12.2.3 用“ASA（角边角）”或“AAS（角角边）”判定三角形全等（知识精讲+易错点拨+二大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.2.3 用“ASA（角边角）”或“AAS（角角边）”判定三角形全等 （知识精讲+易错点拨+二大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：用ASA，AAS证明三角形全等 3 考点讲练2：全等的性质和ASA，AAS的综合 6 中等题真题汇编练 8 培优题真题汇编练 13 新知精讲梳理 知识点01：角边角（ASA）的定义 角边角（ASA）是三角形全等判定条件之一，具体指如果两个三角形有两角和它们的夹边分别对应相等，则这两个三角形全等。这里的“角边角”指的是两个角和它们之间的那条夹边。 知识点02：角边角（ASA）的解析 两角对应相等：这是判定条件中的“角角”，即两个三角形的两组对应角分别相等。这两组对应角中，有一组是相邻的，即它们之间夹着一条边。 夹边对应相等：这是判定条件中的“边”，即两个三角形中，两组对应角之间的那条夹边也对应相等。 全等判定：当两个三角形满足上述两个条件时，即两角及它们的夹边对应相等，则可以根据角边角（ASA）定理判定这两个三角形全等。 知识点03：角边角（ASA）的应用 证明三角形全等：在解题过程中，如果遇到需要证明两个三角形全等的情况，且已知条件中包含两个角和它们的夹边对应相等，则可以直接应用角边角（ASA）定理进行证明。 求解几何问题：角边角（ASA）定理在求解几何问题中也具有广泛的应用。例如，在求解线段长度、角度大小等问题时，如果可以通过构造或已知条件得到两个三角形的角边角对应相等，则可以利用全等三角形的性质进行求解。 知识点04：角角边（AAS）的定义 角角边（AAS）全等判定定理是指：如果两个三角形中有两个角分别相等，并且这两个角所夹的一条边也相等，那么这两个三角形全等。这里的“AAS”分别代表两个相等的角（Angle-Angle）和一条夹边（Side）。 知识点05：角角边（AAS）的应用条件 两个相等的角：在两个三角形中，必须存在两个分别相等的角。这两个角可以是任意两个非相邻的角，但它们必须是对应角，即它们分别位于两个三角形的相同位置上。 夹边相等：除了两个相等的角之外，这两个角所夹的一条边也必须相等。这条夹边是连接两个相等角的边，它位于两个三角形的对应位置上。 知识点06：角角边（AAS）的判定过程 识别条件：首先，需要仔细观察两个三角形，看它们是否满足角角边的判定条件，即有两个相等的角和一条夹边相等。 应用定理：如果满足条件，则可以应用角角边全等判定定理，得出这两个三角形全等的结论。 书写证明：在证明过程中，需要清晰地写出每一步的推理过程，包括识别条件、应用定理和得出结论等。 知识点07：角角边（AAS）与其他判定方法的联系 在三角形全等的判定中，除了角角边（AAS）之外，还有边角边（SAS）、角边角（ASA）和边边边（SSS）等判定方法。这些方法各有特点，但都可以用来判定两个三角形是否全等。在实际应用中，需要根据题目给出的条件选择最合适的判定方法。 高频易错知识点拨 易错知识点01：对应角与对应边的混淆 易错点：学生在应用定理时，容易混淆对应角和对应边的关系，导致判断错误。 解析：在应用角边角定理时，必须明确哪两个角是对应角，以及它们之间的夹边是对应边。学生需要仔细审题，根据题目给出的条件，准确找出对应角和对应边。 易错知识点02：夹边识别不准确 易错点：学生可能错误地认为只要两个三角形中有两个角相等，并且任意一条边也相等，就可以应用角边角（ASA）定理。 解析：角边角定理中的夹边是指两个对应角之间的那条边，而不是三角形中的任意一条边。因此，在判断两个三角形是否全等时，必须确保两个对应角之间的夹边也对应相等。 易错知识点03：忽视隐含条件 易错点：在复杂的问题中，学生可能忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用定理。 解析：有些题目中可能包含一些隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等，这些条件在判定三角形全等时非常重要。学生需要仔细阅读题目，找出所有可能的条件，并综合运用这些条件来解决问题。 易错知识点04：证明过程中的逻辑错误 易错点：在证明三角形全等的过程中，学生可能会出现逻辑错误，如条件使用不当、推理不严密等。 解析：证明三角形全等需要严密的逻辑推理。学生需要确保每一步的推理都是基于已知条件和正确的几何定理。同时，还需要注意证明过程中的条件顺序和逻辑关系，避免出现逻辑错误。 易错知识点05：辅助线的添加不当 易错点：在解决一些复杂问题时，学生可能需要添加辅助线来构造新的三角形或揭示隐含条件。然而，如果辅助线添加不当，就可能导致证明失败。 解析：添加辅助线是解决复杂问题的一种有效方法。然而，在添加辅助线时，学生需要确保辅助线的位置和性质符合题目要求，并且有助于证明三角形全等。如果辅助线添加不当，就可能会引入新的未知量或破坏原有的条件关系，导致证明失败。 考点讲练1：用ASA，AAS证明三角形全等 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为O． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 【举一反三1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 【举一反三2】（23-24七年级下·江西景德镇·期末）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为． (1)如果， 求的度数； (2)判断和是否全等．请说明理由． 【举一反三3】（23-24八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践，下面是腾飞数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【题目背景】在中，，点在边上． (1)【作图探讨】在外侧，以为边作，下面是两位同学的作图过程： 小明：如图①，分别以点为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图②，分别过点作的垂线，两条垂线相交于点．则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是__________， 小军得出的依据是__________（填序号）． ①    ②    ③    ④ (2)【测量发现】如图③，在（1）中的条件下，连接．该兴趣小组用软件《几何画板》测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长至点，使，连接．请你完成证明过程． 考点讲练2：全等的性质和ASA，AAS的综合 【典例精讲】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，是一段斜坡，是水平线，现为了测斜坡上一点的竖直高度的长度，欢欢在处立上一竹竿，并保证，然后在竿顶处垂下一根绳，与斜坡的交点为点，他调整好绳子的长度，使得，此时他测得米，求的长度． 