11.3 多边形及其内角和（知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第11章《三角形》】 11.3 多边形及其内角和 （知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：多边形的概念与分类 4 考点讲练2：多边形截角后的边数问题 5 考点讲练3：网格中多边形面积的比较 5 考点讲练4：多边形对角线的条数问题 6 考点讲练5：对角线分成的三角形个数问题 8 考点讲练6：多边形内角和问题 9 考点讲练7：正多边形内角和问题 10 考点讲练8：多（少）算一个角问题 11 考点讲练9：多边形截角后的内角和问题 12 考点讲练10：复杂图形的内角和 14 考点讲练11：正多边形的外角问题 16 考点讲练12：多边形外角和的实际应用 17 考点讲练13：多边形内角和和外角和的综合 18 中等题真题汇编练 18 培优题真题汇编练 22 新知精讲梳理 知识点01：多边形的基本定义 定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形（Polygon）。三角形是最简单的多边形，因为它由三条线段首尾相接而成。 分类：根据边数的不同，多边形可以分为四边形、五边形、六边形等，统称为n边形，其中n表示多边形的边数。 知识点02：多边形的内角与外角 内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。例如，在四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D都是四边形的内角。 外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。特别地，多边形的外角和有一个重要的性质，即多边形的外角和总是等于360°。这一性质是证明多边形外角和定理的关键。 知识点03：多边形的对角线 定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。例如，在四边形ABCD中，AC和BD就是四边形的两条对角线。 性质：从n边形的一个顶点出发，可以引出的对角线数量为(n-3)条。这些对角线将多边形分成(n-2)个三角形，这一性质在求解多边形内角和时非常有用。 知识点04：多边形的内角和 内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°。这个公式可以通过将多边形划分为多个三角形并利用三角形的内角和为180°的性质来推导得出。 推导过程：从n边形的一个顶点出发，可以引出(n-3)条对角线，将多边形划分为(n-2)个三角形。由于每个三角形的内角和为180°，因此n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和之和，即(n-2)×180°。 应用：利用多边形的内角和公式，我们可以方便地求解任意多边形的内角和，也可以利用这个公式来验证或推导其他与多边形内角相关的性质或定理。 知识点05：正多边形 定义：在平面内，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形。例如，正三角形、正方形、正五边形等都是正多边形。 性质：正多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等。此外，正多边形的对角线也具有一些特殊的性质，如等长、等分等。这些性质使得正多边形在几何学和实际应用中具有特殊的地位和价值。 高频易错知识点拨 易错知识点01：多边形的基本定义与分类 易错点：混淆多边形与其他图形的定义。例如，可能错误地将不在同一直线上的线段组成的非封闭图形也视为多边形。 解析：明确多边形的定义是在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。 易错知识点02：多边形的内角与外角 易错点：混淆内角与外角的定义，或者忘记外角和定理（即多边形的外角和总是等于360°）。 解析： 内角：多边形相邻两边组成的角。 外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角。 外角和定理：多边形的外角和等于360°，这是求解多边形边数或外角大小的关键定理。 易错知识点03：多边形的对角线 易错点：计算从多边形一个顶点出发的对角线数量时出错，或者误解对角线的作用。 解析： 公式：从n边形的一个顶点出发，可以引出的对角线数量为(n-3)条。 作用：对角线可以将多边形划分为多个三角形，从而利用三角形的性质来求解多边形的内角和等问题。 易错知识点04：多边形的内角和 易错点：忘记内角和公式（即n边形的内角和等于(n-2)×180°），或者在应用公式时计算错误。 解析： 公式推导：通过从多边形的一个顶点出发，引出对角线将多边形划分为多个三角形，并利用三角形的内角和为180°的性质来推导得出。 应用：利用公式可以方便地求解任意多边形的内角和，也可以利用这个公式来验证或推导其他与多边形内角相关的性质或定理。 易错知识点05：正多边形 易错点：忽视正多边形的特殊性质，如各个角都相等、各条边都相等，以及由此产生的其他性质。 解析： 定义：在平面内，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形。 特殊性质：正多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等。此外，正多边形的对角线也具有一些特殊的性质，如等长、等分等。这些性质使得正多边形在几何学和实际应用中具有特殊的地位和价值。 易错知识点06：其他易错点 混淆概念：在求解多边形问题时，可能由于概念不清或记忆混淆而导致错误。例如，可能将内角和与外角和混淆，或者将多边形的边数与从一点出发的对角线数量混淆。 计算错误：在应用公式进行计算时，可能由于粗心大意或计算能力不足而导致错误。因此，需要特别注意计算的准确性和细致性。 考点讲练1：多边形的概念与分类 【精讲题】（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（22-23八年级上·河南商丘·阶段练习）如图1，在五边形中，．    (1)猜想与之问的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若平分，求的度数． 【举一反三练2】（20-21七年级上·福建泉州·期末）一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和． (1)求出表示第四条边长的代数式； (2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形． 考点讲练2：多边形截角后的边数问题 【精讲题】（22-23八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【举一反三练1】（2014九年级·全国·专题练习）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【举一反三练2】（16-17九年级·黑龙江大庆·期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 考点讲练3：网格中多边形面积的比较 【精讲题】（23-24八年级上·安徽·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【举一反三练1】．（2019·江西·模拟预测）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 【举一反三练2】（2021·北京顺义·一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为 ． 考点讲练4：多边形对角线的条数问题 【精讲题】（23-24八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【举一反三练1】（22-23七年级上·广东深圳·期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【举一反三练2】（19-20八年级上·江西上饶·阶段练习）观察下面图形，并回答问题． （1）四边形有_______条对角线；五边形有_____条对角线；六边形有____条对角线． （2）根据规律七边形有_______条对角线，n边形有______条对角线． （3）应用：个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 考点讲练5：对角线分成的三角形个数问题 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 【举一反三练1】（2022七年级上·广东佛山·学业考试）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【举一反三练2】（19-20八年级上·湖北恩施·期末）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉 根木条.（用表示，为大于3的整数） 考点讲练6：多边形内角和问题 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，在四边形中，，平分交于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 【举一反三练1】（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）如图，已知四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)若，求的度数； (2)若与相交于点，，请求出、所满足的等量关系式． 【举一反三练2】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，五边形中，，延长交于点F，且． (1)求的度数； (2)与之间是否存在某种位置关系，说出你的理由． 