12.2.1 用“SSS（边边边）”判定三角形全等（知识精讲+易错点拨+四大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.2.1 用“SSS（边边边）”判定三角形全等 （知识精讲+易错点拨+四大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：用SSS（边边边）证明三角形全等 3 考点讲练2：用SSS（边边边）间接证明三角形全等 4 考点讲练3：全等的性质和SSS（边边边）的综合 6 考点讲练4：作一个角等于已知角 8 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 16 新知精讲梳理 知识点01：定义与理解: 定义：如果两个三角形的三边分别对应相等，则这两个三角形全等。这一判定方法简称为“边边边”或SSS（Side-Side-Side）。 理解：“边边边”条件要求的是两个三角形的三边必须一一对应相等，而不是任意两边或两边和夹角相等。 这一条件是基于三角形的稳定性和唯一性得出的，即当三角形的三边长度确定时，其形状和大小也就唯一确定了。 知识点02：性质与定理 性质： 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 全等三角形的周长相等、面积相等。 全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线也分别相等。 定理：边边边公理（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。 知识点03：应用与实例 应用： 在证明两个三角形全等时，如果已知三个条件都是关于边的，且这三个条件分别对应两个三角形的三边，则可以直接应用“边边边”条件进行判定。 在求解三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个三角形的三边分别对应相等，则可以利用“边边边”条件得出两个三角形全等的结论，进而简化求解过程。 实例： 假设有两个三角形△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。根据“边边边”条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。同时，它们的周长和面积也分别相等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：对“边边边”条件理解不透彻 易错点：学生可能仅从字面意思上理解“边边边”条件，即认为只要两个三角形的三边长度相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“对应”二字至关重要，必须确保两个三角形的三边是分别对应相等的。 解析：在判断两个三角形是否全等时，要特别注意边的对应关系。例如，不能简单地将一个三角形的最长边与另一个三角形的最短边相对应，并认为这两个三角形满足“边边边”条件。 易错知识点02：忽视隐含条件 易错点：在解决与三角形全等相关的问题时，学生可能会忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用“边边边”条件。 解析：有些题目在给出三边长度相等的同时，还可能隐含了其他条件（如公共边、公共角等）。这些隐含条件对于判断三角形全等至关重要。因此，在解题过程中，要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。 易错知识点03：混淆不同的判定条件 易错点：学生可能会混淆“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）等不同的三角形全等判定条件。 解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。例如，“边边边”条件要求两个三角形的三边分别对应相等；而“边角边”条件则要求两个三角形有两边及它们之间的夹角对应相等。因此，在解题过程中，要根据题目的具体要求选择合适的判定条件。 易错知识点04：计算错误或疏忽 易错点：在求解三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况。 解析：在进行三角形全等的判断时，通常需要求解或比较三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致错误的结论。因此，在解题过程中，要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。 易错知识点05：忽视图形的变换 易错点：学生可能忽视三角形可以通过平移、旋转、翻折等变换得到全等三角形的事实。 解析：虽然“边边边”条件本身并不直接涉及图形的变换，但了解三角形可以通过这些变换得到全等三角形对于理解三角形全等的本质和应用“边边边”条件都是有帮助的。因此，在教学过程中可以适当引入这方面的内容以加深学生对三角形全等概念的理解。 考点讲练1：用SSS（边边边）证明三角形全等 【典例精讲】（21-22八年级上·安徽合肥·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【举一反三2】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 【举一反三3】（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，，，与相交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 考点讲练2：用SSS（边边边）间接证明三角形全等 【典例精讲】（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）完成下面的证明： 如图（1），，E、F分别是、的中点．那么． 证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵ ． 在和中， （                   ） （2）根据（1）的证明，若连接，如图7（2）．请证明：． 【举一反三1】（19-20八年级上·全国·课后作业）如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 【举一反三2】（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【举一反三3】（19-20八年级上·福建·期中）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．    求证：． 考点讲练3：全等的性质和SSS（边边边）的综合 【典例精讲】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【举一反三1】（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）如图，．求证：． 【举一反三2】（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ①；②；③；④； 解：我写的真命题是： 在和中， 已知：________________________． 求证：____________．（不能填序号） 证明： 【举一反三3】（19-20八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1） 如图1， 在四边形中， ， E， F分别是上的点， 且， 探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G， 使． 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论， 则他的结论应是 ． 【灵活运用】 （2）如图2， 若在四边形中， 分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3， 已知在四边形 中， 若点E在的延长线上， 点F在的延长线上， 且仍然满足， 请写出 与的数量关系，并给出证明过程． 考点讲练4：作一个角等于已知角 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·单元测试）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，根据能得出，其中判定的依据是 ． 【举一反三1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． (1)尺规作图：在射线上方求作，使得，与的延长线交于点．（保留作图痕迹） (2)在（1）问条件下，若，求证：． 请把以下的解题过程补充完整． 证明：（已知）， （① ）， 已知）， ② （等式的性质），即， 在和中， ， ， ∴③ （全等三角形的对应角相等）， （④ ）． 【举一反三2】（23-24八年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，D是边上一点． (1)求作：，交边于点E．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)与的位置关系是______________，理由： ． 【举一反三3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，为钝角三角形，请按要求解答下面问题： (1)利用无刻度的直尺和圆规作图，在的边下方作，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)请依据所作图形说明：． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·河北保定·期中）下列各命题都成立，逆命题也成立的有（    ） （1）同旁内角互补，两直线平行                 （2）全等三角形的对应边相等 （3）如果两个角是直角，那么它们相等        （4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 4．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则就是的平分线．作图依据是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面的画法（    ） 解：（1）利用刻度尺在的两边上，分别取； （2）连接，利用刻度尺画出的中点E； （3）画射线所以射线为的角平分线．    A．正确，利用了（） B．正确，利用了（） C．正确，利用了（） D．不正确 6．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在与中，E在边上，，，，若，则的度数为 ． 7．（22-23七年级下·上海静安·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出 的依据是 ． 8．（21-22八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为 9．（21-22八年级上·湖南张家界·期末）如图，在和中，A、F、C、D在同一直线上，当添加一个条件 时，就可得到（只需填写一个你认为正确的条件即可）．     10．（23-24八年级上·广西河池·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，将点A，B和原点O顺次连接，围成三角形，请以为边长，找出一点D（点D不与点B重合），使得以点O，C，D为顶点的三角形全等于三角形，则点D的坐标为 ．    11．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 12．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2) 当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 13．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (3) 分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 14．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程. 已知：如图，点，，，在同一平面内，__________，__________.求证：__________. 15．（23-24八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质．    解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 培优题真题汇编练 16．（19-20八年级上·黑龙江鹤岗·阶段练习）在下列四组条件中，能判定△ABC≌△A′B′C′的是(    ) A．AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′ B．∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=B′C′ C．∠A=∠B′，∠B=∠C′，AB=B′C′ D．AB=A′B′，BC=B′C′，△ABC的周长等于△A′B′C′的周长 17．（19-20八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，AF⊥BD于E，AF交BC于点F,连接DF,下列结论：①△ABD≌△CDB；②∠BFE=∠BDC；③S△ABE=S△DEF；④AB=6,AD=8,DB=10，则AE=4.其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，，，那么（    ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知，以线段BC为公共边，作，对于图中的一些弧线，下列说法正确的是（　　）    A．弧②的半径长一定等于弧①的半径长 B．弧③的半径长一定等于弧①的半径长 C．弧③的半径长一定等于弧④的半径长 D．弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长 21．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角痕迹如图所示，则作图的依据是 ．    22．（20-21八年级上·江苏南京·期中）我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有 个． 23．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 24．（22-23八年级上·河南三门峡·期末）如图，已知，，，直线与，分别交于点，，且，，则的度数为 ． 25．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 26．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，连接，，，若，求证： ． 27．