12.2.4 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等（知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.2.4 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等 （知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：用HL证明三角形全等 3 考点讲练2：全等的性质和HL的综合 6 考点讲练3：添加条件是三角形全等（三角形全等判定综合） 7 考点讲练4：灵活选用判定方法证明三角形全等 9 考点讲练5：结合尺规作图的全等问题 12 中等题真题汇编练 14 培优题真题汇编练 20 新知精讲梳理 知识点01：定义与理解: 定义：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等。这一判定条件简称为“边斜边”或HL（Hypotenuse-Leg）。 理解： HL全等条件是直角三角形特有的，它不适用于非直角三角形。 在应用HL全等条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别对应相等。 知识点02：性质与定理 性质： 全等直角三角形的对应边相等、对应角相等。 全等直角三角形的周长相等、面积相等。 HL全等条件是判定两个直角三角形全等的一种有效且简洁的方法。 定理：斜边、直角边公理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 知识点03：应用与实例 应用：在证明两个直角三角形全等时，如果已知条件包括斜边和一条直角边分别对应相等，则可以直接应用HL全等条件进行判定。 在求解直角三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则可以利用HL全等条件得出两个直角三角形全等的结论，进而简化求解过程。 实例：假设有两个直角三角形△ABC和△DEF，其中∠C=∠F=90°，已知AC=DF（斜边对应相等）且BC=EF（一条直角边对应相等）。根据HL全等条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，并且它们的周长和面积也分别相等。 高频易错知识点拨 知识点01：对HL条件理解不透彻 易错点：学生可能仅从字面意思上理解HL条件，即认为只要两个直角三角形的斜边和任意一条直角边对应相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“直角边”必须是指与斜边相对应的、在直角三角形中的那一条直角边。 解析：在应用HL条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和对应的直角边分别相等。这里的“对应”二字至关重要，不能随意选择直角边进行匹配。 知识点02：忽视直角三角形的性质 易错点：在解题过程中，学生可能会忽视题目中给出的直角三角形的性质，如直角符号（∠90°）或直角边的描述，从而无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，首先要确认两个三角形都是直角三角形。这通常可以通过题目中的直角符号或直角边的描述来判断。如果忽视了这一性质，就可能导致错误的结论。 知识点03：混淆不同的判定条件 易错点：学生可能会混淆HL条件与其他三角形全等的判定条件，如“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）或“边边边”（SSS）等。 解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。HL条件仅适用于直角三角形，并且要求斜边和一条直角边对应相等。因此，在解题过程中要仔细审题，选择合适的判定条件进行应用。 知识点04：算错误或疏忽 易错点：在求解直角三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况，导致无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，通常需要求解或比较直角三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致无法得出正确的结论。因此，在解题过程中要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。 知识点05：忽视隐含条件 易错点：在有些题目中，可能会隐含地给出两个直角三角形的其他条件（如公共边、公共角等），这些条件对于判断三角形全等也是至关重要的。然而，学生可能会忽视这些隐含条件，导致无法正确应用HL条件。 解析：在解题过程中要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。如果忽视了隐含条件，就可能导致错误的结论。因此，在应用HL条件之前，要确保已经充分考虑了题目中的所有条件。 考点讲练1：用HL证明三角形全等 【典例精讲】（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【举一反三1】（2023八年级上·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【举一反三2】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，点E，F是线段上的两点，，，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【举一反三3】（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后， 聪聪同学继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 聪聪将命题用符号语言表示为 在和中， ， ， ． 【分类讨论】聪聪想： 要想解决问题，应该对进行分类研究．将分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【解决问题】 (1)如图1， 当是直角时，在和中，，，， 则 (依据∶ ) ； AI   (2)如图2， 当是锐角时，， ，在射线上有点， 使 ，画出符合条件的点 ，则和的关系是（    ） AI   A．全等                   B．不全等               C．不一定全等 (3)如图， 当是钝角时， 在和中，，， ；我们可以过点作交的延长线于点 ， 过点作交 的延长线于点 ，如图，可以证得，请你证明． 考点讲练2：全等的性质和HL的综合 【典例精讲】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【举一反三1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 【举一反三2】（22-23八年级上·贵州遵义·期中）如图，中，平分，且，于，于， (1)求证：与互补； (2)如果，，求、的长． 【举一反三3】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 考点讲练3：添加条件是三角形全等（三角形全等判定综合） 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ． 