1.5有理数的乘除（4知识点+5题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

1.5 有理数的乘除 课程标准 学习目标 ①掌握有理数的加、减、乘、除及简单的混合运算(以3步以内为主)； ②理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 ③能运用有理数的乘、除运算解决简单问题。 ①理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则并能应用其法则正确进行有理数的乘法运算； ②理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则并能应用其正确进行有理数的除法运算，体会有理数除法和乘法互为逆运算； ③在实际情境中体会有理数乘、除法运算的意义，并利用有理数的乘、除法法则解决实际问题； ④熟练进行有理数的加、减、乘、除混合运算，并解决简单问题。 知识点01 有理数的乘法法则 ·一般地，异号两数相乘（正数乘负数或负数乘正数），只要把它们的绝对值相乘，符号取“－ ”；负数与０相乘得０；两个负数相乘，只要把它们的绝对值相乘，符号取“＋”。 ·有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 ②任何数与０相乘仍得０ ·多个有理数相乘的乘法法则： ①几个数相乘，有一个因数为０，积为０； ②几个不为０的数相乘，积的符号由负因数的个数决定； ③当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 【即学即练1】计算： (1) (2) (3) (4) 【即学即练2】计算： (1)； (2)； 知识点02 倒数 ·倒数：如果两个有理数的乘积为1，我们称这两个有理数互为倒数 【即学即练3】2024相反数的倒数是（   ） A． B． C．2024 D． 【即学即练4】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）的负倒数是 ． 知识点03 有理数的除法法则 ·有理数的除法法则： ①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； ②０除以一个不为０的数仍得０，０不能做除数。 ·有理数除法与乘法的关系： 除以一个不为０的数，等于乘以这个数的倒数。 【即学即练6】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【即学即练7】计算： (1) (2) (3) (4) 知识点04 有理数的加、减、乘、除混合运算 ·有理数乘、除的混合运算，可统一化为乘法运算． ·含加、减、乘、除的算式，如没有括号，应先做乘除运算，后做加减运算；如有括号，应先做括号里的运算． ·运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法对加法的分配律： 【即学即练8】计算： （1） （2） （3） 【即学即练9】阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【即学即练10】简便运算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） ·多个有理数相乘： ①先看各因数中有无0，若有，则乘积的结果为0；若无，则非0. ②有理数相乘，应该先确定符号，再计算绝对值的乘积. ③在进行乘法运算时，当遇到带分数时，要化为假分数，以便于约分；分数与小数相乘时，要根据两个数的特点，统一成分数或小数. ·乘法交换律和结合律：简化有理数乘法的运算： 将能够凑整、便于约分的因数运用乘法交换律与结合律结合在一起. 【题型一：有理数的四则混合运算】 例1．计算： （1） （2）； （3） （4）． 变式1.计算： (1) (2) (3) (4) 【技巧方法与总结】 ·在进行有理数的加减乘除混合运算时，要牢记运算顺序： ①先乘除，再加减，有括号时要先算括号里的；②乘除运算要统一成乘法运算，再运用乘法运算律简化计算；③运算时还需注意符号 . ·利用乘法的交换律和结合律——简化有理数乘法的方法： ①互为倒数的两个数乘积为 1，这是结合的一个原则；②对于几个有理数相乘，先确定积的符号，再把能够凑整、便于约分的因数运用乘法交换律与结合律结合在一起. 【题型二：与有理数四则运算有关的概念判断】 例2．下列说法，其中正确的个数是（   ） ①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；⑤0是最小的有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-1.（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）下列语句正确的是（   ） A．是最小的自然数 B．是最小的自然数 C．绝对值最小的数是 D．任何有理数都有倒数 变式2-2.（23-24七年级上·安徽安庆·期中）若两个数的商为，下列说法错误的是（    ） A．这两个数一定异号 B．这两个数一定互为相反数 C．这两个数的绝对值一定相等 D．这两个数可能相等 【题型三：应用有理数的加减运算解实际问题】 例3．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐15为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 (1)求这8筐花生的总重量为多少千克？ (2)在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子5千克，请你帮七年一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 变式3-1.（23-24七年级上·广东汕尾·期末）小康水平的一个指标是年人均收入1000美元．2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的 美元数用正数表示，不足1000美元的美元数用负数表示，此10户的年人均收入如下（单位：美元）： 0 (1)请你算一下这10户有百分之多少达到了小康指标？ (2)10户年平均收入为多少美元？ 变式3-2．某校在阶梯教室举行英语沙龙活动，张红的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，李强的座位号与下列一组数中正整数的个数相等． 7，，0，，，，，36，，，，. (1)问张红、李强坐的各是第几号位置？ (2)若这次参加英语沙龙的人数是张红座位号的3倍与李强座位号的5倍的和，问这次参加英语沙龙的学生有多少人？ 