【举一反三1】（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； 【举一反三2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，小勇要测量家门前河中浅滩B到对岸A的距离，先在岸边定出C点，使C，A，B在同一直线上，再依的垂直方向在岸边画，取它的中点O，又画，观测得到E，O，B在同一直线上，且F，O，A也在同一直线上，那么的长就是浅滩B和对岸A的距离，你能说出这是为什么吗？ 【举一反三3】（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图1，，，，，垂足分别为D，E，，， (1)求的长； (2)其它条件不变的前提下，将所在直线旋转到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明． (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，用，，直接判定的理由是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（    ） A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，曲晓星站在河边的点A处，在河对面（曲晓星正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后他左转直行，当他看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，的长度就是的长度，他的依据是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知在中，，平分，交于点，，的延长线交于点，下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）如下图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为 m．    7．（23-24八年级上·湖北荆门·期末） 如图，在中，，，，，平分交于D，于E，则的周长为 ． 8．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，，，，，垂足分别为D，E，，，求 cm． 9．（11-12八年级上·河南周口·期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 10．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）太阳光线和是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长.这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 .    11．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 12．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，其中于点B，于点E，点P在上，已知，．    (1)求证：； (2)求的长． 13．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 14．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，点D 以1厘米/秒的速度从点A出发，沿移动到点C，同时点E以3厘米/秒的速度从点B出发，沿移动到点C，两点中有一个点到达终点，两个点都停止运动．直线经过点C，过D、E分别作，垂足分别为点M，N，请问：运动时间t等于多少秒时，？并证明此时． 培优题真题汇编练 15．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（   ） A． B． C． D． 16．（14-15八年级上·江苏南通·期中）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（    ） A．50 B．62 C．65 D．68 17．（21-22八年级上·辽宁大连·期末）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若AB＝8，CF＝6，则BD的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 19．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 ．      20．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中，，，于，于，，，则 ． 21．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，，，垂足分别为E，F，D是线段的中点，，若，，则的面积是 ． 22．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 23．（19-20八年级上·全国·单元测试）如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论： ①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有 ． 24．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证． 25．（23-24七年级下·重庆·期末）在中，，过点A作于点D，延长至点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 26．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图1，在中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点． (1)求证：； (2)若直线绕点A旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何，请证明； (3)若直线绕点A旋转到图3时，其余条件不变，与，的关系怎样？请直接写出结果，不须证明． (4)归纳（1），（2），（3），请用简捷的语言表述与，的关系． 27．（22-23八年级上·云南红河·期末）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.2.3 用“ASA（角边角）”或“AAS（角角边）”判定三角形全等 （知识精讲+易错点拨+二大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：用ASA，AAS证明三角形全等 3 考点讲练2：全等的性质和ASA，AAS的综合 9 中等题真题汇编练 14 培优题真题汇编练 26 新知精讲梳理 知识点01：角边角（ASA）的定义 角边角（ASA）是三角形全等判定条件之一，具体指如果两个三角形有两角和它们的夹边分别对应相等，则这两个三角形全等。这里的“角边角”指的是两个角和它们之间的那条夹边。 知识点02：角边角（ASA）的解析 两角对应相等：这是判定条件中的“角角”，即两个三角形的两组对应角分别相等。