第11章《三角形》章节总复习（知识精讲+易错点拨+十六大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第11章《三角形》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 章节知识梳理 1 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：三角形 5 考点讲练2：三角形的角平分线、中线和高 6 考点讲练3：三角形的稳定性 7 考点讲练4：三角形的重心 8 考点讲练5：三角形三边关系 9 考点讲练6：三角形内角和定理 10 考点讲练7：三角形的外角性质 11 考点讲练8：直角三角形的性质 13 考点讲练9：多边形 14 考点讲练10：多边形内角与外角 15 中等题真题汇编练 17 培优题真题汇编练 22 章节知识梳理 知识点01:三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系： 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类： 3.三角形的重要线段： （1）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 知识点02:三角形的稳定性 　　如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形． 知识点03:三角形的内角和与外角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 知识点04:多边形及有关概念 1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.  要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形. 2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等． 要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形. 3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.　　　　　　　　　　　　　　　　 要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形； (2)n边形共有 条对角线． 知识点05:多边形的内角和及外角和公式 1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ． 要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决； (2)内角和定理的应用： ①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数.　　 2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 要点诠释：(1)外角和公式的应用： 　　　 ①已知外角度数，求正多边形边数； 　　　 ②已知正多边形边数，求外角度数.  　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： 　　　 ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°. 知识点06：镶嵌的概念和特征 1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.: 高频易错知识点拨 易错知识点01：三角形的定义与性质 易错点：学生可能混淆 三角形的定义，错误地认为只要有三条线段就能构成三角形，而忽略了这三条线段必须不在同一条直线上且首尾顺次相接。 纠正：强调三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 易错知识点02：三角形的三边关系 易错点：学生可能只记得“两边之和大于第三边”，而忽略了“两边之差小于第三边”这一重要性质。此外，在判断三条线段能否构成三角形时，也容易出错。 纠正：在判断三条线段能否构成三角形时，必须同时满足“两边之和大于第三边”和“两边之差小于第三边”这两个条件。同时，可以通过构造法或计算法来验证。 易错知识点03：三角形的分类 易错点：学生可能只根据三角形的一个特征（如边长或角度）进行分类，而忽略了其他可能的分类方式。 纠正：三角形可以按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边分为等腰三角形（包括等边三角形）和不等边三角形。分类时应综合考虑三角形的多个特征。 易错知识点04：与三角形相关的线段 易错点：学生可能混淆三角形的角平分线、中线和高线的定义和性质，尤其是它们与三角形的关系。 纠正： 角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段。它所在的直线将三角形分为两个面积相等的小三角形。 中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。它所在的直线将三角形分为两个面积相等的小三角形，并且三角形的三条中线交于一点（重心）。 高：从三角形的一个顶点向对边（或其延长线）作垂线，垂足与顶点之间的线段。注意钝角三角形的高可能在三角形的外部。 易错知识点05：三角形的内角与外角 易错点：学生可能忘记三角形的内角和为180°，或者错误地应用外角的性质。 纠正： 内角和：三角形的三个内角的和为180°。这一性质常用于求解三角形的角度问题。 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角称为外角。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角。三角形的外角和为360°。 易错知识点06：等腰三角形与等边三角形的性质 易错点：学生可能混淆等腰三角形和等边三角形的性质，或者忘记在等腰三角形中利用等腰性质进行求解。 纠正： 等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，相等的两边称为腰，第三条边称为底边。底边上的两个角（底角）相等。 等边三角形：三边都相等的三角形。它是特殊的等腰三角形，三个角都相等（每个角都是60°）。 易错知识点07：三角形的稳定性 易错点：学生可能忘记三角形具有稳定性这一重要性质，或者错误地认为所有多边形都具有稳定性。 纠正：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会发生改变。而四边形等其他多边形则不具有这种稳定性。 考点讲练1：三角形 【精讲题】（2022春•雁塔区校级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．0 【举一反三练1】（2022秋•道县校级月考）如图，在长方形中，，点，在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），若图中直角三角形有个，钝角三角形有个，则的值为 　　． 【举一反三练2】．（2022秋•宁化县期中）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，并依次连接成三角形； （2）计算出的周长． 【举一反三练3】（2016春•九台市期末）观察以下图形，回答问题： （1）图②有　 　个三角形；图③有　　个三角形；图④有　　个三角形；猜测第七个图形中共有　　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有　　个三角形（用含的代数式表示结论）． 考点讲练2：三角形的角平分线、中线和高 【精讲题】（2024春•桥西区期末）八（2）班四位同学画出如下线段，其中能表示的高的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•龙江县期中）如图，的角平分线、中线相交于点，则①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线的结论中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练2】（2023秋•呼和浩特期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为 　 　； （2）若是的角平分线，试说明与的数量关系． 【举一反三练3】（2023秋•商南县期中）如图，在中，，，，是边上的中线，点是上一点．若，求的长． 考点讲练3：三角形的稳定性 【精讲题】（2022秋•咸丰县校级月考）下列图形中不具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•佳木斯期末）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 　 　性． 【举一反三练2】（2023秋•昆明期末）下列图形中，所有具有稳定性的图形序号是 　 ． 【举一反三练3】（2021秋•祁阳县期末）小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为　 考点讲练4：三角形的重心 【精讲题】（2023秋•保定期末）如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【举一反三练1】（2022秋•淄川区期末）三角形三条中线交于一点，这个点叫做三角形的 　 　． 