变式3-3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水． 容器甲    容器乙     容器丙 (1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； (2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间． 【方法技巧与总结】 根据实际问题，找到数量关系，列算式，进行有理数运算解题。 例4．（22-23七年级上·安徽淮北·期中）如图， 7          2     5      1 (1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______ (2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ， (3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取的数为______________，算式为___________________ 【题型四：定义新运算】 例5．（22-23七年级上·广西柳州·期中）若x是不等于1的有理数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，而是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……以此类推，则等于（　　） A． B． C． D．3 变式5-1．小明与小刚规定了一种新运算△：．小明计算出，请你帮小刚计算 ． 变式5-2．规定一种新的运算“*”：，则 ． 【方法技巧与总结】 解数字变化类、新定义运算问题：关键是明确题意，理解新定义的运算法则，发现数字的变化特点。 数字变化问题：写出这列数的前几项，然后即可发现数字的变化特点 新定义运算：按照新定义的运算法则，代数求值 【题型五：含字母的绝对值问题与有理数的四则运算】 例6．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）已知，，根据下列条件，求代数式的值． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【方法技巧与总结】①绝对值的意义；②分类讨论的思想：讨论符号； 例7. （23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 变式7.（22-23七年级上·安徽蚌埠·期中）若，则的取值可能是（    ） A． B．1或 C． D．或3 【技巧方法与总结】①相反数，绝对值的意义；②分类讨论的思想 像的式子，主要用分类讨论的思想：分m、n为同为正，一正一负，同为负三种情况讨论。 一、选择题 1．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）计算的正确结果是（    ） A．4 B． C．6 D． 2．（2014·江苏南京·一模）的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）下列运算结果等于1的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）与的积为1的是（    ） A．2023 B． C． D． 5．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）下列说法不正确的是（    ） A．如果两个数的和为，那么这两个数的商一定为 B．如果两个数的商为，那么这两个数的和一定为 C．如果两个数的积为，那么这两个数互为倒数 D．如果两个数的商为正数，那么这两个数的符号一定相同 6．一个数的倒数等于这个数本身，这个数是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 7．（22-23七年级上·河北邢台·期末）的变形的依据是（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．分配律 8．观察下图，它的计算过程可以解释（　　）这一运算规律          A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 二、填空题 9．已知、互为倒数，则 . 10．的倒数是 ． 11．（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 12．如图是一个数值转换机，若输入的为，则输出的结果是 ． 13．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）定义一种新运算“”，即，例如：．则的值是 ． 三、解答题 14．能简算的简算： (1) (2) (3) (4) 15．计算： (1) (2) (3) (4) 16．计算： (1) ； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)． 17．水果店将售价80元千克的草莓配上售价35元千克的葡萄，搭配成水果拼盘．现在把0.5千克草莓和1千克葡萄搭配后，每千克至少卖多少钱才不会亏本？ 18．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，请任选其中的两块木牌上的数字做乘法，结果记作P． (1)要使P的值最大，选择的两个数字为 ， ． (2)计算P的最大值． (3)计算P的最大值比P的最小值大多少． 19．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）某公司去年1～3月份平均每月亏损1.6万元，4～6月份平均每月盈利2万元，7～10月份平均每月盈利1.7万元，11～12月份平均每月亏损2.2万元（假设盈利为正，亏损为负） (1)试说明去年该公司是盈利的还是亏损的． (2)求去年该公司平均每月盈利（或亏损）多少万元， 20．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）蛙埠出租车司机张师傅年月的某日上午从地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；×表示空载，√表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 里程 载客 × √ √ × √ √ × √ × (1)张师傅走完第9次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (2)如果出租车每千米耗油约升，张师傅开始营运前油箱里有10升油，若少于3升，则需要加油，请通过计算说明张师傅行驶第9次后是否可以不加油； (3)如果载客时3千米以内收费8元，超过3千米后每千米收费元，问张师傅这天上午走完9次里程后的营业额为多少元？ 