11.2 与三角形有关的角（知识精讲+易错点拨+十八大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第11章《三角形》】 11.2 与三角形有关的角 （知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：三角形内角和定理的证明 3 考点讲练2：与平行线有关的三角形内角和问题 6 考点讲练3：与角平分线有关的三角形内角和问题 8 考点讲练4：三角形折叠中的角度问题 10 考点讲练5：三角形内角和定理的应用 11 考点讲练6：直角三角形的两个锐角互余 13 考点讲练7：锐角互余的三角形是直角三角形 15 考点讲练8：三角形的外角的定义及特征 17 中等题真题汇编练 20 培优题真题汇编练 23 新知精讲梳理 知识点01：三角形内角和 1. 定义:三角形内角和是指三角形内部三个角的度数之和。 2. 定理：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。这是三角形的一个重要性质，也是后续学习和证明其他三角形性质的基础。 3. 推论 推论1：三角形中最多只能有一个钝角或直角，因为若有两个或以上的钝角（或直角），则三角形的内角和将超过180°。 推论2：三角形中至少有两个锐角，因为若三角形中没有锐角，则无法满足内角和为180°的条件。 知识点02：三角形外角 1. 定义 三角形外角是指三角形的一边与另一边的延长线组成的角。在三角形的每个顶点处，都有两个外角，它们互为对顶角且相等。但通常我们所说的三角形外角和，是指从每个顶点处各取一个外角相加所得的和。 2. 性质 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。这一性质揭示了三角形内外角之间的数量关系。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。这一性质有助于我们判断三角形中角的大小关系。 性质3：三角形的外角和等于360°。这一性质是三角形外角的一个重要结论，它揭示了三角形外角之间的总和关系。 知识点03：直角三角形的性质与判定 1. 定义：直角三角形是指有一个角为90°的三角形。这个90°的角称为直角，而另外两个角则称为锐角。 2. 性质 性质1：直角三角形的两个锐角互余。即，如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的度数之和为90°。 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这一性质是直角三角形独有的，它揭示了直角三角形斜边中线与斜边之间的数量关系。 3. 判定 判定方法1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。这是直角三角形最直接的判定方法。 判定方法2：有两个角互余的三角形是直角三角形。这一判定方法基于直角三角形的性质1得出。 判定方法3（勾股定理的逆定理）：如果三角形三边满足a²+b²=c²（c为斜边），则这个三角形是直角三角形。这是直角三角形的一种重要判定方法，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。 高频易错知识点拨 易错知识点01：三角形内角和 概念混淆：学生可能混淆“内角”与“外角”的概念，错误地将外角计入内角和的计算中。 应用错误：在解决实际问题时，学生可能忘记使用三角形内角和定理，或者错误地应用该定理导致计算结果错误。 解决方法 强调内角是三角形内部的角，与边相邻；外角是三角形一边与另一边的延长线组成的角。 通过实例练习，加深学生对三角形内角和定理的理解和应用能力。 易错知识点02：三角形外角 性质混淆：学生可能混淆外角的两个性质，特别是第二个性质，错误地认为外角等于不相邻的两个内角。 计算错误：在利用外角性质进行计算时，学生可能因粗心大意导致计算错误。 解决方法 清晰区分外角的两个性质，并通过实例进行说明和练习。 强调在计算过程中要细心，避免因粗心导致的错误。 易错知识点03：直角三角形的性质与判定 判定方法混淆：学生可能混淆直角三角形的判定方法，特别是在使用勾股定理的逆定理时，容易忽略对“c为斜边”的判定。 性质应用错误：在解决实际问题时，学生可能错误地应用直角三角形的性质，如将斜边上的中线误认为是任意一边上的中线。 解决方法 清晰区分直角三角形的判定方法，并通过实例进行说明和练习。 强调在应用直角三角形的性质时，要注意与题目中的条件相匹配，避免错误应用。 考点讲练1：三角形内角和定理的证明 【精讲题】（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知，求证：．（过点作，请按照此思路继续完成证明过程） 【举一反三练1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【举一反三练2】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：，，是的三个内角． 对进行说理 小明给出如下说理过程，请补全证明过程．    证明：过点A作 ∵ ∴ ______=______（__________________） ∵（__________________） ∴ 听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，”进行说理．请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法，不用写出推理过程．    【举一反三练3】（22-23七年级下·四川自贡·期中）探究题： 学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．    (1)小明遇到了下面的问题：如图1，，点P在、内部，探究，，的关系．小明过点P作的平行线，可证，，之间的数量关系是： ． (2)如图2，若，点P在AC、BD外部，，，的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程． 证明：过点P作， ．     ， ， ． ， ． (3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题： 已知：如图3，三角形，求证：． 考点讲练2：与平行线有关的三角形内角和问题 【精讲题】（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 【举一反三练1】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【举一反三练2】（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，，连接、、，且． (1)若，求的度数． (2)若，求证：． (3)若与互补，求与的数量关系，并证明． 【举一反三练3】（23-24七年级下·广西钦州·阶段练习）综合实践． 我们发现平行线具有“等角转化”的功能，通过添加平行线可将不同位置的角“凑”在一起，得出角之间的关系．根据平行线的“等角转化”功能，解答下列问题： (1)阅读理解：如图1，相交于点，请说明．阅读并补充下面推理过程．    解：如图1，过点作． ___________． ， ___________． ___________． ． 即． (2)方法掌握：如图2，已知交于点．请写出之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展运用：如图3，已知，点在直线上，平分平分．若，求的度数（用含的式子表示）． 考点讲练3：与角平分线有关的三角形内角和问题 【精讲题】（22-23八年级上·四川泸州·期中）如图所示，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求的度数． 【举一反三练1】（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）问题引入： （1）如图1，在中，点O是和平分线的交点，若，则_______；如图2，，，，则_______； 拓展研究： （2）如图3，，，，猜想度数（用α表示），并说明理由； （3）、分别是的外角、的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想_______________（直接写出答案）． 