专题1.7 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题（4大考点）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题1.7 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题 目录 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 13 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 24 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 34 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 例题：（23·24上·淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 【变式训练】 1．（23·24上·大同·阶段练习）综合与探究 如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点．    (1)求直线与抛物线的解析式； (2)设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 2．（23·24上·中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点P为第二象限内抛物线上一动点，过点P作轴，交于点Q，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值． 3．（23·24上·邯郸·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式：______； (2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)，连接．设点D的横坐标为，的面积为S． ①求S关于的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，S有最大值，并求这个最大值． 4．（23·24上·江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．    (1)求二次函数解析式及顶点D坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在点F，使为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23·24上·滨海新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．      (1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标； (2)当点在第四象限时，面积是否有最大值？若有，求出点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由； (3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 6．（23·24上·省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点为．直线l与抛物线交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直线与抛物线的对称轴交于点，为线段上一动点（点不与点，重合），过点作交抛物线于点，设点的横坐标为． ①当为何值时，四边形是平行四边形； ②设的面积为，当为何值时，最大？最大值是多少？ 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 例题：（2024·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值． ①求该抛物线的解析式； ②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值． 【变式训练】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·广东江门·期中）在 中，，，，点P 从点A 出发，沿边向点B以1cm/s 的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2 cm/s 的速度移动．如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动． (1)设运动开始后第时，四边形  的面积是，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围; (2)t为何值时，S 最小?最小值是多少? 3．（23-24九年级下·福建泉州·期中）已知直线与抛物线有一个公共点，且． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； (2)说明直线与抛物线有两个交点； (3)若直线与拋物线的另一个交点记为，求面积的最小值． 4．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线交轴于，两点，与轴交于点． (1)求的值以及拋物线的顶点的坐标； (2)已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点，求面积的最小值． 5．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，若的两根分别是，． (1)求b，c的值． (2)已知二次函数的图象上有不与点B重合的一点P，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上． ①求点P的坐标． ②平移二次函数的图象，使其顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，且与相交于点Q，求面积的最小值． 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 例题：（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【变式训练】 1．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．    (1)求a的值． (2)若点和点都是这个抛物线上的点，且有，求t的取值范围． (3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作轴，垂足为点B，过点D作轴，垂足于点C，试问四边形的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由． 2．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 3．（2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习）如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点．    (1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； (3)当矩形的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 例题：（2023秋·安徽·九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，若，抛物线的对称轴为直线.    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，使得周长最小，求出最小周长． 【变式训练】 1．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点坐标为，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)为该抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)当函数的自变量满足时，函数的最小值为3，求的值． 2．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与探究 如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标； (3)已知点在抛物线上，求时的点坐标； (4)已知，请直接写出能以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点坐标． 3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 4．（2023春·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题 目录 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 13 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 24 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 34 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 例题：（23·24上·淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 【答案】(1)； (2)点，的面积的最大值为． 【分析】（）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （）设点的坐标，然后作轴交于点，然后用面积和差求出关于的二次函数，转化为二次函数的最值问题． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入解析式，得： 解得： ， ∴二次函数的表达式为； （2）如图，过点作轴的平行线与交于点，      设直线解析式为，且过点，点， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ， 当时，面积最大， 此时，点，的面积的最大值为． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，添加辅助线使其转化为求二次函数最值． 【变式训练】 1．（23·24上·大同·阶段练习）综合与探究 如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点．    (1)求直线与抛物线的解析式； (2)设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)的最大值为， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点坐标，利用，转化为二次函数最值即可． 【详解】（1）解：二次函数与直线交于、两点， ∴，解得：；，解得， ∴，； （2）∵，当时，，解得：， ∴， ∵、， ∴， ∴， 设：，则：， ∴， ∴， 即：， ∴当时，取得最大值为，此时：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．（23·24上·中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点P为第二象限内抛物线上一动点，过点P作轴，交于点Q，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)，4． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）求得，利用得到S关于的函数关系式，并利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 代入得，解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：依题意得：， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为4． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的关系式是解决问题的关键． 3．（23·24上·邯郸·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式：______； (2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)，连接．设点D的横坐标为，的面积为S． ①求S关于的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，S有最大值，并求这个最大值． 【答案】(1) (2)①；时，最大，值为 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入得，，计算求解，进而可得抛物线解析式； （2）①如图，连接，，，过作轴，交于，待定系数法求直线解析式为，则，，，根据求解，进而可得；②由，的图象与性质，计算求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴， 故答案为：； （2）①解：如图，连接，，，过作轴，交于，    设直线解析式为， 将，代入得，，解得，， ∴直线解析式为， ∴，，， ∴， 整理得，， ∴； ②解：∵，， ∴当时，最大，值为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（23·24上·江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．    (1)求二次函数解析式及顶点D坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在点F，使为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的最大值是，点的坐标是 (3)存在，点F的坐标为或或 【分析】（1）根据二次函数的图象与轴的交点为，两点，与轴交于点，可以求得该函数的解析式； （2）根据题意可以得到直线的函数解析式，然后根据的面积记为，利用二次函数的性质可以得到的最大值，以及此时点的坐标； （3）分、、三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解： 二次函数过，两点， 设二次函数解析式为， 二次函数过点， ， 解得，， 即二次函数解析式为； ∵ ∴顶点． （2）解：设直线解析式为：， ，， ， 解得，， 直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，    设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点．， 即的最大值是，此时点的坐标是． （3）解：，， ①当时，如图，    为等腰直角三角形，， 点； ②当时， 同理可得：点，； ③当时， 同理可得：点； 故点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，等腰三角形的性质、勾股定理的运用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答，（3）问要注意分类求解，避免遗漏解． 5．（23·24上·滨海新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．      (1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标； (2)当点在第四象限时，面积是否有最大值？若有，求出点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由； (3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1)，点，； (2)最大为，此时点； (3)或或． 【分析】（）由题意得，，求出代入即可求解； （）过点作于点，交于点， 则，则，从而即可求解； （）分情况讨论，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，然后由中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）由题意得：，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为， 令，解得：，， ∴点，； （2）有，理由： 设的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，交于点， 则，      则，则点，， ∴， ， ， ， 由，，则， 由， ∴当时，最大，为，此时点； （3）由（）可知：， ∴设，由题意可知， 当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：； 当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：； 当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：； 综上：或或． 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 6．（23·24上·省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点为．直线l与抛物线交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直线与抛物线的对称轴交于点，为线段上一动点（点不与点，重合），过点作交抛物线于点，设点的横坐标为． ①当为何值时，四边形是平行四边形； ②设的面积为，当为何值时，最大？最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2)①；②，最大值是． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①根据平行四边形的性质可得，，得到关于的方程，求解即可；②由题意可得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将、点、点代入抛物线解析式可得 ，解得，即抛物线为 设直线l的解析式为 将点、点代入得 解得，即直线l的解析式为 综上：， （2）由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点 则，所以 点，，点 ①连接，如下图： ∵四边形是平行四边形 ∴，即 化简可得：，解得，（舍去） 即，四边形是平行四边形； ②连接、，如下图： 由题意可得： ∴ ∵，开口向下，对称轴为 ∴当时，面积最大，为 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式． 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 例题：（2024·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值． ①求该抛物线的解析式； ②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是用含的代数式表示； （1）当时，，故抛物线的顶点坐标为； （2）①由当 时，函数有最大值，知抛物线的对称轴为直线，且，故，即，得，而该抛物线过点，有，得，从而抛物线解析式为； ②求出，，设直线的解析式为，由直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个 交点，可得，故，即可解得点坐标为，与点重合，由直线，值直线恒过点，，联立，得，可得，故，从而得当时， 有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当 时，函数有最大值， 抛物线的对称轴为直线，且， ，即， 该抛物线的解析式为， 该抛物线过点， ， 解得， ， 抛物线解析式为； ②如图， 在中，令得， 解得，， ，， 设直线的解析式为， 联立得， 直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个 交点， ， 解得 （舍去），， ， 解得， 点坐标为，与点重合， 直线， 直线恒过点， ， 联立，得， ， ，， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 【变式训练】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 2．