21．（23-24七年级下·四川资阳·期中）某工艺厂计划一周生产工艺品个，平均每天生产个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (4)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏，如图所示，将数字1．2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（    ） A．100 B．500 C．505 D．510 2．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 3．运算： (1) (2) (3) 4．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． （23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知，如图A 、B分别为数轴上的两点，点对应的数为 ，点对应的数为 ． （1）的中点 对应的数为 （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度的时间为 秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 有理数的乘除 课程标准 学习目标 ①掌握有理数的加、减、乘、除及简单的混合运算(以3步以内为主)； ②理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 ③能运用有理数的乘、除运算解决简单问题。 ①理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则并能应用其法则正确进行有理数的乘法运算； ②理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则并能应用其正确进行有理数的除法运算，体会有理数除法和乘法互为逆运算； ③在实际情境中体会有理数乘、除法运算的意义，并利用有理数的乘、除法法则解决实际问题； ④熟练进行有理数的加、减、乘、除混合运算，并解决简单问题。 知识点01 有理数的乘法法则 ·一般地，异号两数相乘（正数乘负数或负数乘正数），只要把它们的绝对值相乘，符号取“－ ”；负数与０相乘得０；两个负数相乘，只要把它们的绝对值相乘，符号取“＋”。 ·有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 ②任何数与０相乘仍得０ ·多个有理数相乘的乘法法则： ①几个数相乘，有一个因数为０，积为０； ②几个不为０的数相乘，积的符号由负因数的个数决定； ③当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 【即学即练1】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）解：； （2）解：． （3）解：； （4）原式． 【即学即练2】计算： (1)； (2)； 【答案】(1)；(2) 【详解】 （1）解： ； （2）解： ； 知识点02 倒数 ·倒数：如果两个有理数的乘积为1，我们称这两个有理数互为倒数 【即学即练3】2024相反数的倒数是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】B 【详解】的相反数是， 相反数的倒数是． 故选：B． 【即学即练4】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是倒数的含义，根据倒数的含义求解倒数即可． 【详解】解：的倒数是， 故选C． 【即学即练5】（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）的负倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的负倒数，熟知乘积为的两个数互为负倒数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的负倒数是， 故答案为：． 知识点03 有理数的除法法则 ·有理数的除法法则： ①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； ②０除以一个不为０的数仍得０，０不能做除数。 ·有理数除法与乘法的关系： 除以一个不为０的数，等于乘以这个数的倒数。 【即学即练6】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【答案】(1)；(2)；(3)2；(4)；(5)；(6)；(7) 【详解】 （1）解：； （2）解：． （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解： 【即学即练7】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4；(2)50；(3)；(4)2 【详解】（1）解：． （2）原式= （3）解：； （4）解：； 知识点04 有理数的加、减、乘、除混合运算 ·有理数乘、除的混合运算，可统一化为乘法运算． ·含加、减、乘、除的算式，如没有括号，应先做乘除运算，后做加减运算；如有括号，应先做括号里的运算． ·运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法对加法的分配律： 【即学即练8】计算： （1） （2） （3） 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解： （2）解：原式 ． （3）解： ． 【即学即练9】阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解；∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴ 【即学即练10】简便运算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【答案】(1)0；(2) ；(3) ；(4) ；(5)2；(6)-63；(7)15 【详解】（1）解： （2）原式 ． （3）原式 ； （4）解： （5）解： ． （6） ． （7）解： ． ·多个有理数相乘： ①先看各因数中有无0，若有，则乘积的结果为0；若无，则非0. ②有理数相乘，应该先确定符号，再计算绝对值的乘积. ③在进行乘法运算时，当遇到带分数时，要化为假分数，以便于约分；分数与小数相乘时，要根据两个数的特点，统一成分数或小数. ·乘法交换律和结合律：简化有理数乘法的运算： 将能够凑整、便于约分的因数运用乘法交换律与结合律结合在一起. 