【举一反三练2】（22-23八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）已知：如图，在中，D、E分别为、上的点，且的角平分线、交于点F． (1)如果，求的度数； (2)如果，求的度数． 【举一反三练3】（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 考点讲练4：三角形折叠中的角度问题 【精讲题】（22-23八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在中，，点在上，将沿折叠，点落在边的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，点F是边上一点，点E在边上运动，将沿直线翻折得到，连接，当时，则 ． 【举一反三练3】（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，将三角形纸片沿折叠． (1)当点A落在四边形内部时，、、的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由； (2)当点A落在四边形外部时，、、的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由． 考点讲练5：三角形内角和定理的应用 【精讲题】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F．若中有两个角相等，则 ． 【举一反三练1】．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． （1）若，则 °； （2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是 ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，沿着直线l向右平移得到． (1)若，则 ． (2)若，求的度数． 【举一反三练3】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在四边形中，．求证： (1)； (2)如图2，若平分平分，直线与交于点，求的度数． 考点讲练6：直角三角形的两个锐角互余 【精讲题】（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【举一反三练1】（23-24八年级上·四川自贡·开学考试）如图，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．      (1)如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请直接写出　　，　　（结果用含的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，若恰好是的倍，求的值． (3)如图1三角板的放置，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【举一反三练3】．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图，中，，，平分交于点于点M，交于点N．    (1)求的度数； (2)求的度数． 考点讲练7：锐角互余的三角形是直角三角形 【精讲题】（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【举一反三练1】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）． 【举一反三练2】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【举一反三练3】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、Q在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，找一个格点P，连接，使为直角三角形； (2)在图2中，找一个格点H，连接，使． 考点讲练8：三角形的外角的定义及特征 【精讲题】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图1，，求的度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，求的度数； (2)如图2，，点P在射线上运动，记，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【举一反三练1】（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，是的内角的平分线与外角的平分线的交点：依次这样下去，则的度数为 ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）的三条角平分线相交于点，延长交于点．作，交延长线于点．    (1)若，则 ； (2)判断与的数量关系，并说明理由； (3)求证． 【举一反三练3】（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）[习题回顾]如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出________°． [变式思考] （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； [拓展延伸] （3）如图2，在中，角平分线、交于点O，，交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若，求和的度数． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）在中，若，则形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知分别是和的角平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·山东青岛·期末）如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点D，若，，则的度数为 ． 6．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，在中，内角和外角的平分线交于点，则 ． 7．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，，分别是的边，上的两点，，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则 ． 8．（23-24七年级下·河北沧州·期末）将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为 ． 9．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交的延长线于点E．若，，求的度数． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在中，，D，E分别是边和延长线上的点，连接，，． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，已知，判断是否平分，并说明理由． 11．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图1，，点D，点C分别在射线上，连接，已知． (1)试说明：； (2)如图2，连接AC，作，交于点E，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 12．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图中，平分交于点于，且． (1)如图1，锐角，，，则______度； (2)如图1，，则______；（用含、代数式表示） (3)如图2，若是钝角三角形，为钝角，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由． 