12.3 角平分线的性质和判定（知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.3 角平分线的性质和判定 （知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：角平分线性质定理及证明 3 考点讲练2：角平分线的性质定理 5 考点讲练3：角平分线的判定定理 7 考点讲练4：角平分线性质的实际应用 9 考点讲练5：作角平分线（尺规作图） 11 中等题真题汇编练 13 培优题真题汇编练 17 新知精讲梳理 知识点01：角平分线的定义 角平分线是指从一个角的顶点引出一条射线，将这个角分成两个完全相同的角。这条射线就称为这个角的角平分线。 知识点02：角平分线的性质 分得的两个角相等：角平分线将角分成两个相等的角，这两个角都等于原角的一半。 角平分线上的点到角两边的距离相等：在角平分线上的任意一点，该点到角的两边的垂线段长度是相等的。这是角平分线的一个重要性质，也是判定一个点是否在角平分线上的重要依据。 三角形的三条角平分线交于一点：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点被称为三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离也是相等的。 角平分线长度比与邻边长的比：在三角形中，一个角的角平分线长度与其对边上的内切圆半径之比，等于这个角的两邻边边长之比。这个性质在求解三角形内角平分线长度时非常有用。 知识点03：角平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上：这是角平分线的一个重要判定定理。如果一个点在角的内部，且该点到角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的角平分线上。 利用全等三角形判定：在某些情况下，我们可以通过构造全等三角形来证明某条射线是角的角平分线。例如，过角平分线上的点分别向角的两边作垂线，然后利用全等三角形的性质来证明这两条垂线段长度相等，从而证明该射线是角的角平分线。 知识点04：应用实例 角平分线的性质和判定在几何解题中有着广泛的应用。例如，在求解三角形内角平分线长度、判断两个角是否相等、确定点到直线的距离等问题时，都可以利用角平分线的性质和判定来求解。 此外，角平分线还在三角形的内切圆、外接圆等问题的研究中发挥着重要作用。通过角平分线的性质和判定，我们可以推导出三角形内切圆半径、外接圆半径等几何量的求解公式和方法。 高频易错知识点拨 知识点01：角平分线的性质易错点 对性质的误解： 错误理解“距离相等”：学生可能错误地认为角平分线上的点到角两边的任意线段长度都相等，而实际上这个“距离”是指垂线段的长度，即点到角两边所在直线的垂直距离。 忽视角的范围：在讨论角平分线性质时，应明确角的范围。在三角形内部，角平分线的性质是成立的，但在其他情况下（如角的外部），性质可能不再适用。 应用不当： 错误应用性质证明：在证明过程中，学生可能错误地直接应用角平分线的性质，而没有充分说明为什么某条线段是角平分线上的点，或者为什么需要构造角平分线来辅助证明。 忽视其他条件：在利用角平分线性质时，学生可能忽视题目中的其他条件，导致证明过程不完整或错误。 知识点02：角平分线的判定易错点 判定条件混淆： 与角平分线定义混淆：学生可能将角平分线的定义与判定条件混淆，错误地认为只要两个角相等，它们之间的线就是角平分线。实际上，角平分线必须是从角的顶点引出的射线，并且确实将角分成两个相等的部分。 忽视“距离相等”的判定条件：在判定一个点是否在角平分线上时，学生可能忽视“到角两边的距离相等”这一关键条件，导致判定错误。 证明过程中的逻辑错误： 构造辅助线不当：在证明过程中，学生可能需要构造辅助线来辅助判定。然而，如果辅助线构造不当或证明过程中存在逻辑错误（如循环论证、假设不成立等），则可能导致判定失败。 忽视隐含条件：题目中可能隐含了一些条件（如公共边、公共角、对顶角等），学生在证明过程中可能忽视这些条件，导致证明过程复杂或错误。 考点讲练1：角平分线性质定理及证明 【典例精讲】（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则线段的长不可能是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【举一反三2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示，在四边形中，，E为的中点，连接、，延长交的延长线于点F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，则吗？为什么？ (3)在（2）的条件下，若，，求点E到的距离． 【举一反三3】（22-23八年级上·贵州安顺·期中）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图（1）．      (1)知识应用：小风想要做一个如图（2）所示的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周，从数学的角度看，小风确定“十字架”时应满足什么要求？并证明你的结论． (2)知识拓展：如图（3）所示，如果为内一点，平分，且，试证明：． 考点讲练2：角平分线的性质定理 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、，交于D点，交y轴正半轴于点． (1)如图1，求C点的坐标； (2)如图2，连接，求证：是的角平分线； (3)如图3，已知点，，若，，直接写出Q的坐标(用含a的式子表示)． 【举一反三1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 【举一反三3】．（21-22八年级上·广东湛江·期中）如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：平分． 考点讲练3：角平分线的判定定理 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点E，连接，在上截取，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：在直角梯形中，，，平分，，．求证：． 证明：平分， ∴ 在和中， ，． ， ∴ ． ∴易证 平分，， ，， 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么 ． 【举一反三1】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【举一反三2】（20-21八年级上·福建泉州·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点． （1）求证：DE＝DF； （2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积． 【举一反三3】（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库． （1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ （2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ 考点讲练4：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．    