圆锥曲线中的定点定值问题 课件-2025届高三数学一轮复习

高考大题研究课八　圆锥曲线中的 定点、定值问题 会用直线与圆锥曲线的有关知识解决定点、定值问题，提高学生分析问题、解决问题的能力． 关键能力·题型剖析 题型一 定点问题 例1[2023·全国乙卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； 解析：因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4. 因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2， 又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5， 故椭圆C的方程为＝1. (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 解析：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设为k(k≠0)， 设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0， 则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得yM＝， 同理得yN＝， 则yM＋yN＝2 ＝2 ＝2 ＝2 ＝2× ＝6. 所以MN的中点的纵坐标为＝3， 所以MN的中点为定点(0，3)． 题后师说 求解直线或曲线过定点问题的策略 巩固训练1 [2024·山西吕梁模拟]已知抛物线C：y2＝2px过点A(2，4)． (1)求抛物线C的方程； 解析： A(2，4)坐标代入抛物线方程得16＝4p，解得p＝4， ∴抛物线方程为y2＝8x. (2)P，Q是抛物线C上的两个动点，直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为4，证明：直线PQ恒过定点． 解析：证明：显然直线PQ斜率不为0，故可设PQ：x＝my＋t，将PQ的方程与y2＝8x联立得y2－8my－8t＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－8t， 所以Δ>0⇒64m2＋32t>0⇒2m2＋t>0， kPA＝＝＝，同理：kQA＝， 由题意：＝4， ∴2(y1＋y2)＝y1y2＋4(y1＋y2)， ∴y1y2＝－2(y1＋y2)，即t＝2m， 代入直线得x＝my＋2m＝m(y＋2)， 故直线PQ恒过定点(0，－2)． 题型二 定值问题 例2[2024·湖南长沙模拟]已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． (1)求k的取值范围； 解析：∵l与圆相切，∴1＝，∴m2＝1＋k2， 由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0， ∴ ∴k2<1，∴－1<k<1， 故k的取值范围为(－1，1)． (2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论． 解析：由已知可得A1，A2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)， ∴k1＝，k2＝， ∵x2>x1，∴x2－x1＝＝， ∴k1·k2＝＝ ＝＝ ＝＝， 又因为m2＝1＋k2，所以m2－k2＝1， ∴k1·k2＝＝－(3＋2)为定值． 题后师说 求定值问题的策略 巩固训练2 [2024·河北保定模拟]已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆C经过点P(2，2)， (1)求椭圆C的方程； 解析：设椭圆的方程为＝1(a>b>0)， 根据题意得解得 故所求椭圆方程为＝1. (2)若A，B是椭圆上不同于点P的两个动点，直线PA，PB与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，证明：直线AB的斜率为定值． 解析：如图所示， 设直线l：y＝kx＋m交该椭圆＝1于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． 将y＝kx＋m代入＝1， 得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－20＝0， 所以 由直线PA，PB能与x轴共同围成底边在x轴上的等腰三角形， 可得kPA＋kPB＝0， 即＝＝0， 整理得(kx1＋m－2)(x2－2)＋(kx2＋m－2)(x1－2)＝2kx1x2＋(m－2k－2)(x1＋x2)－4(m－2)＝0， 即2k·－(m－2k－2)·－4(m－2)＝0， 即(4k－1)m＋8k2－10k＋2＝0， 所以当k＝时，不论m为何值时(4k－1)m＋8k2－10k＋2＝0都成立， 所以直线PA，PB与x轴共同围成底边在x轴上的等腰三角形时直线AB的斜率为定值. $$