培优题真题汇编练 13．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列选项错误的是（    ） A． B． C．平分 D．为定值 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是上的一点，是上的一点，连结，，和交于点，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）下列命题：（1）满足的a、b、c三条线段一定能组成三角形；（2）过三角形一顶点作对边的垂线叫做三角形的高；（3）三角形的外角大于它的任何一个内角；（4）直角三角形的两条高和边重合其中假命题的个数是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ． 18．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图是某家具店出售的木椅的侧面图， 其中，，， 则的度数为 ． 19．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）如图，已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点、点在上，连接、、，平分，平分，若，，则的度数为 ． 20．（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 21．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，分别为的中线、高，点E为的中点． (1)若求的度数； (2)若的面积为15，求的长． 22．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）已知：，平分，点A、B、C分别是射线上的动点（A、B、C不与点O重合）连接交射线于点D．设．    (1)如图1，若，则 ①的度数是______； ②当时，______；当时，________． (2) 如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在说明理由． 23．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值； ②四边形的面积是______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第11章《三角形》】 11.2 与三角形有关的角 （知识精讲+易错点拨+八大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：三角形内角和定理的证明 3 考点讲练2：与平行线有关的三角形内角和问题 9 考点讲练3：与角平分线有关的三角形内角和问题 14 考点讲练4：三角形折叠中的角度问题 19 考点讲练5：三角形内角和定理的应用 23 考点讲练6：直角三角形的两个锐角互余 28 考点讲练7：锐角互余的三角形是直角三角形 33 考点讲练8：三角形的外角的定义及特征 36 中等题真题汇编练 43 培优题真题汇编练 53 新知精讲梳理 知识点01：三角形内角和 1. 定义:三角形内角和是指三角形内部三个角的度数之和。 2. 定理：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。这是三角形的一个重要性质，也是后续学习和证明其他三角形性质的基础。 3. 推论 推论1：三角形中最多只能有一个钝角或直角，因为若有两个或以上的钝角（或直角），则三角形的内角和将超过180°。 推论2：三角形中至少有两个锐角，因为若三角形中没有锐角，则无法满足内角和为180°的条件。 知识点02：三角形外角 1. 定义 三角形外角是指三角形的一边与另一边的延长线组成的角。在三角形的每个顶点处，都有两个外角，它们互为对顶角且相等。但通常我们所说的三角形外角和，是指从每个顶点处各取一个外角相加所得的和。 2. 性质 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。这一性质揭示了三角形内外角之间的数量关系。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。这一性质有助于我们判断三角形中角的大小关系。 性质3：三角形的外角和等于360°。这一性质是三角形外角的一个重要结论，它揭示了三角形外角之间的总和关系。 知识点03：直角三角形的性质与判定 1. 定义：直角三角形是指有一个角为90°的三角形。这个90°的角称为直角，而另外两个角则称为锐角。 2. 性质 性质1：直角三角形的两个锐角互余。即，如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的度数之和为90°。 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这一性质是直角三角形独有的，它揭示了直角三角形斜边中线与斜边之间的数量关系。 3. 判定 判定方法1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。这是直角三角形最直接的判定方法。 判定方法2：有两个角互余的三角形是直角三角形。这一判定方法基于直角三角形的性质1得出。 判定方法3（勾股定理的逆定理）：如果三角形三边满足a²+b²=c²（c为斜边），则这个三角形是直角三角形。这是直角三角形的一种重要判定方法，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。 高频易错知识点拨 易错知识点01：三角形内角和 概念混淆：学生可能混淆“内角”与“外角”的概念，错误地将外角计入内角和的计算中。 应用错误：在解决实际问题时，学生可能忘记使用三角形内角和定理，或者错误地应用该定理导致计算结果错误。 解决方法 强调内角是三角形内部的角，与边相邻；外角是三角形一边与另一边的延长线组成的角。 通过实例练习，加深学生对三角形内角和定理的理解和应用能力。 易错知识点02：三角形外角 性质混淆：学生可能混淆外角的两个性质，特别是第二个性质，错误地认为外角等于不相邻的两个内角。 计算错误：在利用外角性质进行计算时，学生可能因粗心大意导致计算错误。 解决方法 清晰区分外角的两个性质，并通过实例进行说明和练习。 强调在计算过程中要细心，避免因粗心导致的错误。 易错知识点03：直角三角形的性质与判定 判定方法混淆：学生可能混淆直角三角形的判定方法，特别是在使用勾股定理的逆定理时，容易忽略对“c为斜边”的判定。 性质应用错误：在解决实际问题时，学生可能错误地应用直角三角形的性质，如将斜边上的中线误认为是任意一边上的中线。 解决方法 清晰区分直角三角形的判定方法，并通过实例进行说明和练习。 强调在应用直角三角形的性质时，要注意与题目中的条件相匹配，避免错误应用。 考点讲练1：三角形内角和定理的证明 【精讲题】（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知，求证：．（过点作，请按照此思路继续完成证明过程） 【答案】详见解析 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，作出平行线，根据平行线的性质进行证明是解题关键． 【规范解答】证明：如图，过点作． ． ， ． 【举一反三练1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【规范解答】①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 【举一反三练2】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：，，是的三个内角． 对进行说理 小明给出如下说理过程，请补全证明过程．    证明：过点A作 ∵ ∴ ______=______（__________________） ∵（__________________） ∴ 听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们可以借助平行线，对“如图，”进行说理．