精品解析：河南省信阳市第五初级中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

信阳市2022～2023学年度八年级期中教学质量检测数学试题 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A. x＞0 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 菱形具有而矩形不一定具有的特征是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 一组对边平行，另一组对边相等 D. 对角线互相垂直 4. 若点在正比例函数的图象上，则m的值是（ ） A. B. C. 1 D. -1 5. 若△ABC的三边满足，则△ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 如图所示，在菱形 中，，， 分别是边 和 的中点， 于点 ，则 的度数是 （ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数经过哪几个象限（ ） A. 一、二、三 B. 一、三、四 C. 一、二、四 D. 二、三、四 8. 如图，是内一点，，，，，、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ） A. 7 B. 8 C. 11 D. 10 9. 我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 12. 若点，都在一次函数的图象上，则__________． 13. 已知矩形两对角线夹角为60°，对角线长为2cm，则矩形面积为________. 14. 含角的直和三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中、，则直线的表达式为_______． 15. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列各题： （1）； （2）． 17. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 18. 在四边形中，，，，四边形周长为32，求和的长度． 19. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作，分别交边AB,CD于点E,F，连接CE,AF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若EF=8，AE=5，求四边形AECF的面积. 20. 如图，直线在平面直角坐标系中与轴交于点A，点B（－3，3）也在直线上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C也在直线上. （1）求点C的坐标和直线的解析式； （2）已知直线：经过点B，与轴交于点E，求△ABE的面积. 21. 一辆货车从A地运货到240km的B地，卸货后返回A地，如图中实线是货车离A地的路程y（km）关于出发后的时间x（h）之间的函数图象．货车出发时，正有一个自行车骑行团在AB之间，距A地40km处，以每小时20km的速度奔向B地． （1）货车去B地的速度是　 　，卸货用了　 　小时，返回的速度是　 　； （2）求出自行车骑行团距A地的路程y（km）关于x的函数关系式，并在此坐标系中画出它的图象； （3）求自行车骑行团与货车迎面相遇，是货车出发后几小时后，自行车骑行团还有多远到达B地． 22. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产、两种产品共50件.已知生产一件种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元.设生产种产品的件数为（件），生产、两种产品所获总利润为（元） （1）试写出与之间的函数关系式： （2）求出自变量的取值范围； （3）利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？ 23. （1）感知：如图1，如图1，四边形、均为正方形，试猜想线段和的数量关系为__________． （2）探究：如图2，四边形、均为菱形，且，求证：． （3）应用：如图3，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在的延长线上，若，，的面积为8，则菱形的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 信阳市2022～2023学年度八年级期中教学质量检测数学试题 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A. x＞0 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件， 可知x-1≠0，x≥0， 解得x≥0且x≠1. 故选D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．根据二次根式的运算法则进行一一判断即可． 【详解】，故选项A错误． 与不能合并，C中与也不能合并，故选项B、C均错误． ，故选项D正确． 故选：D 3. 菱形具有而矩形不一定具有的特征是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 一组对边平行，另一组对边相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形的性质逐个判断即可． 【详解】菱形的性质有：对角相等、对角线互相平分、一组对边平行，另一组对边相等、对角线互相垂直， 矩形的性质有：对角相等、对角线互相平分、一组对边平行，另一组对边相等、对角线相等； 即菱形具有而矩形不一定具有的特征是对角线互相垂直， 故选:D. 【点睛】考查矩形的性质，菱形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键. 4. 若点在正比例函数的图象上，则m的值是（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，把代入，从而可得答案． 【详解】解：把代入， 得 故选C． 5. 若△ABC的三边满足，则△ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据题意得到a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理判断即可． 详解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，则a=b或a2+b2=c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 故选D． 点睛：本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 6. 