【举一反三练2】（2021秋•临邑县校级期中）如图，的周长为，，分别是，边上的中线，，相交于点，的延长线交于点，且，，求的长． 考点讲练5：三角形三边关系 【精讲题】（2024•凤凰县开学）下面三组小棒中，　　不可能围成三角形． A．，， B．，， C．，， D．，， 【举一反三练1】（2024•盐都区校级二模）如图，是的直径，点是上一动点，连接，点在直径上，，连接并延长交于点，若，则的最大值是 　　． 【举一反三练2】（2023秋•凤阳县期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为 ． （1）第三边的范围为 　　． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【举一反三练3】（2023秋•潜江月考）若三边均不相等的三角形三边，，满足，则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 　②　（填序号）． ①4，2，1； ②13，18，9； ③19，20，19； ④9，8，6． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，，求出所有符合条件的的整数值． 考点讲练6：三角形内角和定理 【精讲题】（2024春•泌阳县期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是　　 A．延长至过作 B．过作 C．过作 D．过作，， 【举一反三练1】（2024春•紫金县期末）如图，已知中，，，为上一点，将沿折叠后，点落在点处，且，则的度数是　 　． 【举一反三练2】（2024春•新邵县期末）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交，于点，点，平分交于点，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由． （2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作 于点，设，． （温馨提示：在三角形中， ①当点在点的左侧时，若，求的度数． ②当点在运动过程中和之间有怎样的关系？写出你的猜想，并加以证明． 考点讲练7：三角形的外角性质 【精讲题】（2024春•裕华区期末）如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或 【举一反三练1】（2024春•姜堰区期末）如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 　 　度． 【举一反三练2】（2023秋•雨湖区期末）一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则的度数是 　　． 【举一反三练3】（2024春•宿城区期末）已知：中，记，． （1）如图1，若平分，、分别平分的外角和，于点． ①用的代数式表示的度数； ②用的代数式表示的度数； （2）如图2，若点为的三条内角平分线的交点，且于点． ①请补全图形； ②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论． 考点讲练8：直角三角形的性质 【精讲题】（2024春•鄄城县期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023春•鹤壁期末）以下说法： ①如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形； ②如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是直角三角形； ③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； ④如果，那么是直角三角形； ⑤在中，若，则此三角形是直角三角形．其中说法正确的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三练2】（2024春•玄武区校级期中）如图，在中，，、分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：①；②平分；③④；⑤，其中正确的结论是 　 　． 【举一反三练3】（2023秋•东湖区校级期末）如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点，． （1）若，求的度数； （2）与相等吗？请说明理由． 考点讲练9：多边形 【精讲题】（2024•裕华区校级模拟）平面内，将长分别为1，2，4，的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是　　 A．1 B．2 C．7 D．8 【举一反三练1】（2021秋•依安县期末）如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，边形可以分割出 　　个三角形． 34．（2022秋•华容区校级月考）如图，五边形中，，，，为边的中点，，，则五边形的面积为　 　． 【举一反三练2】（2023秋•襄都区月考）如图，在五边形中，，，连接，，． （1）已知，则　　； （2）求五边形的周长． 【注：五边形的周长指组成五边形的所有边的和】 考点讲练10：多边形内角与外角 【精讲题】（2024•凉州区二模）将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2022秋•阳泉期末）在一次中学生创客比赛中，某八年级学生设计了一款机器猫，机器猫运行的程序如图所示，将该机器猫放在平台上运行至结束，它移动的距离是 　 　米． 【举一反三练2】（2024春•顺河区校级期末）【探究发现】在学习完八年级上册数学之后，小明对几何推理证明问题兴趣浓厚，他从中华人民共和国国旗中的五角星开始了探究，已知国旗中五角星的五个角均相等，他画出了图①所示的五角星，并利用所学的知识很快得出五个角的度数，此度数为 　　； 【拓展延伸】如图②，小明改变了这五个角的度数，使它们均不相等，小明发现，，，，的和是一个定值并进行了证明，请你猜想出结果并加以证明； 【类比迁移】如图③，小明将点落在上，点落在上，那么，，，，存在怎样的数量关系？请直接写出结果． 【举一反三练3】（2022秋•东丽区期末）如图平分，且与的外角的平分线交于点． （1）若，，求的度数； （2）若把截去，得到四边形，如图2，猜想，，的关系并证明． 中等题真题汇编练 1．（2024春•仪征市期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且、、的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应　　 A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 2．（2024•江汉区二模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则　　 A． B． C． D． 3．（2024•宜兴市模拟）永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•东湖区校级期末）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于，那么图中的度数是　　度． A．60 B．90 C．100 D．105 5．（2024春•朝阳区校级期末）将正方形与正五边形按如图所示的方式摆放，它们的顶点重合，且正方形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是 　　． 6．（2023秋•湖北期末）如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是 　　． 7．（2024春•遵化市期末）如图，五边形是正五边形，若直线，则的值为 　　． 8．（2023秋•金东区期末）如图，在中，，、分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，，则　　度． 9．（2024春•珠晖区校级期末）如图，，、分别平分的内角、外角，平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（填序号） 　　． 10．（2024春•顺河区校级期末）将下面求解的过程补充完整： 如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点，平分交于点，求的度数． 解：是的一个外角，且，， 　　　　　　．（三角形的外角等于与它 　　的和） 又平分， 　　　　． 又是的一个外角，且， 　　　　　　． 11．（2024春•太康县期末）如图，是的外角，平分，平分，且、交于点，． （1）求证：； （2）猜想：若，求的度数． 12．（2024春•长沙期末）如图，在中， （1）分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点（如图．则　　； （2）分别作与的平分线，且两条角平分线交于点（如图．求的度数； （3）在（2）的条件下，射线在的内部且，设与的交点为，射线在的内部且，射线与交于点，若，和满足的数量关系为，请直接写出，的值． 