请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法，不用写出推理过程．    【答案】；；两直线平行，内错角相等；平角定义；作图以及证明见解析 【思路点拨】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的证明；根据平行线的性质与平角的定义可得出推理的依据，如图，作，交于点，利用平行线的性质即可求解结论． 【规范解答】证明：过点作， ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， ， 故答案为： ；；两直线平行，内错角相等；平角定义 证明：作，交于点 ，如图所示：   ， ，， ， ， 即． 【举一反三练3】（22-23七年级下·四川自贡·期中）探究题： 学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．    (1)小明遇到了下面的问题：如图1，，点P在、内部，探究，，的关系．小明过点P作的平行线，可证，，之间的数量关系是： ． (2)如图2，若，点P在AC、BD外部，，，的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程． 证明：过点P作， ．     ， ， ． ， ． (3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题： 已知：如图3，三角形，求证：． 【答案】(1) (2)，， (3)见解析 【思路点拨】（1）设过点P作的平行线为，易得出，从而得出，．再根据，即得出； （2）根据平行线的性质结合角的和与差补全证明过程即可； （3）过点作，根据平行线的性质结合平角为即可证明． 【规范解答】（1）解：如图，设过点P作的平行线为．    ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：； （2）证明：过点P作， ．     ， ， ． ， ． 故答案为：，，； （3）证明：过点作，    ∴，． ∵， ∴． 【考点评析】本题考查平行线的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键． 考点讲练2：与平行线有关的三角形内角和问题 【精讲题】（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． （1）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，根据三角形内角和是即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴． 故的度数为． 【举一反三练1】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，，连接、、，且． (1)若，求的度数． (2)若，求证：． (3)若与互补，求与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，余角和补角，垂线，熟练掌握平行线的性质，以及余角和补角的意义是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得，再根垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据已知和三角形内角和定理可得，从而进行计算即可解答； （3）根据已知可得，然后再利用等量代换可得，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ， ， ， ， 的度数为； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由：与互补， ， ，， ， ． 【举一反三练3】（23-24七年级下·广西钦州·阶段练习）综合实践． 我们发现平行线具有“等角转化”的功能，通过添加平行线可将不同位置的角“凑”在一起，得出角之间的关系．根据平行线的“等角转化”功能，解答下列问题： (1)阅读理解：如图1，相交于点，请说明．阅读并补充下面推理过程．    解：如图1，过点作． ___________． ， ___________． ___________． ． 即． (2)方法掌握：如图2，已知交于点．请写出之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展运用：如图3，已知，点在直线上，平分平分．若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【思路点拨】本题考查平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是正确解答的前提． （1）根据平行线的性质以及图形中角的和差关系可得答案； （2）由平行线的性质可得，再根据角的和差关系得出结论； （3）根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图1，过点P作，    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点M作，如图2：    ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 （3）解：，理由如下： ∵平分平分 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 即 考点讲练3：与角平分线有关的三角形内角和问题 【精讲题】（22-23八年级上·四川泸州·期中）如图所示，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求的度数． 【答案】． 【思路点拨】本题主要考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和定理等知识点，灵活运用三角形内角和定理成为解题的关键． 由高的定义可得，再结合运用三角形内角和定理可求得；再根据三角形内角和定理可得，依据角平分线的定义可得、，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵ ∴； ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴． 【举一反三练1】（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）问题引入： （1）如图1，在中，点O是和平分线的交点，若，则_______；如图2，，，，则_______； 拓展研究： （2）如图3，，，，猜想度数（用α表示），并说明理由； （3）、分别是的外角、的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想_______________（直接写出答案）． 【答案】（1），  （2）  （3） 【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，采取类比的方法是解题的关键，同时渗透了整体思想． （1）由角平分线的定义得，再利用三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形内角和定理得而 代入化简即可； （3）根据三角形内角和定理得而 代入化简即可. 【规范解答】（1）∵点是和 平分线的交点， ， ， 在 中， ， 故答案为：； 在 中， ， 故答案为：； 理由如下： , ， ； （3）在 中， ， 故答案为 ． 【举一反三练2】（22-23八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）已知：如图，在中，D、E分别为、上的点，且的角平分线、交于点F． (1)如果，求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查有关三角形内角平分线求角的度数．