这两组对应角中，有一组是相邻的，即它们之间夹着一条边。 夹边对应相等：这是判定条件中的“边”，即两个三角形中，两组对应角之间的那条夹边也对应相等。 全等判定：当两个三角形满足上述两个条件时，即两角及它们的夹边对应相等，则可以根据角边角（ASA）定理判定这两个三角形全等。 知识点03：角边角（ASA）的应用 证明三角形全等：在解题过程中，如果遇到需要证明两个三角形全等的情况，且已知条件中包含两个角和它们的夹边对应相等，则可以直接应用角边角（ASA）定理进行证明。 求解几何问题：角边角（ASA）定理在求解几何问题中也具有广泛的应用。例如，在求解线段长度、角度大小等问题时，如果可以通过构造或已知条件得到两个三角形的角边角对应相等，则可以利用全等三角形的性质进行求解。 知识点04：角角边（AAS）的定义 角角边（AAS）全等判定定理是指：如果两个三角形中有两个角分别相等，并且这两个角所夹的一条边也相等，那么这两个三角形全等。这里的“AAS”分别代表两个相等的角（Angle-Angle）和一条夹边（Side）。 知识点05：角角边（AAS）的应用条件 两个相等的角：在两个三角形中，必须存在两个分别相等的角。这两个角可以是任意两个非相邻的角，但它们必须是对应角，即它们分别位于两个三角形的相同位置上。 夹边相等：除了两个相等的角之外，这两个角所夹的一条边也必须相等。这条夹边是连接两个相等角的边，它位于两个三角形的对应位置上。 知识点06：角角边（AAS）的判定过程 识别条件：首先，需要仔细观察两个三角形，看它们是否满足角角边的判定条件，即有两个相等的角和一条夹边相等。 应用定理：如果满足条件，则可以应用角角边全等判定定理，得出这两个三角形全等的结论。 书写证明：在证明过程中，需要清晰地写出每一步的推理过程，包括识别条件、应用定理和得出结论等。 知识点07：角角边（AAS）与其他判定方法的联系 在三角形全等的判定中，除了角角边（AAS）之外，还有边角边（SAS）、角边角（ASA）和边边边（SSS）等判定方法。这些方法各有特点，但都可以用来判定两个三角形是否全等。在实际应用中，需要根据题目给出的条件选择最合适的判定方法。 高频易错知识点拨 易错知识点01：对应角与对应边的混淆 易错点：学生在应用定理时，容易混淆对应角和对应边的关系，导致判断错误。 解析：在应用角边角定理时，必须明确哪两个角是对应角，以及它们之间的夹边是对应边。学生需要仔细审题，根据题目给出的条件，准确找出对应角和对应边。 易错知识点02：夹边识别不准确 易错点：学生可能错误地认为只要两个三角形中有两个角相等，并且任意一条边也相等，就可以应用角边角（ASA）定理。 解析：角边角定理中的夹边是指两个对应角之间的那条边，而不是三角形中的任意一条边。因此，在判断两个三角形是否全等时，必须确保两个对应角之间的夹边也对应相等。 易错知识点03：忽视隐含条件 易错点：在复杂的问题中，学生可能忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用定理。 解析：有些题目中可能包含一些隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等，这些条件在判定三角形全等时非常重要。学生需要仔细阅读题目，找出所有可能的条件，并综合运用这些条件来解决问题。 易错知识点04：证明过程中的逻辑错误 易错点：在证明三角形全等的过程中，学生可能会出现逻辑错误，如条件使用不当、推理不严密等。 解析：证明三角形全等需要严密的逻辑推理。学生需要确保每一步的推理都是基于已知条件和正确的几何定理。同时，还需要注意证明过程中的条件顺序和逻辑关系，避免出现逻辑错误。 易错知识点05：辅助线的添加不当 易错点：在解决一些复杂问题时，学生可能需要添加辅助线来构造新的三角形或揭示隐含条件。然而，如果辅助线添加不当，就可能导致证明失败。 解析：添加辅助线是解决复杂问题的一种有效方法。然而，在添加辅助线时，学生需要确保辅助线的位置和性质符合题目要求，并且有助于证明三角形全等。如果辅助线添加不当，就可能会引入新的未知量或破坏原有的条件关系，导致证明失败。 考点讲练1：用ASA，AAS证明三角形全等 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为O． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】此题考查了平移的性质和全等三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平移性质是解答的关键． （1）根据平移性质得到，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论； （2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵由沿射线的方向平移所得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴． 【举一反三1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得是解题的关键． （1）根据平行线求出，再说明，最后结合运用即可证明结论； （2）根据全等三角形性质得出，进而根据平角定义即可解答． 【规范解答】（1）证明∶ ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴． （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴ ． 【举一反三2】（23-24七年级下·江西景德镇·期末）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为． (1)如果， 求的度数； (2)判断和是否全等．请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【思路点拨】（1）由长方形的性质得，，则可得．再由折叠的性质得，则可得．在中，根据三角形内角和定理即可求出的度数． （2）由长方形的性质和折叠的性质可得，，，根据即可证明． 【规范解答】（1）解：∵四边形是长方形， ，， ∴， ， ， ， 由折叠知， ， 在中，． （2）解：，理由如下： ∵四边形是长方形， ，， 由折叠知，，， ，，， ． 【考点评析】本题主要考查了平行线的判定和性质、折叠的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【举一反三3】（23-24八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践，下面是腾飞数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【题目背景】在中，，点在边上． (1)【作图探讨】在外侧，以为边作，下面是两位同学的作图过程： 小明：如图①，分别以点为圆心，以，为半径画弧交于点，连接，．则即为所求作的三角形． 小军：如图②，分别过点作的垂线，两条垂线相交于点．则即为所求作的三角形． 选择填空：小明得出的依据是__________， 小军得出的依据是__________（填序号）． ①    ②    ③    ④ (2)【测量发现】如图③，在（1）中的条件下，连接．