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）①尺规作图，需保留作图痕迹．已知：．求作：，使； ②在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据的数学原理是：______    28．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，的顶点都在格点上． (1)直接写出 ______． (2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，并保留画图痕迹（画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示）． ①图1中，作的高CH； ②图1中，已知，找到格点E，使得； ③图2中，在线段上找一点D，连接，线段平分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.2.1 用“SSS（边边边）”判定三角形全等 （知识精讲+易错点拨+四大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：用SSS（边边边）证明三角形全等 3 考点讲练2：用SSS（边边边）间接证明三角形全等 7 考点讲练3：全等的性质和SSS（边边边）的综合 11 考点讲练4：作一个角等于已知角 17 中等题真题汇编练 21 培优题真题汇编练 34 新知精讲梳理 知识点01：定义与理解: 定义：如果两个三角形的三边分别对应相等，则这两个三角形全等。这一判定方法简称为“边边边”或SSS（Side-Side-Side）。 理解：“边边边”条件要求的是两个三角形的三边必须一一对应相等，而不是任意两边或两边和夹角相等。 这一条件是基于三角形的稳定性和唯一性得出的，即当三角形的三边长度确定时，其形状和大小也就唯一确定了。 知识点02：性质与定理 性质： 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 全等三角形的周长相等、面积相等。 全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线也分别相等。 定理：边边边公理（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。 知识点03：应用与实例 应用： 在证明两个三角形全等时，如果已知三个条件都是关于边的，且这三个条件分别对应两个三角形的三边，则可以直接应用“边边边”条件进行判定。 在求解三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个三角形的三边分别对应相等，则可以利用“边边边”条件得出两个三角形全等的结论，进而简化求解过程。 实例： 假设有两个三角形△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。根据“边边边”条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。同时，它们的周长和面积也分别相等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：对“边边边”条件理解不透彻 易错点：学生可能仅从字面意思上理解“边边边”条件，即认为只要两个三角形的三边长度相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“对应”二字至关重要，必须确保两个三角形的三边是分别对应相等的。 解析：在判断两个三角形是否全等时，要特别注意边的对应关系。例如，不能简单地将一个三角形的最长边与另一个三角形的最短边相对应，并认为这两个三角形满足“边边边”条件。 易错知识点02：忽视隐含条件 易错点：在解决与三角形全等相关的问题时，学生可能会忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用“边边边”条件。 解析：有些题目在给出三边长度相等的同时，还可能隐含了其他条件（如公共边、公共角等）。这些隐含条件对于判断三角形全等至关重要。因此，在解题过程中，要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。 易错知识点03：混淆不同的判定条件 易错点：学生可能会混淆“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）等不同的三角形全等判定条件。 解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。例如，“边边边”条件要求两个三角形的三边分别对应相等；而“边角边”条件则要求两个三角形有两边及它们之间的夹角对应相等。因此，在解题过程中，要根据题目的具体要求选择合适的判定条件。 易错知识点04：计算错误或疏忽 易错点：在求解三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况。 解析：在进行三角形全等的判断时，通常需要求解或比较三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致错误的结论。因此，在解题过程中，要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。 易错知识点05：忽视图形的变换 易错点：学生可能忽视三角形可以通过平移、旋转、翻折等变换得到全等三角形的事实。 解析：虽然“边边边”条件本身并不直接涉及图形的变换，但了解三角形可以通过这些变换得到全等三角形对于理解三角形全等的本质和应用“边边边”条件都是有帮助的。因此，在教学过程中可以适当引入这方面的内容以加深学生对三角形全等概念的理解。 考点讲练1：用SSS（边边边）证明三角形全等 【典例精讲】（21-22八年级上·安徽合肥·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键． 通过分析作图的步骤，发现与的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定，根据全等三角形对应角相等得． 【规范解答】解：作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D； ②作射线，以为圆心， 长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点； ④过点作射线． 所以就是与相等的角． 在与中， ， ， ，即运用的判定方法是． 故选：A． 【举一反三1】（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【规范解答】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路点拨】（）利用即可证明； （）由可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，，，与相交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了判定两个三角形全等，三角形外角的定义： （1）根据三个边长对应相等可得到两个三角形全等； （2）根据两个三角形全等得到对应角相等，再根据三角形外角的定义可求得结果； 找到角度之间的关系是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：在中， ， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为． 考点讲练2：用SSS（边边边）间接证明三角形全等 【典例精讲】（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）完成下面的证明： 如图（1），，E、F分别是、的中点．