考点讲练7：正多边形内角和问题 【精讲题】（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）把正五边形和正六边形按如图所示方式放置，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【举一反三练2】（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的一边于点O，且经过点B，另一边经过点E，则的度数为 ．    考点讲练8：多（少）算一个角问题 【精讲题】（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得内角和，你能否求得他漏掉的内角度数和多边形内角和的正确结果吗？ 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题． (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)明明求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角为多少度？ 【举一反三练2】（22-23八年级上·河南周口·期中）解决多边形问题： (1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？ (2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？ 考点讲练9：多边形截角后的内角和问题 【精讲题】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【举一反三练1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 【举一反三练2】（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）（1）如图1，这是一个五角星，则 ． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    考点讲练10：复杂图形的内角和 【精讲题】（2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【举一反三练1】（2020九年级·全国·专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 【举一反三练2】（18-19八年级上·山西大同·期中）阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 考点讲练11：正多边形的外角问题 【精讲题】（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，正五边形，平分，平分，则（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．12个 【举一反三练2】．（21-22八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠的变化情况，解答下列问题． （1）将如表的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… n ∠的度数 …… （2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠＝20°？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 考点讲练12：多边形外角和的实际应用 【精讲题】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图的七边形中，，的延长线相交于点，若图中，，，的外角的角度和为，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 【举一反三练2】．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 考点讲练13：多边形内角和和外角和的综合 【精讲题】（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）（1）若多边形的内角和为，求此多边形的边数； （2）已知一个正多边形的一个内角等于一个外角的倍，求这个正多边形是几边形？ 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖南湘西·期中）已知一个边形的每一个内角都等于． (1)求； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 【举一反三练2】（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的外角和等于，则的度数为 ． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）农安是祖国东北历史上的重镇，南宋名将岳飞曾对部下说：“直捣黄龙府，与诸君共饮耳．”即指此地．2013年5月，农安辽塔被中华大民共和国国务院公布为第七批全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角十三层，塔高约44米，为密檐实心塔，如图①．如图②所示的正八边形是辽塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，五边形中， ，则等于（　　）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）若干个完全一样的正五边形排成环状，如图所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（     ）    A．10 B．9 C．8 D．7 5．（2024八年级上·全国·专题练习）若一个正多边形内角和为，则这个正多边形的每个外角为 °． 6．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知一个多边形的内角和，则这个多边形是 边形． 7．（23-24七年级下·河南周口·期末）如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是 边形 8．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，的角平分线交于点Q，的角平分线交于点P，若，则 ． 9．（2024·河北邯郸·三模）已知n边形的内角和． (1)甲同学说，能取；而乙同学说，也能取．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由； (2)若n边形变为边形，发现内角和增加了，用列方程的方法确定x． 10．（22-23八年级上·吉林白城·阶段练习）已知如图1，线段，相交于О点，连接，，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：____________________． (2)如图2，请利用（1）中结论，求的度数． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 12．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图（1），求证：； （2）如图（2），请利用（1）中的结论求的度数． 13．（17-18七年级下·江苏泰州·期末）已知在四边形中，，，． (1) （用含x、y的代数式直接填空）； (2)如图1，若平分，平分，请写出与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，为四边形的、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①若，，试求x、y． ②小明在作图时，发现不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，不存在． 培优题真题汇编练 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（    ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在学习多边形内角和的课上，老师让同学们计算一个多边形的内角和，小凯非常积极地举手回答说：“我计算出这个多边形的内角和为”．老师说：“小凯同学回答问题非常积极，值得大家好好学习，但你的计算不对呀，你可能少加了一个角！”请问小凯同学少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 17．（19-20七年级下·江苏无锡·期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 18．（23-24八年级上·湖北荆门·阶段练习）过a边形的一个顶点有7条对角线，正b边形的内角和与外角和相等，c边形没有对角线，d边形有d条对角线，则代数式 . 19．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）（1）如图1，在中，平分，，，，则 度． （2）如图2，若把（1）中“”改成“四边形”，把“”改成“平分”，（1）中其他条件不变，则 度． 20．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，分别是四边形的内角，外角的平分线，若，则 °．    21．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别是的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且，，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论；①，②AD平分，③，④．