【举一反三1】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，在中，． (1)如图①，若，，垂足分别为，，请你说明． (2)如图②，若是上一点（、除外），，，垂足分别为，，请问：成立吗？并说明理由． (3)如图③，若（2）中，不垂直于，，要使，需添加什么条件．并在你添加的条件下说明． 【举一反三2】（21-22八年级上·福建厦门·期末）命题：如图，已知，共线，（1），那么． (1)从①和②两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）； (2)根据你选择的条件，判定的方法是________； (3)根据你选择的条件，完成的证明． 【举一反三3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点在上，，要通过“”判定，可补充的一个条件是（    ） A． B． C． D． 考点讲练4：灵活选用判定方法证明三角形全等 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·单元测试）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．°，， 【举一反三1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【举一反三2】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）【提出问题】 我们已经知道了三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法（），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（） 【探索研究】 已知：在和中， （1）如图①，当时，根据　 　，可知；    （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，可知与　 　全等．（填“一定”或“不一定”）    （3）如图③，当时，与是否全等？若全等，请举出反例．    【归纳总结】 （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是　 　时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 【举一反三3】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 考点讲练5：结合尺规作图的全等问题 【典例精讲】（21-22八年级上·河南南阳·期中）如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是 cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是 ． 【举一反三1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，小正方形的边长为1，为格点三角形． (1)如图①，的面积为 ； (2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形，共 个． 【举一反三2】（19-20七年级下·河南驻马店·期中）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法： （1）在OA和OB上分别截取． （2）分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在的内部两弧交于点C． （3）作射线OC，则有．你能指出作法中的道理吗？ 【举一反三3】（19-20八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图①，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，我们可以分别OA、OB在截取点M、N，使OM=ON，连结PM、PN，就可得到. （1）请你在图①中,根据题意，画出上面叙述的全等三角形和，并加以证明． （2）请你参考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列问题： （Ⅰ）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系. （Ⅱ）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（Ⅰ）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 中等题真题汇编练 1．（2023秋•南宁期末）如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得1．（2023秋•南宁期末）如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•历下区期末）如图，为测量桃李湖两端的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长，那么判定的理由是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•和县期末）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，若添加一个条件后，添加的条件可以是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•天桥区期末）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，依据是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•开封期末）综合实践活动小组为测量池塘两端，的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小华：如图①，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为，的距离． 小欣：如图②，先过点作的垂线，在上取，两点，使，再过点作的垂线，交的延长线于点，则量出的长即为，的距离． 小彤：如图③，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．这时只要量出的长即为，的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是　　 A．小华和小欣 B．小欣和小彤 C．小华和小彤 D．三个人的方案都可以 6．（2023秋•澧县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度 　　． 7．（2024春•双流区校级期末）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，则每层楼的高度大约 　　米． 8．（2024•西安区校级模拟）如图，点，在上，，，请添加一个条件 　　，使． 9．（2023秋•竹溪县期末）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由步行到达处的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，，相邻两平行线间的距离相等．，相交于，垂足为．已知米．根据上述信息，标语的长度为　 　． 10．