该兴趣小组用软件《几何画板》测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长至点，使，连接．请你完成证明过程． 【答案】(1)①，③ (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，中线的性质是解题的关键． （1）小明：由作图可知，，证明；小军：由作图可，，证明；然后作答即可； （2）由题意知，是的中线，则，证明，则，进而可证． 【规范解答】（1）解：小明：由作图可知，， ∵， ∴； 小军：由作图可，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：①，③； （2）证明：延长至点，使，连接，则是的中线， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 考点讲练2：全等的性质和ASA，AAS的综合 【典例精讲】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，是一段斜坡，是水平线，现为了测斜坡上一点的竖直高度的长度，欢欢在处立上一竹竿，并保证，然后在竿顶处垂下一根绳，与斜坡的交点为点，他调整好绳子的长度，使得，此时他测得米，求的长度． 【答案】米． 【思路点拨】本题考查了全等三角形的应用，等角的余角相等，延长交于，根据等角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，延长交于， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵米， ∴的长度是米． 【举一反三1】（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）①由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； ②由（1）得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【规范解答】（1）①证明：，， ， ， ，， ， 在和中 ， ． ②证明：由（1）知：， ，， ， ． （2）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ． 【考点评析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 【举一反三2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，小勇要测量家门前河中浅滩B到对岸A的距离，先在岸边定出C点，使C，A，B在同一直线上，再依的垂直方向在岸边画，取它的中点O，又画，观测得到E，O，B在同一直线上，且F，O，A也在同一直线上，那么的长就是浅滩B和对岸A的距离，你能说出这是为什么吗？ 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的应用；点在河中间，直接测量有难度，这样设计，运用两次全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． 两次证明全等，即证明，得出，再证明，得出． 【规范解答】 解：在和中， ， ， ，， 在和中， ， ，． 【举一反三3】（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图1，，，，，垂足分别为D，E，，， (1)求的长； (2)其它条件不变的前提下，将所在直线旋转到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明． (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，见解析 【思路点拨】此题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论； （2）同（1）的方法，证明得出，，进而得出结论． （3）同（1）的方法，证明得到，，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：（2）中的猜想仍然成立， 证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 中等题真题汇编练 1．（22-23七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，用，，直接判定的理由是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由于，，再加上公共边，则可根据“”判断． 【规范解答】解：在和中， ， ． 故选：A 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（    ） A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 【答案】D 【思路点拨】本题考查数学原理在实际生活中的运用，根据直线的性质、三角形的特性、垂线段的性质、全等三角形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【规范解答】解：A．图（1）中用数学原理为：两点确定一条直线，解释正确，不合题意； B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意； C．图（3）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意； D．图（4）中编号为③的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意； 故选D． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案． 【规范解答】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵每本书长，厚度为， ∴， ∴． 故选：A． 4．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，曲晓星站在河边的点A处，在河对面（曲晓星正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后他左转直行，当他看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，的长度就是的长度，他的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．通过证得，则其对应边相等．即可得的答案． 【规范解答】解：根据题意，得． 在和中， ， ∴． ∴． 故选：D． 5．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知在中，，平分，交于点，，的延长线交于点，下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查角平分线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，三角形全等的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．