12.2.2 用“SAS（边角边）”判定三角形全等（知识精讲+易错点拨+三大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.2.2 用“SAS（边角边）”判定三角形全等 （知识精讲+易错点拨+三大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：用SAS（边角边）证明三角形全等 3 考点讲练2：用SAS（边角边）间接证明三角形全等 5 考点讲练3：全等的性质和SAS（边角边）的综合 7 中等题真题汇编练 9 培优题真题汇编练 14 新知精讲梳理 知识点01：边角边（SAS）的定义 边角边公理（SAS）是指有两个三角形，如果它们有两边及这两边所夹的角分别对应相等，则这两个三角形全等。即，如果两个三角形ABC和DEF满足AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，则△ABC≌△DEF。 知识点02：边角边（SAS）的理解与应用 理解边角边公理： 两边相等：两个三角形中，必须有两对对应边分别相等。 夹角相等：这两对对应边所夹的角也必须相等。 全等判定：满足上述两个条件的两个三角形一定全等。 应用边角边公理： 在证明两个三角形全等时，如果已知两边及它们之间的夹角，可以直接应用边角边公理进行判定。 在解决与三角形全等相关的几何问题时，边角边公理是常用的证明手段之一。 知识点03：边角边（SAS）的注意事项 对应性：在应用边角边公理时，必须注意对应边和对应角的对应性，即哪两边对应相等，哪两个角对应相等。 夹角的确定：夹角必须是已知两边所夹的角，而不是其他角。 全等三角形的性质：一旦判定两个三角形全等，就可以利用全等三角形的性质（如对应边相等、对应角相等）进行进一步的推理和计算。 知识点04：边角边（SAS）的例题解析 例题：已知△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，求证：△ABC≌△DEF。 证明： 已知AB=DE（边对应相等），AC=DF（边对应相等），∠BAC=∠EDF（夹角对应相等）。 根据边角边公理（SAS），当两个三角形有两边及它们之间的夹角分别对应相等时，这两个三角形全等。 因此，△ABC≌△DEF。 高频易错知识点拨 易错知识点01:忽视隐含条件 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。 解析与应对： 在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。 善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。 在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。 易错知识点02:判定条件使用错误 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易错误地使用判定条件，如将“SSA”误认为是有效的判定方法，或者在不满足特定条件的情况下使用“HL”定理。 解析与应对： 熟练掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并明确每种方法的适用条件。 在证明过程中，要根据题目给出的条件选择合适的判定方法。 注意“SSA”不是有效的三角形全等判定方法，避免在证明过程中使用。 在使用“HL”定理时，要确保两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别相等。 易错知识点03:对应边、对应角找不准 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。 可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。 在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。 易错知识点04:对全等三角形书写的错误 易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。 如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。 易错知识点05:忽视特殊情况 易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。 根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。 在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。 考点讲练1：用SAS（边角边）证明三角形全等 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，三点在同一直线上，，，． 求证：． 【举一反三1】（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，在和 中，边，交于点，，，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【举一反三2】（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 【举一反三3】（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，已知中，，点D为的中点．如果点P在线段上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 考点讲练2：用SAS（边角边）间接证明三角形全等 【典例精讲】（22-23八年级上·江西南昌·期末）如图，是的角平分线． (1)若，求证：； (2)当时，与的数量关系如何？说说你的理由． 【举一反三1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，D为上一点，，的角平分线交于点F．      (1)求证：； (2)G为上一点，当平分，求证：； (3)在（2）的基础上，连接求证：． 【举一反三2】．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，．和是对应角，和是对应边．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． (3)与有何关系（位置和大小）？并说明理由． 【举一反三3】（19-20七年级下·山东青岛·期末）如图，已知：点在同一条直线上，AD∥CB，，． （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． 考点讲练3：全等的性质和SAS（边角边）的综合 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，分别是外部的两点，连接，有，，．连接交于点，则的度数为 ． 【举一反三1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，，，点在上，且．求证：． 【举一反三3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点是上一点，，过点作，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，的面积是20，求的面积， 中等题真题汇编练 1．