解题关键是运用三角形的内角和等于，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想． （1）利用三角形的内角和等于，先求出，再利用角平分线的定义，求出，然后再利用三角形内角和等于，求出即可． （2）利用三角形的内角和等于，先求出，再利用角平分线的定义，求出，然后再利用三角形内角和等于，求出即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 又∵的角平分线、交于点F， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵的角平分线、交于点F， ∴，， ∴， ∴； ∴； 【举一反三练3】（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中． （1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明． 【规范解答】（1）证明：，于D， ，， ； （2）证明：在中，， 同理在中，． 又平分， ， ， 又， ． 考点讲练4：三角形折叠中的角度问题 【精讲题】（22-23八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在中，，点在上，将沿折叠，点落在边的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理以及翻折变换，根据各角之间的关系，求出及的度数是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合折叠的性质，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合折叠的性质，可得出的度数，再将其代入中，即可求出的度数． 【规范解答】解：在中，，， ． 由折叠的性质，可知：，， ． 在中，，， ， ． 点，，共线， ． 故选：C． 【举一反三练1】．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查折叠，三角形的内角和定理，根据折叠的性质，结合角的和差关系求出，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【规范解答】解：由折叠得， ∵，且∠1=100°， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，点F是边上一点，点E在边上运动，将沿直线翻折得到，连接，当时，则 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了图形的翻折，三角形内角和定理，解题关键是分情况讨论． 如图1，由，，得，，得，即可得；如图2，同理得． 【规范解答】解：如图1，由，， 得，， 得， 得； 如图2，同理，， 得， 得； 故答案为：或． 【举一反三练3】（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，将三角形纸片沿折叠． (1)当点A落在四边形内部时，、、的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由； (2)当点A落在四边形外部时，、、的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，； （2），理由如下： 如图： 根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，． 考点讲练5：三角形内角和定理的应用 【精讲题】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F．若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键． 由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【规范解答】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 【举一反三练1】．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． （1）若，则 °； （2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是 ． 【答案】 38 【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理易求的度数．已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）在中，，同理在中，，相减即可得到． 本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识；注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， 即． 故答案为：38； （2）．理由如下： 在中，， ， ， ， 即， ． 即； 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，沿着直线l向右平移得到． (1)若，则 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查平移的性质，三角形内角和定理．熟练掌握平移前后对应角相等，对应边相等是解题的关键． （1）由平移的性质可知，，，根据，计算求解即可； （2）由平移的性质可知，，根据，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：由平移的性质可知，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由平移的性质可知，， ∴， ∴的度数为． 【举一反三练3】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在四边形中，．求证： (1)； (2)如图2，若平分平分，直线与交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理的应用，角度的计算； （1）连接，根据三角形内角和定理，即可求解； （2）设，由（1）可得，则，分别表示出，进而根据三角形内角和定理，得出，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，连接， 在中， ， ∴ 又∵， ∴； （2）解：如图所示，设交于点， 设 ∵平分平分， ∴，, 由（1）可得，则 ∴ ∴ 又∵， ∴ 考点讲练6：直角三角形的两个锐角互余 【精讲题】（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】（）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可； （）由点是中点得，又，从而求解； 此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三练1】（23-24八年级上·四川自贡·开学考试）如图，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．      (1)如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请直接写出　　，　　（结果用含的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，若恰好是的倍，求的值． (3)如图1三角板的放置，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)的值为12或48． 【思路点拨】本题考查平行线的性质，三角板中角度的特点，掌握平行线的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，再求出，最后根据邻补角互补求出对应角的度数即可； （2）根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【规范解答】（1）解：∵，， ，， ，， ， 故答案为：，； （2）解：恰好是的倍， ， 解得， 的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图：则，，   ， ， ， 解得； 如图：   ， ， ， 解得， 综上所述，的值为12或48． 