【题型一：有理数的四则混合运算】 例1．计算： （1） （2）； （3） （4）． 【答案】(1) ；(2)18；(3)；(4)54 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式1.计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)100；(2)90；(3)2018；(4) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算． （1）按照带括号的四则混合运算法则，要先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的，有中括号和小括号的要先算小括号再算中括号； （2）按照带括号的四则混合运算法则，要先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的，有中括号和小括号的要先算小括号再算中括号； （3）利用乘法分配律及乘法分配律的逆运算进行简便运算，注意计算过程中，根据数字40．36和20．18的特点，将40．36写成20．18×2的形式； （4）观察数字特点结合数据之间的倍数关系，将改写成，将改写成，再利用乘法分配律的逆运算进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【技巧方法与总结】 ·在进行有理数的加减乘除混合运算时，要牢记运算顺序： ①先乘除，再加减，有括号时要先算括号里的；②乘除运算要统一成乘法运算，再运用乘法运算律简化计算；③运算时还需注意符号 . ·利用乘法的交换律和结合律——简化有理数乘法的方法： ①互为倒数的两个数乘积为 1，这是结合的一个原则；②对于几个有理数相乘，先确定积的符号，再把能够凑整、便于约分的因数运用乘法交换律与结合律结合在一起. 【题型二：与有理数四则运算有关的概念判断】 例2．下列说法，其中正确的个数是（   ） ①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；⑤0是最小的有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①整数和分数统称为有理数是正确的； ②绝对值是它本身的数有正数和0，原来的说法是错误的； ③两数如果均为负数，之和可能小于每个加数，原来的说法是错误的； ④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0是正确的； ⑤没有最小的有理数，原来的说法是错误的； 正确的个数是2个， 故选：B． 变式2-1.（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）下列语句正确的是（   ） A．是最小的自然数 B．是最小的自然数 C．绝对值最小的数是 D．任何有理数都有倒数 【答案】C 【详解】解：∵是最小的自然数，故A，B选项错误 C. 绝对值最小的数是，故该选项正确，符合题意； D. 除以外任何有理数都有倒数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 变式2-2.（23-24七年级上·安徽安庆·期中）若两个数的商为，下列说法错误的是（    ） A．这两个数一定异号 B．这两个数一定互为相反数 C．这两个数的绝对值一定相等 D．这两个数可能相等 【答案】D 【详解】解：A．∵两个数的商为，∴这两个数一定异号，故正确； B．∵两个数的商为，∴这两个数一定互为相反数，故正确； C．∵两个数的商为，∴这两个数一定互为相反数，∴这两个数的绝对值一定相等，故正确； D．∵两个数的商为，∴这两个数一定异号，∴这两个数不可能相等，故不正确． 故选D． 【题型三：应用有理数的加减运算解实际问题】 例3．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐15为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 (1)求这8筐花生的总重量为多少千克？ (2)在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子5千克，请你帮七年一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【答案】(1)这8筐花生的总重量为117kg (2)他们此次耕种花生获利了669元 【详解】（1）由题意得， 答：这8筐花生的总重量为117． （2）（元） 答：他们此次耕种花生获利了669元. 变式3-1.（23-24七年级上·广东汕尾·期末）小康水平的一个指标是年人均收入1000美元．2008年对某地进行随机抽样调查，得出10户年人均收入，若以人均1000美元以上为达到小康指标，超过1000美元的 美元数用正数表示，不足1000美元的美元数用负数表示，此10户的年人均收入如下（单位：美元）： 0 (1)请你算一下这10户有百分之多少达到了小康指标？ (2)10户年平均收入为多少美元？ 【答案】(1) (2)10户年平均收入为1170美元 【详解】（1）解：由表格数据可知，超过1000美元的户数有，，，，，共6户， ∴， 故这10户有达到了小康指标． （2） (美元) 故10户年平均收入为1170美元． 变式3-2．某校在阶梯教室举行英语沙龙活动，张红的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，李强的座位号与下列一组数中正整数的个数相等． 7，，0，，，，，36，，，，. (1)问张红、李强坐的各是第几号位置？ (2)若这次参加英语沙龙的人数是张红座位号的3倍与李强座位号的5倍的和，问这次参加英语沙龙的学生有多少人？ 【答案】(1)张红的座位号是7，李强的座位号是3 (2)36 【详解】（1）负数有：，，，,，，共7个；正整数有：7，36，，共3个． 张红的座位号是7，李强的座位号是3． （2） (人)， 答：这次参加英语沙龙的学生有36人． 变式3-3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水． 