直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习

第一节　直线的方程 课前自主预习案 课堂互动探究案 课前自主预习案 必 备 知 识 1.直线的方向向量 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，则l的方向向量的坐标为______________；若l的斜率为k，则方向向量的坐标为______________． 2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l__________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴__________时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l的倾斜角的取值范围为____________． (x2－x1，y2－y1) (1，k) 向上的方向 平行或重合 0°≤α＜180° 3．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____________． 正切值 tan α 4．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 点斜式 过点(x0，y0)，斜率为k ________ 与x轴不垂直的直线 斜截式 在y轴上的截距为b，斜率为k ________ 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) ________ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0 ________ 不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 — Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面内所有直线 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b ＝ ＝1 【常用结论】 1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： 2.特殊位置的直线方程 (1)与x轴重合的直线方程为y＝0； (2)与y轴重合的直线方程为x＝0； (3)经过点(a，b)且平行于x轴的直线方程为y＝b； (4)经过点(a，b)且平行于y轴的直线方程为x＝a； (5)过原点且斜率为k的直线方程为y＝kx. α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 夯 实 基 础 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角与斜率.(　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(　　) (4)截距就是距离．(　　) ×　 ×　 √ × 2．(教材改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1　　　 B．4　　　 C．1或3　　 D．1或4 答案：A 解析：过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，所以k＝＝＝1，解得m＝1.故选A. 3．(教材改编)过点P(2，－3)且倾斜角为45°的直线的方程为________． y＝x－5 解析：设直线解析式为y＝x＋b，把P(2，－3)代入，得b＝－5，故直线方程为y＝x－5. 4．(易错)直线x tan 60°＋y－2＝0的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析：设直线的倾斜角为α，∵直线x tan 60°＋y－2＝0，∴y＝－x tan 60°＋2，∴直线的斜率为k＝－tan 60°＝tan 120°，∵0°≤α<180°，∴α＝120°. 5．(易错)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________． x＋y－5＝0或3x－2y＝0 解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为＝1， 则＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0. 课堂互动探究案 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)． 问题思考·夯实技能 【问题1】　直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？ 答案：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k. 【问题2】　 在平面直角坐标系中，给定直线l上一个定点P0(x0，y0)和斜率k，则直线l上不同于该定点的任意一点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y所满足的关系式是什么？ 答案：y－y0＝k(x－x0) 关键能力·题型剖析 题型一直线的倾斜角与斜率 例1(1)直线2x cos α－y－3＝0(α∈)的倾斜角的变化范围是(　　) A．[] B．[] C．[) D．[] 答案：B　 解析：因为直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α， 由于α∈[]，所以≤cos α≤， 因此k＝2cos α∈[1，]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]， 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈[]，即倾斜角的变化范围是[].故选B. (2)直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________． [] 解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)， ∴kPA＝＝，kPB＝＝. 由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[]. 【变式练习】　若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他条件不变，则直线l的斜率的取值范围为_____________________． (－∞，－ 解析：如图所示： 当直线l过B时设直线l的斜率为k1， 则k1＝＝－， 当直线l过A时设直线l的斜率为k2， 则k2＝＝1， ∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ 题后师说 (1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，，π)上并不是单调的． (2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在． 巩固训练1 (1)已知动直线l：x＋my－2＝0的倾斜角的取值范围是()，则实数m的取值范围是(　　) A．(－，－1) B．(－1，－) C．(，1) D．(1，) 答案： B 解析：由题设知：直线斜率范围为(1，)，即1<－<，可得－1<m<－.故选B. (2)已知点P，Q的坐标分别为(－1，1)，(2，2)，直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是_____________． －3<m<－ 解析：如图所示， 由题知kPQ＝＝， 直线x＋my＋m＝0过点M(0，－1)． 