精品解析：北京市第八中学2024-2025学年高三上学期暑假第一阶段（开学）练习数学试题

2024—2025学年度第一学期暑假第一阶段练习题 年级：高三 科目：数学 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选中，选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式计算出集合，由真数大于计算出集合，再由交集、并集与补集的性质逐项计算即可得解. 【详解】由即，解得，故， 则或， 由，则，即，故， 所以，所以，， 或，结合选项可知D正确. 故选：D 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由计算出的取值范围，由此可计算出函数的定义域. 【详解】对于函数，，可得， 因此，函数的定义域是. 故选：C. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 5. 已知，且的图象的对称中心是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，由对称性求出，再求出导数，进而求出导数值. 【详解】函数，则，所以函数图象的对称中心是， 依题意，，，求导得， 所以. 故选：B 6. 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案． 【详解】由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8， ∴＋＝＝＝＝＝＝ 故选：C． 7. 设是奇函数，则使的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求出常数，再利用对数函数单调性解不等式. 【详解】由函数是奇函数，得该函数定义域内实数，恒有， 即恒成立， 因此，则，解得，， 不等式，即，整理得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 8. 已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据符号法则将不等式转化为两个不等式组，结合图象即可解出． 【详解】原不等式等价于或，结合的图象可得， 或，解得或或． 故选：D． 9. 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小. 【详解】因为满足，所以， 所以函数是以8为周期的周期函数， 则. 由是定义在上的奇函数， 且满足，得. 因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数， 所以在区间上是增函数， 所以，即. 【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小． 10. 已知函数则下列结论错误的是（ ） A. 存在实数，使函数为奇函数； B. 对任意实数和，函数总存零点； C. 对任意实数，函数既无最大值也无最小值； D. 对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分别作出，，的函数的图像，然后结合图像逐项分析判断即可. 【详解】首先分别作出，，的函数的图像，如下： 结合图像进行分析： 当时，，此时如图1所示， 函数的图像关于原点对称，其为奇函数， 所以存在，使得函数为奇函数，故A正确； 由图可知，无论取何值，当时，，当时，， 所以函数既无最大值也无最小值，故C正确； 作一条直线，当时，存在实数使得函数的图像与没有交点， 即此时没有零点， 因此对于任意实数和，函数总存在零点不正确，故B不正确； 如图2，当时，对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减，故D正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若函数的最小值3，则实数的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】利用含绝对值三角不等式，即可求解. 【详解】， 则， 即， 当时，等号成立， ，当为0时等号成立， 所以，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为，即， 所以或. 故答案为：或 12. 已知，且，，当时均有，则实数的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】由，当时，得，变形为：构造函数，由函数图像与性质可以得出结论. 【详解】由，当时，变形为：， 构造函数：，，其中，，且 如图所示：当时，的图像在的图像下方. ①当时，有，即，得，即； ②当时，有，即，得.即. 综上所述：. 故答案：. 【点睛】本题借助二次函数的图像与性质，指数函数的图像与性质，考查函数的恒成立问题.合理构造函数，用数形结合的方法容易解答. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，由题意得在区间上恒成立，分离参数得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，求出在上的最大值即可求解. 【详解】 ， 若在区间上单调递增， 则在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 则在区间上恒成立， ， ， ， 则. 故答案为：. 14. 定义在上的函数满足，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】当时，由，得到当时，成立，进而转化，再由分段函数代入相应解析式求得. 【详解】由题意知，当时，①， 当，即时，②， 所以当时，将②代入①式化简可得， 故当，且时，即时，. . 故答案为：. 15. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，给出下列四个结论： ①；②；③有最小值；④的最大值为. 上述结论中正确的是______. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】②分类讨论的取值，当与时均不满足题意，故；①由等比数列得数列单调性，由得与的大小进而得到；③由，可知最小值为；④由与的大小讨论的单调性，可得的最大值为. 【详解】②由等比数列的公比为，则， 若，由，则，且， 即，且，则，这与已知矛盾，故； 若，由，得，且， 则，这与矛盾，故； 综上可知，，故②正确； ①由，得， 则，故是递减数列， 故，由，则，且， 所以，故①正确； ③当时，，恒成立，即是递增数列， 所以有最小值， 且最小值为，故③正确； ④由上可知，，且恒有， 故当时， ，则有， 当时，，则有， 所以是的最大值，故④正确. 故答案为：①②③④. 三、解答题（共6题，满分85分） 16. 已知数列{}，其n项和为，满足 ✮ ． 请你从①，；②；③，．这三个条件中任选一个，补充在上面的“✮”处，并回答下列问题： （1）求数列{}的通项公式； （2）当，求n的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）若选①，则可得数列{}是4为公差，1为首项的等差数列，从而可求出其通项公式，若选②，利用求解通项公式，若选③，则可得数列{}为常数列，从而可求出其通项公式， （2）若选①，则利用等差数列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若选②，则利用等比数列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若选③，则求出常数列的前项和，然后解不等式可得答案， 【小问1详解】 若选①，因为，所以， 所以数列{}是4为公差，1为首项的等差数列， 所以， 若选②，当时，，得， 当时，由，得， 所以，得， 所以数列{}是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以， 若选③，因为， 所以， 所以（），即（）， 因为，，所以， 所以数列{}为常数列，所以 【小问2详解】 若选①，由（1）可知数列{}是4为公差，1为首项的等差数列， 所以， 当时，，即， 解得（）， 所以n的最大值为7， 若选②，由（1）可知数列{}是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以， 当时，， 解得（）， 所以n的最大值为6， 若选③，由（1）可知数列{}为常数列，且， 所以， 当时，（）， 所以n的最大值为100 17. 