容器甲    容器乙     容器丙 (1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； (2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间． 【答案】(1) (2)当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，圆柱的容积计算，关键是注意分类讨论． （1）甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，即乙容器水位达到甲容器中水的水位； （2）分水还未达到管子连接处、乙水位达到了管子连接处两种情况讨论． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：分两种情况：①乙容器中水还未达到管子连接处，i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时； ， 丙装满时间为， 即后，此时丙水位达到了管子连接处，，丙处水流入乙；此时容器乙高度增加速度， i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时； 当时，， ii) 当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时；此时丙水位达到了管子连接处，丙处水流入乙； 时，， 乙装满时间为； ②乙水位达到了管子连接处，当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时； 即后，，时， 综上，当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差． 【方法技巧与总结】 根据实际问题，找到数量关系，列算式，进行有理数运算解题。 例4．（22-23七年级上·安徽淮北·期中）如图， 7          2     5      1 (1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______ (2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ， (3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取的数为______________，算式为___________________ 【答案】(1)35；(2)；(3)，2，5，1；（答案不唯一） 【分析】（1）两个数的乘积要最大，首先两个数要同号，其次绝对值要最大，从而可得答案； （2）两个数的商要最小，首先两个数要异号，其次被除数的绝对值要最大，从而可得答案； （3）由，再确定选取，2，5，1即可． 【详解】（1）解：从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是， 故答案为：35； （2）从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是； 故答案为：； （3）选取：，2，5，1； 算式为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查的是有理数的四则运算，熟记有理数的加减法，乘法与除法运算的运算法则是解本题的关键． 【题型四：定义新运算】 例5．（22-23七年级上·广西柳州·期中）若x是不等于1的有理数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，而是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……以此类推，则等于（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：由题意可得， 解：∵，是的差倒数，， ∴, 同理可得， ， ， ， 依此规律得出结果每三个数一循环， ∵， ∴ 故选C． 变式5-1．小明与小刚规定了一种新运算△：．小明计算出，请你帮小刚计算 ． 【答案】16 【详解】解：由题意，得：2△， 故答案为：16． 变式5-2．规定一种新的运算“*”：，则 ． 【答案】 【分析】按照新定义的运算法则可得，再按照有理数的混合运算，先计算括号内的加减运算，再计算乘法运算即可得到答案. 【详解】解： 故答案为： 【方法技巧与总结】 解数字变化类、新定义运算问题：关键是明确题意，理解新定义的运算法则，发现数字的变化特点。 数字变化问题：写出这列数的前几项，然后即可发现数字的变化特点 新定义运算：按照新定义的运算法则，代数求值 【题型五：含字母的绝对值问题与有理数的四则运算】 例6．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）已知，，根据下列条件，求代数式的值． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)；(2)14或；(3)的值为或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加减法等知识，根据“，”得出，，再根据不同的条件求出、的值，然后代入求值即可，求出、的值是解题的关键． （1）利用“，”求出、的值，从而得解； （2）利用“”，即a与b异号，求出、的值，从而得解； （3）利用“”得出，求出、的值，从而得解； 【详解】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∴； （2）∵， ∴a与b异号． 当，时，， 当，时，． ∴的值为14或． （3）∵， ∴， ∴，． 当，时，， 当，时，． ∴的值为或． 【方法技巧与总结】①绝对值的意义；②分类讨论的思想：讨论符号； 例7. （23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①⑤/⑤① 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，， 当，，时，原式； 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：①⑤． 变式7.（22-23七年级上·安徽蚌埠·期中）若，则的取值可能是（    ） A． B．1或 C． D．或3 【答案】D 【分析】分m、n为同为正，一正一负，同为负三种情况讨论求解即可． 【详解】当m、n同为正时，； 当m、n为一正一负时，（n为负时结果相同）； 当m、n同为负时，， 综上所述，的取值可能是或3， 故选：D． 【技巧方法与总结】①相反数，绝对值的意义；②分类讨论的思想 像的式子，主要用分类讨论的思想：分m、n为同为正，一正一负，同为负三种情况讨论。 