（2023秋•广安期末）小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使，此时量得．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？ 11．（2024春•凤翔区期末）如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，若，求到的距离． 12．（2024春•西安期末）如图，小刚站在河边的点处，在河对面（小刚的正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树处，接着再向前走了20步到达处，然后他左转直行，从点处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他恰好走了74步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 13．（2023秋•夏邑县期末）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？　　（填“甲”或“乙” ，并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：　　． 14．（2024春•顺德区校级期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． （2）请将不可行的方案稍加修改使之可行，你的修改是：　　，请说明理由． 15．（2023秋•梨树县期末）小明想测一块泥地的长度（如图所示），他在的垂线上分别取、两点，使，再过点作出的垂线，并在上找一点，使、、三点共线，这使所测得的的长度就是这块泥地的长度，你能说明原因吗？ 培优题真题汇编练 16．（2023秋•邓州市期中）如图，小明不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带到五金店，就能配成一块与原来一样大小的三角形　　 A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2023秋•昭阳区期中）如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择了一点，测得，，然后在的同侧找到点使，，得到，所以测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•西青区校级期中）下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是　　 A．两直角边对应相等 B．斜边、一条直角边对应相等 C．一锐角、一条直角边对应相等 D．两锐角对应相等 19．（2023秋•集美区期末）几何学起源于土地测量，据史料记载，古希腊数学家泰勒斯发明了一种用帽子测量河流宽度的方法，具体操作步骤如下： ①如图，人垂直站立在河岸边上，视线与河岸边保持垂直； ②调整帽子，使视线通过帽檐正好落在对面的河岸边上； ③人保持姿势，转过一个角度，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上； ④测量该点与人站立位置的距离就是河流的宽度． 请用你学过的一个数学定理解释通过以上步骤能测得河流宽度的道理：　　． 20．（2023秋•青县校级月考）在一次数学活动中，为了测量一堵墙上点的高度，嘉淇设计了如下方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，测量出直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得　　，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量地面上线段 　　的长度，即为点的高度． 若测得，，则直杆下滑的高度为 　　． 21．（2023秋•阳谷县期中）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件 　　． 22．（2023秋•锡山区期中）如图，两根旗杆间相距12米，某人从点沿走向点，一段时间后他到达点，此时他仰望旗杆的顶点和，两次视线的夹角为，且．已知旗杆的高为9米，该人的运动速度为1米秒，则这个人运动到点所用时间是 　　秒． 23．（2023秋•广陵区校级月考）如图所示．，，，是四个村庄，，，在一条东西走向公路的沿线上，，，村庄，间也有公路相连，且公路是南北走向，，只有之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得，．试求建造的斜拉桥长至少有　　． 24．（2023春•盐湖区期末）学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧平地上取点和点．使点、、在一条直线上，且，测得，，在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是、两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由． 25．（2022秋•东至县期末）课间， 小明拿着老师的等腰直角三角尺玩， 不小心掉到两堆砖块之间， 如图所示 ． （1） 求证：； （2） 已知，请你帮小明求出砖块的厚度的大小 （每 块砖的厚度相同） ． 26．（2023秋•信都区期中）如图，在河岸两侧的，两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点所在河岸一侧的平地上取一点，使点，，在一条直线上，另取点，使得，然后测得，，在的延长线上取一点，使得，量得． （1）求的度数． （2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？ 27．（2022秋•石门县期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 28．（2016秋•西陵区校级期中）如图是小磊家的两个房间甲与乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当他在甲房间时，测得，，求甲房间的宽； （2）当他在乙房间时，测得，，且， ①求的度数； ②求乙房间的宽． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.2.4 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等 （知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：用HL证明三角形全等 3 考点讲练2：全等的性质和HL的综合 9 考点讲练3：添加条件是三角形全等（三角形全等判定综合） 13 考点讲练4：灵活选用判定方法证明三角形全等 17 考点讲练5：结合尺规作图的全等问题 24 中等题真题汇编练 30 培优题真题汇编练 42 新知精讲梳理 知识点01：定义与理解: 定义：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等。这一判定条件简称为“边斜边”或HL（Hypotenuse-Leg）。 理解： HL全等条件是直角三角形特有的，它不适用于非直角三角形。 在应用HL全等条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别对应相等。 知识点02：性质与定理 性质： 全等直角三角形的对应边相等、对应角相等。 