则其中正确的结论有 （填序号） 22．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，四边形中，、分别平分，． (1)若，，，求的度数； (2)若，，求．（用含，的式子表示） 23．（23-24八年级上·山东济宁·期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把纸片沿折叠，当点A落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形沿折叠，当点A、D分别落在四边形内部点、的位置时，请直接写出、、与之间的数量关系． 24．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）在四边形中，O在其内部，满足，． (1)如图1，当时，如果，直接写出的度数______； (2)当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 25．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）基础巩固 （1）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线交于点． ①当与满足的______关系时，； ②当时，求的度数． 知识运用 （2）如图2，在四边形中，的平分线与的外角的平分线交于点，求、与之间的数量关系． 拓广探索 （3）如图3，在五边形中，的平分线所在的直线与的外角平分线所在的直线交于点，若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第11章《三角形》】 11.3 多边形及其内角和 （知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：多边形的概念与分类 4 考点讲练2：多边形截角后的边数问题 7 考点讲练3：网格中多边形面积的比较 8 考点讲练4：多边形对角线的条数问题 10 考点讲练5：对角线分成的三角形个数问题 13 考点讲练6：多边形内角和问题 15 考点讲练7：正多边形内角和问题 18 考点讲练8：多（少）算一个角问题 21 考点讲练9：多边形截角后的内角和问题 24 考点讲练10：复杂图形的内角和 27 考点讲练11：正多边形的外角问题 31 考点讲练12：多边形外角和的实际应用 33 考点讲练13：多边形内角和和外角和的综合 36 中等题真题汇编练 38 培优题真题汇编练 48 新知精讲梳理 知识点01：多边形的基本定义 定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形（Polygon）。三角形是最简单的多边形，因为它由三条线段首尾相接而成。 分类：根据边数的不同，多边形可以分为四边形、五边形、六边形等，统称为n边形，其中n表示多边形的边数。 知识点02：多边形的内角与外角 内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。例如，在四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D都是四边形的内角。 外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。特别地，多边形的外角和有一个重要的性质，即多边形的外角和总是等于360°。这一性质是证明多边形外角和定理的关键。 知识点03：多边形的对角线 定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。例如，在四边形ABCD中，AC和BD就是四边形的两条对角线。 性质：从n边形的一个顶点出发，可以引出的对角线数量为(n-3)条。这些对角线将多边形分成(n-2)个三角形，这一性质在求解多边形内角和时非常有用。 知识点04：多边形的内角和 内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°。这个公式可以通过将多边形划分为多个三角形并利用三角形的内角和为180°的性质来推导得出。 推导过程：从n边形的一个顶点出发，可以引出(n-3)条对角线，将多边形划分为(n-2)个三角形。由于每个三角形的内角和为180°，因此n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和之和，即(n-2)×180°。 应用：利用多边形的内角和公式，我们可以方便地求解任意多边形的内角和，也可以利用这个公式来验证或推导其他与多边形内角相关的性质或定理。 知识点05：正多边形 定义：在平面内，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形。例如，正三角形、正方形、正五边形等都是正多边形。 性质：正多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等。此外，正多边形的对角线也具有一些特殊的性质，如等长、等分等。这些性质使得正多边形在几何学和实际应用中具有特殊的地位和价值。 高频易错知识点拨 易错知识点01：多边形的基本定义与分类 易错点：混淆多边形与其他图形的定义。例如，可能错误地将不在同一直线上的线段组成的非封闭图形也视为多边形。 解析：明确多边形的定义是在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。 易错知识点02：多边形的内角与外角 易错点：混淆内角与外角的定义，或者忘记外角和定理（即多边形的外角和总是等于360°）。 解析： 内角：多边形相邻两边组成的角。 外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角。 外角和定理：多边形的外角和等于360°，这是求解多边形边数或外角大小的关键定理。 易错知识点03：多边形的对角线 易错点：计算从多边形一个顶点出发的对角线数量时出错，或者误解对角线的作用。 解析： 公式：从n边形的一个顶点出发，可以引出的对角线数量为(n-3)条。 作用：对角线可以将多边形划分为多个三角形，从而利用三角形的性质来求解多边形的内角和等问题。 易错知识点04：多边形的内角和 易错点：忘记内角和公式（即n边形的内角和等于(n-2)×180°），或者在应用公式时计算错误。 解析： 公式推导：通过从多边形的一个顶点出发，引出对角线将多边形划分为多个三角形，并利用三角形的内角和为180°的性质来推导得出。 应用：利用公式可以方便地求解任意多边形的内角和，也可以利用这个公式来验证或推导其他与多边形内角相关的性质或定理。 易错知识点05：正多边形 易错点：忽视正多边形的特殊性质，如各个角都相等、各条边都相等，以及由此产生的其他性质。 解析： 定义：在平面内，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形。 特殊性质：正多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等。此外，正多边形的对角线也具有一些特殊的性质，如等长、等分等。这些性质使得正多边形在几何学和实际应用中具有特殊的地位和价值。 易错知识点06：其他易错点 混淆概念：在求解多边形问题时，可能由于概念不清或记忆混淆而导致错误。例如，可能将内角和与外角和混淆，或者将多边形的边数与从一点出发的对角线数量混淆。 计算错误：在应用公式进行计算时，可能由于粗心大意或计算能力不足而导致错误。因此，需要特别注意计算的准确性和细致性。 考点讲练1：多边形的概念与分类 【精讲题】（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【规范解答】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 【举一反三练1】（22-23八年级上·河南商丘·阶段练习）如图1，在五边形中，．    (1)猜想与之问的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据可得，结合已知条件可得，进而可得结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得关于的方程，求出即可解决问题． 【规范解答】（1）猜想：， 理由：， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ．    【考点评析】本题以多边形为载体，考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义以及一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【举一反三练2】（20-21七年级上·福建泉州·期末）一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和． (1)求出表示第四条边长的代数式； (2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形． 【答案】(1)第四边的长为：cm. (2)不能，该图形是一条线段，理由见解析 【思路点拨】（1）先列式表示第三边，第四边的长，再利用周长减去已知的三条边的长可得第四边的长度； （2）分别求解四条线段的长度，再计算前面三条线段的长，与第四条线段的长度比较，从而可得答案. 【规范解答】（1）解： 第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和， 第二边为cm，第三边为：cm， 第四边长为： 即第四边的长为：cm. （2）当时， 即前三条边的长的和等于第四条边的长， 所以当时，这4条线段首尾相连不能得到四边形，该图形是一条线段. 