一、选择题 1．（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）计算的正确结果是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】解： 故选A． 2．（2014·江苏南京·一模）的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴2的倒数是， 故选：B． 3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）下列运算结果等于1的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，根据有理数加减乘除的运算方法，逐项判断即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意． 故选：C． 4．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）与的积为1的是（    ） A．2023 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查倒数的性质，熟练掌握倒数的性质是解题的关键．由积为1得到答案即可． 【详解】解：由于与的积为1， 故该数与互为倒数，故为， 故选D． 5．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）下列说法不正确的是（    ） A．如果两个数的和为，那么这两个数的商一定为 B．如果两个数的商为，那么这两个数的和一定为 C．如果两个数的积为，那么这两个数互为倒数 D．如果两个数的商为正数，那么这两个数的符号一定相同 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法和除法运算，根据有理数的相关运算法则进行逐一判断即可，注意不能做除数，解题的关键是熟知有理数的运算法则． 【详解】解：、如果两个数都为，其和为，但这两个数的商不存在，故此选项错误； 、如果两个数的商为，则这两个数一定互为相反数，其和一定为，此选项正确； 、如果两个数的积为，那么这两个数互为倒数，此选项正确； 、如果两个数的商为正数，则这两个数同为正数或同为负数，因此这两个数的符号一定相同，此选项正确； 故选：． 6．一个数的倒数等于这个数本身，这个数是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】C 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解：一个数的倒数等于这个数本身，这个数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的意义是解题关键． 7．（22-23七年级上·河北邢台·期末）的变形的依据是（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．分配律 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法结合律进行计算即可求解． 【详解】解：的变形的依据是乘法结合律， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键． 8．观察下图，它的计算过程可以解释（　　）这一运算规律          A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】根据图形，可以写出相应的算式，然后即可发现用的运算律． 【详解】解：由图可知，， 由上可得，上面的式子用的是乘法分配律， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． 二、填空题 9．已知、互为倒数，则 . 【答案】1 【分析】根据倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，可得答案． 【详解】解：∵a和b互为倒数， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了倒数，关键是掌握乘积是1的两数互为倒数． 10．的倒数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 【答案】12 【分析】题目主要考查有理数的除法的应用，根据时间等于路程除以速度计算即可，注意单位的变换． 【详解】解：根据题意得：小时， 小时分钟， 故答案为：12． 12．如图是一个数值转换机，若输入的为，则输出的结果是 ． 【答案】 【分析】根据转换机的设置，结合有理数的混合运算法则求出即可． 【详解】解：如图所示：若输入的为，则输出的结果是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 13．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）定义一种新运算“”，即，例如：．则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算．按照定义的新运算，进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故答案为： 三、解答题 14．能简算的简算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 15．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．计算： (1) ； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)14；(2)37；(3)0；(4)5；(5)；(6)0 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ； （3）原式= ； （4）原式= ； （5）原式 ； （6）原式 ． 17．水果店将售价80元千克的草莓配上售价35元千克的葡萄，搭配成水果拼盘．现在把0.5千克草莓和1千克葡萄搭配后，每千克至少卖多少钱才不会亏本？ 【答案】50元 【详解】解：（元）， 答：每千克至少卖元才不会亏本． 18．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，请任选其中的两块木牌上的数字做乘法，结果记作P． (1)要使P的值最大，选择的两个数字为 ， ． (2)计算P的最大值． (3)计算P的最大值比P的最小值大多少． 