只要证明即可判定A正确，由于是单项选择题，不难得出结论． 【规范解答】解：，， ， 又，   ， ， 又平分， ， ， 在与中， ， ． 故选A． 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）如下图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为 m．    【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，得出，，求出即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·湖北荆门·期末） 如图，在中，，，，，平分交于D，于E，则的周长为 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明，可得，，求出，根据的周长等于可得答案． 【规范解答】解：∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：12． 8．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，，，，，垂足分别为D，E，，，求 cm． 【答案】6 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，证明，即可得到，． 【规范解答】∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（11-12八年级上·河南周口·期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 【答案】③ 【思路点拨】本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理； 利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定； 【规范解答】解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状．第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 10．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）太阳光线和是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长.这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 .    【答案】/角角边 【思路点拨】根据两直线平行，同位角相等，补充条件证明. 【规范解答】∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：. 【考点评析】本题考查了三角形全等的证明，熟练掌握判定定理是解题的关键. 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质． （1）由，，可得，结合，即可求解； （2）证明，即可求解． 【规范解答】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 12．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，其中于点B，于点E，点P在上，已知，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【思路点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据垂直及各角之间的等量代换得出，再由全等三角形的判定即可证明； （2）由题意得：，，再由全等三角形的性质结合图形求解即可． 【规范解答】（1）证明：由题意得：， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ 在和中 ， ∴； （2）解：由题意得：，， 由（1）得， ∴，． ∴． 答：的长为． 13．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （1）利用三角形的中线性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【规范解答】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 14．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，点D 以1厘米/秒的速度从点A出发，沿移动到点C，同时点E以3厘米/秒的速度从点B出发，沿移动到点C，两点中有一个点到达终点，两个点都停止运动．直线经过点C，过D、E分别作，垂足分别为点M，N，请问：运动时间t等于多少秒时，？并证明此时． 【答案】1秒；见解析 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，全等三角形的判定．根据题意可得，由，可得关于t的方程，可求出；再利用可证明． 【规范解答】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 培优题真题汇编练 15．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可，解题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，． 【规范解答】∵为中点， ∴， ∵由点分别向、作垂线段、， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：． 16．（14-15八年级上·江苏南通·期中）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（    ） A．50 B．62 C．65 D．68 【答案】A 【思路点拨】由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【规范解答】∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理证得，，， 故， 故． 故选：A． 【考点评析】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键． 17．（21-22八年级上·辽宁大连·期末）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若AB＝8，CF＝6，则BD的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】先证明△ADE≌△CFE(AAS)，得AD=CF=6，然后由BD=AB-AD求解即可． 【规范解答】解：∵FCAB， ∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE(AAS)， ∴AD=CF， ∵AB=8，CF=6， ∴BD=AB-AD=AB-CF=8-6=2， 故选：B． 