圆锥曲线中的最值范围问题课件-2025届高三数学一轮复习

高考大题研究课九　圆锥曲线中的 最值、范围问题 会用直线与圆锥曲线、函数、不等式的有关知识解决最值、范围问题，提高学生分析问题、解决问题的能力． 关键能力·题型剖析 题型一 最值问题 例1[2024·河北秦皇岛模拟]已知双曲线＝1(a>0，b>0)实轴的一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为()． (1)求双曲线的方程； 解析：设点P(a，0)，点Q(0，b)，则直线PQ的方程为＝1， 与渐近线y＝x联立，得解之得 即直线PQ与双曲线的一条渐近线交点为()， 又直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为()， 所以即a＝b＝1，因此双曲线方程为x2－y2＝1. (2)若直线y＝kx＋(0<k<1)与曲线C有两个不同的交点A，B，O是坐标原点，求△OAB的面积最小值． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋代入x2－y2＝1， 得(1－k2)x2－2x－－1＝0， 则Δ＝4＋4(1－k2)(＋1)＝>0，x1＋x2＝，x1x2＝， |AB|＝|x1－x2|＝ ＝· ＝2＝2， 点O到直线y＝kx＋的距离d＝，所以△OAB的面积为 S＝|AB|d＝×2＝×2＝， 令t＝k2－k4，所以S＝＝，令s＝，则S＝， 因为0<k<1，所以0<k2<1，由t＝－(k2－)2＋，得0<t≤，由s＝，得s≥4，由S＝＝ ，得S≥2， 即当s＝4，t＝，k2＝，k＝时，等号成立， 此时满足Δ>0，所以△OAB面积的最小值为2. 题后师说 圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． 巩固训练1 [2024·江西上饶模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，点F1，F2为椭圆C的左、右焦点且经过点F1(－c，0)的最短弦长为3. (1)求椭圆C的方程； 解析：由题意，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为＝1. (2)过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线x＝c交于点P，若＝λ，且点Q满足＝λ，求|PQ|的最小值． 解析：由(1)得F1(－1，0)，若直线l1的斜率为0，则l2为x＝－1与直线x＝1无交点，不满足条件． 设直线l1：x＝my－1，若m＝0，则λ＝1则不满足＝λ，所以m≠0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)， 由得：(3m2＋4)y2－6my－9＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－. 因为， 即则－y1＝λy2，y1－y0＝λ(y2－y0)， 所以λ＝－＝，解得y0＝＝－，则x0＝－4，即Q(－4，－)， 直线l2：x＝－y－1，联立解得P(1，－2m)， ∴|PQ|＝ ≥5，当且仅当m＝或m＝－时等号成立， ∴|PQ|的最小值为5. 题型二 范围问题 例2[2024·河北沧州模拟]已知P为圆M：(x＋)2＋y2＝16上任一点，N(，0)，＝λ，λ∈(0，1)，且满足()·＝0. (1)求动点Q的轨迹Γ的方程； 解析：如图，由()·＝0，可得|QN|＝|QP|， 因为|MQ|＋|QP|＝|MP|＝4，所以|NQ|＋|QM|＝4， 所以动点Q的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以动点Q的轨迹Γ的方程为＝1. (2)直线l：y＝kx＋1与轨迹Γ相交于A，B两点，与x轴交于点D，过AB的中点且斜率为－的直线与x轴交于点E，记μ＝，若k∈[，2]，求μ的取值范围． 解析：直线l的方程为y＝kx＋1(≤k≤2)，联立消去y并整理， 得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，Δ＝(4k)2－4×(－2)×(2k2＋1)＝32k2＋8>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，可得线段AB的中点坐标为(－)， 所以线段AB垂直平分线的方程为 y－＝－(x＋)， 令y＝0，可得E(－，0)， 对于直线y＝kx＋1，令y＝0，可得D(－，0)， 所以|DE|＝|－－(－)|＝， 又|AB|＝ ＝＝， 所以μ＝＝＝2， 令t＝k2＋1∈，则y＝8(k2＋1)＋－14＝8t＋－14， y′＝8－，当t∈时，y′>0，所以y＝8t＋－14在上单调递增， 所以y∈，则μ∈ . 题后师说 解圆锥曲线中范围问题的策略 巩固训练2 [2024·吉林长春模拟]已知抛物线x2＝2py(p>0)焦点为F，点A(4，m)在抛物线上，|AF|＝5. (1)求抛物线方程； 解析：由题意可得： 解得或 故抛物线方程为x2＝4y或x2＝16y. (2)过焦点F直线l与抛物线交于M，N两点，若MN最小值为4，且∠MAN是钝角，求直线斜率范围． 解析：抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F(0，)， 设l：y＝kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程消去y得x2－2pkx－p2＝0， 则Δ＝4p2k2＋4p2＝4p2(k2＋1)>0，x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2， 可得|MN|＝＝2p(1＋k2)≥2p＝4，解得p＝2， 此时p＝2，则x2＝4y，l：y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(4，4)，F(0，1)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 若直线l：y＝kx＋1过点A(4，4)，则4＝4k＋1，解得k＝， 若∠MAN是钝角，则·<0，且A，M，N三点不共线， ∵＝(x1－4，y1－4)，＝(x2－4，y2－4)， 则·＝(x1－4)(x2－4)＋(y1－4)(y2－4) ＝(x1－4)(x2－4)＋(kx1－3)(kx2－3)＝(1＋k2)x1x2－(3k＋4)(x1＋x2)＋25＝－4(1＋k2)－4k(3k＋4)＋25＝－16k2－16k＋21<0， 解得k>或k<－， 注意到k≠，故直线斜率范围为(－∞，－，＋∞)． $$