【答案】(1)，；(2)；(3)P的最大值比最小值大54 【详解】（1）解：要使P的值最大，选择的两个数字应该是同号，这样保证结果为正数， ， 选择的两个数字为，， 故答案为：，； （2）， P的最大值为24； （3）P最小值的两个数字的符号相反， P最小值为， ， P的最大值比P的最小值大54． 19．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）某公司去年1～3月份平均每月亏损1.6万元，4～6月份平均每月盈利2万元，7～10月份平均每月盈利1.7万元，11～12月份平均每月亏损2.2万元（假设盈利为正，亏损为负） (1)试说明去年该公司是盈利的还是亏损的． (2)求去年该公司平均每月盈利（或亏损）多少万元， 【答案】(1)盈利的 (2)盈利0.3万元 【详解】（1）解：由题意，得：万元； ∴去年该公司是盈利的； （2）万元； 答：去年该公司平均每月盈利0.3万元． 20．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）蛙埠出租车司机张师傅年月的某日上午从地出发，在南北方向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；×表示空载，√表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 里程 载客 × √ √ × √ √ × √ × (1)张师傅走完第9次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (2)如果出租车每千米耗油约升，张师傅开始营运前油箱里有10升油，若少于3升，则需要加油，请通过计算说明张师傅行驶第9次后是否可以不加油； (3)如果载客时3千米以内收费8元，超过3千米后每千米收费元，问张师傅这天上午走完9次里程后的营业额为多少元？ 【答案】(1)张师傅走完第9次里程后，他在地的南面，离地有4千米--0 (2)不需要加油 (3)张师傅这天上午走完9次里程后的营业额元 【详解】（1）解：依题意，， 所以张师傅走完第9次里程后，他在地的南面，离地有4千米． （2）解：行驶的总路程：（千米）， 耗油量为：（升）， 因为， 所以不需要加油． （3）解：第2次载客收费：（元）， 第3次载客收费：（元）， 第6次载客收费：（元）， 第8次载客收费：（元）， 所以总营业额为：（元）， 所以张师傅这天上午走完9次里程后的营业额元． 21．（23-24七年级下·四川资阳·期中）某工艺厂计划一周生产工艺品个，平均每天生产个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (4)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】(1)该厂星期一生产工艺品的数量为个； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产个工艺品； (3)该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量个； (4)该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元 【详解】（1）平均每天生产个，超产记为正，减产记为负， 周一的产量为：个； 答：该厂星期一生产工艺品的数量为个． （2）由表格可知：星期六产量最高为（个），星期五产量最低为（个），则产量最多的一天比产量最少的一天多生产（个）； 答：本周产量最多的一天比最少的一天多生产个工艺品． （3）根据题意得一周生产的工艺品为：（个） 答：服装厂这一周共生产工艺品个； （4）， （元） 则该工艺厂在这一周应付出的工资总额为：， 答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元． 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏，如图所示，将数字1．2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（    ） A．100 B．500 C．505 D．510 【答案】C 【详解】解：根据题意，时，需要将100个正整数1，2，3，，100，填入的方格内， 全部数字的和为， 而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为， 又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故． 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 【答案】； 【详解】解：由题意可得， ∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∵是数轴负半轴上到原点的距离为1的数， ∴， ∴原式 ． 3．运算： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)30；(3)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， ；(2)满足交换律，理由见解析 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． （23-24七年级上·安徽合肥·期中）已知，如图A 、B分别为数轴上的两点，点对应的数为 ，点对应的数为 ． （1）的中点 对应的数为 （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度的时间为 秒． 【答案】 40 13秒或27秒 【分析】本题主要考查题考查数轴上两点之间的距离． （1）先求出4、B两点之间的距离，再求出M点到A、B两点的距离，然后再用B点对应的数减去M点到A、B两点的距离即可求得答案． （2）此问分为2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位长度，根据距离除以速度等于时间即可求得答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∵点对应的数为 ， ∴对应的数为， 则与A，B两点距离相等的M点对应的数为40， 故答案为：40； （2）相遇前∶ (秒)， 相遇后∶(秒)， 则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度， 故答案为：13秒或27秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$