13．（2024春•砀山县期末）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题． （1）将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 （2）观察上面表格中的变化规律，角与边数的关系为 　　． （3）根据规律，当时，多边形边数　　． 培优题真题汇编练 14．（2024春•丹徒区期末）如图，中，，的度数为，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•安岳县期末）如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①； ②；③；④．其中正确个数是　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 16．（2024•驿城区模拟）如图，把一个含角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 17．（2024春•历下区期末）如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024•天河区校级四模）如图，中，，为边上的中线，则的最小值为 　　． 19．（2024春•盐城期末）如图，在中，，、分别平分，，、、分别在、、的延长线上，、分别平分，，、分别平分、，则　　． 20．（2023秋•颍州区期末）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内．若，则　　． 21．（2023秋•宝丰县期末）如图，，则　　． 22．（2022秋•潍坊期末）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则的度数是　　． 23．（2024春•船营区校级期末）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，与的周长差为3，求的长． 24． （2024春•武冈市期末）某同学采用把多边形内角逐个相加的方法计算多边形的内角和，求得一个多边形的内角和为，当他发现错了以后，重新检查，发现少加了一个内角．请问：漏加的这个内角是多少度？他求的这个多边形的边数是多少？ 25．（2024春•曲阳县期末）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形． （1）在中，，，则为 　　倍角三角形． （2）如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． （3）如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第11章《三角形》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十大考点讲练+难度分层真题练） 章节知识梳理 1 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：三角形 5 考点讲练2：三角形的角平分线、中线和高 8 考点讲练3：三角形的稳定性 10 考点讲练4：三角形的重心 12 考点讲练5：三角形三边关系 13 考点讲练6：三角形内角和定理 17 考点讲练7：三角形的外角性质 21 考点讲练8：直角三角形的性质 26 考点讲练9：多边形 30 考点讲练10：多边形内角与外角 34 中等题真题汇编练 39 培优题真题汇编练 51 章节知识梳理 知识点01:三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系： 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类： 3.三角形的重要线段： （1）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 知识点02:三角形的稳定性 　　如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形． 知识点03:三角形的内角和与外角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 知识点04:多边形及有关概念 1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.  要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形. 2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等． 要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形. 3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.　　　　　　　　　　　　　　　　 要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形； (2)n边形共有 条对角线． 知识点05:多边形的内角和及外角和公式 1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ． 要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决； (2)内角和定理的应用： ①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数.　　 2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 要点诠释：(1)外角和公式的应用： 　　　 ①已知外角度数，求正多边形边数； 　　　 ②已知正多边形边数，求外角度数.  　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： 　　　 ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°. 知识点06：镶嵌的概念和特征 1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.: 高频易错知识点拨 易错知识点01：三角形的定义与性质 易错点：学生可能混淆 三角形的定义，错误地认为只要有三条线段就能构成三角形，而忽略了这三条线段必须不在同一条直线上且首尾顺次相接。 纠正：强调三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 易错知识点02：三角形的三边关系 易错点：学生可能只记得“两边之和大于第三边”，而忽略了“两边之差小于第三边”这一重要性质。此外，在判断三条线段能否构成三角形时，也容易出错。 纠正：在判断三条线段能否构成三角形时，必须同时满足“两边之和大于第三边”和“两边之差小于第三边”这两个条件。同时，可以通过构造法或计算法来验证。 易错知识点03：三角形的分类 易错点：学生可能只根据三角形的一个特征（如边长或角度）进行分类，而忽略了其他可能的分类方式。 纠正：三角形可以按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边分为等腰三角形（包括等边三角形）和不等边三角形。分类时应综合考虑三角形的多个特征。 易错知识点04：与三角形相关的线段 易错点：学生可能混淆三角形的角平分线、中线和高线的定义和性质，尤其是它们与三角形的关系。 纠正： 角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段。它所在的直线将三角形分为两个面积相等的小三角形。 中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。它所在的直线将三角形分为两个面积相等的小三角形，并且三角形的三条中线交于一点（重心）。 高：从三角形的一个顶点向对边（或其延长线）作垂线，垂足与顶点之间的线段。注意钝角三角形的高可能在三角形的外部。 易错知识点05：三角形的内角与外角 易错点：学生可能忘记三角形的内角和为180°，或者错误地应用外角的性质。 纠正： 内角和：三角形的三个内角的和为180°。这一性质常用于求解三角形的角度问题。 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角称为外角。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角。三角形的外角和为360°。 易错知识点06：等腰三角形与等边三角形的性质 易错点：学生可能混淆等腰三角形和等边三角形的性质，或者忘记在等腰三角形中利用等腰性质进行求解。 纠正： 等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，相等的两边称为腰，第三条边称为底边。底边上的两个角（底角）相等。 等边三角形：三边都相等的三角形。它是特殊的等腰三角形，三个角都相等（每个角都是60°）。 易错知识点07：三角形的稳定性 易错点：学生可能忘记三角形具有稳定性这一重要性质，或者错误地认为所有多边形都具有稳定性。 纠正：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会发生改变。而四边形等其他多边形则不具有这种稳定性。 