第05讲 一元二次方程的解法（6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第05讲 一元二次方程的解法（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点4．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点5．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点6．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型强化 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（浦东新区期中）关于的方程无实数根，那么满足的条件是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•宝山区期末）方程的解是 　　． 3．（2022秋•嘉定区校级月考）解方程：． 题型二．解一元二次方程-配方法 4．（2020秋•普陀区期中）解方程，得　　． 5．（2022秋•奉贤区校级期中）一元二次方程在用配方法配成时，下面正确的是　　 A．是的一半 B．是的一半的平方 C．是的2倍 D．是的一半的相反数 6．（2023秋•松江区期末）用配方法解． 题型三．解一元二次方程-公式法 7．（2023秋•浦东新区校级期末）解方程：． 8．（2022秋•闵行区期中）已知：、是实数，且满足，求关于的一元二次方程的根． 9．（2022秋•奉贤区校级期中）方程的根是　　． 题型四．解一元二次方程-因式分解法 10．（2022秋•普陀区校级期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周为　　 A．17 B．19 C．21 D．25 11．（2022秋•闵行区校级期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 　　． 12．（2023秋•金山区期末）（1）用配方法解方程：； （2）解方程：． 题型五．换元法解一元二次方程 13．（2022秋•浦东新区校级月考）若、为实数，且，则　　． 14．（2020秋•浦东新区校级月考）实数满足，那么代数式的值是 　　． 15．（2020秋•浦东新区校级月考）． 题型六．配方法的应用 16．（杨浦区期中）配方：　　　 　． 17．（浦东新区校级月考）已知，无论取任何实数，这个式子都有意义，试求的取值范围　　． 18．（2022春•六盘水期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有 　①③　（填序号）； ①29 ②48 ③13 ④28 探究问题： （2）若可配方成 ，为常数），则的值为 　　； （3）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数，满足，求的最小值． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海·阶段练习）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·上海·阶段练习）设，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（22-23八年级上·上海长宁·期末）把方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解一元二次方程时，在方程两边应同时加上（　　） A． B． C． D． 6．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）一元二次方程在用配方法配成时，下面的说法正确的是（     ） A．m是p的 B．m是p的一半的平方 C．m是p的2倍 D．m是p的的相反数 二、填空题 7．（23-24八年级·上海奉贤·期末）方程的解是 ． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）方程的根是 ． 9．（22-23八年级上·上海普陀·期中）若代数式的值为9，则的值为 ． 10．（23-24八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解 ． 11．（23-24八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程有一个根为零，则m的值为 ． 12．（22-23八年级上·上海青浦·期末）用换元法解方程，若设，则原方程可化为关于的整式方程为 13．（2024八年级·上海·专题练习）方程的根是 14．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式： ． 15．（23-24八年级 ·上海闵行·期中）将方程化成两个一次方程是 和 ． 16．（19-20八年级上·上海浦东新·期末）在实数范围内分解因式： ． 17．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）关于y的方程，用 法解，得 ， ． 18．（22-23八年级上·上海·阶段练习）直接写出下列一元二次方程的根： （1）的根为： ； （2）的根为： ． 三、解答题 19．（22-23八年级上·上海青浦·期中）解方程： 20．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式： 21．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于x的方程的两个实数根为、，且，求k的值． 22．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 23．（20-21八年级上·上海静安·课后作业） 24．（22-23八年级上·上海长宁·期末）解方程：． 25．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 26．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 27．（2024八年级上·上海·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程的解法（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点4．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点5．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点6．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型强化 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（浦东新区期中）关于的方程无实数根，那么满足的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于的不等式，求解不等式即可． 【解答】解：当时，方程无解． 即． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数． 2．（2022秋•宝山区期末）方程的解是 　，　． 【分析】先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：， ， ， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 3．（2022秋•嘉定区校级月考）解方程：． 【分析】移项，合并，然后系数化为1，进一步利用直接开平方解方程． 【解答】解：， ， ， 解得：，． 【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 题型二．解一元二次方程-配方法 4．（2020秋•普陀区期中）解方程，得　　． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，把方程左边配成完全平方式，最后用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了配方法，一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5．（2022秋•奉贤区校级期中）一元二次方程在用配方法配成时，下面正确的是　　 A．是的一半 B．是的一半的平方 C．是的2倍 D．是的一半的相反数 【分析】把化成一般式即可判断． 【解答】解：化为， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 6．（2023秋•松江区期末）用配方法解． 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【解答】解：， 移项得， 二次项系数化成1得， 配方得，即 ， 解得，． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 题型三．