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可绕点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒斯这样测得轮船到海岸的距离：如图所示，在海边灯塔上进行测量，直立一根可以原地转动的竖竿（垂直于地面），在其上一点A处连接一个可以绕A转动并固定在任意位置上的横杆，先转动横杆使其转向船的位置B，再转动竖竿，使横杆对准岸上的一点C，然后测量D，C的距离，即得D，B的距离，哲学家得到的依据是（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知，添加下列一个条件后，能判定的是（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·重庆大渡口·期末）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（16-17八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为　　秒时．和全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在的正方形网格中，则 ． 7．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 8．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝ ． 9．（21-22八年级上·云南昭通·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．    10．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，，，，则，两点间的距离是 ．    11．（22-23八年级上·四川德阳·期末）（1）已知：如图， 是任意一个三角形，求证：． （2）如图所示，点E在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点F，已知，，求证：． 12．（23-24八年级上·江西萍乡·阶段练习）如图，四边形中，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)判断线段与的关系，并说明理由． 13．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，公园里有一条“Z”字形道路，在三段路旁各有一只小石凳，且恰好在一条直线上，为的中点．    (1)求证； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 14．（20-21八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，，点C在上． (1)求证：． (2)若，则____ 15．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，，交于点F，，点C在线段上，且，，连接、．求证：． 培优题真题汇编练 16．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，AC与BD相交于点O，M、A、O、C、N五点在一条直线上，MB⊥BC，ND⊥DA，则图中的全等三角形共有（   ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 18．（14-15八年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　） A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定 19．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 21．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 22．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 23．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于 ．    24．（17-18八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，已知， ，．若，则的度数为 ． 25．（18-19七年级下·上海松江·期中）如图，在与中，有以下四个等式①；②；③；④，请以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出所有的正确判断 （用形式表示）    26．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，，，    (1)试证明：； (2)若时，直线、的位置怎样？ 27．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，．猜想直线与的位置关系，并给予证明． 28． （23-24八年级上·北京朝阳·期中）先阅读材料再解决问题． 【阅读材料】 学习了三角形全等的判定方法“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：“当和满足时，和是否全等”．    如图1，这小组同学先画，再画．在画的过程中，先过作于点，发现如下几种情况： 当时，不能构成三角形． 当时，根据“HL”或“AAS”，可以得到． 当时，又分为两种情况． ①当时，和不一定全等． ②当时，和一定全等． 【解决问题】 (1)对于的情况，请你用尺规在图2中补全和，使和不全等．（标明字母并保留作图痕迹）    (2)对于的情况，请在图3中画图并证明．    29．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 30．（20-21七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图1，若，求线段的长的取值范围； (3)如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.2.2 用“SAS（边角边）”判定三角形全等 （知识精讲+易错点拨+三大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：用SAS（边角边）证明三角形全等 3 考点讲练2：用SAS（边角边）间接证明三角形全等 7 考点讲练3：全等的性质和SAS（边角边）的综合 13 中等题真题汇编练 16 培优题真题汇编练 29 新知精讲梳理 知识点01：边角边（SAS）的定义 边角边公理（SAS）是指有两个三角形，如果它们有两边及这两边所夹的角分别对应相等，则这两个三角形全等。即，如果两个三角形ABC和DEF满足AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，则△ABC≌△DEF。 知识点02：边角边（SAS）的理解与应用 理解边角边公理： 两边相等：两个三角形中，必须有两对对应边分别相等。 夹角相等：这两对对应边所夹的角也必须相等。 全等判定：满足上述两个条件的两个三角形一定全等。 应用边角边公理： 在证明两个三角形全等时，如果已知两边及它们之间的夹角，可以直接应用边角边公理进行判定。 在解决与三角形全等相关的几何问题时，边角边公理是常用的证明手段之一。 知识点03：边角边（SAS）的注意事项 对应性：在应用边角边公理时，必须注意对应边和对应角的对应性，即哪两边对应相等，哪两个角对应相等。 夹角的确定：夹角必须是已知两边所夹的角，而不是其他角。 全等三角形的性质：一旦判定两个三角形全等，就可以利用全等三角形的性质（如对应边相等、对应角相等）进行进一步的推理和计算。 知识点04：边角边（SAS）的例题解析 例题：已知△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，求证：△ABC≌△DEF。 