考点讲练1：三角形 【精讲题】（2022春•雁塔区校级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．0 【思路点拨】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断． 【规范解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确； （2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误； （3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确． 综上所述，正确的结论2个． 故选：． 【考点评析】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形． 【举一反三练1】（2022秋•道县校级月考）如图，在长方形中，，点，在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），若图中直角三角形有个，钝角三角形有个，则的值为 　　． 【思路点拨】由图可得，直角三角形有个，钝角三角形有个，将和的值代入计算即可． 【规范解答】解：由题意得： 直角三角形有个，钝角三角形有个， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键． 【举一反三练2】．（2022秋•宁化县期中）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，并依次连接成三角形； （2）计算出的周长． 【思路点拨】（1）根据点的坐标确定点在坐标系中的位置； （2）求出边长即可求解． 【规范解答】解：（1）如图所示，就是所求作的三角形； （2）由图形可知，，，， 的周长为16． 【考点评析】本题主要考查点的坐标及平面直角坐标系中图形周长的求法，确定图中三角形的边长是解题的关键． 【举一反三练3】（2016春•九台市期末）观察以下图形，回答问题： （1）图②有　3　个三角形；图③有　　个三角形；图④有　　个三角形；猜测第七个图形中共有　　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有　　个三角形（用含的代数式表示结论）． 【思路点拨】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形 （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第个图形中的三角形的个数． 【规范解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； 第个图形中有个三角形． 故答案为3，5，7，13，． 【考点评析】本题考查了图形的变化类规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 考点讲练2：三角形的角平分线、中线和高 【精讲题】（2024春•桥西区期末）八（2）班四位同学画出如下线段，其中能表示的高的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形的高的概念判断即可． 【规范解答】解：所给图形中，线段能表示的高的是选项， 故选：． 【考点评析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，掌握三角形高的概念是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•龙江县期中）如图，的角平分线、中线相交于点，则①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线的结论中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】易得，，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可． 【规范解答】解：的角平分线、中线相交于点， ，， ①在中，，是的角平分线，故①正确； ②，所以不是的中线，故②错误； ③在中，，是的中线，故③正确； ④不一定等于，那么不一定是的角平分线，故④错误； 正确的有2个选项．故选：． 【考点评析】用到的知识点为：三角形一个角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线；连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线． 【举一反三练2】（2023秋•呼和浩特期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为 　1　； （2）若是的角平分线，试说明与的数量关系． 【思路点拨】（1）根据三角形中线的性质，表示出、，即可解答． （2）根据角平分线的性质，即可解答． 【规范解答】解：（1）是中线， ， ，， ，， ， 故答案为：1． （2）、是的角平分线， ，， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查三角形角平分线、中线的性质，掌握三角形角平分线、中线的性质是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•商南县期中）如图，在中，，，，是边上的中线，点是上一点．若，求的长． 【思路点拨】根据中线的定义得出，再根据代入数值进行计算即可． 【规范解答】解：是边上的中线， ， ， ， 又， ． 【考点评析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解此题的关键． 考点讲练3：三角形的稳定性 【精讲题】（2022秋•咸丰县校级月考）下列图形中不具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性即可判断． 【规范解答】解：因为三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性， 所以，、、都是由若干个三角形构成，具有稳定性，不符合题意； 、由一个三角形和一个四边形构成，四边形不具有稳定性，符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查三角形的稳定性，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【举一反三练1】（2023秋•佳木斯期末）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 　稳定　性． 【思路点拨】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可． 【规范解答】解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定． 【考点评析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是能够了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大． 【举一反三练2】（2023秋•昆明期末）下列图形中，所有具有稳定性的图形序号是 　①和②　． 【思路点拨】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【规范解答】解：具有稳定性的是①和②， 故答案为：①和②． 【考点评析】本题主要考查三角形的稳定性．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【举一反三练3】（2021秋•祁阳县期末）小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为　三角形具有稳定性　． 【思路点拨】直接利用三角形具有稳定性得出答案． 【规范解答】解：用三角形稳固它们是因为三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【考点评析】此题主要考查了三角形的稳定性，正确把握三角形具有稳定性是解题关键． 考点讲练4：三角形的重心 【精讲题】（2023秋•保定期末）如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【思路点拨】如图，利用刻度尺可判断的延长线平分，的延长线平分，的延长线平分，于是根据三角形重心的定义可判断点为的重心． 【规范解答】解：如图，的重心为点． 故选：． 【考点评析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【举一反三练1】（2022秋•淄川区期末）三角形三条中线交于一点，这个点叫做三角形的 　重心　． 【思路点拨】根据三角形的重心的概念解答． 【规范解答】解：三角形三条中线交于一点， 这个点叫做三角形的重心， 故答案为：重心． 【考点评析】本题考查的是三角形重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 【举一反三练2】（2021秋•临邑县校级期中）如图，的周长为，，分别是，边上的中线，，相交于点，的延长线交于点，且，，求的长． 【思路点拨】根据三角形的重心性质，得是的中线，再根据三角形的中线性质与三角形的周长公式便可求得． 