解一元二次方程-公式法 7．（2023秋•浦东新区校级期末）解方程：． 【分析】先把二次项系数化为整数系数，再计算出根的判别式的值，然后根据求根公式得到方程的解． 【解答】解：方程化为， ，，， △， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 8．（2022秋•闵行区期中）已知：、是实数，且满足，求关于的一元二次方程的根． 【分析】利用非负数的性质求得、的值，然后利用因式分解法求解即可． 【解答】解：、是实数，且满足， ，， 关于的一元二次方程为， 整理得， ， 解得，． 【点评】本题综合考查了解一元二次方程，非负数的性质，根据方程的特点灵活选用合适的解一元二次方程方法是解题的关键． 9．（2022秋•奉贤区校级期中）方程的根是　　． 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式． 【解答】解：，， ． 【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定、、的值． 题型四．解一元二次方程-因式分解法 10．（2022秋•普陀区校级期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周为　　 A．17 B．19 C．21 D．25 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系可判断三角形的第三边长为12，然后计算三角形的周长． 【解答】解：， ， 或， 解得，， 因为， 所以三角形的第三边长为12， 所以这个三角形的周为． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 11．（2022秋•闵行区校级期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是 　13　． 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长． 【解答】解：， ， 或， 解得，， 当时，，不符合三角形的三边关系定理，所以舍去， 当时，三角形三边分别为3、6、4，三角形的周长是， 故答案为：13． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 12．（2023秋•金山区期末）（1）用配方法解方程：； （2）解方程：． 【分析】（1）把原方程化为的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． （2）移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 解得：，． （2）， ， ， 解得：，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程配方法、解一元二次方程因式分解法，熟知用配方法和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键． 题型五．换元法解一元二次方程 13．（2022秋•浦东新区校级月考）若、为实数，且，则　6　． 【分析】设，则原方程转化为，然后利用因式分解法解方程求得的值即可． 【解答】解：设，则： ． 整理，得． 解得或（舍去）． 所以． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 14．（2020秋•浦东新区校级月考）实数满足，那么代数式的值是 　2　． 【分析】设，原方程即可变形为关于的方程，即可求得的值，进而即可求得的值． 【解答】解：设，则原方程可变形为， ， 解得，， 当时，，无实数解， 当时，，有实数解， ， 故答案为2． 【点评】本题考查了解一元二次方程、解高次方程和分解因式等知识点，能正确进行换元是解此题的关键． 15．（2020秋•浦东新区校级月考）． 【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根． 【解答】解：设，则原方程可化为， 解得：，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的根是，． 【点评】本题考查对换元法解方程的理解和运用．掌握该方法有利于化繁为简，化难为易． 题型六．配方法的应用 16．（杨浦区期中）配方：　　　 　． 【分析】由于二次项系数是，那么常数项是一次项系数一半的平方，等号右边中括号内的减数是常数项的底数，即可求出答案； 【解答】解：因为一次项系数为：， 所以常数项为等号右边底数中的减数为； 故答案为：，． 【点评】考查配方法的应用；配方法应用之前，应把二次项系数整理为1；用到的知识点为：． 17．（浦东新区校级月考）已知，无论取任何实数，这个式子都有意义，试求的取值范围　　． 【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需大于0，求出不等式的解集即可得到的范围． 【解答】解：原式分母为：， ，无论取任何实数，这个式子都有意义， ， 解得：． 故答案为： 【点评】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． 18．（2022春•六盘水期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有 　①③　（填序号）； ①29 ②48 ③13 ④28 探究问题： （2）若可配方成 ，为常数），则的值为 　　； （3）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数，满足，求的最小值． 【分析】（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方式把原式变形，根据“完美数”的定义，即可证明结论； （4）利用配方法和非负数的性质，即可求得的最小值． 【解答】解：（1），，48和28不能表示成两个数的平方和， “完美数”有29和13， 故答案为：①③； （2）， ，， ， ． 故答案为：； （3）当时，是“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， 和也是整数， 当时，是“完美数”； （4）， ， ， ， 的最小值为． 【点评】本题考查了配方法的应用，理解新定义“完美数”并会把算式灵活配方是解决问题的关键． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海·阶段练习）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解： ， ， 或， 所以， 故选：C． 2．（21-22八年级上·上海·阶段练习）设，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设，则原式变形为：，解关于m一元二次方程即可． 【详解】解：设， 则原式变形为：， ， ∴或， ∴或， 即的值为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据题意将原式整理为一元二次方程是解本题的关键． 3．（22-23八年级上·上海长宁·期末）把方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 【详解】解：， ， 则，即， 故选：D． 4．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得． 【详解】， 两边同除以得：， 利用直接开方法得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键． 5．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解一元二次方程时，在方程两边应同时加上（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的步骤，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：进行配方，方程两边应同时加上一次项系数的一半的平方， 即 ∴， ∴在方程两边应同时加上． 故选：C． 【点睛】本题考查配方法，用配方法解一元二次方程得一般步骤：（1）化二次项系数为，当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．熟知配方法的步骤是解题的关键． 6．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）一元二次方程在用配方法配成时，下面的说法正确的是（     ） A．m是p的 B．m是p的一半的平方 C．m是p的2倍 D．m是p的的相反数 【答案】A 【分析】利用配方法将原方程配方即可得出结论． 【详解】解：移项，得 两边同时加上，得 ∴ ∴m= 即m是p的 故选A． 【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解决此题的关键． 二、填空题 7．（23-24八年级·上海奉贤·期末）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解方程，熟练掌握利用因式分解法解方程是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）方程的根是 ． 