【举一反三1】（20-21八年级上·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【举一反三2】（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）四边形中，，平分． (1)如图1，若，E是的中点，求证：平分； (2)如图2，若平分，求证：E是的中点； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【举一反三3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．    (1)求的度数． (2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积． 考点讲练5：作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线，交于点． 如果的面积为9，则的面积为 ． 【举一反三1】（2024·河北石家庄·二模）如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（    ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【举一反三2】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习），以为圆心，任意长为半径画弧，交于；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于；作射线．则 ． 【举一反三3】（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　） A．10 B．6 C．5 D．3 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪（），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三角形三条边上的高的交点 D．三角形三条中线的交点 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A． B． C． D． 4．（17-18八年级·辽宁大连·期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知平分，于点E，于点F，，，那么的长度为 ． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于D，若，点D到边的距离为6，则的长是 ． 7．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明，则判定三角形全等的依据是 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，点是的中点，，，，为垂足，求证：在的角平分线上． 10．（22-23八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，求证：点P在的平分线上．    11．（22-23八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，点P是上一点，，，垂足分别为点R、S，，点Q是上一点，且． (1)求证：； (2)、相等吗？说明理由． 12．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1，平分，平分的外角，平分的外角，则点E为的“幸福点”． 根据定义，解决下列问题． (1)判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”） ①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 命题） ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 命题） ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 命题） (2)如图2，若点I是的“幸福点”，设，，试猜想α和β之间的数量关系（用含α的代数式表示β），并证明你的猜想； (3)如图3，在中，，点D是的一个“幸福点”，过D作，交的延长线于点E，若，，，求的长． 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 14．（23-24八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，点P在的平分线上，且与互补，将绕点P旋转，在旋转过程中，有以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，已知，用尺规作图如下： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N ②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C ③作射线 那么下列角的关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①＋的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 17．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 19．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，平分，于点C，且，已知点到轴的距离是，那点关于轴对称的点的坐标为 ． 20．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，点E是上一点，且分别平分．若，则四边形的面积是 ．    21．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，于点E，点D在上，，平分交于点F，连接且的延长线交于点G．试说明： (1)； (2)． 22．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，E是线段上一点，且． (1)求点E的坐标； (2)延长交于 D． ①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3 ， 求证：平分． 23．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，垂足为，求证：． 24．（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中，点,点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图1，当点C的坐标为时，试求点E的坐标； (2)如图2，当时，连接,证平分； (3)如图3，当时，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.3 角平分线的性质和判定 （知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：角平分线性质定理及证明 3 考点讲练2：角平分线的性质定理 8 考点讲练3：角平分线的判定定理 16 考点讲练4：角平分线性质的实际应用 21 考点讲练5：作角平分线（尺规作图） 29 中等题真题汇编练 35 培优题真题汇编练 46 新知精讲梳理 知识点01：角平分线的定义 角平分线是指从一个角的顶点引出一条射线，将这个角分成两个完全相同的角。这条射线就称为这个角的角平分线。 知识点02：角平分线的性质 分得的两个角相等：角平分线将角分成两个相等的角，这两个角都等于原角的一半。 角平分线上的点到角两边的距离相等：在角平分线上的任意一点，该点到角的两边的垂线段长度是相等的。这是角平分线的一个重要性质，也是判定一个点是否在角平分线上的重要依据。 