全等直角三角形的周长相等、面积相等。 HL全等条件是判定两个直角三角形全等的一种有效且简洁的方法。 定理：斜边、直角边公理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 知识点03：应用与实例 应用：在证明两个直角三角形全等时，如果已知条件包括斜边和一条直角边分别对应相等，则可以直接应用HL全等条件进行判定。 在求解直角三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则可以利用HL全等条件得出两个直角三角形全等的结论，进而简化求解过程。 实例：假设有两个直角三角形△ABC和△DEF，其中∠C=∠F=90°，已知AC=DF（斜边对应相等）且BC=EF（一条直角边对应相等）。根据HL全等条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，并且它们的周长和面积也分别相等。 高频易错知识点拨 知识点01：对HL条件理解不透彻 易错点：学生可能仅从字面意思上理解HL条件，即认为只要两个直角三角形的斜边和任意一条直角边对应相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“直角边”必须是指与斜边相对应的、在直角三角形中的那一条直角边。 解析：在应用HL条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和对应的直角边分别相等。这里的“对应”二字至关重要，不能随意选择直角边进行匹配。 知识点02：忽视直角三角形的性质 易错点：在解题过程中，学生可能会忽视题目中给出的直角三角形的性质，如直角符号（∠90°）或直角边的描述，从而无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，首先要确认两个三角形都是直角三角形。这通常可以通过题目中的直角符号或直角边的描述来判断。如果忽视了这一性质，就可能导致错误的结论。 知识点03：混淆不同的判定条件 易错点：学生可能会混淆HL条件与其他三角形全等的判定条件，如“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）或“边边边”（SSS）等。 解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。HL条件仅适用于直角三角形，并且要求斜边和一条直角边对应相等。因此，在解题过程中要仔细审题，选择合适的判定条件进行应用。 知识点04：算错误或疏忽 易错点：在求解直角三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况，导致无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，通常需要求解或比较直角三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致无法得出正确的结论。因此，在解题过程中要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。 知识点05：忽视隐含条件 易错点：在有些题目中，可能会隐含地给出两个直角三角形的其他条件（如公共边、公共角等），这些条件对于判断三角形全等也是至关重要的。然而，学生可能会忽视这些隐含条件，导致无法正确应用HL条件。 解析：在解题过程中要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。如果忽视了隐含条件，就可能导致错误的结论。因此，在应用HL条件之前，要确保已经充分考虑了题目中的所有条件。 考点讲练1：用HL证明三角形全等 【典例精讲】（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法，分两种情况：①当时；②当时；由证明即可得出结果，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 分两种情况：①当时， 在和中， ， ∴； ②当时， 在和中， ， ∴； 综上，当点运动到或时，与全等， 故答案为：或． 【举一反三1】（2023八年级上·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【答案】②③④ 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误； ②若第3轮甲添加， 如图，当，时，以为圆心，为半径画弧，与射线相交于点， ， 此时交点C是唯一的， 故甲添加时，与全等， 故甲获胜，故本说法正确； ③若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本说法正确； ④若第2轮乙添加条件修改为， 第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等， 第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜， 此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确． 故答案为：②③④ 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【举一反三2】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，点E，F是线段上的两点，，，，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定． （1）利用证明即可； （2）由推出，再证明，得到，利用平行线的判定即可证明． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后， 聪聪同学继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 聪聪将命题用符号语言表示为 在和中， ， ， ． 【分类讨论】聪聪想： 要想解决问题，应该对进行分类研究．将分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【解决问题】 (1)如图1， 当是直角时，在和中，，，， 则 (依据∶ ) ； AI   (2)如图2， 当是锐角时，， ，在射线上有点， 使 ，画出符合条件的点 ，则和的关系是（    ） AI   A．全等                   B．不全等               C．不一定全等 (3)如图， 当是钝角时， 在和中，，， ；我们可以过点作交的延长线于点 ， 过点作交 的延长线于点 ，如图，可以证得，请你证明． 【答案】(1) (2)C (3)见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）通过即可证明. （2）以为圆心，长为半径画弧，交射线于、；则，，和不全等；所以不一定全等. （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，先证明，得出，再证明，得出，再由即可证出． 【规范解答】（1）解：（依据：HL） （2）选择C 理由：以为圆心，长为半径画弧，交射线于、；则，，和不全等；所以不一定全等. （3）证明：如图，过点作交的延长线于点， 过点作交的延长线于点， 于点，于点， ， ， ， 即， 在和中，， ， 在和中，， ， 在和中，， ． 