【考点评析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，多边形的含义，掌握“判断四条线段首尾顺次相连构成四边形的条件”是解本题的关键. 考点讲练2：多边形截角后的边数问题 【精讲题】（22-23八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【思路点拨】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【规范解答】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【考点评析】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 【举一反三练1】（2014九年级·全国·专题练习）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【思路点拨】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形，由此即可解答. 【规范解答】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形， 则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形． 故选D． 【考点评析】剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条． 【举一反三练2】（16-17九年级·黑龙江大庆·期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【规范解答】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形. 故选A. 【考点评析】此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条. 考点讲练3：网格中多边形面积的比较 【精讲题】（23-24八年级上·安徽·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据图形平移的性质分别找到平移前后对应的顶点位置，然后连线即可； （2）采用割补方法，利用矩形面积减去多余直角三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解：通过观察，发现点向右移动格，向下移动格即可得到对应点，将点、按照同样的平移方式，即可分别得到对应点、，然后顺次连接即可得到如下三角形，    （2）解：由图像可得， 则三角形的面积为． 【考点评析】本题考查了图像的平移，网格中三角形的面积计算，掌握网格中图像平移的性质并掌握网格中的面积计算是解题关键． 【举一反三练1】．（2019·江西·模拟预测）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系． 【规范解答】观察图形可得 ∴， 故选：． 【考点评析】本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系． 【举一反三练2】（2021·北京顺义·一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为 ． 【答案】1∶4 【思路点拨】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【规范解答】解：， ， ∴的面积与的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【考点评析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 考点讲练4：多边形对角线的条数问题 【精讲题】（23-24八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)见解析； (2)， (3)场 【思路点拨】本题主要考查了列代数式，总结图形规律，有理数的混合运算，正确理解题意，总结图形规律是解题的关键． （1）根据所给材料作图即可； （2）先总结规律，进而即可得解； （3）把代入计算即可得解． 【规范解答】（1）解：如图， （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； …… ∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场） ∴总共要比赛场． 【举一反三练1】（22-23七年级上·广东深圳·期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【思路点拨】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案． 【规范解答】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：， 解得：， 即这个多边形是七边形， 故选C． 【考点评析】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 【举一反三练2】（19-20八年级上·江西上饶·阶段练习）观察下面图形，并回答问题． （1）四边形有_______条对角线；五边形有_____条对角线；六边形有____条对角线． （2）根据规律七边形有_______条对角线，n边形有______条对角线． （3）应用：个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】（1）2；5；9；(2)14； ；（3） 【思路点拨】（1）根据图形查出即可； （2）根据对角线条数的数据变化规律进行总结，然后填写． （3）根据多边形的对角线，可得答案． 【规范解答】（1）四边形有2条对角线； 五边形有5条对角线； 六边形有9条对角线； ∵从一个顶点可以作（n-3）条对角线， ∴n边形有 条对角线． （2）七边形有14条对角线，n边形有条对角线． （3）. 【考点评析】此题考查多边形对角线的条数，解题关键在于熟记公式． 考点讲练5：对角线分成的三角形个数问题 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 【答案】 / 【思路点拨】（）多边形内一点，可与多边形顶点连接条线段，构造出个三角形； （）若点取在一边上，则可以与其他顶点连接出条线段，可以分边形为个三角形； 本题考查了多边形的对角线，正确找出规律是解题的关键． 【规范解答】解：（）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形； （）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形． 故答案为：，． 【举一反三练1】（2022七年级上·广东佛山·学业考试）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【答案】(1)1，2； (2)3，4； (3) (4)8 【思路点拨】（1）根据对角线的定义，可得答案； （2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答． 【规范解答】（1）解：如下图： 经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：3，4； （3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形， 故答案为：； （4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键． 【举一反三练2】（19-20八年级上·湖北恩施·期末）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉 根木条.（用表示，为大于3的整数） 【答案】n-3 【思路点拨】根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数． 【规范解答】过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形， 所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定． 故答案为：（n-3）． 【考点评析】考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角形的问题． 考点讲练6：多边形内角和问题 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，在四边形中，，平分交于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)说明见解析 【思路点拨】本题考查了四边形内角和公式、三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，能正确根据多边形的内角和定理进行推理是解此题的关键，注意：边数为的多边形的内角和． （1）求出，求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （2）由（1）知：，根据，，，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：，， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）解：说明如下： 由（1）知：， ， ∵平分 ∴ ∵ ， ∵ ． 【举一反三练1】（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）如图，已知四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)若，求的度数； (2)若与相交于点，，请求出、所满足的等量关系式． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了多边形的内角和外角，利用外角的性质是解本题的关键． （1）利用两个平角和四边形内角和求出即可； （2）利用（1）的等量关系套入，根据）推导出即可． 【规范解答】（1） ； （2） ， ， ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，五边形中，，延长交于点F，且． (1)求的度数； (2)与之间是否存在某种位置关系，说出你的理由． 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【思路点拨】（1）根据三角形外角性质，五边形内角和定理，解答即可． （2）利用同旁内角互补，两直线平行判定解答即可． 本题考查了三角形外角性质，五边形内角和定理，平行线的判定定理，熟练掌握性质和判定定理是解题的关键． 【规范解答】（1）解法1：∵，， ∴． ∵， ∴． 由多边形的内角和公式可知：， ∴． 解法2：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解法1∵，， ∴． ∴． 解法2：∵，， ∴， ∴． 考点讲练7：正多边形内角和问题 【精讲题】（22-23八年级上·河南鹤壁·开学考试）把正五边形和正六边形按如图所示方式放置，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查多边形的内角和，正多边形的性质及三角形内角和，结合已知条件求得. 的度数是解题的关键． 利用多边形的内角和及正多边形的性质可求得 的度数，继而求得 的度数，然后利用三角形内角和即可求得答案． 【规范解答】如图，结合图形标出相应的顶点， 由题意可得， ， 则 ， 故选: A． 【举一反三练1】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【答案】(1)15 (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的外角和等于，即可求解； （2）用多边形的边数乘以的长，即可求解； （3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意得：． 故答案为：15 （2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：150 （3）解：设这个多边形有条边， 根据题意，得， 解得，                ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 【举一反三练2】（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的一边于点O，且经过点B，另一边经过点E，则的度数为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了正多边形的内角问题、多边形的内角和，根据多边形的内角和公式及五边形为正五边形得，再根据四边形中多边形的内角和得，进而可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：五边形为正五边形， ， ， ， 四边形中，， ， 故答案为：． 考点讲练8：多（少）算一个角问题 【精讲题】（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得内角和，你能否求得他漏掉的内角度数和多边形内角和的正确结果吗？ 【答案】少算这个角的度数为，这个多边形的内角和为． 【思路点拨】本题考查了多边形的内角和，掌握利用多边形边数求内角和的方法是解答本题的关键． 根据题意，设这个多边形的边数为，漏掉一个内角为，根据多边形内角和，找到等量关系，列出关系式，求出的范围，利用是整数，求出结果． 【规范解答】解：设这个多边形的边数为，漏掉一个内角为， 根据题意得： ， 即， ， ， 是整数， ， ， 内角和为：． 答：少算这个角的度数为，这个多边形的内角和为． 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题． (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)明明求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形 (3) 【思路点拨】（1）由题意知，边形的内角和为，由多边形的内角和为的整数倍，是偶数，进行作答即可； （2）由题意知，，解不等式组，然后根据为正整数，求解作答即可； （3）由题意知，十三边形的内角和为，根据，计算求解多加的外角即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，边形的内角和为， ∴多边形的内角和为的整数倍，是偶数， ∴多边形内角和为不可能； （2）解：由题意知，， 解得，， ∵为正整数， ∴， ∴明明求的是十三边形的内角和； （3）解：由题意知，十三边形的内角和为， ∵， ∴多加的外角为． 【考点评析】本题考查了多边形的内角和，不等式组的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【举一反三练2】（22-23八年级上·河南周口·期中）解决多边形问题： (1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？ (2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？ 【答案】(1)八边形 (2)八边形 【思路点拨】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于建立方程，解方程即可得； （2）设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则，再根据多边形的内角和公式建立等式，结合建立不等式组，解不等式组即可得． 【规范解答】（1）解：设这个多边形是边形， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形是八边形． （2）解：设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则， 由题意得：， 解得， 则，即， 解得， 为正整数， ， 答：这个多边形是八边形． 【考点评析】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键． 考点讲练9：多边形截角后的内角和问题 【精讲题】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【规范解答】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 【答案】C 【思路点拨】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【规范解答】解：n边形的内角和是，外角和 边数增加1，则新的多边形的内角和是：， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°， 所以淇淇说的对，其他的值为360°或180°， 故选C． 【考点评析】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个是解决本题的关键． 【举一反三练2】（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）（1）如图1，这是一个五角星，则 52 ． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    【答案】（1）；（2）；（3） 【思路点拨】（1）由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可； （2）延长与相较于点，由三角形的外角性质，得到，再结合图1的结论内来求解即可； （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，从而求出截去五个角后的所有的角的度数． 【规范解答】解：（1）如图，      由三角形的外角性质，得，， ∵ ∴， 故答案为：； （2）如图，延长与相较于点，   和是的两个外角，则，， ， ， 故的度数为． （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，图1中，， 在题图3中，去掉五个角后， ． 【考点评析】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的转化和计算是解题的重点． 考点讲练10：复杂图形的内角和 【精讲题】（2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【规范解答】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【考点评析】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【举一反三练1】（2020九年级·全国·专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 【答案】1080° 【思路点拨】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数． 【规范解答】解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°． 故答案为：1080°． 【考点评析】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 【举一反三练2】（18-19八年级上·山西大同·期中）阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°． 