【规范解答】解：，，，分别是，边上的中线， ，， 的周长为， ， 点是中线，的交点， 是边上的中线， ． 【考点评析】本题考查了三角形的重心，关键是三角形的重心得是边上的中线． 考点讲练5：三角形三边关系 【精讲题】（2024•凤凰县开学）下面三组小棒中，　　不可能围成三角形． A．，， B．，， C．，， D．，， 【思路点拨】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由此解答即可． 【规范解答】解：选项：，满足三边关系； 选项：，不满足三边关系； 选项：，满足三边关系； 选项：，满足三边关系． 故选：． 【考点评析】此题考查三角形的三边关系．牢记三角形的三边关系是解题的关键． 【举一反三练1】（2024•盐都区校级二模）如图，是的直径，点是上一动点，连接，点在直径上，，连接并延长交于点，若，则的最大值是 　8　． 【思路点拨】连接，，分，不重合和，重合分别求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，， ， 当，不重合时，在中，两边之和大于第三边， ． 又，即 即 当，重合时，如图，有． 故综上得：． 故答案为：8． 【考点评析】本题主要考查了三角形的三边关系及圆中的最值问题，能根据题意正确作出辅助线是解决本题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•凤阳县期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为 ． （1）第三边的范围为 　　． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【思路点拨】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案． （2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可． 【规范解答】解：（1）根据三角形两边的和大于第三边，则 ． 即． 根据三角形两边的差小于第三边，则 ． 即． 综上所述 ． 故答案为：． （2）第三边的长为奇数， 第三边的长为． 三角形的周长． 两条边的长为，另外一条边的长为， 这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 【考点评析】本题主要考查三角形三边之间的大小关系以及三角形按边的相等关系分类，牢记三角形三边之间的大小关系（三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边）和三角形按边的相等关系分类是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•潜江月考）若三边均不相等的三角形三边，，满足，则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 　②　（填序号）． ①4，2，1； ②13，18，9； ③19，20，19； ④9，8，6． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，，求出所有符合条件的的整数值． 【思路点拨】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，根据“不均衡三角形”的定义列方程求解即可． 【规范解答】解：（1）①， ，2，1不能组成“不均衡三角形”； ②， ，18，9能组成“不均衡三角形”； ③， ，20，19不能组成“不均衡三角形”； ④， ，8，6不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：②； （2）， ． 当时，即， 则， 解得：（舍， 当时，即， 则， 解得：，则，符合题意的取值为10， 当时，即， 则， 解得：，则，符合题意的取值为12，13，14． 综合的的取值为10，12，13，14． 【考点评析】本题考查了三角形三边关系，求不等式的解集，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． 考点讲练6：三角形内角和定理 【精讲题】（2024春•泌阳县期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是　　 A．延长至过作 B．过作 C．过作 D．过作，， 【思路点拨】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：、， ，，由，得，故不符合题意； 、， ，，由，得，故不符合题意； 、，，，无法证得三角形的内角和等于，故符合题意； 、如图， ， ，， ， ， ， ， ，故不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键． 【举一反三练1】（2024春•紫金县期末）如图，已知中，，，为上一点，将沿折叠后，点落在点处，且，则的度数是　25　． 【思路点拨】由平行线的性质和折叠的性质得到与间关系，再由三角形的内角和定理先求出，利用角的和差关系求出的度数． 【规范解答】解：是由折叠的， ． ． ， ． ． ，， ． ，， ． 故答案为：25． 【考点评析】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，掌握平行线的性质、折叠的性质及三角形的内角和定理是解决本题的关键． 【举一反三练2】（2024春•新邵县期末）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交，于点，点，平分交于点，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由． （2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作 于点，设，． （温馨提示：在三角形中， ①当点在点的左侧时，若，求的度数． ②当点在运动过程中和之间有怎样的关系？写出你的猜想，并加以证明． 【思路点拨】（1）根据角平分线的性质及等量代换得出，在利用平分线的判定即可证明． （2） ①根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义 ，得出，利用平行线的性质求出的度数． ②结论：．．根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义，得出，利用平行线的性质求出的度数． 【规范解答】解：（1）结论：． 理由：如图1， 平分交于点， ， ． ． ． （2）①如图2， ， ， ， ． ， 平分交于点， ， 平分交于点， ，， ， ， ； ②猜想：或 理由：（1）当点在的左侧时，如图2， ， ， ， ， 平分交于点， ， 平分交于点， ，， ， ， ， ， ， ． （2）当点在的右侧时， ， ， 平分交于点 ， 平分交于点 ， ， ， 综上所述，或． 【考点评析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质与判定是解题的关键． 考点讲练7：三角形的外角性质 【精讲题】（2024春•裕华区期末）如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或 【思路点拨】由可分两种情况：若为钝角，则，可直接求解的范围；若为锐角，则，再根据三角形外角的性质可求解． 【规范解答】解：， 若为钝角，则， 即， 若为锐角，则， ， ， ， 综上，的取值范围为或， 故选：． 【考点评析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，分类讨论是解题的关键． 【举一反三练1】（2024春•姜堰区期末）如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 　20　度． 【思路点拨】延长交于点，首先根据三角形的内角和求出的值，然后利用三角形的外角可得，进而即可得出结论． 【规范解答】解：延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：20． 【考点评析】本题考查的是三角形的外角性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练应用三角形的外角性质和三角形内角和定理． 【举一反三练2】（2023秋•雨湖区期末）一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则的度数是 　　． 【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后求出即可． 【规范解答】解：如图，由三角形的外角性质得，， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键． 【举一反三练3】（2024春•宿城区期末）已知：中，记，． （1）如图1，若平分，、分别平分的外角和，于点． ①用的代数式表示的度数； ②用的代数式表示的度数； （2）如图2，若点为的三条内角平分线的交点，且于点． ①请补全图形； ②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论． 【思路点拨】（1）①如图1根据角平分线的定义得到根据三角形的内角和即可得到结论； ②根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论； （2）①根据题意画出图形即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可得到结论． 