三角形的三条角平分线交于一点：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点被称为三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离也是相等的。 角平分线长度比与邻边长的比：在三角形中，一个角的角平分线长度与其对边上的内切圆半径之比，等于这个角的两邻边边长之比。这个性质在求解三角形内角平分线长度时非常有用。 知识点03：角平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上：这是角平分线的一个重要判定定理。如果一个点在角的内部，且该点到角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的角平分线上。 利用全等三角形判定：在某些情况下，我们可以通过构造全等三角形来证明某条射线是角的角平分线。例如，过角平分线上的点分别向角的两边作垂线，然后利用全等三角形的性质来证明这两条垂线段长度相等，从而证明该射线是角的角平分线。 知识点04：应用实例 角平分线的性质和判定在几何解题中有着广泛的应用。例如，在求解三角形内角平分线长度、判断两个角是否相等、确定点到直线的距离等问题时，都可以利用角平分线的性质和判定来求解。 此外，角平分线还在三角形的内切圆、外接圆等问题的研究中发挥着重要作用。通过角平分线的性质和判定，我们可以推导出三角形内切圆半径、外接圆半径等几何量的求解公式和方法。 高频易错知识点拨 知识点01：角平分线的性质易错点 对性质的误解： 错误理解“距离相等”：学生可能错误地认为角平分线上的点到角两边的任意线段长度都相等，而实际上这个“距离”是指垂线段的长度，即点到角两边所在直线的垂直距离。 忽视角的范围：在讨论角平分线性质时，应明确角的范围。在三角形内部，角平分线的性质是成立的，但在其他情况下（如角的外部），性质可能不再适用。 应用不当： 错误应用性质证明：在证明过程中，学生可能错误地直接应用角平分线的性质，而没有充分说明为什么某条线段是角平分线上的点，或者为什么需要构造角平分线来辅助证明。 忽视其他条件：在利用角平分线性质时，学生可能忽视题目中的其他条件，导致证明过程不完整或错误。 知识点02：角平分线的判定易错点 判定条件混淆： 与角平分线定义混淆：学生可能将角平分线的定义与判定条件混淆，错误地认为只要两个角相等，它们之间的线就是角平分线。实际上，角平分线必须是从角的顶点引出的射线，并且确实将角分成两个相等的部分。 忽视“距离相等”的判定条件：在判定一个点是否在角平分线上时，学生可能忽视“到角两边的距离相等”这一关键条件，导致判定错误。 证明过程中的逻辑错误： 构造辅助线不当：在证明过程中，学生可能需要构造辅助线来辅助判定。然而，如果辅助线构造不当或证明过程中存在逻辑错误（如循环论证、假设不成立等），则可能导致判定失败。 忽视隐含条件：题目中可能隐含了一些条件（如公共边、公共角、对顶角等），学生在证明过程中可能忽视这些条件，导致证明过程复杂或错误。 考点讲练1：角平分线性质定理及证明 【典例精讲】（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长． 【规范解答】解：平分，，， ， 在和中， ， ， ， 的周长， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 故选：B 【举一反三1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则线段的长不可能是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【规范解答】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，垂线段最短是解题的关键． 如图，作于B，则，由逐一判断，即可． 【解答】解：如图，作于B，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴线段的长不可能是2， 故选：D． 【举一反三2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示，在四边形中，，E为的中点，连接、，延长交的延长线于点F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，则吗？为什么？ (3)在（2）的条件下，若，，求点E到的距离． 【答案】(1)；见解析 (2)；见解析 (3)3 【思路点拨】（1）根据可知，再根据E是的中点可求出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）由（1）知，得到，，由于，等量代换得到，即，证得，即可得到结论； （3）在（2）的条件下有，得到，根据角平分线的性质即可得到结果． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵在与中 ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴，， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下有， ∴， ∴E到的距离等于E到的距离， ∵，， ∴点E到的距离为3． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，点到直线的距离，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【举一反三3】（22-23八年级上·贵州安顺·期中）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图（1）．      (1)知识应用：小风想要做一个如图（2）所示的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周，从数学的角度看，小风确定“十字架”时应满足什么要求？并证明你的结论． (2)知识拓展：如图（3）所示，如果为内一点，平分，且，试证明：． 【答案】(1)，（垂直平分），证明见解析 (2)详见解析 【思路点拨】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此题关键． （1）根据已知条件可证得，利用全等三角形的性质和已知条件可得，从而可得，，由此可得结论； （2）过点分别作，，垂足分别为，，然后由角平分线的性质得，根据直角三角形全等的判定与性质可得结论． 【规范解答】（1）猜想：，（垂直平分），证明如下： 如图（1），， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，，   平分， ， ， ， ， ，， ， ， ，即． 考点讲练2：角平分线的性质定理 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、，交于D点，交y轴正半轴于点． (1)如图1，求C点的坐标； (2)如图2，连接，求证：是的角平分线； (3)如图3，已知点，，若，，直接写出Q的坐标(用含a的式子表示)． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形． （1）根据得即可求出点坐标． （2）如图，先过点作于点，作于点，根据，得到，底边，得出，根据角平分线的逆定理进而得到平分，可得； （3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，可得，，又知在第二象限，从而得． 【规范解答】（1）解：如图1， ， ， ， ， ∵、， ∴ 在和中， ， ， ， ∴点， （2）解：如图2，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分； 即是的角平分线； （3）解：如图3，过作轴，过作于，过作于，交轴于， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ． 