那么． 证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵ ． 在和中， （                   ） （2）根据（1）的证明，若连接，如图7（2）．请证明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定． （1）根据中点的定义得出，，则，即可根据求证； （2）由（1）可得，则，根据中点的定义推出，即可根据证明． 【规范解答】（1）证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵， ． 在和中， ， ； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ，． ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【举一反三1】（19-20八年级上·全国·课后作业）如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析. 【思路点拨】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行. 【规范解答】（1）∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. （2）成立.理由如下： ∵AF=CE， ∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. （3）AD与CB不一定平行，理由如下： ∵只给了两组对应相等的边， ∴不能判定△ADE≌△CBF， ∴不能判定∠A与∠C的大小关系， ∴AD与CB不一定平行， 【考点评析】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 【举一反三2】（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用，，，的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：由题意知：，可利用，证明两三角形全等，故选：①③， 故答案为：①③． （2）解：选①时， 在和中， ， ； 选③时， 在和中， ， ． 【举一反三3】（19-20八年级上·福建·期中）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．    求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】要证明，把两角置于三角形中，证两三角形全等，由已知观察由AE=CF可得 AF=CE，利用三边对应相等的判定即可． 【规范解答】证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查三角形全等的证明问题，关键是会从条件AE=CF中，证出AF=CE，掌握全等的证明方法，会按要求书写证明过程． 考点讲练3：全等的性质和SSS（边边边）的综合 【典例精讲】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）先根据得，由此可依据“”判定和全等； （2）由得，进而根据三角形内角和定理可得的度数． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【规范解答】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，， 由（1）可知：， ， ． 【举一反三1】（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）如图，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，解题的关键是证明三角形全等． 证明，得到即可证明． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【举一反三2】（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ①；②；③；④； 解：我写的真命题是： 在和中， 已知：________________________． 求证：____________．（不能填序号） 证明： 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．如果①②④联合，利用易证，从而可得；如果①③④联合，利用易证，从而可得． 【规范解答】解：已知：，，， 求证：， 证明：， ，即． ，， ， ． （或已知：，，， 求证：， 证明：， ，即． ，， ． ．） 【举一反三3】（19-20八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1） 如图1， 在四边形中， ， E， F分别是上的点， 且， 探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G， 使． 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论， 则他的结论应是 ． 【灵活运用】 （2）如图2， 若在四边形中， 分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3， 已知在四边形 中， 若点E在的延长线上， 点F在的延长线上， 且仍然满足， 请写出 与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3），见解析 【思路点拨】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【规范解答】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， 【考点评析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 考点讲练4：作一个角等于已知角 【典例精讲】（23-24八年级上·全国·单元测试）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，根据能得出，其中判定的依据是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了作图-基本作图．全等三角形的判定与性质．利用基本作图得到，则根据“”可判断． 【规范解答】解：由作图痕迹得， 所以， 所以． 故答案为：． 【举一反三1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． (1)尺规作图：在射线上方求作，使得，与的延长线交于点．（保留作图痕迹） (2)在（1）问条件下，若，求证：． 请把以下的解题过程补充完整． 证明：（已知）， （① ）， 已知）， ② （等式的性质），即， 在和中， ， ， ∴③ （全等三角形的对应角相等）， （④ ）． 【答案】(1)见解析 (2)①两直线平行，同位角相等；②；③；④同位角相等，两直线平行 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键． （1）作即可； （2）根据题干信息逐步填写推理过程与推理依据即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作的角； ． （2）证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等式的性质）， ， 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，同位角相等；②；③；④同位角相等，两直线平行． 