【思路点拨】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可； （2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解； ②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可． 【规范解答】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E． 则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角， ∴∠BDE=∠B+∠BAD， ∠CDE=∠C+∠CAD ∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD． ∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC． （2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∵∠BFE+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 故答案为：180° ②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 故答案为：360° 【考点评析】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键. 考点讲练11：正多边形的外角问题 【精讲题】（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，正五边形，平分，平分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正多边形．解决问题的关键是熟练掌握多边形内角和定理，外角和定理，正多边形性质，角平分线定义． 根据正五边形内角和与角平分线定义，求出的度数，根据正五边形外角和与角平分线定义，求出的度数,在四边形中即可求出的度数． 【规范解答】如图： ∵正五边形中，，平分， ∴， ∵，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【举一反三练1】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．12个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了正多边形的外角和．多边形由拼图方法可知：环状图案的外围是正多边形，根据正多边形外角和等于即可求出正多边形的边数． 【规范解答】解：依题意可知：用含60°角的直角三角板按图示拼成类似的环状图案是正多边形，正多边形的外角， 故正多边形的边数为（条） ∴除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（个） 故选C． 【举一反三练2】．（21-22八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠的变化情况，解答下列问题． （1）将如表的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… n ∠的度数 …… （2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠＝20°？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，，；（2）存在， 【思路点拨】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=； （2）根据正n边形中的∠α=，可得答案． 【规范解答】解：（1）观察上面每个正多边形中的，填写下表： 正多边形边数 3 4 5 6 的度数 故答案为：，，，，； （2）存在，理由如下： 设存在正边形使得， 得． 解得：， 存在正边形使得． 【考点评析】本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等． 考点讲练12：多边形外角和的实际应用 【精讲题】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键． 【规范解答】解：等边三角形的每个内角为， 正方形的每个内角为， 正五边形的每个内角为， 如图，    ∵的外角和等于， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【举一反三练1】（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图的七边形中，，的延长线相交于点，若图中，，，的外角的角度和为，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据多边形的外角和是，由，，，的外角的角度和为，可求得的外角，即可根据邻补角的定义求得． 【规范解答】解：，，，的外角的角度和为，五边形的外角和是， 的外角为， ， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查多边形的外角和，利用内角和外角的关系求得的外角是解题的关键． 【举一反三练2】．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）根据五边形内角和求解即可； （2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可． 【规范解答】（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 【考点评析】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点． 考点讲练13：多边形内角和和外角和的综合 【精讲题】（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）（1）若多边形的内角和为，求此多边形的边数； （2）已知一个正多边形的一个内角等于一个外角的倍，求这个正多边形是几边形？ 【答案】（1）11 （2）5 【思路点拨】本题考查了多边形的内角和与外角和．关键是记住内角和的公式与外角和的公式． （1）根据多边形的内角和计算公式作答； （2）设多边形的边数为n，则多边形的内角和可以表示成，外角和是固定的，从而可根据一个正多边形的一个内角等于一个外角的列方程求解可得． 【规范解答】解：（1）设此多边形的边数为，则 ， 解得． ∴此多边形的边数为11； （2）设此正多边形为正边形． 正多边形的一个内角等于一个外角的， 此正多边形的内角和等于其外角和的， ， 解得：． 答：正多边形的边数为5． 【举一反三练1】（23-24八年级上·湖南湘西·期中）已知一个边形的每一个内角都等于． (1)求； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 【答案】(1) (2) (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线 【思路点拨】此题主要考查了多边形内角和，外角和，对角线，关键是掌握各知识点的计算公式． （1）首先求出外角度数，再用除以外角度数可得答案． （2）利用内角度数乘以内角的个数即可． （3）根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，即可得答案． 【规范解答】（1）解：∵每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于， ∴边数． （2）解：∵， ∴这个边形的内角和为． （3）解：从一个顶点出发可画出对角线的条数：， ∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线． 【举一反三练2】（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的外角和等于，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于是解题的关键．根据题意计算，，，的度数之和，再计算五边形的内角和，即可求解． 【规范解答】解： ，，，的外角和等于， ， 五边形的内角和为， ． 故答案为：． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）农安是祖国东北历史上的重镇，南宋名将岳飞曾对部下说：“直捣黄龙府，与诸君共饮耳．”即指此地．2013年5月，农安辽塔被中华大民共和国国务院公布为第七批全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角十三层，塔高约44米，为密檐实心塔，如图①．如图②所示的正八边形是辽塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据任意多边形的外角和是以及平角定义进行计算，即可解答．本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握任意多边形的外角和是是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得：正八边形的每一个外角， 每个内角的度数， 故选：D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路点拨】本题考查了多边形的外角和问题，多边形的外角和等于，因为正多边形的每个外角均相等，故多边形的外角和又可表示成，列方程可求解． 【规范解答】解：设所求正边形边数为， 则， 解得． 故正多边形的边数是6． 故选：C． 