考点讲练2：全等的性质和HL的综合 【典例精讲】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． 通过证明，得出，，即可解答． 【规范解答】解：在和中， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故C正确，不符合题意； ∴平分，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴，故B错误，符合题意； 故选：B． 【举一反三1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 【答案】7 【思路点拨】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，可判定，从而得出，则．综合运用相关知识解决问题是关键． 【规范解答】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为7． 【举一反三2】（22-23八年级上·贵州遵义·期中）如图，中，平分，且，于，于， (1)求证：与互补； (2)如果，，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据角平分线的性质及已知条件可得、、，再证明可得，最后结合即可证明结论； （2）再证明可得，再根据等量代换及已知条件即可解答． 【规范解答】（1）证明：平分，于，于， ，，， 在和中， ， ； ，， ， ，即与互补． （2）解：在和中， ， ， ， 又， ， ， ， ，解得：， ． 【举一反三3】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)说明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义等知识，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再利用即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【规范解答】（1）解：， 理由如下： ， ，即， 在与中， ， ， ，， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知，， 与相交于点， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点． 考点讲练3：添加条件是三角形全等（三角形全等判定综合） 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 添加一个条件（答案不唯一），根据平行线的性质得，，再根据全等三角形的判定及可求解． 【规范解答】解：要使，添加一个条件，则这个条件可以是（答案不唯一），理由如下： ，， ，， 在和中， ， ， 添加一个条件可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【举一反三1】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，在中，． (1)如图①，若，，垂足分别为，，请你说明． (2)如图②，若是上一点（、除外），，，垂足分别为，，请问：成立吗？并说明理由． (3)如图③，若（2）中，不垂直于，，要使，需添加什么条件．并在你添加的条件下说明． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)，见解析 【思路点拨】(1)利用证明即可． (2)利用证明即可． (3)添加，利用证明即可． 【规范解答】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）成立．理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）添加．理由如下： ∵ ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【举一反三2】（21-22八年级上·福建厦门·期末）命题：如图，已知，共线，（1），那么． (1)从①和②两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）； (2)根据你选择的条件，判定的方法是________； (3)根据你选择的条件，完成的证明． 【答案】(1)① (2)SAS (3)见解析 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法分析得出答案； （2）根据（1）直接填写即可； （3）利用SAS进行证明． 【规范解答】（1）解：∵， ∴∠A=∠F， ∵AC=EF， ∴当时，可根据SAS证明； 当时，不能证明， 故答案为：①； （2）解：当时，可根据SAS证明， 故答案为：SAS； （3）证明：在△ABC和△FDE中， ， ∴． 【考点评析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【举一反三3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点在上，，要通过“”判定，可补充的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 先根据等角的补角相等得到，加上为公共边，然后根据“”的判定方法对各选项进行判断． 【规范解答】 解：， ， ， 当添加时，． 故选：A． 考点讲练4：灵活选用判定方法证明三角形全等 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·单元测试）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．°，， 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形的判定条件及存在性，根据三角形全等的判定方法逐项判断即可得到答案，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解：、∵，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 、∵，，，不是，的夹角， ∴可以画出多个三角形，原选项符合题意； 、∵，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 、∵°，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 故选：． 【举一反三1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查的是三角形全等的判定，全等三角形的性质的应用，所以熟悉三角形全等的判定方法并应用，熟悉全等三角形的性质并应用是关键． 先证明与全等，再证明即可得到答案． 【规范解答】解：， ， 在与 中， ，故①正确， 在与 中， ()，故④正确， ，故③正确． 因为条件不足，无法证明②； 故答案为：①③④． 【举一反三2】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）【提出问题】 我们已经知道了三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法（），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（） 【探索研究】 已知：在和中， （1）如图①，当时，根据　 　，可知；    （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，可知与　 　全等．