【举一反三2】（23-24八年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，D是边上一点． (1)求作：，交边于点E．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)与的位置关系是______________，理由： ． 【答案】(1)见解析 (2)平行；同位角相等，两直线平行 【思路点拨】本题考查作图—基本作图和平行线的判定，解题的关键是掌握作图基本方法和平行线的判定方法． （1）根据作一个角等于已知角的作图方法，作，与边交于点E，即可得到图形； （2）根据同位角相等，两直线平行进行判定即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作的角． （2）解：与的位置关系是平行，理由是：同位角相等，两直线平行； ∵， ∴． 【举一反三3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，为钝角三角形，请按要求解答下面问题： (1)利用无刻度的直尺和圆规作图，在的边下方作，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)请依据所作图形说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】此题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的性质和判定， （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作出，然后利用圆规截取即可； （2）根据题意证明出，即可得到． 【规范解答】（1）如图所示， （2）由作图可得，， 又∵ ∴ ∴． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，，求得，再根据“SSS”证明，得，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：，， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 2．（21-22八年级下·河北保定·期中）下列各命题都成立，逆命题也成立的有（    ） （1）同旁内角互补，两直线平行                 （2）全等三角形的对应边相等 （3）如果两个角是直角，那么它们相等        （4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】先写出各命题的逆命题再判定即可． 【规范解答】解：（1）其逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立； （2）其逆命题是对应边相等的两个三角形全等，成立； （3）其逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，不成立； （4）其逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，不成立； 故（1）（2）共2个的逆命题成立， 故选：B． 【考点评析】本题考查命题及逆命题，平行线的性质，全等三角形的判定等知识，写出各命题的逆命题是解题的关键． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了三角形全等判定的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，先根据作图分别判断三角形全等的判定方法，然后进行判断即可． 【规范解答】解：（1）从作图可知：，， 根据“”可得：， 所以； （2）从操作可得：，，，根据“”得； （3）因为，，，根据“”得， 所以是的平分线； （4）从图形可知：应该先画，然后边和上分别截取，，连接，根据“”得； 综上分析可知：判定方法不一样的是（4）． 故选：D． 4．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则就是的平分线．作图依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接、，由作图可得：，，证明即可得到答案，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，连接、，   ， 由作图可得：，， 在和中， ， ， ， 平分， 作图依据是， 故选：D． 5．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面的画法（    ） 解：（1）利用刻度尺在的两边上，分别取； （2）连接，利用刻度尺画出的中点E； （3）画射线所以射线为的角平分线．    A．正确，利用了（） B．正确，利用了（） C．正确，利用了（） D．不正确 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．只需要利用证明即可证明，则是的角平分线． 【规范解答】解：∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选A 6．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在与中，E在边上，，，，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理．证明得到，再根据三角形内角和定理和平角的定义可得． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·上海静安·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出 的依据是 ． 【答案】全等三角形的对应角相等 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质．根据作图，利用即可得到三角形全等即可． 【规范解答】解：由作图可知：， ∴， ∴； 故答案为：全等三角形的对应角相等． 8．（21-22八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为 【答案】41° 【思路点拨】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【规范解答】解：∵AB = CD， ∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD， 在△ACE和△DBF中， ， ∴在△ACE≌△DBF(SSS)， ∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°， ∴∠DBF=180°-55°-84°=41°， 故答案为：41°． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 9．（21-22八年级上·湖南张家界·期末）如图，在和中，A、F、C、D在同一直线上，当添加一个条件 时，就可得到（只需填写一个你认为正确的条件即可）．     【答案】或 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，如果添加，则通过就可证明；如果添加，则通过就可证明；即可作答． 【规范解答】解：添加， ∵ ∴ ∵ ∴； 故答案为： 添加 ∵ ∴ ∴； 故答案为： 10．