证明： 已知AB=DE（边对应相等），AC=DF（边对应相等），∠BAC=∠EDF（夹角对应相等）。 根据边角边公理（SAS），当两个三角形有两边及它们之间的夹角分别对应相等时，这两个三角形全等。 因此，△ABC≌△DEF。 高频易错知识点拨 易错知识点01:忽视隐含条件 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。 解析与应对： 在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。 善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。 在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。 易错知识点02:判定条件使用错误 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易错误地使用判定条件，如将“SSA”误认为是有效的判定方法，或者在不满足特定条件的情况下使用“HL”定理。 解析与应对： 熟练掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并明确每种方法的适用条件。 在证明过程中，要根据题目给出的条件选择合适的判定方法。 注意“SSA”不是有效的三角形全等判定方法，避免在证明过程中使用。 在使用“HL”定理时，要确保两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别相等。 易错知识点03:对应边、对应角找不准 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。 可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。 在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。 易错知识点04:对全等三角形书写的错误 易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。 如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。 易错知识点05:忽视特殊情况 易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。 根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。 在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。 考点讲练1：用SAS（边角边）证明三角形全等 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，三点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，根据平行线的性质得到，由即可得证．解题的关键是掌握：两组对应边相等且夹角相等的两个三角形全等． 【规范解答】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【举一反三1】（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，在和 中，边，交于点，，，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【思路点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出即可； （）根据平行线的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ∴． 【举一反三2】（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定．根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论． 【规范解答】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【举一反三3】（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，已知中，，点D为的中点．如果点P在线段上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由． (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)能，理由见解析 (2)点Q的运动速度为时，能够使与全等 【思路点拨】（1）分别求出的长，利用进行判定即可； （2）设点Q的运动速度为，经过秒后，能使与全等，分两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）能全等，理由如下： 由题意，得：， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设点Q的运动速度为，经过秒后，与全等，则：， ∴， ∵， ∴要使与全等，有两种情况： ①，即：，解得：，不符合题意； ②，即：解得：， ∴当点Q的运动速度为时，能够使与全等． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 考点讲练2：用SAS（边角边）间接证明三角形全等 【典例精讲】（22-23八年级上·江西南昌·期末）如图，是的角平分线． (1)若，求证：； (2)当时，与的数量关系如何？说说你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】（1）延长至E，使，连接，运用证明，可得结论； （2）在的延长线上取点F，使，连接，根据推导得到结论． 【规范解答】（1）证明：延长至E，使，连接. ∵， ∴. ∵平分， ∴. 在与中， , ∴. ∴. ∵， ∴ ∵， ∴. （2）解：. 理由：在的延长线上取点F，使，连接. ∴， 又∵， ∴. ∵， ∴. ∵是的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴. ∴． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 【举一反三1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，D为上一点，，的角平分线交于点F．      (1)求证：； (2)G为上一点，当平分，求证：； (3)在（2）的基础上，连接求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】利用三角形外角的性质得, 从而证明结论; 利用内错角相等，两直线平行证明即可； 利用证明,得到，然后再利用证明，从而得出结论. 【规范解答】（1）证明: ∵是的角平分线, ∴, ∵分别是的外角, ∴, 又∵, ∴； （2）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）   ∵平分, ∴, ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ∴， 又∵,， ∴， ∴. 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键. 【举一反三2】．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，．和是对应角，和是对应边．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． (3)与有何关系（位置和大小）？