【规范解答】解：（1）①如图、分别平分的外角和 ； ②在中，， ； （2）①如图2所示， ②中的两个结论发生了变化， ， ， 点为的三条内角平分线的交点， ，， ， ； ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 考点讲练8：直角三角形的性质 【精讲题】（2024春•鄄城县期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：， ， 平分，平分， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【举一反三练1】（2023春•鹤壁期末）以下说法： ①如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形； ②如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是直角三角形； ③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； ④如果，那么是直角三角形； ⑤在中，若，则此三角形是直角三角形．其中说法正确的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】根据三角形的内角和判断①④⑤，根据外角的定义判断②，根据直角三角形的三条高线交于直角顶点，判断③． 【规范解答】解：①如果三角形三个内角的比是，则最大角的度数为：，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意； ②如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，根据外角与它相邻的内角互补，得到这个内角是，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意； ③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；说法正确，符合题意； ④如果，根据，得到，那么是直角三角形；说法正确，符合题意； ⑤在中，若，根据，得到，则此三角形是直角三角形．说法正确，符合题意； 综上：说法正确的个数有5个； 故选：． 【考点评析】本题考查三角形分类，三角形的内角和，三角形的外角的定义，三角形的高线．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【举一反三练2】（2024春•玄武区校级期中）如图，在中，，、分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：①；②平分；③④；⑤，其中正确的结论是 　①③④⑤　． 【思路点拨】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明，，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②． 【规范解答】解：平分， ，， ， ，故结论①正确； ，，， ，，即， ， 又， ，故结论③正确； ， ， 、分别平分、， ，， ， ， ，故结论④正确； ， ，故结论⑤正确； 根据现有条件，无法推出平分，故结论②错误． 故答案为：①③④⑤． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•东湖区校级期末）如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点，． （1）若，求的度数； （2）与相等吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质得出，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可； （2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案． 【规范解答】解：（1），， ， 平分， ， ； （2），理由如下： ， ， ， 又平分， ， ， ， ， 即． 【考点评析】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键． 考点讲练9：多边形 【精讲题】（2024•裕华区校级模拟）平面内，将长分别为1，2，4，的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是　　 A．1 B．2 C．7 D．8 【思路点拨】由三角形三边关系定理得到，，因此，即可得到答案． 【规范解答】解：连接， 在中，， ， 在中，， ， 可能是2． 故选：． 【考点评析】本题考查三角形的三边关系，关键是连接，应用三角形的三边关系定理来解决问题． 【举一反三练1】（2021秋•依安县期末）如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，边形可以分割出 　　个三角形． 【思路点拨】（1）三角形分割成了两个三角形； （2）四边形分割成了三个三角形； （3）以此类推，边形分割成了个三角形． 【规范解答】解：边形可以分割出个三角形． 【考点评析】此题注意观察：是连接边形的其中一边上的点．根据具体数值进行分析找规律． 边形分割成了个三角形． 34．（2022秋•华容区校级月考）如图，五边形中，，，，为边的中点，，，则五边形的面积为　56　． 【思路点拨】由题意可考虑，延长到点，使，连接，，，这样就构成了等腰三角形，求五边形的面积就转化成了等腰三角形的面积，等腰三角形的底，高都已知，所以求解即可． 【规范解答】解：如图，延长到点，使，连接，，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 五边形的面积 ． 故答案为：56． 【考点评析】这道题考查的是多边形和等腰三角形的判定和性质，熟记有关定理是解题的基础，巧作辅助线构建等腰三角形是解这道题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•襄都区月考）如图，在五边形中，，，连接，，． （1）已知，则　　； （2）求五边形的周长． 【注：五边形的周长指组成五边形的所有边的和】 【思路点拨】（1）根据角的和差、倍数关系计算即可； （2）将绕点逆时针旋转，使点与点重合，点落在点处，先证明、、在同一条直线上，再证明，接着证明，即有，根据，可得，问题随之得解． 【规范解答】解：（1），， ， ， ． 故答案为：． 将绕点逆时针旋转，使点与点重台，点落在点处，如图， ，，，， ， ， 、、在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 五边形的周长． 【考点评析】本题考查多边形及角的计算，作出合理的辅助线，证明是解题的关键． 考点讲练10：多边形内角与外角 【精讲题】（2024•凉州区二模）将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用正多边形的性质求出，，再根据三角形的内角和可得． 【规范解答】解：由题意得：，， ，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形，三角形内角和定理． 【举一反三练1】（2022秋•阳泉期末）在一次中学生创客比赛中，某八年级学生设计了一款机器猫，机器猫运行的程序如图所示，将该机器猫放在平台上运行至结束，它移动的距离是 　10　米． 【思路点拨】根据多边形的外角和等于360度除以每次转的角度，得到转的次数，即可计算． 【规范解答】解：经分析，机器猫回到点，总共转了360度． 机器猫转了（次． 机器猫移动的距离是（米． 故答案为：10． 【考点评析】本题主要考查多边形的外角，熟练掌握任意多边形的外角和是360度是解决本题的关键． 【举一反三练2】（2024春•顺河区校级期末）【探究发现】在学习完八年级上册数学之后，小明对几何推理证明问题兴趣浓厚，他从中华人民共和国国旗中的五角星开始了探究，已知国旗中五角星的五个角均相等，他画出了图①所示的五角星，并利用所学的知识很快得出五个角的度数，此度数为 　　； 【拓展延伸】如图②，小明改变了这五个角的度数，使它们均不相等，小明发现，，，，的和是一个定值并进行了证明，请你猜想出结果并加以证明； 【类比迁移】如图③，小明将点落在上，点落在上，那么，，，，存在怎样的数量关系？请直接写出结果． 【思路点拨】【探究发现】如图①，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和是，再根据五角星的五个角均相等，求出答案即可； 【拓展延伸】如图②，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和是求出答案即可； 【类比迁移】如图③，根据平角定义可得，，根据三角形外角性质得，，然后等量代换即可． 【规范解答】解：【探究发现】如图①所示： ，，， ， ， 故答案为：； 【拓展延伸】如图②所示： ，，， ； 【类比迁移】如图③所示： ， ，， ， 即． 【考点评析】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 【举一反三练3】（2022秋•东丽区期末）如图平分，且与的外角的平分线交于点． （1）若，，求的度数； （2）若把截去，得到四边形，如图2，猜想，，的关系并证明． 