3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，五边形中， ，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了多边形内角和定理，平行线的性质，平角的定义，根据平角的定义推出，根据平行线的性质可得，再利用多边形的内角和即可求解． 【规范解答】解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）若干个完全一样的正五边形排成环状，如图所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（     ）    A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【思路点拨】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键． 先根据多边形的内角和公式求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，最后减去3即可解答． 【规范解答】解：∵五边形的内角和为， ∴正五边形的每一个内角为， 如图，延长正五边形的两边相交于点O，    则，， ∵已经有3个五边形， ∴， 即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）若一个正多边形内角和为，则这个正多边形的每个外角为 °． 【答案】36 【思路点拨】先根据内角和求出边，再根据外角和是及每个外角都相等即可得到答案．本题考查正多边形的内外角和定理， 【规范解答】解：正多边形内角和为， ， 解得：， 这个正多边形的每个外角为：， 故答案为：36． 6．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知一个多边形的内角和，则这个多边形是 边形． 【答案】10/十 【思路点拨】本题考查多边形内角和公式，设这个多边形的边长个数为n，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【规范解答】解：设这个多边形的边长个数为n， ∴， 解得， 故答案为：10． 7．（23-24七年级下·河南周口·期末）如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是 边形 【答案】正六 【思路点拨】本题主要考查了多边形的内角和定理，根据多边形的内角和定理列出方程，求出答案即可． 【规范解答】设这个多边形为n边形，根据题意，得 ， 解得， 所以这个多边形是正六边形． 故答案为：正六． 8．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，的角平分线交于点Q，的角平分线交于点P，若，则 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了三角形、四边形内角和定理，角平分线定义，由四边形的内角和为得到，由角平分线定义得出，又根据三角形内角和定理有，，那么，于是，由可得结论 【规范解答】解：∵， ∵四边形的内角的角平分线交于点Q，的角平分线交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴, 故答案为： 9．（2024·河北邯郸·三模）已知n边形的内角和． (1)甲同学说，能取；而乙同学说，也能取．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由； (2)若n边形变为边形，发现内角和增加了，用列方程的方法确定x． 【答案】(1)甲的说法对，边数n是4，乙的说法不对，理由见解析 (2)3 【思路点拨】本题考查多边形的内角和，一元一次方程的应用： （1）根据多边形的内角和公式进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 答：甲同学说的边数n是4； （2）依题意有， 解得． 故x的值是3． 10．（22-23八年级上·吉林白城·阶段练习）已知如图1，线段，相交于О点，连接，，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：____________________． (2)如图2，请利用（1）中结论，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据“8字形”的结构特点，连接，根据四边形的内角和等于可得，根据“8字形”的关系可得，然后即可得解． 【规范解答】（1）解：在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2）解：如图3，连接 ， 则， ∴， 根据“8字形”数量关系，， ∴， 即图2中． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图是花样滑冰运动员从点A出发滑行一周后回到点A处所经过的路线．从开始到结束，他转过的角度为多少？ 【答案】转过的角度为360° 【思路点拨】该题主要考查了多边形的外角和的应用，解题的关键是掌握多边形的外角和为． 根据五边形的外角和为即可求解； 【规范解答】解：根据图象可得运动员转过的角度是五边形的外角和， ∵五边形的外角和为， ∴他转过的角度为． 12．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图（1），求证：； （2）如图（2），请利用（1）中的结论求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）360度 【思路点拨】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． （1）连接，利用三角形的内角和定理得出，，进一步把，代换即可求得答案． （2）根据三角形外角的性质，可得与、的关系，与、的关系，再根据多边形的内角和公式，可得答案． 【规范解答】证明：（1）连接，如图（1） ，，，， ； （2）如图（2）， 由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，， 由四边形内角和得． 则． 13．（17-18七年级下·江苏泰州·期末）已知在四边形中，，，． (1) （用含x、y的代数式直接填空）； (2)如图1，若平分，平分，请写出与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，为四边形的、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①若，，试求x、y． ②小明在作图时，发现不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，不存在． 【答案】(1) (2)垂直，见解析 (3)①；② 【思路点拨】此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识的综合应用，解题时注意：四边形内角和为，正确利用角平分线的定义是解题关键． （1）利用四边形内角和定理进行计算，得出答案即可； （2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出与的位置关系即可； （3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出，解方程组即可得出x，y的值；②当时，可得、相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时不存在． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴． 故答案为：． （2）解：． 理由：如图1，∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①由（1）得：， ∵、分别平分、， ∴， 如图2，连接，则， ∴， ∴， 解方程组：， 可得：； ②当时，， ∴、相邻的外角平分线所在直线互相平行， 此时，不存在． 培优题真题汇编练 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，连接、，利用任意凸多边形的外角和均为正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可，熟记公式是解答本题的关键． 【规范解答】解：连接、， 多边形的每个外角相等，且其和为 据此可得多边形的边数为： ， 故选：． 15．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（    ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确 【答案】C 【思路点拨】本题考查了多边形的内角与外角，正六边形的一个内角为，根据周角的定义有，，得，再讨论即可得n的值． 【规范解答】解：正六边形的一个内角为， ， 为正n边形的一个内角的度数， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 故n的值为3或4或5或6．故选C． 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在学习多边形内角和的课上，老师让同学们计算一个多边形的内角和，小凯非常积极地举手回答说：“我计算出这个多边形的内角和为”．老师说：“小凯同学回答问题非常积极，值得大家好好学习，但你的计算不对呀，你可能少加了一个角！”请问小凯同学少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式确定多边形的边数便可得出答案，牢记多边形内角和公式是解题的关键． 【规范解答】解：由多边形内角和公式 知多边形的内角和是的整数倍 故选：． 17．