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，，证明见解析 【思路点拨】 根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算； 根据全等三角形的对应边相等计算； 根据全等三角形的判定和性质以及平行线的判定定理即可得到结论. 【规范解答】（1）∵， ∴，， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3），． 证明：∵， ∴ 又∵，， ∴ ∴，   ∴ 【考点评析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键. 【举一反三3】（19-20七年级下·山东青岛·期末）如图，已知：点在同一条直线上，AD∥CB，，． （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）AD=BC，理由见解析（2）AE∥CF，理由见解析 【思路点拨】（1）根据平行的性质得到，利用角角边证明，由此得到=； （2）根据等角的补角相等得到，利用边角边证明，可知由此得． 【规范解答】证明：（1），∴， 在和中， ∴， ∴ （2）∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，∴． 【考点评析】考查全等三角形的判定和性质，并结合平行和补角的性质，学生熟练掌握全等三角形的判定定理是本题解题的关键． 考点讲练3：全等的性质和SAS（边角边）的综合 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，分别是外部的两点，连接，有，，．连接交于点，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，设交于点，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，再根据邻补角定义求解即可． 【规范解答】解：设交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2)t的值为或 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由证明，得，即可得出结论； （2）先证，得，再分两种情况：当时，；当时，，分别解出t即可． 【规范解答】（1）证明∶ 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解∶ 由（1）得：，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点C时，t的值为或． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，，，点在上，且．求证：． 【答案】证明见详解 【思路点拨】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质． 先根据证明出，再证明出，进而得到． 【规范解答】解：， ， 又，， ， ． 【举一反三3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点是上一点，，过点作，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，的面积是20，求的面积， 【答案】(1)见解析 (2)40 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质是，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形面积相等，结合三角形中线的性质即可求解． 【规范解答】（1）证明：， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴． 中等题真题汇编练 1．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可绕点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，由已知和图形可得，，，据此即可判断求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵点为的中点， ∴，， 又∵， ∴由“边角边”可证明， 故选：． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒斯这样测得轮船到海岸的距离：如图所示，在海边灯塔上进行测量，直立一根可以原地转动的竖竿（垂直于地面），在其上一点A处连接一个可以绕A转动并固定在任意位置上的横杆，先转动横杆使其转向船的位置B，再转动竖竿，使横杆对准岸上的一点C，然后测量D，C的距离，即得D，B的距离，哲学家得到的依据是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【规范解答】由题意知，， 在和中， ， ∴． 故选：B 3．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知，添加下列一个条件后，能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【规范解答】解：，，添加， 可利用证明， 其他条件无法证明， 故选：C． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，证明两直角三角形全等还有． 4．（22-23九年级上·重庆大渡口·期末）如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】可以先证明，则，利用角平分线可得，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可． 【规范解答】解：∵正方形 ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 故选B． 【考点评析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．（16-17八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为　　秒时．和全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【思路点拨】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：，，，，． 【规范解答】解：∵，若，， ∴， 由题意得：， ∴， ∵，若，， ∴， 由题意得：， 解得． ∴，当的值为1或7秒时．和全等． 故选：C． 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在的正方形网格中，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，易证明得到，则可证明，同理可得，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，由网格的特点可得， ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【思路点拨】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【规范解答】解：如图，在上取一点E，使，连接ME， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为4， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 8．