如图所示，在菱形 中，，， 分别是边 和 的中点， 于点 ，则 的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先延长交的延长线于点G．根据已知可得的度数，再根据余角的性质可得到的度数，从而不难求得的度数． 【详解】延长交的延长线于点G．如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是边的中点， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴F为中点． 由题可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 7. 已知一次函数经过哪几个象限（ ） A. 一、二、三 B. 一、三、四 C. 一、二、四 D. 二、三、四 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质容易得出结论． 【详解】解析式y=2x-3中，2＞0，-3＜0， 图象过一、三、四象限， 故选B． 8. 如图，是内一点，，，，，、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ） A. 7 B. 8 C. 11 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据中位线定理得出，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵、、分别是、、、的中点，， ∴，， ∴四边形的周长， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 9. 我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 由已知条件得到，根据勾股定理得到 ，最后根据点在坐标系的位置即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵轴且点在第一象限， ∴点的坐标为． 故选A． 10. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方，然后计算加减即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 若点，都在一次函数的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又点和点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 13. 已知矩形两对角线夹角为60°，对角线长为2cm，则矩形面积为________. 【答案】cm2 【解析】 【详解】分析：作出图形，根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OB，然后求出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB，再利用勾股定理列式计算即可得解． 详解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=×2=1． ∵两对角线的夹角∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=1．在Rt△ABC中，矩形的长BC===． 故答案为cm2． 点睛：本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 14. 含角的直和三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中、，则直线的表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式．先求得，，证明，推出，，求得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：作轴于点，如图， ∵、， ∴，， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 15. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDA=∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BDA=∠ADC=×120°=60°， ∵AB=AD（菱形的邻边相等）， ∴△ABD是等边三角形， 连接DE，∵B、D关于对角线AC对称， ∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， ∵菱形ABCD周长为16， ∴AD=16÷4=4， ∴DE=． 故答案为：2． 【点睛】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类项即可解答； （2）先根据平方差公式、二次根式的性质、零次幂化简，然后再计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明． 【详解】（1）略 （2） 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键． 18. 在四边形中，，，，四边形周长为32，求和的长度． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理等知识．连接，先证明是等边三角形．得到，，进而得到．设，得到，根据勾股定理得到，解方程即可得到，． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 设， ∵四边形周长为32， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴， ∴，． 19. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作，分别交边AB,CD于点E,F，连接CE,AF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若EF=8，AE=5，求四边形AECF的面积. 【答案】 （1）证明： ∵AB∥CD ∴∠DCA=∠CAB, ∠CFE=∠FEA, ∵AO=OC ∴∆FOC≌∆EOA ∴OF=OE ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形 （2）S四边形AECF =24 【解析】 【分析】（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO=OC，只需要证明OE=OF即可，可用全等三角形得出； （2）由已知条件，利用勾股定理可求得AO的长度，进而求得AC的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：（1）略． （2）∵四边形是平行四边形, EF=8 ∴OF=OE=4 由勾股定理，得： ∴AC=2AO=6 ∴S四边形AECF= =24 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质、菱形的判定和面积计算等知识，考查了学生推理论证的能力． 