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了三角形角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：是的角平分线， ， 在中，， ， ； （2）在中，是高，， ，， 是的角平分线，     ， ， ． 【举一反三练3】．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图，中，，，平分交于点于点M，交于点N．    (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了三角形内角和，直角三角形两锐角互余，角平分线相关计算，熟练掌握相关性质定义是解题关键． （1）根据三角形内角和结合题意可以求出，再根据即可求出结果； （2）先求出，根据垂线定义得到，利用角平分线定义求出结果即可． 【规范解答】（1）解：， ， 又，即 ， ； （2）解：， ， ， ， 又平分， ， ， ． 考点讲练7：锐角互余的三角形是直角三角形 【精讲题】（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【规范解答】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 【举一反三练1】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）． 【答案】，， 【思路点拨】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得即可得出结论． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵和交于点E， ∴， ∴，，均为直角三角形． 【考点评析】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键． 【举一反三练2】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【规范解答】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【举一反三练3】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、Q在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，找一个格点P，连接，使为直角三角形； (2)在图2中，找一个格点H，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据网格的特点和直角三角形的概念求解即可； （2）根据网格的特点求解即可． 【规范解答】（1）如图1所示，即为所要求作的直角三角形， （2）如图2所示，点H即为所要求作的点，    【考点评析】此题主要考查了应用设计与作图，直角三角形的概念，正确借助网格分析是解题关键． 考点讲练8：三角形的外角的定义及特征 【精讲题】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图1，，求的度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，求的度数； (2)如图2，，点P在射线上运动，记，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握相关性质，应用分类讨论思想解题是解题关键 （1）通过平行线性质可得，再代入可求即可； （2）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）分两种情况：P在的延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图2，过P作交于E， ， ， ， ； （3）①如图所示，当P在的延长线上时，； ， ， 是的一个外角， ， ； ②如图所示，当P在延长线上时，； ， ， 是的一个外角， ， ； 综上所述：或． 【举一反三练1】（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，是的内角的平分线与外角的平分线的交点：依次这样下去，则的度数为 ． 【答案】/2度 【思路点拨】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义得，，再根据三角形外角性质得，于是得到，然后整理可得，同理得到结论，熟知掌握三角形外角的定义及性质是解答此题的关键． 【规范解答】解：∵的内角平分线与外角平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）的三条角平分线相交于点，延长交于点．作，交延长线于点．    (1)若，则 ； (2)判断与的数量关系，并说明理由； (3)求证． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，，再由三角形内角和定理得出，最后再结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）由角平分线的性质结合三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，计算即可得出答案； （3）由三角形内角和定理结合（2）得出，由，推出，结合，得出，即可得证． 【规范解答】（1）解：如图，   ， ∵的三条角平分线相交于点， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵的三条角平分线相交于点， ∴平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）证明：∵的三条角平分线相交于点， ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三练3】（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）[习题回顾]如图1，在中，角平分线、交于点O．求的度数． （1）若，请直接写出________°． [变式思考] （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； [拓展延伸] （3）如图2，在中，角平分线、交于点O，，交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若，求和的度数． 【答案】（1）110 （2），理由见解析 （3）， 【思路点拨】本题考查了双角平分线模型，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线性质，推理出各个角之间的关系是本题的关键． （1）利用三角形内角和和角平分线性质，可求得角度； （2）同（1）利用三角形内角和和角平分线性质得到相应角的关系，可求得角度的关系； （3）利用三角形外角的性质和角平分线性质即可求解． 【规范解答】解：（1）， ， 、分别平分、， ，， ， ， 解：（2）、分别平分、， ， ， ； ， 即； （3）为的外角， ， ， 、分别平分、， ，， 为的外角， ， ， ， ， ， 即， 由（2）知， ， ， ， ， ， ． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵ ∴； 故选B． 2．（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）在中，若，则形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．先根据，可得出的度数，进而得出结论． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：C． 3．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路点拨】本题考查了折叠，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可求出，结合折叠的性质可得出，即可求解． 