已知函数的图象过点，且函数图象又关于原点对称. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据图象关于原点对称得图象过点和，再用待定系数即可求解； （2）将化为，再用分离参数法求解即可. 【小问1详解】 依题意，函数的图象过点和. 所以，故， 【小问2详解】 不等式可化为. 即对一切的恒成立. 因为， 由对勾函数性质可得函数在上单调递增， 所以，. 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数的两个极值点之差的绝对值为. （1）求的值； （2）若过原点的直线与曲线在不同于原点的点处相切，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求，设的两根分别为，，由韦达定理可得：，，由题意知，进而可得的值；再检验所求的的值是否符合题意即可； （2）设，则，由列关于的方程，即可求得的值，进而可得的值，即可得点的坐标. 【详解】由可得： 设的两根分别为，， 则，， 由题意可知：，即， 所以解得：， 当时，， 由可得或， 由可得， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以为极大值点，为极小值点，满足两个极值点之差的绝对值为，符合题意， 所以. （2）由（1）知，， 设，则， 由题意可得：， 即，整理可得： ， 解得：或， 因为即为坐标原点，不符合题意，所以， 则， 所以. 19. 已知数列满足：，且. （Ⅰ）求的值及数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和. 【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）分别令可求得的值，分为奇数和偶数讨论，可得奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，根据等差、等比数列的通项公式可得结果； （Ⅱ）求出后，根据错位相减法可求得结果. 【详解】（Ⅰ）在中， 令，得，所以， 令，得，所以， 令，得，所以， 令，得，所以， 当为奇数时，，即， 令，，则， 当为偶数时，，即， 令，则， 所以. （Ⅱ）, 所以， ， 所以， 所以， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：分为奇数和偶数讨论，得到奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，再根据等差、等比数列通项公式求解是解题关键. 20. 已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （Ⅲ）如果，且，证明 【答案】（Ⅰ）f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【解析】 【详解】（Ⅰ）解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数． 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数． 又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). （Ⅲ）证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2. 21. 集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数. （1）已知集合，，，若，求的值； （2）记集合，，，为中所有元素之和，，求证：； （3）若与都是由个整数构成集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义求出，则，，且，即可求解； （2）由新定义可得，结合等差数列前n项求和公式计算可得，利用裂项相消法计算即可证明； （3）设集合，（，），则，进而，结合放缩法计算可得、，即可证明. 【小问1详解】 由题：， 所以，，且， 从而，，，故. 【小问2详解】 若，，，，使，其中，，，， 则，故，. ， ， . 【小问3详解】 设集合，，其中，. 则， 这里共个不同元素，又，所以上面为和集中的所有元素. 又， 这里共个不同元素，也为合集中的所有元素， 所以有，即. 一般地，由， ， 可得，即. 同理可得，得证. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列的有关性质或求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期暑假第一阶段练习题 年级：高三 科目：数学 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选中，选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知函数定义域为，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且的图象的对称中心是，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设是奇函数，则使的的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则 A. B. C. D. 10. 已知函数则下列结论错误的是（ ） A. 存在实数，使函数为奇函数； B. 对任意实数和，函数总存在零点； C. 对任意实数，函数既无最大值也无最小值； D. 对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若函数的最小值3，则实数的值为______. 12. 已知，且，，当时均有，则实数的取值范围是______. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 14. 定义在上的函数满足，则的值为______. 15. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，给出下列四个结论： ①；②；③有最小值；④的最大值为. 上述结论中正确的是______. 三、解答题（共6题，满分85分） 16. 已知数列{}，其n项和为，满足 ✮ ． 请你从①，；②；③，．这三个条件中任选一个，补充在上面的“✮”处，并回答下列问题： （1）求数列{}通项公式； （2）当，求n的最大值． 17. 已知函数的图象过点，且函数图象又关于原点对称. （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数的两个极值点之差的绝对值为. （1）求的值； （2）若过原点的直线与曲线在不同于原点的点处相切，求点的坐标. 19. 已知数列满足：，且. （Ⅰ）求的值及数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和. 20. 已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （Ⅲ）如果，且，证明 21. 集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数. （1）已知集合，，，若，求的值； （2）记集合，，，为中所有元素之和，，求证：； （3）若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $