12.1 全等三角形（知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.1 全等三角形 （知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：图形的全等 3 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 4 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 5 考点讲练4：全等三角形的概念 7 考点讲练5：全等三角形的性质 8 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 14 新知精讲梳理 知识点01：全等三角形的定义 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。这意味着两个三角形的形状和大小完全相同，与它们在平面上的位置无关。 理解： 全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关。 一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等。 三角形全等不因位置发生变化而改变。 知识点02：全等三角形的性质 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。即长边对长边，短边对短边。 对应角相等：全等三角形的对应角大小相等。即最大角对最大角，最小角对最小角。 周长相等：由于对应边相等，全等三角形的周长也相等。 面积相等：全等三角形的面积也相等。 对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等：这些线段在全等三角形中的对应部分也相等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：忽视隐含条件 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。 解析与应对： 在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。 善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。 在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。 易错知识点02：对应边、对应角找不准 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。 可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。 在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。 易错知识点03：对全等三角形书写的错误 易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。 如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。 易错知识点04：忽视特殊情况 易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。 根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。 在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。 考点讲练1：图形的全等 【典例精讲】（21-22八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【举一反三1】（21-22八年级上·河南南阳·期末）已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是 A． B． C． D． 【举一反三2】．（18-19七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【举一反三3】（19-20七年级下·福建泉州·期末）如图,长方形纸片的长为8，宽为6，从长方形纸片中剪去两个全等的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是 ． 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 【举一反三1】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【举一反三2】（2022·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 【举一反三3】（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 【典例精讲】（2018八年级·全国·专题练习）如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．    【举一反三1】（15-16八年级上·江苏苏州·阶段练习）把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图1,请在图2中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.    【举一反三2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【举一反三3】（18-19七年级下·全国·课后作业）我们把两个能够互相重合的图形成为全等形． （1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数； （2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出． 考点讲练4：全等三角形的概念 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【举一反三1】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是 ． 【举一反三2】（19-20九年级下·浙江·期末）在的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图． （1）在图1中画一个格点，使与全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B，C重合． （2）在图2中画一个面积为7的格点四边形，且为锐角． 【举一反三3】（2012·浙江温州·中考真题）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形， （1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等； （2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等. 考点讲练5：全等三角形的性质 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以个单位/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为 秒． 【举一反三1】（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．    【举一反三2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【举一反三3】（2022八年级上·江苏·专题练习）如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． (1)当秒时，　 　cm； (2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D、E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 2．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；与是对应角；④与是对应角，其中正确的有（    ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．③④ 3．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图是由个全等的边长为的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是的大正方形，则（   ） A．甲、乙都不可以 B．甲可以，乙不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都可以 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知，，，则 ． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示的两个三角形全等，则的度数是 ． 7．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，且，，，则 ． 8．