（填“一定”或“不一定”）    （3）如图③，当时，与是否全等？若全等，请举出反例．    【归纳总结】 （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是　 　时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析；（3），见解析；（4）②③ 【思路点拨】（1）根据即可判断； （2）画出图形，可知两个三角形不一定全等． （3）结论：．如图③中，作交的延长线于G，作交的延长线于H．利用3次全等解决问题即可； （4）利用（1）（3）中结论即可解决问题； 【规范解答】解：（1）在和中， ， ∴， 故答案为． （2）如图②中，通过作图知， 存在满足条件，但不与全等； 故答案为：不一定      （3）结论：． 理由：如图③中，作交的延长线于G．作交的延长线于H．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）由（1）（3）中的结论可知，如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是直角或钝角时，这两个三角形一定全等． 故答案为②③． 【考点评析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的全等的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【举一反三3】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【思路点拨】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 【规范解答】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， 【考点评析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 考点讲练5：结合尺规作图的全等问题 【典例精讲】（21-22八年级上·河南南阳·期中）如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是 cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是 ． 【答案】 或 【思路点拨】当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意；当BC=BN=1时，三角形是唯一的；当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的． 【规范解答】如图，当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意， 此时； 故答案为：； 当BC=BN=1时，三角形是唯一的； 当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了三角形的存在个数，熟练掌握三角形的基本作图是解题的关键． 【举一反三1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，小正方形的边长为1，为格点三角形． (1)如图①，的面积为 ； (2)在图②中画出所有与全等，且只有一条公共边的格点三角形，共 个． 【答案】(1)6 (2)画图见解析，3 【思路点拨】（1）如图，用正方形面积减去三个三角形的面积即可求出答案； （2）分三种情况讨论：分别以为公共边，作与余下两边相等的三角形，再看是否符合题意即可． 【规范解答】（1）如图， ∴ ． 故答案为：6； （2）分类讨论：当为公共边时，如图， 即为所作； 当为公共边时，如图， 即为所作； 当为公共边时，如图，即为所作； 综上可知，共3个与全等且符合题意的三角形． 故答案为：3． 【考点评析】本题主要考查三角形的面积计算，作图—应用设计，全等三角形的判定．利用数形结合的思想是解题关键． 【举一反三2】（19-20七年级下·河南驻马店·期中）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法： （1）在OA和OB上分别截取． （2）分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在的内部两弧交于点C． （3）作射线OC，则有．你能指出作法中的道理吗？ 【答案】见解析 【思路点拨】利用画法得到OE=OD，CE=CD，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COD≌△COE，据此可以得∠AOC=∠BOC． 【规范解答】解：由作法得： OE=OD，CE=CD， 而OC为公共边，即OC=OC， ∴△COD≌△COE（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC． 【考点评析】本题考查了基本作图以及全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【举一反三3】（19-20八年级上·四川宜宾·阶段练习）如图①，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，我们可以分别OA、OB在截取点M、N，使OM=ON，连结PM、PN，就可得到. （1）请你在图①中,根据题意，画出上面叙述的全等三角形和，并加以证明． （2）请你参考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列问题： （Ⅰ）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系. （Ⅱ）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（Ⅰ）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）（Ⅰ）FE=FD，证明见详解；（Ⅱ）FE=FD仍成立；理由见详解. 【思路点拨】（1）根据题意，画出图形，直接根据SAS，即可证明； （2）（Ⅰ）过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分别为G、H，连接BF，由角平分线性质，得到FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，又∠FDH=FEG=75°，由AAS证明△EFG≌△DFH，即可得到FE=FD； （Ⅱ）与（Ⅰ）同理，得到FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，由∠ABC=60°，得到∠FDH=∠ABC+∠BAF=60°+∠BAF，又∠FEG =∠BAF+60°，则∠FDH=∠FEG=∠BAF+60°，然后利用AAS证明△EFG≌△DFH，即可得到结论成立. 