【规范解答】解∶如图， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知分别是和的角平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，先设，，证明，再代入数据计算即可； 【规范解答】解：如图， ∵分别是和的角平分线， ∴设，， ∵，， 结合三角形的内角和可得： ，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：B. 5．（21-22七年级下·山东青岛·期末）如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点D，若，，则的度数为 ． 【答案】130°/130度 【思路点拨】本题考查三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的性质等，利用轴对称的性质得出，是解题的关键． 【规范解答】解：∵沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，在中，内角和外角的平分线交于点，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查求角度，涉及角平分线定义、三角形外角性质等知识，现有角平分线定义得到，，设，，再由三角形外角性质得到①；②，由①即可得到答案，熟练掌握角平分线定义、三角形外角性质是解决问题的关键． 【规范解答】解：平分、平分， ，， 设，， ，即①； ，即②； 由①得， 与②比较可得， 故答案为：． 7．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，，分别是的边，上的两点，，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则 ． 【答案】/110度 【思路点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，平角的定义、折叠的性质．根据平角定义和折叠的性质，得，再利用三角形的内角和定理进行转换，得． 【规范解答】解：根据平角的定义和折叠的性质，得 ， 又， ． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·河北沧州·期末）将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查的知识点是三角板中角度计算问题、平行线的性质、三角形外角性质，解题关键是熟练掌握三角形外角性质． 先根据平行线性质推得，结合三角板的角度及三角形外角性质得到的即可得解． 【规范解答】解：根据三角板特征可得：，，， ， ， ， ， 是的外角， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交的延长线于点E．若，，求的度数． 【答案】94° 【思路点拨】由得，从而求得，根据三角形外角的性质可求得，再根据角平分线的定义可求得，从而根据三角形的内角和定理求得的度数． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查垂直的定义，角平分线，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在中，，D，E分别是边和延长线上的点，连接，，． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，已知，判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【思路点拨】本题考查了三角形内角和的应用以及外角的性质，解题关键：能利用这些知识点和性质推出角与角之间的等量关系． （1）根据题意可知，由外角性质可推出：，将两角的度数代入即可求出； （2）利用可推出，因为，所以，即可证出平分； 【规范解答】（1）解：，， ， ， ； （2）解：是平分的， 理由如下： ，且，， ， ， ， 平分． 11．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图1，，点D，点C分别在射线上，连接，已知． (1)试说明：； (2)如图2，连接AC，作，交于点E，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，： （1）根据，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再由三角形外角的性质，即可解答． 【规范解答】（1）解：证明：， ， ， ， ． （2）解：．理由如下： ， ， ， ， 是的外角， ． 12．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图中，平分交于点于，且． (1)如图1，锐角，，，则______度； (2)如图1，，则______；（用含、代数式表示） (3)如图2，若是钝角三角形，为钝角，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，理由见解析 【思路点拨】（1）根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质即可得到的度数． （2）根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质即可得到的度数； （3）根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质得到的度数，最后利用直角三角形的内角和即可得到的度数． 【规范解答】（1）解：∵中，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵中，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：（2）中的结论成立，理由如下： ∵中，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，平行线的性质以及直角三角形的两锐角互余等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 培优题真题汇编练 13．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列选项错误的是（    ） A． B． C．平分 D．为定值 【答案】B 【思路点拨】证明，得，故正确；证，得平分，故正确，利用三角形的外角性质及角平分线定义得，进而得，故正确；，若，则，与事实不相符，故错误． 【规范解答】解：如图，    ∵，， ∴，，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故正确， ∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确． ∵， 若， ∴，与事实不相符，故错误； 故选∶． 【考点评析】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于是解题的关键． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是上的一点，是上的一点，连结，，和交于点，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据对顶角相等解答． 【规范解答】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选B． 15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）下列命题：（1）满足的a、b、c三条线段一定能组成三角形；（2）过三角形一顶点作对边的垂线叫做三角形的高；（3）三角形的外角大于它的任何一个内角；（4）直角三角形的两条高和边重合其中假命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了三角形的外角性质，三角形的三边关系，三角形高的定义，以及命题与定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，举出反例即可判断； （2）根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，三角形的高是线段不是直线，据此判断； （3）根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角即可判断； （4）根据直角三角形有一个内角为直角，即两条边互相垂直，根据三角形高的定义即可判断． 