【举一反三1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】由证明判断①；由全等三角形的性质得出，结合三角形的外角性质判断②；作于，于，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，由判断该假设不成立，即可判断③；没有条件可以证明平分，判断④的正误后即可得出结论． 【规范解答】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，， 故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：， ， 故②正确，符合题意； 作于，于，如图所示， 则， 在和中， ， ， ， 平分， ， 当时，才平分， 假设， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 与矛盾， ③错误； 没有条件可以证明平分， ④错误； 正确的个数有个； 故选：． 【考点评析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，解题关键是证明三角形全等． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)且，证明见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，又由，即可证明； （2）将直线与的交点记为点O，由（1）可知，则，由，以及三角形内角和定理得到，即可得到结论； （3）证明平分，由（2）可知，则，即可得到结论． 【规范解答】（1）∵ ∴， ∴， 在和中 ∴ （2）且，证明如下： 将直线与的交点记为点O， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过A分别做，垂足分别为点M，点N， 由（1）知， ∴， 故 ∴ ∴平分 由（2）可知 ∴ ∴ 【举一反三3】．（21-22八年级上·广东湛江·期中）如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，利用SAS证明是解题的关键． （1）欲证明，只要证明； （2）由，推出，由，，又，，可得 （3）过B分别作，垂足分别为P，Q，根据可得，，可得，进而可证明结论． 【规范解答】（1）， ，即， 在和中， ， ， ； （2）， ， ，， 又，， ， ． （3）过B分别作，垂足分别为P，Q，    ∵， ∴， ∴， ∴B点在的平分线上， 即平分． 考点讲练3：角平分线的判定定理 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）学习角平分线的性质后，小明进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，当两底边的长度之和等于两内角（非直角内角）夹边的长度时，若这两内角的角平分线相交于腰上同一点，则这两条角平分线互相垂直，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用尺规完成以下作图：作的平分线交于点E，连接，在上截取，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：在直角梯形中，，，平分，，．求证：． 证明：平分， ∴ 在和中， ，． ， ∴ ． ∴易证 平分，， ，， 小明再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：直角梯形中，当两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度，若两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点那么 ． 【答案】（1）见解析； （2）①；②；③；④这两个内角的平分线互相垂直 【思路点拨】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据尺规作图，作已知角的平分线的方法和步骤画出的平分线即可；再以点D为圆心，以为半径画弧交于F，则可得； （2）根据角平分线性质得，①，由此可依据“”判定和全等，则，．再根据，可得③，然后根据，可依据“”判定和全等，从而得，再根据，，可得，据此即可得出结论． 【规范解答】（1）解：①以点D为圆心，以适当的长为半径画弧交，于H，T， ②分别以H，T为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P， ③连接并延长交于E，则为的平分线， ④以点D为圆心，以为半径画弧交于F，则，如图所示： （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ，． ，， ， 在和中， ， ， 平分，， ，，， ， 故答案为：①；②；③；④这两个内角的平分线互相垂直． 【举一反三1】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【规范解答】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 【举一反三2】（20-21八年级上·福建泉州·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点． （1）求证：DE＝DF； （2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【思路点拨】（1）根据角平分线的性质直接可得； （2）根据已知条件证明，，再根据全等三角形的面积相等，即可求得. 【规范解答】解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF； （2）在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质＼全等三角形的判断和性质；解决本题的关键是掌握好全等三角形的判定和性质． 【举一反三3】（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库． （1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ （2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ 【答案】（1）油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）见解析 【思路点拨】（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件． （2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点． 【规范解答】解：（1）如图，油库的位置在直线MN或直线EF上； （2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求． 【考点评析】此题是考查对角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线不要漏掉，思考问题要全面． 考点讲练4：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．    【答案】． 【思路点拨】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解． 