【规范解答】解：（1）如图， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OM=ON，OP=OP， ∴△POM≌△PON（SAS）； （2）（Ⅰ）如图，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分别为G、H，连接BF， ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴点F为内心，则BF平分∠ABC， ∵FG⊥AB，FH⊥BC， ∴FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°， ∵∠B=60°，∠ACB=90°， ∴∠BAC=30°， ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠DAC=15°，∠ACE=45°， ∴∠FEG=∠BAC+ACE=30°+45°=75°，∠FDH=90°-15°=75°， ∴∠FDH=FEG=75°， ∴△EFG≌△DFH（AAS）， ∴FE=FD； （Ⅱ）FE=FD仍成立；理由如下： 如图，与（Ⅰ）同理，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分别为G、H，连接BF， 由（Ⅰ）可知，FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°， ∵∠ABC=60°， ∴∠BAC+∠BCA=120°， ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠BCA）=， ∵∠FDH=∠ABC+∠BAF=60°+∠BAF， ∠FEG=∠BAC+∠FCA=∠BAF+∠FAC+∠FCA=∠BAF+60°， ∴∠FDH=∠FEG=∠BAF+60°， ∴△EFG≌△DFH（AAS）， ∴FE=FD. 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线定理，以及三角形外角性质.解题的关键是正确作出辅助线，构造出全等三角形的条件，从而证明三角形全等. 中等题真题汇编练 1．（2023秋•南宁期末）如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是　　 A． B． C． D． 解：点是，的中点， ，， 在和中， ， ， ， 故选：． 2．（2024春•历下区期末）如图，为测量桃李湖两端的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长，那么判定的理由是　　 A． B． C． D． 解：在和中， ， ． 故选：． 3．（2023秋•和县期末）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，若添加一个条件后，添加的条件可以是　　 A． B． C． D． 解：，， ， 当添加时， 得到， 即， 根据“”可判定． 故选：． 4．（2024春•天桥区期末）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，依据是　　 A． B． C． D． 解：是、的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 所以，依据是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等． 故选：． 5．（2023秋•开封期末）综合实践活动小组为测量池塘两端，的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小华：如图①，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为，的距离． 小欣：如图②，先过点作的垂线，在上取，两点，使，再过点作的垂线，交的延长线于点，则量出的长即为，的距离． 小彤：如图③，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．这时只要量出的长即为，的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是　　 A．小华和小欣 B．小欣和小彤 C．小华和小彤 D．三个人的方案都可以 解：小华同学的方案： 在和中， ， ， ， 小华同学的方案可行； 小欣同学的方案： 在和中， ， ， 小欣同学的方案可行； 小彤同学的方案： 在和中， ， ， 小彤同学的方案可行． 故选：． 6．（2023秋•澧县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度 　16米　． 解：， ， ， ， ，即， 相邻两平行线间的距离相等， ， 在与中， ， ， （米， 故答案为：16米． 7．（2024春•双流区校级期末）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，则每层楼的高度大约 　3　米． 解：由题意得：，，，，， ， ， 米，米， （米， 在和中， ， ， 米，每层楼的高度 （米， 每层楼的高度大约为3米． 故答案为：3． 8．（2024•西安区校级模拟）如图，点，在上，，，请添加一个条件 　（答案不唯一）　，使． 解：添加， ， ， 即， 在与中， ， ． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2023秋•竹溪县期末）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由步行到达处的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，，相邻两平行线间的距离相等．，相交于，垂足为．已知米．根据上述信息，标语的长度为　20　． 解：，相邻两平行线间的距离相等， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：20 10．（2023秋•广安期末）小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使，此时量得．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？ 解：，，， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 答：路灯的高度是8.2米． 11．（2024春•凤翔区期末）如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，若，求到的距离． 解：如图2，作，垂足为． ， ； 在△中，； 又， ， ； 在和中， ， ； 且，， ； ， ， 即到的距离是． 12．（2024春•西安期末）如图，小刚站在河边的点处，在河对面（小刚的正北方向）的点处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树处，接着再向前走了20步到达处，然后他左转直行，从点处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他恰好走了74步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点处时他与电线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 解：合理．理由如下： 根据题意，得． 在和中， ， ． ． 又小刚走完用了74步，一步大约0.5米， （米． 答：小刚在点处时他与电线塔的距离为37米． 13．（2023秋•夏邑县期末）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？　甲　（填“甲”或“乙” ，并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：　　． 