（23-24八年级上·广西河池·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，将点A，B和原点O顺次连接，围成三角形，请以为边长，找出一点D（点D不与点B重合），使得以点O，C，D为顶点的三角形全等于三角形，则点D的坐标为 ．    【答案】 【思路点拨】根据题意，画出图形，即可得出结果． 【规范解答】解：如图所示，    由图可知，满足条件的D点的坐标为． 【考点评析】本题考查坐标与图形．解题的关键是正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解． 11．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【思路点拨】（）首先利用证明，根据性质可得，再由角度和差即可求证； （）根据全等三角形对应角相等求出，由三角形外角的性质可得； 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（）得：， ∴， ∵， ∴． 12．（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【答案】(1)全等； (2)当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定： （1）利用即可证明； （2）当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作已知条件时，不能说明，据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即可． 【规范解答】（1）解：当选择①②作为已知条件时， 在和中， ， ∴， 故答案为：全等；； （2）解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明如下： 在和中， ， ∴； 13．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用，，，的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：由题意知：，可利用，证明两三角形全等，故选：①③， 故答案为：①③． （2）解：选①时， 在和中， ， ； 选③时， 在和中， ， ． 14．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程. 已知：如图，点，，，在同一平面内，__________，__________.求证：__________. 【答案】，，AP平分；证明见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形、角平分线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的定义． 【规范解答】由题意得，，，根据这两个条件可推导出平分， 故答案为：，；平分． 证明，如下： ∵是公共边， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 15．（23-24八年级上·广西南宁·期中）【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质．    解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 【答案】(1)“筝形”的对角线互相垂直； (2)见解析； (3)“筝形”的面积等于对角线积的一半． 【思路点拨】（）根据题意写出答案即可； （）根据题意，画出图形，根据图形写出已知求证，利用“”可证明，得到，利用“”可证明，即可证明“筝形”的对角线互相垂直； （）把“筝形”转化为两个三角形的面积相加，即可得到“筝形”的面积计算公式； 本题考考查了“筝形”对角线的性质及其应用，根据题意画出图形是解题的关键． 【规范解答】（1）解：“筝形”的对角线互相垂直； （2）已知：四边形是“筝形”，，，对角线相交于点． 求证：．    证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴“筝形”的面积等于对角线积的一半． 培优题真题汇编练 16．（19-20八年级上·黑龙江鹤岗·阶段练习）在下列四组条件中，能判定△ABC≌△A′B′C′的是(    ) A．AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′ B．∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=B′C′ C．∠A=∠B′，∠B=∠C′，AB=B′C′ D．AB=A′B′，BC=B′C′，△ABC的周长等于△A′B′C′的周长 【答案】D 【思路点拨】A选项告诉的是两边及一边的对角分别相等，根据SAS即可判断A选项的正确性； B选项中AC与B′C′和C选项中AB与B′C′是对应边吗？根据全等三角形的判定定理即可判断； 对于D选项先由已知条件得到AC=A′C′，再根据全等三角形的判定定理进行判断即可. 【规范解答】A.根据AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′不能推出△ABC和△A′B′C′全等，故A错误； B.根据∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=B′C′不能判定△ABC≌△A′B′C′，故B错误． C.根据∠A=∠B′，∠B=∠C′，AB=B′C′不能判定△ABC≌△A′B′C′，故C错误； D.∵AB=A′B′，BC=B′C′，△ABC的周长等于△A′B′C′的周长，∴AC=A′C′，根据三角形全等的判定定理SSS能推出△ABC和△A′B′C′全等，故D正确. 故选D． 【考点评析】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 17．（19-20八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，AF⊥BD于E，AF交BC于点F,连接DF,下列结论：①△ABD≌△CDB；②∠BFE=∠BDC；③S△ABE=S△DEF；④AB=6,AD=8,DB=10，则AE=4.其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】在长方形ABCD中有AB=CD，AD=CB，BD=DB，根据SSS可证△ABD≌△CDB，①正确；根据同角的余角相等可证∠BFE=∠BDC，②正确；由同底等高的三角形面积相等可得S△ABD= S△ADF，两边同时减去S△ADE可得S△ABE=S△DEF，③正确；根据△ABD面积的不同求法可求出AE＝4.8，④错误，问题得解. 【规范解答】解：在长方形ABCD中， ∵AB=CD，AD=CB，BD=DB， ∴△ABD≌△CDB（SSS），故①正确； ∵AF⊥BD， ∴在Rt△BEF中，∠BFE+∠FBE=90°， ∵在Rt△ACD中，∠CBD+∠BDC=90°， ∴∠BFE=∠BDC，故②正确； ∵S△ABD=，S△ADF=， ∴S△ABD= S△ADF， ∴S△ABD－S△ADE = S△ADF－S△ADE，即S△ABE=S△DEF，故③正确； ∵AB=6，AD=8，DB=10， ∴S△ABD=， ∴，故④错误， 故选C. 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定、同角的余角相等以及三角形面积的求法和应用，熟练掌握基础知识是解题关键，也考查了学生的推理计算能力. 18．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．