20. 如图，直线在平面直角坐标系中与轴交于点A，点B（－3，3）也在直线上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C也在直线上. （1）求点C的坐标和直线的解析式； （2）已知直线：经过点B，与轴交于点E，求△ABE的面积. 【答案】（1）C(－2,1），直线的解析式为.（2）13.5 【解析】 【分析】（1）根据平移的法则即可得出点C的坐标，设直线l1的解析式为y=kx+c，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线l1的解析式； （2）由点B的坐标利用待定系数法即可求出直线l2的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、E，根据三角形的面积公式即可求出△ABE的面积． 【详解】解：（1）由平移法则得：C点坐标为（-3+1，3-2），即（-2，1）． 设直线l1的解析式为y=kx+c， 则，解得：， ∴直线l1的解析式为y=-2x-3． （2）把B点坐标代入y=x+b得， 3=-3+b，解得：b=6， ∴y=x+6． 当x=0时，y=6， ∴点E的坐标为（0，6）． 当x=0时，y=-2x-3=-3， ∴点A坐标为（0，-3）， ∴AE=6+3=9， ∴△ABE的面积为×9×|-3|=13.5． 21. 一辆货车从A地运货到240km的B地，卸货后返回A地，如图中实线是货车离A地的路程y（km）关于出发后的时间x（h）之间的函数图象．货车出发时，正有一个自行车骑行团在AB之间，距A地40km处，以每小时20km的速度奔向B地． （1）货车去B地的速度是　 　，卸货用了　 　小时，返回的速度是　 　； （2）求出自行车骑行团距A地的路程y（km）关于x的函数关系式，并在此坐标系中画出它的图象； （3）求自行车骑行团与货车迎面相遇，是货车出发后几小时后，自行车骑行团还有多远到达B地． 【答案】（1）60km/h，1小时，80km/h（2）y=20x+40 （0≤x≤10）（3）自行车骑行团与货车迎面相遇，是货车出发后6小时后，自行车骑行团还有80km到达B地 【解析】 【详解】分析：(1)根据速度,以及函数图象中的信息即可解决问题; (2)根据题意y=20x+40(0≤x≤10),画出函数图象即可; (3)利用方程组求交点坐标即可; 详解：（1）货车去B地的速度==60km/h，观察图象可知卸货用了1小时， 返回的速度==80km/h，故答案为60（km/h），1，80（km/h）． （2）由题意y=20x+40 （0≤x≤10），函数图象如图所示， （3）货车返回时，y关于x的函数解析式是：y=﹣80x+640 （5≤x≤8） 解方程组，解得得， 答：自行车骑行团与货车迎面相遇，是货车出发后6小时后，自行车骑行团还有80km到达B地． 点睛：本题考查了一次函数的应用及速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. 22. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产、两种产品共50件.已知生产一件种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元.设生产种产品的件数为（件），生产、两种产品所获总利润为（元） （1）试写出与之间的函数关系式： （2）求出自变量的取值范围； （3）利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y与x之间的函数关系式是； （2）自变量x的取值范围是x = 30，31，32； （3）生产A种产品 30件时总利润最大，最大利润是45000元， 【解析】 【详解】（1）由于用这两种原料生产A、B两种产品共50件，设生产A种产品x件，那么生产B种产品（50-x）件．由A产品每件获利700元，B产品每件获利1200元，根据总利润=700×A种产品数量+1200×B种产品数量即可得到y与x之间的函数关系式； （2）关系式为：A种产品需要甲种原料数量+B种产品需要甲种原料数量≤360；A种产品需要乙种原料数量+B种产品需要乙种原料数量≤290，把相关数值代入得到不等式组，解不等式组即可得到自变量x的取值范围； （3）根据（1）中所求的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性和（2）得到的取值范围即可求得最大利润． 解答：解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（50-x）件， 由题意得：y=700x+1200（50-x）=-500x+60000， 即y与x之间的函数关系式为y=-500x+60000； （2）由题意得， 解得30≤x≤32． ∵x为整数， ∴整数x=30，31或32； （3）∵y=-500x+60000，-500＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x=30，31或32， ∴当x=30时，y有最大值为-500×30+60000=45000． 即生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元． “点睛”本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键． 23. （1）感知：如图1，如图1，四边形、均为正方形，试猜想线段和的数量关系为__________． （2）探究：如图2，四边形、均为菱形，且，求证：． （3）应用：如图3，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在的延长线上，若，，的面积为8，则菱形的面积为__________． 【答案】（1） （2） 四边形、四边形均为菱形， ，，，， ， ， ， 即， ． ； （3）20 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）利用菱形的性质，证明，即可得证； （3）根据菱形的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，求出，，全等三角形的面积相等，得到，进而得到，根据菱形的面积，即可得出结果． 【小问1详解】 解：与的数量关系为相等， 四边形、四边形均为正方形， ，， ， ， 即， 在和中，， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是菱形，， ， ， ， ，， 同（2）可得：， ， ， 菱形的面积． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质解决问题，灵活运用条件解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $