圆锥曲线压轴小题课件-2025届高三数学一轮复习

专题培优课　高考中的圆锥曲线压轴小题 【考情分析】　近几年高考常常把圆锥曲线作为压轴小题，难度较大，综合考查学生的分析问题、解决问题的能力． 关键能力·题型剖析 题型一 离心率范围问题 例1 (1)过双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且∠ADB为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为(　　) A．(1，) B．(， ) C．(，2) D．(，＋∞) 答案： D 解析：设双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c，0)， 令x＝－c，得y＝±，可设A(－c，)，B(－c，－)， 由对称性，不妨设D(0，b)，可得＝(－c，－b)，＝(－c，－－b)， 由题意知A，D，B三点不共线， 所以∠ADB为钝角⇔·<0， 即为c2－(＋b)(－b)<0， 将b2＝c2－a2代入化简得c4－4a2c2＋2a4>0， 由e＝，可得e4－4e2＋2>0， 又e>1，解得e2>2＋，则e>， 综上，离心率的取值范围为(，＋∞)．故选D. (2)[2024·河北石家庄模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为2，过椭圆C的右焦点F且不与两坐标轴平行的直线交椭圆C于A，B两点，若x轴上的点P满足|PA|＝|PB|且|PF|>恒成立，则椭圆C离心率e的取值范围为________． (0，] 解析：依题意，点F(1，0)，设直线AB：x＝ty＋1，t≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去x得：(b2t2＋a2)y2＋2b2ty＋b2－a2b2＝0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝，线段AB的中点M(，－)， 因为|PA|＝|PB|，则有PM⊥AB，直线PM：y＋＝－t(x－)， 令y＝0得点P(，0)，而a2－b2＝1，有＝<1， 又|PF|>，即1－>，因此0<<，即b2t2＋a2>3， 依题意，b2t2＋a2>3恒成立，而恒有b2t2＋a2>a2，因此a2≥3⇔a≥，离心率e＝， 所以椭圆C离心率e的取值范围为0<e≤. 题后师说 求解圆锥曲线离心率范围问题的策略 巩固训练1 (1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A．(0，) B．(0，) C．() D．(，1) 答案： B　 解析：根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：＝1(a>b>0)，设F1(－c，0)，F2(c，0)，设＝0⇒(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝c2＝＝，点M(x0，y0)在椭圆内部，有b2a2b2>2a2－，要想该不等式恒成立，只需2a2－<0⇒2a2c2<a4⇒2c2<a2⇒e＝<，而e>0⇒0<e<，故选B. (2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，] B．[，＋∞) C．(1，] D．[，＋∞) 答案：A 解析：设P(x，y)，|PB|≥b⇒≥b⇒x2＋y2－2by≥0(*)，由＝1⇒x2＝a2(1＋)，代入不等式*中，化简，得y2－2by＋a2≥0恒成立，则有Δ＝4b2－≤0⇒b4≤a2c2⇒b2≤ac⇒c2－a2≤ac⇒e2－e－1≤0，解得≤e≤，而e>1，所以1<e≤.故选A. 题型二 圆锥曲线中的二级结论的应用 角度一　椭圆、双曲线中二级结论的应用 例2(1)(多选)[2024·安徽黄山模拟]已知椭圆C：＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，则下列选项正确的是(　　) A．存在点P，使得cos ∠F1PF2＝－ B．若△PF1F2为直角三角形，则这样的点P有4个 C．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值－ D.椭圆C内接矩形的周长取值范围是(4，8] 答案： CD 解析：设椭圆上任意一点为P(x，y)，F1(－，0)，F2(，0)，则＝＝(－x，－y)，|F1F2|＝2c＝2， 由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝ ＝＝－1 ∵|PF1|·|PF2|≤＝a2，cos ∠F1PF2≥－1＝－1，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，此时P在椭圆的上下顶点处，cos ∠F1PF2最小，∠F1PF2最大， 对于A，当P在椭圆的上下顶点时，cos ∠F1PF2＝－1＝－>－，故不存在点P，使得cos ∠F1PF2＝－，故A错误；对于B，当P在椭圆的上下顶点时，cos ∠F1PF2的最小值为cos ∠F1PF2＝－>0，此时∠F1PF2为钝角，根据椭圆的对称性可知：当∠P为直角时，此时有4个满足位置的点P，当∠F1为直角时，满足条件的P有2个，同理∠F2为直角时，也有2个满足条件的P，故当△PF1F2为直角三角形时，有8个满足条件的P，故B错误；对于C，A(－，0)，B(0)，所以kAPkBP＝·＝＝＝－，故C正确； 对于D，不妨设M(sin α，cos α)是椭圆在第一象限的内接矩形的一顶点，根据椭圆的对称性可知椭圆的内接矩形的四个顶点关于坐标轴对称，故矩形的周长为4(sin α＋cos α)＝8sin (α＋)，故当α＝ 时，M()在椭圆上，此时周长最大为8，当α＝0时，此时8sin (α＋)＝4，此时M在短轴上，不能构成矩形，故周长大于4，故周长的范围为(4，8]，故D正确．故选CD. (2)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，上顶点为A，过左焦点F1的直线l1与C交于D，E两点，过右焦点F2的直线l2经过A点，且l1⊥l2.若四边形AEF2D的面积为，则C的长轴长为________． 4 解析：设椭圆C的半焦距为c(c>0)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，则＝，椭圆C：＝1. 由题可知△AF1F2为等边三角形，所以|AF2|＝|AF1|＝|F1F2|＝2c， 因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点， 所以kDE＝tan 30°＝.由线段垂直平分线的性质可得|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|. 直线DE的方程为y＝(x＋c)，与C的方程联立化简可得13x2＋8cx－32c2＝0， 由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以， |DE|＝|x1－x2|＝·＝·＝. 所以＝|AF2||DE|＝＝， 解得c＝1，则a＝2.故C的长轴长为2a＝4. 题后师说 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan ，双曲线中＝.周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝. 巩固训练2 (1)设椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　) A． B． C．－1 D．－ 答案： B 解析：∵∠F1AF2＝90°， ∴△F1AF2为等腰直角三角形， ∴b＝c， ∴a2＝2b2＝2c2， ∴＝，且∠AF2O＝45° ∴kMA＝－1， 又kMA·kMB＝－＝－， ∴kMB＝.故选B. (2)[2024·安徽合肥模拟]已知M，N为双曲线＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，＝，直线NE交双曲线的右支于点P，若PM⊥MN，则双曲线的离心 率e为________． 解析：设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，由＝得E(x1，－y1)， 从而有kMN＝，kPN＝kEN＝＝－，又PM⊥MN，所以kMP＝－， 又由得＝，则＝， 即kPMkPN＝，所以kPMkPN＝(－)·(－)＝＝，所以e＝＝ ＝. 角度二　抛物线中的二级结论及应用 例3(1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝(　　) A．4 B． C．5 D．6 答案： B　 解析：∵F(1，0)，根据题意设y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，k≠0， 联立可得k2x2－(2k＋4)x＋k2＝0， ∴ 又|AF|＝2|BF|， ∴1＋x1＝2(1＋x2)， ∴x1＝1＋2x2，又x1x2＝1， ∴x2＝，x1＝2， ∴|AB|＝p＋x1＋x2＝2＋2＋＝，故选B. (2)(多选)[2024·山东德州模拟]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，直线l与x轴交于点P，过点F的直线与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，则(　　) A．若x1＋x2＝8，则|AB|＝12 B．·＝－27 C．＝ D．△PAB面积的最小值为16 答案：ACD 解析：抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线l：x＝－2，P(－2，0)， 设直线AB为x＝my＋2， 则即y2－8my－16＝0， Δ＝64m2＋64>0，故＝64x1x2＝162，故x1x2＝4， 对选项A：|AB|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4＝12，正确； 对选项B：·＝x1x2＋y1y2＝4－16＝－12，错误； 对选项C：＝＝＝＝，正确； 对选项D：S△PAB＝×|PF|×|y2－y1|＝ 2＝2≥16， 当m＝0时等号成立，正确．故选ACD. 题后师说 抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下： 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 巩固训练3 (多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，P为C上的一动点，A(5，1)，则下列结论正确的是(　　) A．p＝4 B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8 C．|PF|的最小值为4 D．|PA|＋|PF|的最小值为9 答案：CD 解析：对于A，由抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)可知＝4⇒p＝8，故A错误； 对于B，当PF⊥x轴时，则点P的横坐标为4，将其代入y2＝16x中得y＝±8，故B错误； 对于C，设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋4，由于x0≥0，所以|PF|＝x0＋4≥4，故|PF|的最小值为4，故C正确； 对于D，过P作PM垂直于准线于M，过A作AE垂直于准线于E， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|≥|AM|≥|AE|＝9，当P，E，A三点共线时等号成立，故D正确．故选CD. 题型三 圆锥曲线与其他知识的综合 例4 人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y＝x＋的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线．现将函数y＝3x＋的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是(　　) A．3＋ B．20－6 C． D． 答案：D 解析：由课本“探究与发现”可知y＝3x＋的两条渐近线分别为y＝3x，x＝0， 所以该函数对应的双曲线的焦点在y＝3x与x＝0夹角(锐角)的角平分线l上， 设l：y＝kx且k>3， 若α，β分别是y＝kx，y＝3x的倾斜角，故tan α＝k，tan β＝3， 故α－β为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角， 因为y＝kx是y＝3x与x＝0夹角(锐角)的角平分线， 所以α－β＝－α， 由tan (α－β)＝tan (－α)＝＝， 即tan (α－β)＝＝＝， 整理得k2－6k－1＝0，可得k＝3±， 因为k>3，所以k＝3＋， 即tan (α－β)＝＝－3， 设焦点位于x轴上的双曲线方程：＝1， 则双曲线C一条渐近线斜率为， 所以＝－3， 所以函数y＝3x＋的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C的离心率 e＝ ＝＝.故选D. 题后师说 高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性． 巩固训练4 [2024·河北沧州模拟]若P为抛物线C：x2＝2py(p>0)在第二象限内一点，抛物线C的焦点为F，直线PF的倾斜角为30°，抛物线在点P处的切线与y轴相交于点M.若|OM|＝(O为坐标原点)，则△MPF的面积为____________． 解析：依题意，F(0，)，直线PF的斜率为tan 30°＝，则直线PF的方程为y＝x＋， 与抛物线C联立 整理得x2－px－p2＝0， 又P在第二象限内，解得抛物线x2＝2py(p>0)可写为y＝，y′＝， 所以＝＝－，所以直线MP的斜率为－，切线方程为y－＝－(x＋p)， 即y＝－x－，则点M(0，－)，P(－)，F(0，)， 根据两点间的距离公式可得|PF|＝|MF|＝|MP|＝p，|MF|＝p，所以△MPF为正三角形， 又|OM|＝，所以p＝3， 因此△MPF为边长是2的正三角形，则其面积为×22＝. 1．[2024·山西吕梁模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与C交于P，Q两点＝0，且△PF2Q的面积为4a2，则C的离心率是(　　) A． B． C．2 D．3 答案：B 解析：如图，若P在第一象限，因为＝0，所以PF1⊥QF1， 由图形的对称性知四边形PF1QF2为矩形，因为△PF2Q的面积为4a2，所以|PF1|·|PF2|＝8a2， 又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a， 在Rt△PF1F2中，(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，解得e＝＝. 故选B. 2．[2024·河南开封模拟]已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|(　　) A．有最大值4 B．有最大值3 C．有最小值4 D．有最小值3 答案：A 解析：由椭圆＋y2＝1可得a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以a＝2，b＝1，c＝ 因为点M在C上，所以|MF1|＋|MF2|＝2a＝4， 设|MF1|＝t，t∈[a－c，a＋c]，即t∈[2－，2＋]，则|MF2|＝4－t， 所以|MF1|·|MF2|＝t(4－t)＝－t2＋4t， 由|MF1|·|MF2|＝－t2＋4t对应函数单调性可知， 当t＝2时，|MF1|·|MF2|＝－t2＋4t有最大值，最大值为4， 即|MF1|＝|MF2|＝2时，|MF1|·|MF2|最大值为4， 当t＝2－时，|MF1|·|MF2|＝－t2＋4t有最小值，最小值为－(2－)2＋4(2－)＝1， 即|MF1|＝2－，|MF2|＝2＋时，|MF1|·|MF2|最小值为1， 综上所述|MF1|·|MF2|最小值为1，最大值为4.故选A. 3．[2024·人大附中模拟]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(3，2)，点P为该抛物线上一动点，则△PAF周长的最小值是(　　) A．3＋2 B．3 C．4＋2 D．2＋2＋2 答案：C 解析： 因为抛物线方程为y2＝4x，所以2p＝4⇒＝1， 所以焦点F(1，0)，且抛物线准线方程为x＝－＝－1. 注意到△PAF的周长为C△PAF＝|PF|＋|FA|＋|PA|， 因为A(3，2)，F(1，0)，所以|FA|＝＝2， 所以C△PAF＝|PF|＋|PA|＋2. 因为根据抛物线定义，P点到准线x＝－1的距离等于|PF|， 则若求周长C△PAF最小值，即求P点到准线x＝－1的距离与PA长度之和的最小值即可， 由图可知，当P点为过A点作y轴垂线与抛物线的交点时， P点到准线x＝－1的距离加PA长度之和最小， 最小值为3－(－1)＝4， 所以周长C△PAF的最小值为4＋2.故选C. 4．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得 ∠MPN＝120°，则C的离心率的取 值范围是________． (0，] 解析：过P作PM，PN与圆x2＋y2＝b2相切，且切于点M，N，此时∠MPN最大，又圆 O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°， 则∠MPN≥120°， 则∠OPM≥60°， 即sin ∠MPO＝， 即， 即0＜， 即C的离心率的取值范围是(0，]. $$