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝ ． 【答案】120° 【思路点拨】先证明得到，再利用以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案． 【规范解答】解： 在与中， 故答案为： 【考点评析】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 9．（21-22八年级上·云南昭通·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．    【答案】/边角边 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 【规范解答】解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，，，，则，两点间的距离是 ．    【答案】/60米 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是判定与全等．由，，可得，从而可得，所以，又，则，两点间的距离即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，两点间的距离为． 故答案为：． 11．（22-23八年级上·四川德阳·期末）（1）已知：如图， 是任意一个三角形，求证：． （2）如图所示，点E在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点F，已知，，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）过点A作，则有，然后问题可求证； （2）根据“”直接判定三角形全等即可． 【规范解答】证明：（1）过点A作，如图所示： ∴， ∵， ∴； （2）在和中， ， ∴． 12．（23-24八年级上·江西萍乡·阶段练习）如图，四边形中，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键. （1）直接利用，证明即可； （2）根据全等三角形的性质，即可得出结论. 【规范解答】（1）解：证明：在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，公园里有一条“Z”字形道路，在三段路旁各有一只小石凳，且恰好在一条直线上，为的中点．    (1)求证； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握证明两三角形全等是解题的关键． （1）根据中点得到，然后利用证明全等即可； （2）根据全等可以得到，即可得到两边的位置关系． 【规范解答】（1）证明：∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2），理由为： ∵， ∴， ∴． 14．（20-21八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，，点C在上． (1)求证：． (2)若，则______°． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据等式的性质，可得，根据可得两个三角形全等； （2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得，根据等量代换，可得证明结论． 【规范解答】（1）证明：， ， 即． 在和中， ， ； （2）证明：， ， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论． 15．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，，交于点F，，点C在线段上，且，，连接、．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据，得到，由“”可证，可得． 【规范解答】证明：∵， ， 在和中， ， ， ． 培优题真题汇编练 16．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】通过，，得到，得到，即可得解； 【规范解答】∵，， ∴， ∴， 即， 在和中，， ∴． 故选D． 【考点评析】本题主要考查了三角形的全等判定，准确分析判断是解题的关键． 17．（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，AC与BD相交于点O，M、A、O、C、N五点在一条直线上，MB⊥BC，ND⊥DA，则图中的全等三角形共有（   ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路点拨】根据全等三角形的判定即可求出答案． 【规范解答】∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD， 在△ABD和△CDB中，， ∴△ABD≌△CDB（ASA）， 同理：△ABC≌△CDA（ASA）； ∴AB=CD，BC=DA， 在△AOB和△COD中，， ∴△AOB≌△COD（AAS）， 同理：△AOD≌△COB（AAS）； ∵MB⊥BC，ND⊥AD， ∴∠MBC=∠NDA =90°， ∵AD∥BC， ∴MB∥ND， ∴∠M=∠N， 在△MBC和△NDA中， ， ∴△MBC△NDA（AAS）； 同理：△MBO△NDO（AAS）； ∴MO= NO，MB=ND， ∵△AOB≌△COD， ∴AO=CO， ∴MA=NC， 在△MBA和△NDC中， ， ∴△MBA△NDC（SAS）； 综上，图中△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△MBC△NDA，△MBO△NDO，△MBA△NDC，共有7对全等三角形； 故选：C． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18．（14-15八年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　） A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定 【答案】A 【规范解答】延长BA至E点，使得AE=AC，连结ED、EP， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠CAD， ∵AC=AE，AP=AP， ∴△APC≌△APE（SAS）， ∴PC=PE=n， 在△BPE中，PB+PE＞AB+AE=AB+AC，即m+n＞b+c， 故选：A． 19．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键； 由，，，根据“”证明，得，，所以，可判断②正确；同理，，所以，，，则，，可判断①正确，③正确；由，，证明、、三点在同一条直线上，则，设两条平行线与之间的距离为，则，可证明，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】 解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确； 同理， ，， ，， 故①正确； ，， 、、三点在同一条直线上， ， 设两条平行线与之间的距离为， ， ， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ， 故③正确， 故选：D． 20．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，同理，可知，，，进而可知，即，在上时最小．