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发，以的速度向点运动，同时点以的速度从点出发沿射线的方向运动，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 9．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，求线段的长； (2)已知，，求的度数． 10．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．    (1)若，，求； (2)若，求． 11．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 12．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图1，当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（   ） A．30 B．27 C．24 D．无法确定 14．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 16．（18-19八年级上·重庆开州·期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 17．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为 ．    18．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 19．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，已知中，，满足，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作于E，于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为 （不考虑两三角形重合的情况）． 20．（19-20八年级上·河南周口·期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 21．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒．    (1)当为何值时，？ (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，按下面要求画出格点三角形．    (1)在图1中，找到格点，使得与全等． (2)在图2中，作出的高 (3)在图2中，在边上找到点，使得． 23．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，长方形纸片的边，对角线是边上的一个动点，如图，沿翻折纸片，点落在点处，易得，连接．      图1                            图2 (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)线段的长是否存在最小值?小贤与同学探讨后发现：，可先连接，然后再运用相关知识求解，请你根据小贤的思路继续思考，并写出解答过程． 24．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交轴的正半轴交于点A，交轴的正半轴于点，且，． (1)求点A、B的坐标； (2)点是线段上的一点（与点、A不重合），其横坐标为，点在第四象限内的直线上，且的纵坐标为，点在轴的负半轴上，线段的长为，连接、、，当时，求与之间的关系式； (3)在（2）的条件下，连接，交线段于点，点在线段上，连接，若，，求点的横坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第12章《全等三角形》】 12.1 全等三角形 （知识精讲+易错点拨+五大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：图形的全等 3 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 6 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 10 考点讲练4：全等三角形的概念 13 考点讲练5：全等三角形的性质 16 中等题真题汇编练 20 培优题真题汇编练 31 新知精讲梳理 知识点01：全等三角形的定义 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。这意味着两个三角形的形状和大小完全相同，与它们在平面上的位置无关。 理解： 全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关。 一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等。 三角形全等不因位置发生变化而改变。 知识点02：全等三角形的性质 对应边相等：全等三角形的对应边长度相等。即长边对长边，短边对短边。 对应角相等：全等三角形的对应角大小相等。即最大角对最大角，最小角对最小角。 周长相等：由于对应边相等，全等三角形的周长也相等。 面积相等：全等三角形的面积也相等。 对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等：这些线段在全等三角形中的对应部分也相等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：忽视隐含条件 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。 解析与应对： 在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。 善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。 在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。 易错知识点02：对应边、对应角找不准 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。 可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。 在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。 易错知识点03：对全等三角形书写的错误 易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。 如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。 易错知识点04：忽视特殊情况 易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。 根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。 在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。 考点讲练1：图形的全等 【典例精讲】（21-22八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】D 【思路点拨】根据题意画出图形，分别以为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可． 【规范解答】解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的， 则所有符合条件的三角形个数为7． 故选：D． 【考点评析】本题考查的是直角三角形全等的判定，坐标与图形的性质，灵活运用分情况讨论思想、根据直角三角形全等的判定定理不重不漏的找出所有符合条件的三角形是解题的关键． 【举一反三1】（21-22八年级上·河南南阳·期末）已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是 A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】通过观察分析，找出图形变换中，有全等三角形的对数规律：当有个点时，图中有个全等三角形，然后把n=17代入计算即可求解． 【规范解答】解：图中，当有点、时，有对全等三角形； 图中，当有点、、时，有对全等三角形； 图中，当有点时，有对全等三角形； 图中，当有个点时，图中有个全等三角形， 当时，全等三角形的对数是， 故选：D． 【考点评析】本题考查图形变换规律，全等三角形的判定，找出图形变换规律是解题的关键． 【举一反三2】．（18-19七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【思路点拨】先求出梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积，根据全等求出AB=DE=3，求出EG，根据梯形面积公式求出即可． 【规范解答】解：∵△ABC≌△DEF，AB=3， ∴DE=AB=3， ∵DG=1， ∴EG=3-1=2， ∵△ABC≌△DEF， ∴S△ABC=S△DEF， ∴都减去△GEC的面积得：梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积，即S梯形CFDG=（AB+EG）AG=（3+2）×2=5， 故选A． 