【思路点拨】（1）由角平分线定义得到，，由三角形外角性质得到，，进一步得到，由三角形内角定理得到即可得到答案； （2）延长和相交于点，进一步得到，由（1）的结论即可得到答案． 【规范解答】解：（1）平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； （2）证明：， 延长和相交于点， ，，， ， 由（1）知， ． 【考点评析】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质定理，理清各角之间的关系是解题的关键 中等题真题汇编练 1．（2024春•仪征市期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且、、的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应　　 A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 【思路点拨】延长，交于点，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，再由三角形内角和定理的推论得到的度数；利用，和三角形的外角的性质可得的度数，从而得出结论． 【规范解答】解：延长，交于点，如图： ， ． ， ． ，， ． 而图中， 应减少． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键． 2．（2024•江汉区二模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则　　 A． B． C． D． 【思路点拨】如图（见解析），先根据三角板可得，，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【规范解答】解：如图，由题意可知，，， 两个三角板中有刻度的边互相垂直， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 3．（2024•宜兴市模拟）永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】首先利用外角和求得外角的度数，然后根据互补求得每个内角的度数即可． 【规范解答】解：多边形外角和为， 正八边形每个外角为， 正八边形每个内角的度数为， 故选：． 【考点评析】本题考查了多边形的内角和外角的知识，解题的关键是了解多边形的外角和． 4．（2023秋•东湖区校级期末）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于，那么图中的度数是　　度． A．60 B．90 C．100 D．105 【思路点拨】根据三角形的外角的性质（三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和）解决此题． 【规范解答】解：由题意得，，． ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查三角形的外角，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键． 5．（2024春•朝阳区校级期末）将正方形与正五边形按如图所示的方式摆放，它们的顶点重合，且正方形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是 　　． 【思路点拨】先根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正五边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【规范解答】解：图中五边形为正五边形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了正多边形的内角问题，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 6．（2023秋•湖北期末）如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是 　三角形具有稳定性　． 【思路点拨】根据三角形具有稳定性解答即可． 【规范解答】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【考点评析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 7．（2024春•遵化市期末）如图，五边形是正五边形，若直线，则的值为 　　． 【思路点拨】由，得．由，得，那么．欲求，需求．由正五边形的性质，得，从而解决此题． 【规范解答】解：如图，的延长线交于点， 五边形是正五边形， 正五边形的每个外角相等． ． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查正多边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质，熟练掌握正多边形的性质是解决本题的关键． 8．（2023秋•金东区期末）如图，在中，，、分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，，则　80　度． 【思路点拨】由，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合，可求出的度数，由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【规范解答】解：， ． 在中，，， ， ． 平分， ． 在中，，， ． 故答案为：80． 【考点评析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 9．（2024春•珠晖区校级期末）如图，，、分别平分的内角、外角，平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（填序号） 　①②③④　． 【思路点拨】利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理”各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系即可解题． 【规范解答】解：①、分别平分的内角、外角，平分外角交的延长线于点， ，，， ，， ， ，故①正确； ②， ，故②正确； ③， ， ， ， ，故③正确； ④， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 【考点评析】本题考查的是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，解决本题的关键是根据各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系． 10．（2024春•顺河区校级期末）将下面求解的过程补充完整： 如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点，平分交于点，求的度数． 解：是的一个外角，且，， 　　　　　　．（三角形的外角等于与它 　　的和） 又平分， 　　　　． 又是的一个外角，且， 　　　　　　． 【思路点拨】根据图形选择合适的性质进行角的计算和转化． 【规范解答】解：是的一个外角，且，， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又平分， ， 又是的一个外角，且， ． 【考点评析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题关键是正确推理． 11．（2024春•太康县期末）如图，是的外角，平分，平分，且、交于点，． （1）求证：； （2）猜想：若，求的度数． 【思路点拨】（1）根据角平分线的定义得到，得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算，得到答案． 【规范解答】（1）证明：平分， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， 平分， ， ． 【考点评析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 12．（2024春•长沙期末）如图，在中， （1）分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点（如图．则　45　； （2）分别作与的平分线，且两条角平分线交于点（如图．求的度数； （3）在（2）的条件下，射线在的内部且，设与的交点为，射线在的内部且，射线与交于点，若，和满足的数量关系为，请直接写出，的值． 【思路点拨】（1）设，，根据直角三角形的两锐角互余得：，可得，由外角的性质得：； （2）根据三角形的内角和定理和对顶角相等列等式，可得结论； （3）先根据条件画图3，设，根据三角形的内角和定理列式：，，分别表示和，代入已知可得，的值． 【规范解答】解：（1）如图1，平分，平分， ，， 设，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：45； （2）如图1所示，平分， ， ， ①， 同理可得：， ， ②， 把②代入①得：， ， 即； （3）如图2，设， 平分， ， ， ， ， ①， ， ， ，② 把①代入②得：， ， ， 解得：，． 