【规范解答】如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，    ∵点，是内角与外角的三等分线的交点， ∴是的平分线， 又∵，， ∴ ，同理可得， ∴ ， 又∵，， ∴是的平分线， ∵，， ∴， ∵点，是内角与外角的三等分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 【举一反三1】（20-21八年级上·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【思路点拨】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）四边形中，，平分． (1)如图1，若，E是的中点，求证：平分； (2)如图2，若平分，求证：E是的中点； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)60 【思路点拨】（1）如图1中，过点E作，垂足为F，证明，可得结论； （2）如图2，延长相交于点F，证明，推出，证明，可得结论； （3）证明，可得结论． 【规范解答】（1）证明：如图1，过点E作，垂足为F， ， ， ， ， ，， 平分，，， ， ，， 平分； （2）如图2，延长相交于点F， 平分，平分， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是的中点； （3）由（2）得， ，， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题属于四边形综合题，考查了梯形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【举一反三3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．    (1)求的度数． (2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积． 【答案】(1) (2)4.8 【思路点拨】（1）本题考查三角形的有关性质，充分利用已知条件，三角形的外角性质及内角和公式，本题即可求解．利用三角形外角，，在中用三角形内角和表示出以及表示出外角是解答本题的关键． （2）运用角平分线的性质表示出点到边、、的距离，利用已知条件即可求得面积． 【规范解答】（1）解：（1）∵ ∴（三角形的外角性质） 又∵平分， ∴ ∴ 又∵在中 即 ∴ 又∵是的外角， ∴． （2）（2）如图，过点分别作于点，于点．    平分，， （角平分线上的点到角两边的距离相等） 又，， （角平分线上的点到角两边的距离相等） ; 又，的面积为12， 即 又 ∴． 考点讲练5：作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线，交于点． 如果的面积为9，则的面积为 ． 【答案】21 【思路点拨】本题考查三角形综合，涉及尺规作图-角平分线、角平分线的性质、三角形面积等知识，先根据题中的尺规作图得到是的角平分线，过点作于，过点作于，如图所示，由角平分线的性质得到，结合已知条件，根据三角形的面积求出，进而得到，即可得到答案，熟记尺规作图-角平分线、角平分线的性质是解决问题的关键． 【规范解答】解：过点作于，过点作于，如图所示： 由题中的尺规作图可知，是的角平分线， ， 的面积为9， ，即，解得，则， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三1】（2024·河北石家庄·二模）如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（    ） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【思路点拨】利用基本作图，平行线的判定定理，等腰三角形的性质；利用同位角相等，两直线平行可判断甲学作法正确；利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作法正确． 【规范解答】解：利用平行线的判定方法可判断甲同学的作图正确． 根据作图可得，则 利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作图正确； ∵ ∴， ∵是角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选：C． 【举一反三2】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习），以为圆心，任意长为半径画弧，交于；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于；作射线．则 ． 【答案】/25度 【思路点拨】本题考查了角平分线的画法和性质，由作图可知，为的角平分线，再根据角平分线的性质即可求解，掌握角平分线的画法是解题的关键． 【规范解答】解：由作图可知，为的角平分线， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】（23-24八年级下·广东河源·期末）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3），见解析 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）直接利用证明即可得出； （2）①如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得，即为的中点，进而求得的长即可； ②在上截取．连接，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【规范解答】解：（1）证明：根据作图可得，又， ， ， 即； 故答案为：； （2）①如图：过点作，垂足为点， 和的平分线交于点， ，即， ； ②如图：在上截取．连接， 是的角平分线， ， 又， ． ， 又， ； （3），理由如下： ， 是的两条角平分线，且交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，平分，于点，点在上．若，，则的面积为（　　） A．10 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案．熟知角平分线的性质是关键． 【规范解答】解：如图，过点作于， 平分，，，， ， ， 故选：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，是一块三角形的草坪（），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角的角平分线的交点 C．三角形三条边上的高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【思路点拨】此题考查了角平分线的性质的应用，由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【规范解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点． 故选：B． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查尺规作角平分线，三角形外角的性质， 利用基本作图得到平分，则，利用基本作图可得，所以，可得，所以，，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【规范解答】解：由基本作图得到平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．（17-18八年级·辽宁大连·期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（   ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 【规范解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处． 故选：C． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知平分，于点E，于点F，，，那么的长度为 ． 【答案】3 【规范解答】本题考查直角三角形全等的判定定理、角平分线的性质的应用，理解题意，搞清楚数量关系是关键． 根据平分，，得出，根据直角三角形全等的判定得出，，再结合其性质求解即可． 【解答】解：∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 即， 解得：， 故答案为：3． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于D，若，点D到边的距离为6，则的长是 ． 【答案】18 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，即“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，掌握角平分线的性质是解本题的关键． 过作于，则，根据角平分线性质求出，求出，再计算即可得出结果． 【规范解答】解：如图，过作于， 点到的距离为6， ， ，平分， ， ， ， ． 故答案为：18． 7．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明，则判定三角形全等的依据是 【答案】 【思路点拨】本题考查的是基本作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．由作法可知，，，再加上公共边，即可利用“”判定三角形全等． 【规范解答】解：由作法可知，，， 又是公共边， ， ， 即判定三角形全等的依据是， 故答案为： 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ． 【答案】/135度 【思路点拨】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【规范解答】解：∵点到三边的距离相等， ∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，点是的中点，，，，为垂足，求证：在的角平分线上． 【答案】见解析 【思路点拨】证明得到，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了全等三角形的判定与性质． 【规范解答】解：点是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 而，， 在的角平分线上． 10．（22-23八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，求证：点P在的平分线上．    【答案】见解析 【思路点拨】本题考查的是角平分线的判定定理“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”．过点分别向，作垂线，再根据，即可得出，由此可得出结论． 【规范解答】解：点在的平分线上． 理由：过点分别向，作垂线，   ，，，， ， 点是在的平分线上． 11．（22-23八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，点P是上一点，，，垂足分别为点R、S，，点Q是上一点，且． (1)求证：； (2)、相等吗？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题． （1）根据角平分线的判定定理得出平分，根据角平分线定义得出，根据，得出，根据平行线的判定得出结论即可； （2）根据证明，即可推出． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵在和中， ， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点叫做三角形的“幸福点”．如图1，平分，平分的外角，平分的外角，则点E为的“幸福点”． 根据定义，解决下列问题． (1)判断下列三个关于“幸福点”的命题的真假．（直接在横线上填写“真”或“假”） ①每个三角形都有3个“幸福点”；（ 命题） ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部；（ 命题） ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等；（ 命题） (2)如图2，若点I是的“幸福点”，设，，试猜想α和β之间的数量关系（用含α的代数式表示β），并证明你的猜想； (3)如图3，在中，，点D是的一个“幸福点”，过D作，交的延长线于点E，若，，，求的长． 【答案】(1)真，真，真 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据“幸福点”的定义和角平分线的性质进行判断即可； （2）根据“幸福点”的定义可得，，求得，再根基三角形内角和定理求得，即可得，即可求解； （3）过点D作的延长线于点G，连接，根据“幸福点”的定义可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质得，，设，则，，由（2）得，，过点D作交的延长线于点G，，可得，证明，可得，，即可求解． 【规范解答】（1）解：①每个三角形都有3个“幸福点”，是真命题； ②三角形的“幸福点”一定在三角形的外部，是真命题； ③三角形的“幸福点”到三角形三边的距离相等，是真命题； 故答案为：真，真，真； （2）解：∵点I是的“幸福点”， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∵，， 又∵，， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作的延长线于点F，连接， ∵点D是的一个“幸福点”， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴， 设，则， ∴， 由（2）得，， ∴， 过点D作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， 解得， 即． 【考点评析】本题考查命题与定理、新定义、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，理解新定义，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有4个． 【规范解答】解：作直线所围成的三角形的外角平分线和内角平分线， 如图所示：外角平分线分别相交于点， 且内角平分线相交于点， ∴角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故选：D． 14．（23-24八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，点P在的平分线上，且与互补，将绕点P旋转，在旋转过程中，有以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于．只要证明，，即可一一判断． 【规范解答】解：如图作于，于， ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故①正确， ， 定值，故③正确， ， 为定值，故②正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故④错误， 故选：C． 15．