【规范解答】解：（1）满足的、、三条线段不一定能组成三角形， 例如，但是，，中，不能构成三角形，本选项为假命题； （2）过三角形一顶点作对边的垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，所做的垂线为直线，不是三角形的高，三角形的高指的是线段，故本选项为假命题；； （3）根据三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，得到三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，而外角与它相邻的内角大小不确定，比如外角为直角时，与它相邻的内角也为直角，两者相等，故本选项为假命题； （4）由直角三角形有一个内角为直角，即两条边互相垂直，根据三角形高的定义可知直角三角形的两条高即为两直角边，本选项为真命题； 则假命题有个． 故选：C． 16．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路点拨】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象． 根据题意可得，①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【规范解答】根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 17．（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ． 【答案】/27度 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形内角和定理的综合运用，设，则，，先求得，即可得到，进而得出，即可得到，再依据内角和即可得到的度数． 【规范解答】解：设，则，， ，， ， ，， ， ，平分， ， 又， ， ， ，即， ， ， 中，， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图是某家具店出售的木椅的侧面图， 其中，，， 则的度数为 ． 【答案】/110度 【思路点拨】本题考查了邻补角的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，由邻补角的性质可得，由平行线的性质可得，进而由三角形的外角性质即可求解，掌握以上性质定理是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）如图，已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点、点在上，连接、、，平分，平分，若，，则的度数为 ． 【答案】/81度 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．先过点B作，根据角平分线的定义，得出，再设，根据，可得，根据，可得，最后解方程组即可得到，，进而得出结论． 【规范解答】解：过点B作，如图： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 中，由， 可得①， 由， 可得②， 由①②联立方程组， 解得， ∴． 故答案为：． 20．（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】证明，由三角形外角得，且，得出，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由，得出，再由平分，所以，，进而可判断出②是否正确；假设平分，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由，利用角的关系得，进而可判断出④是否正确； 【规范解答】解：①∵平分的外角， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故①正确； ②由（1）可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③若平分， ∴， ∵， ∴， ∴，与题干条件矛盾．故③错误. ④在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④ 【考点评析】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键在于掌握外角性质. 21．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，分别为的中线、高，点E为的中点． (1)若求的度数； (2)若的面积为15，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查三角形的内角和，外角，三角形的中线和高线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的外角求出，三角形的内角和定理，求出即可； （2）三角形的中线平分面积求出，然后利用面积公式求出的长即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴， ∵是的高线， ∴， ∴； （2）∵的面积为15，点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）已知：，平分，点A、B、C分别是射线上的动点（A、B、C不与点O重合）连接交射线于点D．设．    (1)如图1，若，则 ①的度数是______； ②当时，______；当时，________． (2)如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)①；②， (2)存在，、35、50、125 【思路点拨】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，角平分线的相关计算，平行线性质，分类讨论的运用是解题的关键． （1）①根据角平分线的定义结合平行线的性质可求解；②可分两种情况：当时，当时，根据三角形点的内角和定理分别计算可求解； （2）可分两种情况：当点D在线段上时；当点D在线段延长线上时，再分别从当时，当时，当∠时，三个角度分别计算可求解． 【规范解答】（1）解：①平分， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：①；②，； （2）①当点D在线段上时， 是的角平分线， ， ， ， ， 若，则， 若，则， 若，则，则， ②当点D在射线上时，因为， 所以只有，此时． 综上可知，存在这样的x的值，且、35、50、125． 23．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值； ②四边形的面积是______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①3；②21 【思路点拨】本题属于四边形的综合题，考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的面积计算、三角形的外角性质，得到是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理即可解决问题； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质计算，即可解决问题； （3）①根据，，，可以求出、，结合图形计算即可； ②连接，设，根据三角形的面积公式列出方程，求出，把代入计算得到答案． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， （2）证明：平分， ， ，， 而， ； （3）①，，， ，， ； ②如图，连接， 设， 则， ， ， ， ， ， ， 解得， 四边形的面积， 故答案为：21． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$