（23-24九年级上·广东江门·期中）在 中，，，，点P 从点A 出发，沿边向点B以1cm/s 的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2 cm/s 的速度移动．如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动． (1)设运动开始后第时，四边形  的面积是，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围; (2)t为何值时，S 最小?最小值是多少? 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，动点问题的理解，对于（1），根据列出关系式即可； 对于（2），将二次函数关系式配方，再讨论极值即可． 【详解】（1）根据题意可知，， ∴， ∴； （2）， 当时，． 3．（23-24九年级下·福建泉州·期中）已知直线与抛物线有一个公共点，且． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； (2)说明直线与抛物线有两个交点； (3)若直线与拋物线的另一个交点记为，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由可得，即得到，即可求解； （）联立函数式得，可得，即可求证； （）画出函数图象，设抛物线对称轴交直线于点，求出二次函数对称轴，得到，即得，解方程得，的面积为，得，进而可得，由关于的方程有实数根，得，根据，即可得，进而求解； 本题考查了求二次函数图象的顶点坐标，一次函数和二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，二次函数的几何应用，掌握二次函数与一次函数交点坐标的求法及一元 二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线顶点的坐标为； （2）证明：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 由得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与抛物线有两个交点； （3）解：如图，设抛物线对称轴交直线于点， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 由， 解得，， ∴ 设的面积为， 则， ∴， ∵关于的方程有实数根， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，由方程可得， ， 即， 解方程得，符合题意， ∴面积的最小值为． 4．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线交轴于，两点，与轴交于点． (1)求的值以及拋物线的顶点的坐标； (2)已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点，求面积的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）利用待定系数法即可求解； （2）求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，解方程，即可求解； （3）由顶点始终在直线上，推出点的坐标为，求得关于k的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把点代入拋物线，得， 解得， ， 顶点的坐标为． （2）当时，， ∴点的坐标为． 设直线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， 即． 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 解得（舍去）， 点的坐标为． （3）设平移后的拋物线为， 则交点的坐标为，即点的纵坐标为． 的最小值为， ， 即面积的最小值为． 5．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，若的两根分别是，． (1)求b，c的值． (2)已知二次函数的图象上有不与点B重合的一点P，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上． ①求点P的坐标． ②平移二次函数的图象，使其顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，且与相交于点Q，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；②的最小值为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线的解析式为，设，则，解方程，即可求解； ②由顶点始终在直线上，推出，由三角形面积公式得，当取最小值时，取最小值，求得关于b的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵的两根分别是，， ∴抛物线交x轴于，， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得抛物线解析式为， 令，则， ∴，设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P关于x轴对称的点恰好在直线上， ∴设，则， 即点在抛物线上， ∴， 整理得， 解得，， ∵点P不与点B重合， ∴； ②∵点，， ∴直线的方程为， 抛物线在平移过程中的顶点坐标为， ∵顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，即顶点始终在直线上， ∴， 即， ∵抛物线与相交于点Q，      ∵， ∴当取最小值时，取最小值， ∵ ， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 例题：（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 (3)4 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式； （2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解； （3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为． ∵当时，， ∴点C的坐标为． 将点C坐标代入表达式，得， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由抛物线的对称性得：， ∴． 当时，． ∴矩形的周长为 ． ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． （3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．    ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点P．． 由平移的性质可知，四边形是平行四边形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴P是的中点． ∴． 当时，点A的坐标为， ∴． ∴抛物线平移的距离是4． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质． 【变式训练】 1．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．    (1)求a的值． (2)若点和点都是这个抛物线上的点，且有，求t的取值范围． (3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作轴，垂足为点B，过点D作轴，垂足于点C，试问四边形的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，当时，四边形ABCD的周长最大为． 【分析】（1）将坐标代入抛物线计算求值即可； （2）由的值可得抛物线解析式，从而可得，的表达式，再根据解不等式即可； （3）由可得函数的对称轴，根据、两点的对称性设，，再由两点的中点坐标在对称轴上可得的表达式；根据坐标的定义求得四边形周长的表达式再配方即可解答； 【详解】（1）解：将原点坐标代入抛物线可得： ， ， ∵， ∴； （2）解：把代入抛物线可得： ， 点P和点Q代入抛物线解析式可得： ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由抛物线解析式可得对称轴为， 平行于轴，设且，， 由抛物线的对称性可知、两点的中点坐标在对称轴上， ∴， ∴， ∵和都和轴垂直，平行于轴， ∴四边形是矩形， 由函数图象可知点纵坐标， ∴四边形的周长为：， ∴当时四边形周长有最大值； 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，矩形的性质，坐标的定义等知识；掌握二次函数的对称性是解题关键． 2．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)①当时，是等腰三角形；②当时，的周长最大，最大值为9 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标，用建立方程组求解即可；②先表示出，然后建立的周长关于的函数关系式，确定出最大值． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴ 将点，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①设，则， ∵过点P作x轴的平行线，与直线交于点C， ∴， ∴， 当点P在x轴上方时，，是钝角， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴或（舍去）， ∴当时，是等腰三角形； ②当点在轴下方时，， ∴ ∵，则，点, ∴，， ∵，， ∴ ， ∴当时，p最大，最大值为9， ∴当时，的周长最大，最大值为9． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是表示出的长度． 3．（2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习）如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点．    (1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； (3)当矩形的周长最大时，在二次函数图象上是否存在点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)存在；，， 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设点M的坐标为，则点，利用m的代数式分别表示出矩形的边长，利用矩形的周长的公式求得矩形的周长，利用配方法解答即可得出结论； （3）利用（2）的结论求得点N的坐标，可得点N与点A重合，设点P的坐标为，过点P作轴于点D，交于点E，利用含n的代数式表示出，利用，求得的面积，利用已知条件得到关于n的方程，解方程即可求得n值；再利用平行线的距离相等，当直线向下平移个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件，求得平移后的直线解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ∵二次函数图象过、、三点， ∴， 解得， 即二次函数解析式为． （2）设点的坐标为，则点， ∴，， 矩形的周长， ， ∵ ∴当，有最大值，最大值为10． 即矩形周长的最大值为10． （3）由（2）知：当时，矩形的周长有最大值， ∴， ∴当矩形的周长最大时，点N与点A重合， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 设当矩形的周长最大时，在二次函数图象上存在点P，使的面积是矩形面积的，点P的坐标为，过点P作轴于点D，交于点E，如图，    则， ∴， ∴ ∵ 当矩形的周长最大时，， ∴矩形面积为， ∴的面积为． ∴， 解得：， ∴点P的横坐标为； 此时， ∵平行线之间的距离相等， ∴当直线向下平移个单位长度时，该直线与抛物线的交点也满足条件． 平移后的直线的解析式为． 联立：， 解得：或． ∴点P的横坐标为或． 综上，当矩形的周长最大时，在二次函数图象上存在点P，使的面积是矩形面积的，点P的横坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线的有关性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，函数的极值，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 例题：（2023秋·安徽·九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，若，抛物线的对称轴为直线.    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，使得周长最小，求出最小周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得A、B的坐标，再由对称轴为直线，可得，再将A，B代入抛物线即可求得抛物线的解析式； （2）先判断出点P是直线与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，再求得的长度，最后根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将A，B代入抛物线可得： ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图：设抛物线与x轴右交点为点C， ∵， ∴, ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴，即, ∴ ∵点A，C关于抛物线对称轴直线对称， ∴， ∴， 如图：连接与对称轴直线的交点即为所求点P， ∴最小周长为．    【点睛】本题主要考查了待定系数法、抛物线图像的对称性、最短距离问题等知识点，利用抛物线的对称性处理最短距离问题是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点坐标为，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)为该抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)当函数的自变量满足时，函数的最小值为3，求的值． 【答案】(1) (2)当的周长最小时，点的坐标为 (3)满足条件的的值为或4 【分析】（1）根据点和抛物线的对称轴求出点的坐标，再把，两点的坐标代入求解即可； （2）连接交直线于点，此时的周长最小，根据，两点求出直线的解析式，再把代入求解，即可得出点的坐标； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；分别进行求解即可． 【详解】（1）∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 把点，代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵点，关于直线对称， ∴如图，连接交直线于点，此时的周长最小， 令，得， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴当的周长最小时，点的坐标为； （3）①当时，即，此时y随着x的增大而减小， 当时，有最小值， 即，解得或（舍去）； ②当时，此时y随着x的增大而增大， 此时当时，有最小值， 即，解得或（舍去）； ③当时，此时当时，有最小值为，不符合题意，舍去． 综上所述，满足条件的的值为或4． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，熟练掌握数形结合的解题方法是解题的关键． 2．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与探究 如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标； (3)已知点在抛物线上，求时的点坐标； (4)已知，请直接写出能以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或或 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）连接与对称轴直线的交点为点，此时的周长最小，设直线的解析式为，由待定系数法可得直线为，当时即得点的坐标为； （3）由得，，即知，根据，有，解得或，从而可求出的坐标为：或或； （4）设，而，，，分三种情况：当、为对角线时，、的中点重合，得，解得；当、为对角线，有，解得；当、为对角线，，解得． 【详解】（1）解：将，代入得： ，解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，连结与对称轴直线的交点为点，此时的周长最小，    设直线的解析式为，将，代入得： ，解得， 直线为， 当时，， 点的坐标为． （3）解：在中，令得，解得或， ，， ， ， ，解得或， 当时，，解得，， 或， 当时，，解得，， ， 综上所述，的坐标为：或或； （4）解：设，，，， 当、为对角线时，如图：    此时、的中点重合， ，解得，， ； 当、为对角线，如图：    ，解得，， ； 当、为对角线，如图：    ，解得，， ， 综上所述，坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质以及平行四边形的性质，及分类讨论思想． ． 3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴的周长的最小值为；    （3）由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ．    【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 4．（2023春·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)在对称轴上存在一点，周长的最小值为 (3)最大值为，此时点P的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数和一次函数关系式即可； （2）首先确定点的坐标为，再结合题意可知点，关于抛物线的对称轴对称；令直线与抛物线的对称轴的交点为点，由“最短路径”的性质即可求出的坐标，并确定周长取最小值； （3）过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点．设点的坐标为，则点，点，易得，，根据，并结合二次函数的性质即可求得的面积取最大值以及此时点的坐标． 【详解】（1）解：将、代入， 可得，解得， ∴抛物线的函数关系式为； 设直线的函数关系式为， 将、代入， 可得，解得， ∴直线的函数关系式为； （2）当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的坐标为， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， 令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示， ∵点，关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴此时周长取最小值， 当时，， ∴此时点的坐标为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为； （3）过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示， 设点的坐标为，则点，点， ∴，， ∴， ∵点， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的图像与性质、最短路径、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$