由是的角平分线，可知，由“直角三角形两锐角互余”可得，则，由此可得结论． 【规范解答】解：在上，作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，，如图，则，    ∵平分， ∴， ∵，， ∴，同理， ∴，，， ∴，即：，在上时最小． 是的角平分线， ， ∵， ，则， ． 故选C． 21．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查轴对称最短问题，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识．在射线上取一点，使得．过点作于．利用等积法求得，证明，推出，推出，根据垂线段最短即可解决问题． 【规范解答】解：在射线上取一点，使得．过点作于． ∵， ∴， 平分， ， ，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 22．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】 解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于 ．    【答案】 【思路点拨】如图，将逆时针旋转到，连接、，则，，，证明，根据，计算求解即可． 【规范解答】解：如图，将逆时针旋转到，连接、，    ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，平行线间距离相等，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于正确的添加辅助线构造全等三角形． 24．（17-18八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，已知， ，．若，则的度数为 ． 【答案】70° 【思路点拨】（1）证△BED≌△CDF； （2）利用AB=AC得到∠B与∠C （3）利用整体法求得∠EDF 【规范解答】∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵BD=CF，BE=CD ∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED ∵∠A=40° ∴∠B=∠C=70° ∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110° ∴∠EDB+∠FDC=110° ∴∠EDF=70° 【考点评析】求角度，常见的方法有： （1）方程思想； （2）整体思想； （3）转化思想 本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度 25．（18-19七年级下·上海松江·期中）如图，在与中，有以下四个等式①；②；③；④，请以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出所有的正确判断 （用形式表示）    【答案】①②④③，①④③②． 【思路点拨】根据已知条件，根据三角形全等的判定方法，结合条件在图形上的位置进行选择能够判定三角形全等的条件，另一个作为结论，可得答案． 【规范解答】解：(1)①②④⇒③． 证明如下：∵DE=DC，DA=DB，AC=BE ∴△DCA≌△DEB（SSS） ∴∠C=∠E（全等三角形的对应角相等） (2) ①④③⇒② 证明如下：∵，， ∴△DCA≌△DEB（SAS） ∴DA=DB（全等三角形的对应边相等） 故答案为：①②④⇒③，①④③⇒②． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质；这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，结合图形与判定方法进行选择是解答本题的关键． 26．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，，，    (1)试证明：； (2)若时，直线、的位置怎样？ 【答案】(1)见解析 (2)直线、相互垂直 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质． （1）先证，再利用证明，根据全等三角形对应角相等即可； （2）由（1）结论得，再由，根据等量代换得，故可判断． 【规范解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）解：直线、相互垂直．理由如下： 由（1）可知， ， ， ， ， ， 与相互垂直． 27．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，．猜想直线与的位置关系，并给予证明． 【答案】，证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，根据余角的性质可得，再利用即可证明；延长交于点F，交于点G，根据全等得到，再利用三角形内角和得出，即可证明． 【规范解答】延长交于点F，交于点G， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 在和中， ，， ， ． 28．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）先阅读材料再解决问题． 【阅读材料】 学习了三角形全等的判定方法“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：“当和满足时，和是否全等”．    如图1，这小组同学先画，再画．在画的过程中，先过作于点，发现如下几种情况： 当时，不能构成三角形． 当时，根据“HL”或“AAS”，可以得到． 当时，又分为两种情况． ①当时，和不一定全等． ②当时，和一定全等． 【解决问题】 (1)对于的情况，请你用尺规在图2中补全和，使和不全等．（标明字母并保留作图痕迹）    (2)对于的情况，请在图3中画图并证明．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理并灵活运用是解题的关键． （1）根据题意作图； （2）分两种情况，根据全等三角形的判定定理证明． 【规范解答】（1）如图，和不全等    （2）证明：      当时， ， ， ， 又， ， ． 当时，作于．     ， ， ． ， 又， ， ． 29．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）由得到，证明即可； （2）推导，即解题即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 30．（20-21七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图1，若，求线段的长的取值范围； (3)如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)12 【思路点拨】（1）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质和外角的性质可求解； （2）过点作，交的延长线于，由“”可证，可得，，由三角形的三边关系可求解； （3）延长，交于点，由“”可证，可得，，由面积的和差关系可求解． 【规范解答】（1），， ， 平分， ， ； （2）如图1，过点作，交的延长线于， ，， 点为中点， ， ， ，， 在中，，， ， ； （3）如图2，延长，交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值，即有最大值， 的最大值． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$