当m＝0时，直线化为x＝0，一定与PQ相交，所以m≠0， 当m≠0时，kl＝－，考虑直线l的两个极限位置． ①l经过Q，即直线l1，则＝＝； ②l与直线PQ平行，即直线l2，则＝kPQ＝， 因为直线l与PQ的延长线相交， 所以<－<，即－3<m<－. 题型二 求直线方程 例2(1)[2024·江苏淮安模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n＝(3，4)是l的一个法向量，则直线l倾斜角的余弦值为(　　) A．－ B． C． D．－ 答案： A 解析：因为直线l通过原点，n＝(3，4)是l的一个法向量， 所以直线l的方程为3x＋4y＝0，设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－， 又且0°≤θ<180°，解得cos θ＝－. 故选A. (2)一条直线l经过P(，－3)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为__________． y＝－x 解析：因为直线y＝x的斜率为， 所以直线y＝x的倾斜角为， 所以直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为tan ＝－， 因为直线l经过P(，－3)， 所以直线l的方程为y＋3＝－(x－)，即y＝－x. 题后师说 求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数． 巩固训练2 (1)已知三角形三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线方程是(　　) A．x－13y＋5＝0 B．x－13y－5＝0 C．x＋13y＋5＝0 D．x＋13y＝0 答案： C 解析：由B(3，－3)，C(0，2)，得BC的中点坐标为D(，－)，又A(－5，0)， ∴kAD＝＝－. ∴BC边上中线所在直线方程是 y－0＝－(x＋5)，即x＋13y＋5＝0.故选C. (2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_______________________． x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0 解析：设在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线 方程为＝1， 把点(2，1)代入，可得＝1，求得a＝3或a＝4， 故要求的直线的方程为＝1或＝1， 即x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0. 题型三 直线方程的综合应用 例3已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 解析：方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A(2－，0)，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·(2－)＝[4＋(－4k)＋(－)]≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 方法二　设直线l：＝1，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，则1＝≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为＝1，即x＋2y－4＝0. 【变式练习】　本例中，条件不变，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 解析：方法一　由本例方法一知A(，0)，B(0，1－2k)(k＜0)， 所以|MA|·|MB|＝· ＝2＝2[(－k)＋]≥4. 当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号． 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 方法二　由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＝1. 所以|MA|·|MB|＝||·||＝－· ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1) ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 ＝(2a＋b)()－5＝2()≥4， 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 题后师说 利用最值取得的条件求直线方程，一般涉及函数思想，即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及基本不等式，何时取等号，一定要弄清楚． 巩固训练3 已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，求直线l的方程． 解析：设直线l的斜率为k，则k＜0，所以直线l的方程 为y－1＝k(x－1)(k＜0) 则A(1－，0)，B(0，1－k)， ∴|MA|2＋|MB|2＝[(－)2＋1]＋[1＋(－k)2] ＝2＋k2＋≥2＋2·＝4， 当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号， ∴当|MA|2＋|MB|2取得最小值4时，直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 1．如图，已知直线PM，QP，QM的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(　　) A．k1<k2<k3 B．k1<k3<k2 C．k2<k1<k3 D．k3<k2<k1 答案：B 解析：由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角， 当倾斜角为锐角时，斜率为正，即k3>0，k2>0，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即k1<0， 又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即k3<k2； 所以k1<k3<k2.故选B. 2．过点(1，2)且方向向量为(－1，2)的直线的方程为(　　) A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0 答案：A 解析：由题意可知直线的斜率k＝＝－2，由点斜式方程得， 所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A. 3．已知直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围为(　　) A．(0，，π) B．[0，，π) C．[0，，π) D．[0，，π) 答案：B 解析：由直线l的方程为x sin α＋y－1＝0，α∈R，化为y＝－x sin α＋， ∵α∈R，∴－1≤sin α≤1，设直线l的倾斜角为φ，且0≤φ＜π，则tan α＝－sin α∈[－]， 所以0≤φ≤或≤φ<π； 即直线l的倾斜角范围是[0，，π)．故选B. 4．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________． (1，－4) [3，＋∞) 解析：直线l的方程可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，则解得x＝1，y＝－4，所以直线l过定点(1，－4)．若直线l不经过第三象限，则解得a≥3. $$