第二章 专题：恒成立与存在性求参数范围问题课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 专题： 恒成立与存在性求参数范围问题 x2 x1 y x 0 △＞0 △＝0 △＜0 y=ax2+bx+c (a>0) ax2+bx+c > 0 (a > 0) ax2+bx+c ≥ 0 (a > 0) x y x1=x2 0 x y 0 ax2+bx+c <0 (a > 0) ax2+bx+c ≤ 0 (a > 0) 一元二次不等式的解法 —— 公式法 结论: a≠0时 ； 湖南省长沙市一中卫星远程学校 例题选讲 1. 判别式法, 必须具备以下两个条件: 1. 判别式法 2. 分离参数最值法 解: 当 x＝0时, x2＋a|x|＋1＝1 ≥ 0 成立. 练习1: 对一切实数 x, 不等式 x2＋a|x|＋1 ≥ 0恒成 立, 求实数 a 的取值范围. 2. 分离参数最值法 2. 分离参数最值法 例3 若不等式－x2＋2x＋3 < a2－3a 对任意实数 x 恒成立, 求实数 a 的取值范围. 解: 原不等式可化为 x2－2x＋a2－3a－3 > 0, ∵该不等式对任意实数 x 恒成立, ∴Δ < 0, 即 4－4(a2－3a－3) < 0, 即a2－3a－4 > 0, 解得 a < －1 或 a > 4, ∴实数 a 的取值范围是{a | a < －1 或 a > 4}. 3. 数形结合法 —— 图象法 变式: 若不等式－x2＋2x＋3 < a2－3a 对任意 1 < x ≤ 3 恒成 立, 求实数 a 的取值范围. 3. 数形结合法 (即图象法), 如一元二次方程根的 分布等. 3. 数形结合法 —— 图象法 4. 更换主元法 方法一: 更换主元 +图象法; 1. 判别式法, 必须具备以下两个条件: 恒成立求参数范围常用的有三种方法: 3. 数形结合法 (即图象法), 如一元二次方程根的 分布等. 4. 更换主元法. 存在性 (即有解) 求参数范围问题 存在性 (即有解) 求参数范围问题 存在性 (即有解) 求参数范围问题 方法一: 数形结合 (二次函数图象) 法; 存在性与恒成立求参数范围问题比较 方法一: 数形结合 (二次函数图象) 法; 课后每日一题 方法一: 选择主元 +图象法; ∵ |x|＋ ≥ 2 (当且仅当 |x|＝1时, 等号成立), ∴－≤－2, ∴a≥－2. 当x≠0时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－ 恒成立. $$