（19-20七年级下·江苏无锡·期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【答案】C 【思路点拨】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 【规范解答】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度； 二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度； 二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度； … ∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度． 故选：C． 【考点评析】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数． 18．（23-24八年级上·湖北荆门·阶段练习）过a边形的一个顶点有7条对角线，正b边形的内角和与外角和相等，c边形没有对角线，d边形有d条对角线，则代数式 . 【答案】3 【思路点拨】本题考查了多边形的对角线、多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的性质是解题关键．先根据多边形的对角线可得，再根据多边形的内角和与外角和可得，然后代入计算即可得． 【规范解答】解：∵过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形有条对角线， ，，， ∵， ， 解得， ∵正边形的内角和与外角和相等， 正边形的内角和为， ， 则， 故答案为：3． 19．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）（1）如图1，在中，平分，，，，则 度． （2）如图2，若把（1）中“”改成“四边形”，把“”改成“平分”，（1）中其他条件不变，则 度． 【答案】 10 10 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，四边形内角和，三角形外角的性质； （1）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再根据求出，进而可得的度数； （2）先根据四边形内角和是求出，再根据三角形内角和定理表示出，然后利用三角形外角的性质进行计算即可． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 故答案为：10； （2）∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：10． 20．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，分别是四边形的内角，外角的平分线，若，则 °．    【答案】25 【思路点拨】本题考查了角平分线，三角形外角的性质，多边形内角和．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由角平分线可得，，，根据，计算求解即可． 【规范解答】解：∵分别是四边形的内角，外角的平分线， ∴，， ∴ 故答案为：25． 21．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别是的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且，，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论；①，②AD平分，③，④．则其中正确的结论有 （填序号） 【答案】①②③ 【思路点拨】①根据四边形的内角和为，计算便可判断①的结论；②连接、，根据垂直平分线的性质得，，，进而由等腰三角形的性质得结论，从而得出②的结论；③证明，，，得出，设，则，得出，根据，即可得出，即可判断③的结论；④由，，当时，，，此时，由此判断④的结论． 【规范解答】解：①，， ， ， ， ①的结论正确； ②连接、，如图， 点，分别是的边、的中点，且，， ，，， ，，，，， ， 平分， ②的结论正确； ③点，分别是的边、的中点，，， ，， ，， ， ， ， 平分，又，则， 设，则， ，则， ，即 ③的结论正确； ④，， ， ， 当时，则， ， ， ， 不是等边三角形， ， ④的结论不正确． 故答案为：①②③． 【考点评析】本题是三角形的一个综合题，主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形的内角和定理，考查的知识点多，难度增大，正确地作辅助线是解决本题的关键． 22．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，四边形中，、分别平分，． (1)若，，，求的度数； (2)若，，求．（用含，的式子表示） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了多边形内角和问题，角平分线的定义，三角形 内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）利用四边形内角和为，得出，进而求出的度数即可； （2）由角平分线的定义，得出，，再结合四边形内角和，得到，然后利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵、分别平分，， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 23．（23-24八年级上·山东济宁·期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把纸片沿折叠，当点A落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形沿折叠，当点A、D分别落在四边形内部点、的位置时，请直接写出、、与之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质． （1）根据翻折的性质表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （3）先根据翻折的性质表示出，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【规范解答】（1） 证明：如图，根据翻折的性质得： ，， ∵， ∴， ∴． （2） 证明：如图，根据翻折的性质得： ， ∵， ∴， ∴． （3） 理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 24．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）在四边形中，O在其内部，满足，． (1)如图1，当时，如果，直接写出的度数______； (2)当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 【答案】(1) (2)①见解析②或 【思路点拨】本题考查四边形的内角和及角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知四边形的内角和是是解题的关键． （1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出，进而根据三角形的内角和定理即可求解； （2）①首先由已知求出，，根据平角的定义得出，同理，根据四边形的内角和定理即可求解；②在中，由①得，根据题意分二种情况进行讨论：，，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：，， 当时，，， ，， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）①． 证明：，， 当时，，， ，， ，， ， 同理， ， ． ②由①得：，， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况： 当， ， ，则， ， ， ，， ， ； 当， ， ，则， ， ， ，， ， ． 综上所述，的度数为：或． 故答案为：或． 25．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）基础巩固 （1）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线交于点． ①当与满足的______关系时，； ②当时，求的度数． 知识运用 （2）如图2，在四边形中，的平分线与的外角的平分线交于点，求、与之间的数量关系． 拓广探索 （3）如图3，在五边形中，的平分线所在的直线与的外角平分线所在的直线交于点，若，求的度数． 【答案】（1）①；②；（2）（3） 【思路点拨】（1）①根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出； ②根据三角形内角和定理得出，，根据角平分线的定义，进而代入数据，即可求解． （2）延长交于点，同（1）②的方法得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）根据题意可得，根据三角形的内角和定理可得，进而根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴， ∴ 故答案为：． ②∵ ∴ ∵的平分线与的外角的平分线交于点 在中， ∴ （2）解：如图所示，延长交于点，    在中， ∵的平分线与的外角的平分线交于点 在中， ∴ 即，则 又∵ ∴ ∴ （3）如图所示，∵五边形的内角和为 ∴ 又∵是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角， ∴ ∵． 即． 【考点评析】本题考查了多边形的内角和公式，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，三角形的角平分线的性质，多边形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$