【考点评析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【规范解答】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 19．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是 ．      【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等 【思路点拨】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案． 【规范解答】解：在和中， ， ， 判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 20．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中，，，于，于，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出，注意：全等三角形的对应边相等． 求出，，根据推出，根据全等三角形的性质得出，，即可求出答案． 【规范解答】解：， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ，， ． 故答案为：． 21．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，，，垂足分别为E，F，D是线段的中点，，若，，则的面积是 ． 【答案】28 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质． 通过证明，得出，进而得出，最后根据的面积，即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积 ， 故答案为：28． 22．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【思路点拨】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；无法得出结论③；证明，可判断结论④；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论⑤． 【规范解答】解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 无法得出，故结论③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论④正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【考点评析】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 23．（19-20八年级上·全国·单元测试）如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论： ①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有 ． 【答案】①③ 【思路点拨】根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正确． 【规范解答】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点， ∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP． ①在△AEP与△CFP中， ∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF， ∴△AEP≌△CFP， ∴AE=CF．正确； ②只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误； ③∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE． ∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC，即2S四边形AEPF=S△ABC；正确； ④根据等腰直角三角形的性质，EF=PE， 所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误； 故答案为①③． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，证得△AEP和△CFP全等是解题的关键，也是本题的突破点． 24．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明，根据即可得到答案． 【规范解答】证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 25．（23-24七年级下·重庆·期末）在中，，过点A作于点D，延长至点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据“”证明即可； （2）根据三角形内角和定理得出，根据，求出即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 26．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图1，在中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点． (1)求证：； (2)若直线绕点A旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何，请证明； (3)若直线绕点A旋转到图3时，其余条件不变，与，的关系怎样？请直接写出结果，不须证明． (4)归纳（1），（2），（3），请用简捷的语言表述与，的关系． 【答案】(1)见详解 (2)，见详解 (3)，详解 (4)当、在异侧时，；当、在同侧时，． 【思路点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据证明，得；．根据代换即可； （2）显然关系不成立．同理证明，得；．此时； （3）同（2）, 显然关系不成立．同理证明，得；．此时； （4）根据前面证明的结论分类归纳． 【规范解答】（1）证明： ，， ． 又，， ． ，． 又， ， 即． （2）证明：．证明如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即． （3）解：：证明：．证明如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即． （4）解：由（1）（2）（3）得出： 当、在异侧时，； 当、在同侧时，． 27．（22-23八年级上·云南红河·期末）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【思路点拨】（1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． （3）解：，过程如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$