【考点评析】本题考查全等三角形的性质和梯形面积公式的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【举一反三3】（19-20七年级下·福建泉州·期末）如图,长方形纸片的长为8，宽为6，从长方形纸片中剪去两个全等的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是 ． 【答案】24 【思路点拨】设两个全等的小长方形卡片的长为a，宽为b，先用含a、b的代数式分别表示出两个阴影长方形的周长，再相加即得结果． 【规范解答】解：设两个全等的小长方形卡片的长为a，宽为b， 则左边的阴影长方形的周长=2(a+6－b)=12+2a－2b， 右边的阴影长方形的周长=2(b+6－a)=12+2b－2a， ∴两块阴影部分的周长之和=(12+2a－2b)+( 12+2b－2a)=24． 故答案为：24． 【考点评析】本题考查了全等图形的概念和整式的加减运算，正确表示出两个阴影长方形的周长是解题的关键． 考点讲练2：利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形） 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 . 【答案】/45度 【思路点拨】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【规范解答】观察图形可知与所在的直角三角形全等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键． 【举一反三1】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【思路点拨】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【规范解答】 ∵在△ABC和△DBE中 ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【考点评析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 【举一反三2】（2022·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 【答案】45 【思路点拨】连接，根据正方形网格的特征即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接     ∵图中是的正方形网格 ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：45． 【考点评析】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征． 【举一反三3】（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 【答案】 【思路点拨】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解． 【规范解答】解：如图，连接、，，，， 由图可知，在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键． 考点讲练3：将已知图形分割成几个全等图形 【典例精讲】（2018八年级·全国·专题练习）如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．    【答案】画图见解析. 【规范解答】如图所示：   ． 【举一反三1】（15-16八年级上·江苏苏州·阶段练习）把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图1,请在图2中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.    【答案】见解析. 【思路点拨】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【规范解答】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形. 【举一反三2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【答案】见解析 【思路点拨】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【规范解答】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形．    【考点评析】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 【举一反三3】（18-19七年级下·全国·课后作业）我们把两个能够互相重合的图形成为全等形． （1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数； （2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出． 【答案】（1）见解析；（2）能． 【思路点拨】（1）根据题意画出图形即可，注意所得的图形不应全等． （2）作长为1，宽分别为1，2，3，4，5的图形即可． 【规范解答】 解：（1）所画图形如上． （2）能，所画图形如上所示． 【考点评析】本题考查分割图形的知识，有一定难度，关键是根据题意作答，注意作图的规范性. 考点讲练4：全等三角形的概念 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 【举一反三1】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是 ． 【答案】15 【思路点拨】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有 个全等三角形，进而即可求解． 【规范解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． ∴第5个图形中有全等三角形的对数是：． 故答案为：15． 【考点评析】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． 【举一反三2】（19-20九年级下·浙江·期末）在的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图． （1）在图1中画一个格点，使与全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B，C重合． （2）在图2中画一个面积为7的格点四边形，且为锐角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路点拨】（1）利用轴对称的性质解决问题即可． （2）构造梯形，利用数形结合的思想解决问题即可． 【规范解答】解：（1）如图1中，△ADE即为所求． （2）如图2中，四边形ABCD即为所求． 【考点评析】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 【举一反三3】（2012·浙江温州·中考真题）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形， （1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等； （2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路点拨】（1）过A作AE//PQ，过E作EB//PR，再顺次连接A、E、B．（答案不唯一） （2）作一个与△PQR面积相等但不全等的三角形即可．（答案不唯一） 【规范解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 考点讲练5：全等三角形的性质 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以个单位/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为 秒． 【答案】，， 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键；此题要分两种情况：①当在线段上时，②当E在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【规范解答】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， 点的运动时间为（秒）， 故答案为：，，． 【举一反三1】（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．    【答案】1秒，或3.5秒，或12秒 【思路点拨】根据于E，于F，得到与都是直角三角形，当与全等时，得到，分三种情况讨论求解即可，当P在上，Q在上时，根据，，得到，解得；当P、Q在上重合时，根据，，得到，解得：当Q到达A点后，点P运动到上时，根据，得到．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键． 【规范解答】∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴， 解得： 当Q到达A点后，点P运动到上时，， ∴． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒． 【举一反三2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出，，，求出即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ，，， ． 【举一反三3】（2022八年级上·江苏·专题练习）如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． (1)当秒时，　 　cm； (2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等． 【答案】(1)2 (2)2.5或4.5或7.5或9.5 【思路点拨】（1）当秒时，点P运动到线段上，即可得到的长度； （2）根据题意，要使一个三角形与全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间． 【规范解答】（1）解：当t＝3秒时，点P走过的路程为：， ∵， ∴点P运动到线段上， ∴cm， 故答案是：2； （2）根据题意，如图，连接，则，，， ∴要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于， ①当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ②当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ③当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ④当点P运动到时，即P与Q重合时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， 综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D、E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 2．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；与是对应角；④与是对应角，其中正确的有（    ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．③④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定． 【规范解答】解：由得， ①与是对应边．故①不符合题意； ②与是对应边．故②符合题意； ③与是对应角．故③不符合题意； ④与是对应角，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是②④， 故选：B． 3．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等解答即可． 【规范解答】解：∵， ，，， 故①③正确； ∴ ∴ 故④正确， 无法证明，故②错误， 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：C． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图是由个全等的边长为的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是的大正方形，则（   ） A．甲、乙都不可以 B．甲可以，乙不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都可以 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案． 【规范解答】解：如图所示： 可得甲、乙都可以拼一个面积是20的大正方形． 故选：D． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角性质，由可得，进而由三角形性质外角性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示的两个三角形全等，则的度数是 ． 【答案】/50度 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得出， 根据三角形内角和定理得出，即可得出． 【规范解答】解∶∵两三角形全等， ∴对应边a和C的夹角也相等， 即， ∵ ∴， 故答案为： 7．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，且，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．由全等三角形的性质可得，进而可求出，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发，以的速度向点运动，同时点以的速度从点出发沿射线的方向运动，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质；利用分类讨论思想是解答此题的关键． 设运动时间为设，，，因为，使与全等，可分两种情况，情况一：当时，列方程解得t，可求出，情况二：当时，列方程解得t，可求出． 【规范解答】解：设运动时间为设，，， 因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当时， 有：， 解得：， ， 情况二：当时， 有， 解得：， ， 综上所述，或； 故答案为：或． 9．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，求线段的长； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)2； (2)的度数为． 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．    (1)若，，求； (2)若，求． 【答案】(1)2 (2) 【思路点拨】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等和对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案； （2）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，则，由平角的定义及等量代换即可得到的度数． 【规范解答】（1）解：∵，，， ，， ； （2）∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 11．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【答案】(1)，见解析 (2)，速度为厘米/秒 【思路点拨】本题借助动点问题，考查了全等三角形的性质，熟记相关性质定理的内容是解题关键． （1）根据运动时间，可得出，，据此即可求证； （2）由点的运动速度与点的运动速度不相等可得出且时，与全等，据此即可求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： （秒） ，点为的中点 在和中， ∴ （2）解： 若与全等，则 故 所以点、的运动时间： 此时（厘米/秒） 12．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图1，当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 【答案】(1) (2) (3)Q运动的速度为或． 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质，且即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：∵ ∴在上时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（   ） A．30 B．27 C．24 D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查全等的性质，熟练掌握全等的性质是解题的关键．根据题意得到对应边相等即可得到答案． 【规范解答】解：， ， ， ， 故选A． 14．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【规范解答】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：D． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【规范解答】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 16．（18-19八年级上·重庆开州·期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 【答案】C 【思路点拨】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题． 【规范解答】解：如图延长C′D交AB′于H．    ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE＝∠AB′E， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′＝∠AB′E， ∴∠ABE＝∠AHC′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′＝∠ACD， ∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD， ∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC， ∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°， ∴∠C′AH＝120°， ∴∠C′＋∠AHC′＝60°， ∴∠BFC＝60°＋40°＝100°， 故选：C． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 17．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为 ．    【答案】2或 【思路点拨】本题考查全等三角形的的应用，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以分两种情况讨论，第一种，第二种，然后分别求出相应的的值即可． 【规范解答】解：当时，则，， ，， ，， ， ， 解得； 当时，则，，． ，， ，， ， 解得； 由上可得的值是2或， 故答案为：2或． 18．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【规范解答】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 19．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，已知中，，满足，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作于E，于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为 （不考虑两三角形重合的情况）． 【答案】或 【思路点拨】先证明时，再根据题意分为五种情况，结合分别列方程求解，解出方程即可． 【规范解答】解：①当P在上，Q在上运动时，如图①：    由题意可知：，，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ； ②当P在上，Q在上运动时，如图②，    由题意可知：，， 由①可知，， ， ， 此时，故此种情况不符合题意； ③当P，Q都在上时，如图③，两个三角形重合，不符合题意；    ④当Q到A点停止，P在上运动时，， 此时， ； ⑤P，Q都在上时， 点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动， P，Q都在上运动的情况不存在， 综上所述，t的值为或， 故答案为：或． 【考点评析】本题主要考查对全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键． 20．（19-20八年级上·河南周口·期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【思路点拨】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论． 【规范解答】解：当E在BC上，D在AC上，即0＜t≤时， CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． ∴CD=CE， ∴8-3t=6-t， ∴t=1s， 当E在AC上，D在AC上，即＜t＜时， CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm， ∴3t-8=6-t， ∴t=s， 当E到达A，D在BC上，即≤t≤14时， CE=6cm，CD=（t-6）cm， ∴6=t-6， ∴t=12s， 故答案为：1或或12． 【考点评析】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长． 21．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒．    (1)当为何值时，？ (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】（1）当时，，据此可解； （2）分情况讨论，找出对应边，根据对应边相等列出方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时， 则， ，， ， 解得； （2）解：如图1，当，    图1 则， ， 解得． ， 解得； 如图2，当时，      图2 则， ， 解得， ， 解得； 综上可知，当或时，与全等． 【考点评析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等，第二问注意分情况讨论，避免漏解． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，按下面要求画出格点三角形．    (1)在图1中，找到格点，使得与全等． (2)在图2中，作出的高 (3)在图2中，在边上找到点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）利用翻折变换根据全等三角形即可； （2）根据全等三角形的性质，找到格点，则，进而根据三角形高的定义，即可求解； （3）取格点E，连接，即为所求． 【规范解答】（1）如图，即为所求（答案不唯一）；    （2）如图所示，即为所求    ∵，则 ∴ ∴ ∴即为的高； （3）如图所示，即为所求．    【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，以及网格作图，熟练掌握网格的特点，全等三角形的性质是解题的关键． 23．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，长方形纸片的边，对角线是边上的一个动点，如图，沿翻折纸片，点落在点处，易得，连接．      图1                            图2 (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由． (2)线段的长是否存在最小值?小贤与同学探讨后发现：，可先连接，然后再运用相关知识求解，请你根据小贤的思路继续思考，并写出解答过程． 【答案】(1)，理由见解析； (2)有最小值为，理由见解析． 【思路点拨】（）利用全等三角形的性质可得，由可证，再利用角度和差即可； （）利用两点之间线段最短及三角形三边关系即可求解． 【规范解答】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）存在 过程如下，如图，连接，   , 当点不在直线上时，由三角形的三边关系得：， ∵，， ∴此时，即， 当点在直线上时，此时知， 故当点在长方形纸片的对角线上时，即：，，三点共线， ∴有最小值为． 【考点评析】此题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用． 24．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交轴的正半轴交于点A，交轴的正半轴于点，且，． (1)求点A、B的坐标； (2)点是线段上的一点（与点、A不重合），其横坐标为，点在第四象限内的直线上，且的纵坐标为，点在轴的负半轴上，线段的长为，连接、、，当时，求与之间的关系式； (3)在（2）的条件下，连接，交线段于点，点在线段上，连接，若，，求点的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3)的横坐标是4 【思路点拨】（1）先证明三角形是等腰直角三角形，再根据面积即可求出边长，即可得到答案； （2）过点作轴，垂足为H，证明，再证明，最终通过证明四边形为矩形求得答案； （3）在轴负半轴上取一点，使，连接，在上取一点，使，连接，过作，垂足为，通过证明进一步证明，从而证得求得答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ， 或（舍）， ，； （2）解：点在轴上，横坐标为， ， ， 过点作轴，垂足为H，如下图所示， ， ∵， ， ， 点纵坐标为， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 四边形中，， ， 四边形为矩形， ， ， ； （3）解：在轴负半轴上取一点，使，连接， 是的中线， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的角分线， ， ∵ ∴， ，， ∵ ∴， ， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，在上取一点，使，连接， ∵ ， ， ∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， ， 过作，垂足为， ， ， ， 的横坐标是4． 【考点评析】本题考查全等三角形、等腰直角三角形和矩形的性质，属于全等三角形综合题，解题的关键是灵活添加辅助线，构造全等三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$