【考点评析】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用． 13．（2024春•砀山县期末）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题． （1）将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 （2）观察上面表格中的变化规律，角与边数的关系为 　　． （3）根据规律，当时，多边形边数　　． 【思路点拨】（1）根据边形的内角和公式求解即可； （2）根据（1）中计算、观察，可发现规律：正边形中的； （3）根据正边形中的 180 ，可得答案． 【规范解答】解：（1）将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 故答案为：，，，； （2）根据（1）中计算、观察，可得的变化规律，角与边数的关系为：， 故答案为：； （3）把代入， 解得：， 故答案为：10． 【考点评析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，三角形的内角和定理是解题的关键． 培优题真题汇编练 14．（2024春•丹徒区期末）如图，中，，的度数为，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意得出，然后解不等式组即可． 【规范解答】解：， ， ， 即， 解得：． 故选：． 【考点评析】本题考查的是三角形内角和定理，明确直角三角形的两个锐角相加是是解题的关键． 15．（2024春•安岳县期末）如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①； ②；③；④．其中正确个数是　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】①根据，和，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明，根据①的结论，判断出错误； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【规范解答】解：①， ， ， ， ， ， ①正确； ②平分， ， ， ， ， ， ②正确； ③， ， ， ， 由①得，， ， ③错误； ④， ， ， ，， ， ， ④正确， 正确的有①②④，共三个， 故选：． 【考点评析】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键 16．（2024•驿城区模拟）如图，把一个含角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形的外角性质得出，代入求出即可． 【规范解答】解： ， 故选：． 【考点评析】本题考查了三角形的外角性质，能根据三角形的外角性质得出是解此题的关键． 17．（2024春•历下区期末）如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】①根据，和，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明，根据①的结论，证明结论正确； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【规范解答】解：设交于点． ①， ， ， ， ， ①正确； ②平分， ， ， ， ， ， ②正确； ③， ， ， ， 由①得，， ， ； ③正确； ④， ， ， ，， ， ， ④正确， 故选：． 【考点评析】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 18．（2024•天河区校级四模）如图，中，，为边上的中线，则的最小值为 　　． 【思路点拨】建立坐标系，求出直线的解析式，表示出点的坐标，利用勾股定理表示出和，设，构造方程，利用一元二次方程根的判别式求出的最小值． 【规范解答】解：建立如图所示坐标系，过作，垂足为点，设， 因为，则，则， ， ， ， 整理得 因为，为线段，所以存在， △ ， ， ， 即， ， 因此的最小值为． 【考点评析】此题是一道有关最值的综合题，考查三角形的中线，熟悉掌握 19．（2024春•盐城期末）如图，在中，，、分别平分，，、、分别在、、的延长线上，、分别平分，，、分别平分、，则　　． 【思路点拨】根据三角形外角的性质和角平分线的性质可求出，利用三角形内角和定理求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的性质与三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：如图， ，分别平分，， ，， ，， ， ，分别平分，， ，， ， ， ， ， ，分别平分，， ，， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理三角形外角性质，角平分线的性质是解题的关键． 20．（2023秋•颍州区期末）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内．若，则　　． 【思路点拨】先求出折叠的小三角形的两个折叠角的度数，再根据折叠后的两个角相等和平角的定义求出答案． 【规范解答】解：， 将折叠， 小三角形折叠的两个角的和为， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质和三角形内角和是来解答． 21．（2023秋•宝丰县期末）如图，，则　6　． 【思路点拨】连接，，，根据三角形内角与外角的性质可得，，，再根据四边形及三角形内角和定理解答即可． 【规范解答】解：连接，，， 是的外角， ， 是的外角， ， 在四边形中，①， 在中，②， ①②得，， 即， ． ． 故答案为：6． 【考点评析】此题比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到三角形或四边形中，利用三角形和四边形的内角和定理解答． 22．（2022秋•潍坊期末）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则的度数是　　． 【思路点拨】设，，，则，构建方程组解决问题即可． 【规范解答】解：，，， ， ，设，，，则， 则有， 解得， ， 故答案为． 【考点评析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 23．（2024春•船营区校级期末）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，与的周长差为3，求的长． 【思路点拨】（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【规范解答】解：（1）是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； （2）是中点， ， 与的周长差为3， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 24．（2024春•武冈市期末）某同学采用把多边形内角逐个相加的方法计算多边形的内角和，求得一个多边形的内角和为，当他发现错了以后，重新检查，发现少加了一个内角．请问：漏加的这个内角是多少度？他求的这个多边形的边数是多少？ 【思路点拨】本题考查多边形的内角和定理，设多边形的边数为，列出不等式组求出整数解，然后求出漏加的内角． 【规范解答】解：设多边形的边数为，则， 解得：， 为整数， ， 漏加的这个内角是：， 答：漏加的这个内角是，他求的这个多边形的边数是11． 【考点评析】本题考查多边形的内角和定理，熟记多边形的内角和定理是解题的关键． 25．（2024春•曲阳县期末）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形． （1）在中，，，则为 　3　倍角三角形． （2）如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． （3）如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数． 【思路点拨】（1）由，可知，再根据倍角三角形的定义可得结论． （2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果． （3）首先证明，分四种情形分别求出即可． 【规范解答】解：（1），， ， ， 为3倍角三角形， 故答案为：3； （2）解：， ． 又平分，平分， ， ． ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； ④当时，， ， ． 综上，在中当一个角是另一个角的2倍时，等于、、或； （3）解：平分，平分， ，， ， ； 又平分， ①， ②； ①②得：． 若为3倍角三角形： 若，， ， ； 若， ， （不符合题意，舍去）； 若，， ； 若，，， （不符合题意，舍去）； 综上所述，等于或时，为3倍角三角形． 【考点评析】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义倍角 三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$