CD1E. ∴平面平面. 1．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 2．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2，    (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点N，使得∥平面MCN﹖若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，PN 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再由四边形，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则； （2）在上取点Q，使得，设，连接，，可证得或其补角为异面直线BD与PC所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可； （3）设，连接，则由线面平行的性质可得∥，从而可找出点的位置. 【详解】（1）连接，因为是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以. 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以 （2）在上取点Q，使得，设，连接，， 因为∥，所以， 在中，，所以∥， 所以或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为，所以， 又， ， 在中，由余弦定理得, 所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得∥平面， 因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥，又，所以. 所以线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．    3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【分析】过作∥，交于，连接，，则可得，由已知可得，则得，所以，在中可求得，所以∥，然后利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 4．（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析，的最大值为2 【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行； （2）取中点为，连接，，证明出面面平行，从而得到点的位置，且求出的最大值. 【详解】（1）证明：取的中点，连接. 中，分别为的中点，， 分别为的中点，，， 故四边形为平行四边形，， 平面平面，平面. （2）解：取中点为，连接，， 在中，分别为的中点，， 平面平面，平面. 因为且，且、分别为、的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，，且， 平面平面，平面. 又，且平面，故平面平面. 所以点存在，且，即点在线段上移动，可使平面平面， 当点运动到时，此时的最大值，最大值为2. 5．（2024·山东·）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，与相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的大小； (3)设点M在棱上，且，问为何值时，平面． 【答案】(1)； (2)45°； (3). 【分析】（1）由已知得到PO⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质得到PO⊥BD，过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，利用平面几何即可得解； （2）连接OE，由为等腰梯形，所以，且为中点，所以，又平面，∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，然后求值即可； （3）连接MD，MB，MO，利用PC⊥平面BMD，得到PC⊥OM，Rt△POC中求的PM＝，MC＝． 【详解】（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD 又， 由平面几何可得：， 过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE， 则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴OC＝OD＝1，OB＝OA＝2，OA⊥OB ∴ 又AB∥DC∴四边形EBCD是平行四边形． ∴ ∴E是AB的中点，且， 又， ∴PEA为直角三角形， ∴ 在△PED中，由余弦定理得 故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为； （2）连接OE，由为等腰梯形，所以，且为中点， 所以，又平面， ∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角， ∴sin∠PE0＝，∴∠PEO＝45°， ∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的大小为45°； （3）连接MD，MB，MO， ∵PC⊥平面BMD，OM⊂平面BMD， ∴PC⊥OM， 在Rt△POC中，PC＝PD＝，OC＝1，PO＝， ∴PM＝，MC＝， ∴， 故λ＝时，PC⊥平面BMD． 6．（2024高三·河北·专题练习）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)0. 【分析】（1）取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位线定理可得∥，∥，然后先证得线面平行，再可证得面面平行； （2）由已知可得△ABC≌△ABE，则GC＝GE，得OC⊥OG，结合已知可得OC⊥平面ABD，则OC⊥AG，利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由线面垂直的判定可得AG⊥平面CEG，从而可得H与B重合，进而可求得结果. 【详解】（1）证明：如图，取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO． 在△ACG中，F，Ⅰ分别为AC，AG的中点，所以∥， 同理，在△BDⅠ中，有∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 又平面ⅠFD， 所以∥平面CEG． （2）解：因为底面BCDE是菱形，所以OC⊥OD． 因为AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE， 则GC＝GE， 又因为点O是EC的中点，所以OC⊥OG． 因为，平面ABD， 所以OC⊥平面ABD， 因为平面ABD， 所以OC⊥AG． 因为，， 所以， 则， 则，所以BG⊥OG． 又因为，平面CEG， 所以AG⊥平面CEG． 若AH⊥平面CEG，则H与B重合． 故． 7．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可； （3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 8．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再利用线面垂直的性质判定推理作答. （2）取的中点，的中点，连接，再作出直二面角，并探讨线段长度关系，借助比例式求解作答. 【详解】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得， 由正方形，得，而平面平面，平面平面， 且平面，则平面，又平面，于是， 而平面， 所以平面. （2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接，    于是，由正方形，得，则，令， 显然是正的中心，，， 又平面平面，平面平面，则平面， 平面，即有，而平面， 则平面，平面，在平面内过作交于， 显然，而平面，因此平面， 连接并延长交于，连接，于是平面平面， 过作，则有，，， ，，则，又，， 从而点是线段的中点，，过作交于， 于是，即，显然，因此， 所以在棱上存在点N使平面平面成立，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$