【答案】0或 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：0或． 9．（22-23八年级上·上海普陀·期中）若代数式的值为9，则的值为 ． 【答案】或1/1或 【分析】根据题意列出方程，再利用直接开平方法解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：． 故答案为：或1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 10．（23-24八年级上·上海·期末）在实数范围内因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数范围内分解因式．利用公式法求出方程的解，从而得出答案． 【详解】解：方程的，，， △， ， ， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·上海闵行·期中）关于的一元二次方程有一个根为零，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，，，据此作答即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根为零， 所以， 解得， 因为， 所以， 故， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·上海青浦·期末）用换元法解方程，若设，则原方程可化为关于的整式方程为 【答案】 【分析】由于方程中含有，故设，代入方程后，把原方程化为整式方程． 【详解】解：设， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了数学中的换元思想，用换元法解分式方程，能够使方程简单，因此应根据方程特点选择合适的方法． 13．（2024八年级·上海·专题练习）方程的根是 【答案】 【分析】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．移项，系数化成1，再两次开方即可． 【详解】解：， ， ， 开方得：，或（舍去）， 开方得：， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 15．（23-24八年级 ·上海闵行·期中）将方程化成两个一次方程是 和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查高次方程的知识点，解答本题的关键是熟练运用因式分解，此题比较简单．首先把方程的前两项构成完全平方式，然后进行因式分解把二次方程化成两个一元一次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：，， 故答案为：，． 16．（19-20八年级上·上海浦东新·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】将原式变形为，再利用平方差公式分解即可得． 【详解】解： = = = ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 17．（20-21八年级上·上海静安·课后作业）关于y的方程，用 法解，得 ， ． 【答案】 配方 102 【分析】利用配方法解一元二次方程即可得． 【详解】， ， ， ， ， ， 故答案为：配方，102，． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键． 18．（22-23八年级上·上海·阶段练习）直接写出下列一元二次方程的根： （1）的根为： ； （2）的根为： ． 【答案】 ， ， 【分析】（1）根据方程特点，应用直接开平方法解答． （2）根据方程的特点，移项后，再进行因式分解，将方程化为，然后解得方程的解． 【详解】解：（1）， 原方程化成， 开平方，得， ∴，， 故答案为，． （2） 移项得，， 因式分解，得， ∴或， ∴，， 故答案为，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 三、解答题 19．（22-23八年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，将原方程化成一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．先将原方程化成一元二次方程的一般形式，然后再用因式分解法解答即可． 【详解】解： 或 ，． 20．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式： 【答案】 【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等． 21．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于x的方程的两个实数根为、，且，求k的值． 【答案】0或 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，，利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，解得且，再利用根与系数的关系得到，所以当时，利用判别式的意义得到；当时，，然后分别解方程得到k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 关于x的方程的两个实数根为、， ， ， 或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，k的值为0或 22．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 【答案】（1）9或；（2）9；（3）1 【分析】（1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （2）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （3）设，则由原方程得到关于的一元二次方程，通过解该方程得到的值；然后将其代入所求的变形后的代数式进行求值． 【详解】解：（1）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或． 即值为9或． 故答案为：9或； （2）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即代数式的值为9； （3）设，则， 整理，得， 解得或， 当时，无解（舍去）， 即， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 23．（20-21八年级上·上海静安·课后作业） 【答案】． 【分析】综合利用利用换元法和因式分解法即可得． 【详解】令，则原方程可化为， ， 或， 或， 则或， 解得或， 故原方程的解为． 【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键． 24．（22-23八年级上·上海长宁·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，然后解方程即可得到答案． 【详解】解： 则或 解得，． 25．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数范围内分解因式， 首先解关于x的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解：令，则   ， 所以， 所以 26．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 27．（2024八年级上·上海·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)，； (3)； (4)； (5)原方程无实数解； (6) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）直接利用开平方的方法解方程即可； （2）直接利用配方法求解即可； （3）直接利用开平方的方法解方程即可； （4）直接利用配方法求解即可； （5）先配方，然后可以得到，由此可以判断方程无解； （6）先去括号，合并同类项，然后用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：由方程可得，， ∴， ∴，； （2）解：移项得， 配方得， ∴， 解得， ∴，； （3）解：解：直接开平方得， 即或， 解得，； （4）解：移项得， 二次项的系数化为1得，， ， ， 解得； （5）解：由原方程，得， 等号的两边同时乘2，得， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方得． ∵无论x取何值，恒大于等于零， ∴原方程无实数解； （6）解：， ， ， ， 解得， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司 $$