解：（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ， ， 故甲同学的方案可行． （2）； 理由： ， 在与中， ， ， ． 故答案为：． 14．（2024春•顺德区校级期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． （2）请将不可行的方案稍加修改使之可行，你的修改是：　　，请说明理由． 解：（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ， ， 故甲同学的方案可行． （2）； 理由：在与中， ， ， ． 故答案为：． 15．（2023秋•梨树县期末）小明想测一块泥地的长度（如图所示），他在的垂线上分别取、两点，使，再过点作出的垂线，并在上找一点，使、、三点共线，这使所测得的的长度就是这块泥地的长度，你能说明原因吗？ 证明：，， ． 又，， ． 所以． 培优题真题汇编练 16．（2023秋•邓州市期中）如图，小明不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带到五金店，就能配成一块与原来一样大小的三角形　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：2、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第1块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：． 17．（2023秋•昭阳区期中）如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择了一点，测得，，然后在的同侧找到点使，，得到，所以测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是　　 A． B． C． D． 解：在，中， ， ． 故选：． 18．（2023秋•西青区校级期中）下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是　　 A．两直角边对应相等 B．斜边、一条直角边对应相等 C．一锐角、一条直角边对应相等 D．两锐角对应相等 解：、由判定两个直角三角形全等，故不符合题意； 、由判定两个直角三角形全等，故不符合题意； 、由或判定两个直角三角形全等，故不符合题意； 、两三角形全等至少需要一条边对应相等的条件，两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，故符合题意． 故选：． 19．（2023秋•集美区期末）几何学起源于土地测量，据史料记载，古希腊数学家泰勒斯发明了一种用帽子测量河流宽度的方法，具体操作步骤如下： ①如图，人垂直站立在河岸边上，视线与河岸边保持垂直； ②调整帽子，使视线通过帽檐正好落在对面的河岸边上； ③人保持姿势，转过一个角度，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上； ④测量该点与人站立位置的距离就是河流的宽度． 请用你学过的一个数学定理解释通过以上步骤能测得河流宽度的道理：　　． 解：人保持姿势，转过一个角度说明看观察点的视线与人的夹角不变，而人的眼睛到地面的距离不变， 所以人看对面的河岸边上一点所构成的直角三角形与人看自己所在岸的某一点上所构成的直角三角形全等， 所以人看自己所在岸的某一点上的距离等于河流的宽度． 故答案为：． 20．（2023秋•青县校级月考）在一次数学活动中，为了测量一堵墙上点的高度，嘉淇设计了如下方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，测量出直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得　40　，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量地面上线段 　　的长度，即为点的高度． 若测得，，则直杆下滑的高度为 　　． 解：根据题意得，，，通过构造直角三角形与直角三角形全等， ， 利用“角角边”构造， ， 测量的长即为墙上点的高度， ， ，，， ． 故答案为：，，2． 21．（2023秋•阳谷县期中）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件 　　． 解：连接，，如图所示： ，， ， 故， 故答案为：． 22．（2023秋•锡山区期中）如图，两根旗杆间相距12米，某人从点沿走向点，一段时间后他到达点，此时他仰望旗杆的顶点和，两次视线的夹角为，且．已知旗杆的高为9米，该人的运动速度为1米秒，则这个人运动到点所用时间是 　3　秒． 解：， ， 又， ， ． 在和中， ， ， 米， （米， 该人的运动速度为， 他到达点时，运动时间为． 故答案为：3． 23．（2023秋•广陵区校级月考）如图所示．，，，是四个村庄，，，在一条东西走向公路的沿线上，，，村庄，间也有公路相连，且公路是南北走向，，只有之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得，．试求建造的斜拉桥长至少有　1.1　． 解：由题意知：，， 在和中， ， ， ， 故斜拉桥至少有． 故答案为：1.1． 24．（2023春•盐湖区期末）学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧平地上取点和点．使点、、在一条直线上，且，测得，，在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是、两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由． 解：同意， 理由：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， 测得的长就是、两点间的距离． 25．（2022秋•东至县期末）课间， 小明拿着老师的等腰直角三角尺玩， 不小心掉到两堆砖块之间， 如图所示 ． （1） 求证：； （2） 已知，请你帮小明求出砖块的厚度的大小 （每 块砖的厚度相同） ． （1） 证明： 由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中，， ； （2） 解： 由题意得：一块墙砖的厚度为， ，， 由 （1） 得：， ，， ， ， 答： 砌墙砖块的厚度为． 26．（2023秋•信都区期中）如图，在河岸两侧的，两点处分别有一个电线塔，嘉淇想要测量这两个电线塔之间的距离，于是他在点所在河岸一侧的平地上取一点，使点，，在一条直线上，另取点，使得，然后测得，，在的延长线上取一点，使得，量得． （1）求的度数． （2）请帮嘉淇计算这两个电线塔之间的距离是多少米？ 解：（1），， ． （2）， ． 在和中， ， ． ． ． 这两个电线塔之间的距离是． 27．（2022秋•石门县期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 解：初步探索：， 故答案为：， 探索延伸：结论仍然成立， 证明：如图2，延长到，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 结论运用：解：如图3，连接，延长、交于点， ， ， ， ， ， 符合探索延伸中的条件 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$