（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，已知，用尺规作图如下： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N ②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C ③作射线 那么下列角的关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】 本题考查作图基本作图，由作图可知：，，推出射线是的角平分线，由此对选项逐一判断，即可解答，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，熟练判断三角形全等． 【规范解答】 解：由作图可知：，， 在与中， ， ，故A，C正确，不符合题意； ， ，故D正确，不符合题意， 无法得出，故B不正确，符合题意， 故选：B． 16．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①＋的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中，正确结论的是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积；如图作于，于．只要证明，，即可一一判断． 【规范解答】解：如图作于，于． ， ， ， ， ， 平分，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴故①正确； ∴， ∴定值，故④正确， 设， ， ， ， ， ， ，故②正确， 在旋转过程中，是等腰三角形，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故③错误， 故选：B． 17．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，为的角平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的角平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的角平分线上三点，连接、、、、、；…，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据图证出有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【规范解答】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， 图中有对三角形全等； 同理图中， ， 又， ， 又， ， 图中有对三角形全等； 同理图中有对三角形全等； 由此发现：第个图形中有全等三角形的对数是． 故选：D． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 19．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，平分，于点C，且，已知点到轴的距离是，那点关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角的平分线的性质，点到直线的距离，点的轴对称坐标，过点作，垂足为，由点到轴的距离是，得点横坐标为，再根据角平分线的性质可得，从而点的坐标为，然后再求关于轴对称的点的坐标即可，正确确定点的坐标，熟练掌握对称点坐标的特点是解题的关键． 【规范解答】如图，过点作，垂足为， ∵点到轴的距离是， ∴点横坐标为， ∵平分，，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 20．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形中，，点E是上一点，且分别平分．若，则四边形的面积是 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质等知识，过点作于，过点作于，过点作的延长线于，根据分别平分，得出，根据可得，，根据得，，即可得，，经过推理变形得，即可求解． 【规范解答】解：过点作于，过点作于，过点作的延长线于，   分别平分， ， ， 分别平分， ∴四边形面积为15 故答案为：． 21．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，于点E，点D在上，，平分交于点F，连接且的延长线交于点G．试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的性质等知识． （1）根据已知，证出，得到，再根据同角的余角相等即可证明； （2）已知，，则，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可证出． 【规范解答】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ； （2）证明：， ， ， ， 又平分， ． 22．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，E是线段上一点，且． (1)求点E的坐标； (2)延长交于 D． ①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3 ， 求证：平分． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明，得到，即可求解； （）．由得到，又由，进而得到，即可求证； 过点分别作，的垂线，由得到，进而得到，又由，，根据角平分线的判定即可求证； 【规范解答】（1）解：，，， ， ， ； （2），理由如下： 由（）可知， ， ， ∴， ， ； 证明：如图，过点分别作，的垂线，垂足分别为，， ， ， 即， ， ， 又，， 点在的平分线上， 即平分． 23．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，垂足为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【思路点拨】此题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． （）由可求出，再根据作图可知是的平分线，从而求解； （）通过平分，得，由，则，故有，又，则有，最后根据即可求证； 【规范解答】（1）∵， ∴， 又∵， ∴， 由作法知，是的平分线， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． 24．（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中，点,点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图1，当点C的坐标为时，试求点E的坐标； (2)如图2，当时，连接,证平分； (3)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． （1）由“”可证可得，然后确定点E的坐标即可； （2）如图②，过点O作于点Q，作于点P，由面积法可证即可证明结论； （3）如图所示，在上截取，连接，证明，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； （2）证明：如图②，过点O作于点Q，作于点P，    由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴平分． （3）解：如图③，当时，在上取一点F，使，    ∵, ∴， ∴， 由（2）得：平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 设的度数为，则的度数为， ∴,解得：， ∴的度数为， 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意． 综上所述，的度数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$