先找出满足两个三角形全等的条件：三边对应相等，可证．再根据全等三角形的性质、三角形内角和定理可求． 【规范解答】证明：， ． 在与中， ， ． ， ． 故选：C． 19．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质， 根据作图，由全等三角形的判定定理可以推知，得到，即，再利用三角形外角性质求解即可． 【规范解答】解：由作图可知，在与中， ， 则． ∴，即， ∴． 故选：D． 20．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知，以线段BC为公共边，作，对于图中的一些弧线，下列说法正确的是（　　）    A．弧②的半径长一定等于弧①的半径长 B．弧③的半径长一定等于弧①的半径长 C．弧③的半径长一定等于弧④的半径长 D．弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，利用基本作图，作一个角等于已知角可对各选项进行判断． 【规范解答】弧②的半径长不一定等于弧①的半径长，弧③的半径长不一定等于弧①的半径长，弧③的半径长不一定等于弧①的半径长，但弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长， 所以A选项、B选项、C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 21．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角痕迹如图所示，则作图的依据是 ．    【答案】/边边边 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定定理和基本作图，熟练掌握全等三角形判定定理是解此题的关键． 从作图可知，，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【规范解答】解：从作图可知，， 在和中 ， ， ， 故答案为：． 22．（20-21八年级上·江苏南京·期中）我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有 个． 【答案】15 【思路点拨】利用判定三角形全等，在网格中画出与三角形全等的三角形，即可得解． 【规范解答】解：如图所示： 除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有15个． 故答案为：15． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 23．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，最值问题，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些知识．连接，根据题意可证明，得到，根据勾股定理可求出，当时，有最小值，最后利用等面积法求解即可． 【规范解答】解：连接， ，，， ，， ， 当，且点在上时，有最小值， ， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 24．（22-23八年级上·河南三门峡·期末）如图，已知，，，直线与，分别交于点，，且，，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】根据SSS得到，进而得到，，再结合对顶角相等，可得，最后再利用角的和差即可求解． 【规范解答】解：∵，，， ， ，， 与是对顶角， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10°． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，对顶角的性质、角的和差计算等内容，识别出与这一组对顶角，得到的度数是解题的关键． 25．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)9 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键． （1）证明，则，进而可证； （2）由题意得，，由，可得，根据，计算求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为9． 26．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，连接，，，若，求证： ． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质； 延长到G使，连接，先证明得到，再证明得到，可得，然后再证明即可． 【规范解答】证明：如图，延长到G使，连接， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）①尺规作图，需保留作图痕迹．已知：．求作：，使； ②在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据的数学原理是：______    【答案】①见详解；②全等三角形的对应角相等 【思路点拨】①第一步：以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点N，M；第二步：画一条射线，以点D为圆心，长为半径画两条弧，一条弧交于点C，另一条弧在上方；第三步：连接，以点C为圆心，长为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于E点；过点E，画射线，则； ②证明，根据全等三角形对应角相等，即可得． 【规范解答】解：①如图所示：      ②因为，，，所以， 那么，即， 因此在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中， 依据的数学原理是：全等三角形的对应角相等． 【考点评析】本题考查了尺规作图，涉及全等三角形的判定与性质内容，全等三角形的对应角相等，难度中等． 28．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，的顶点都在格点上． (1)直接写出 ______． (2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，并保留画图痕迹（画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示）． ①图1中，作的高CH； ②图1中，已知，找到格点E，使得； ③图2中，在线段上找一点D，连接，线段平分的面积． 【答案】(1)5 (2)①图见解析；②图见解析；③图见解析 【思路点拨】（1）用割补法将补全成四边形，再用四边形减去多余的三角形即可得到的面积； （2）①利用全等导出有关角相等，利用同角或等角的余角相等推导出和之间的位置关系（见图4）；②由和网格的正方形性质易找到E点；③利用等高模型和三角形中线的性质转换面积，即可找到D点． 【规范解答】（1）如图3，的面积和、、加起来正好是一个边长为4的正方形的面积 （2）①如图4，连接， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，与的交点为H点，即 故的高即为图中所示 ②由图4可得，， 在和中 （SSS） 故格点E点即为图中所示 ③由图5可知，，， ， 由图易知M为线段中点 故点D以及即为图中所示 【考点评析】本题考查了割补法求面积和格点无刻度直尺作图，涉及到全等的性质和判定、等高模型和三角形中线的性质，熟记相关的几何知识并能灵活运用是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$