专题1.6 难点探究专题：二次函数中求线段及线段和最值问题（4大考点）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题1.6 难点探究专题：二次函数中求线段及线段和最值问题 目录 【考点一 利用二次函数求单线段最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求单线段最小值问题】 14 【考点三 二次函数中的将军饮马型最值问题】 22 【考点四 二次函数中的胡不归最值问题】 33 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求单线段最大值问题】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的平移和性质，首先得到平移后抛物线为，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：平移抛物线，其顶点始终在二次函数上， ∴顶点坐标为，故平移后的解析式为， ∴， ∵直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q， ∴ ∵， ∴当时，长的最大值为． 【变式训练】 1．（23·24上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点B和点C的坐标； （2）设该抛物线的表达式为，将点代入得，再将点代入，求出a的值即可； （3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用解直角三角形，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，； （2）解：设该抛物线的表达式为， 把点代入得：， 把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， （3）解：设直线函数表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，用二次函数关系表示是解题的关键． 2．（23·24上·西青·期中）如图，抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为点坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交拋物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）因为抛物线地两点，设解析式为，点在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，， ∴设解析式为， 将代入中，得， 解得：， 所以抛物线的解析式为：． （2）①二次函数的解析式为， 抛物线与轴的交点的坐标为，． 设点坐标为， ， ， ，． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； ②设直线的解析式为，将，代入， 得， 解得：． 即直线的解析式为． 设点坐标为，，则点坐标为， ， 当时，有最大值． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)线段长度得最大值是，此时的坐标是 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为然后把代入求解即可得到答案； （2）求出直线AC的解析式，然后设，，利用两点距离公式表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3），分和两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将代入表达式，解得， 抛物线的表达式为：， 即：； （2）解：设直线的表达式为：， 将代入表达式，得， 直线的表达式为：； 设，． 则； 当时，有最大值，为， 把代入，得：， ， 线段长度得最大值是，此时的坐标是； （3）解：根据题意，， 当时，有：， 解得（舍去）； 当时，有：， 解得：，（舍去）； 综上所述：当时，满足条件． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，直线：与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求线段的最大值； (3)连接，设与y轴交于点E，若四边形是平行四边形，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)当时，有最大值，最大值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合运用．熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数性质，平行四边形性质，是解决问题的关键． （1）把代入，解方程组求出a、b、c的值，即得抛物线的解析式，把代入求出m值，即得直线的解析式； （2）设点，点，得，进而根据二次函数的性质即可求解． （3）根据，得到，当四边形是平行四边形时，，得到，解得，，即得点P的坐标． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． ∵直线经过点， ∴， 解得． 故直线的解析式为． （2）设点P的坐标为， 则点Q的坐标为． 由题意得，， ∴当时，有最大值， 最大值为． （3）∵与y轴交于点E， ∴， ∴． 若四边形是平行四边形， 则， ∴． 解得或（舍去）， 当时，， 故点P的坐标为． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线相交于B、C两点，与x轴交于点．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在，点N的坐标为或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设，先求得抛物线的对称轴是直线，设直线交x轴于点G，则，轴，作于点F，可证明，再分四种情况讨论即可． 【详解】（1）直线相交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）如图1，设， ∵轴交直线BC于点D， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴的最大值为． （3）存在，设， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 设直线交x轴于点G，则，轴， 作于点F，则，， 如图2，点M在x轴上方，且点N在直线左侧， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图3，点M在x轴上方，且点N在直线右侧， 同理可得， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图4，点M在x轴下方，且点N在直线右侧， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图5，点M在x轴下方，且点N在直线左侧， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点睛】此题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解一元二次方程，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【考点二 利用二次函数求单线段最小值问题】 例题：（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)若点P为抛物线上一点，轴交直线于点M，求的最小值． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）令，解方程求出A，B坐标，根据B在x轴正半轴得出，然后求出a的值； （2）根据（1）解析式求出顶点坐标，然后由三角形的面积公式求出面积； （3）设，则， ，然后由二次函数的性质求出最小值． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∵点B在x轴正半轴， ，， ∵， ∴， 解得； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴； （3）解：设，则，如图所示： 则 ∵， ∴抛物线开口向上，当时，取最小值． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 【变式训练】 1．（2023春·安徽·九年级专题练习）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点． (1)求和的值； (2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值； (3)求线段的最小值． 【答案】(1)，； (2)3； (3)． 【分析】（1）将、的坐标分别代入直线和抛物线即可求解； （2）利用二次函数的性质求得，即可求解； （3）由抛物线的顶点，过作轴的平行线交直线于点，求得，从而求得，于是即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∵抛物线经过点， ∴； （2）解：∵， ∴顶点， ∵顶点的纵坐标取得最大值，， ∴当时，顶点的纵坐标取得最大值，此时，， ∴， ∵， ∴直线， 当时，， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线的顶点，过作轴的平行线交直线于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交于点M，Q，直线交x轴于点N．    (1)若点P在y轴的左侧，且N为中点，求抛物线的解析式； (2)求线段长的最小值，并求出当的长度最小时点P的坐标； (3)若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值为，点P的坐标为； (3)m的取值范围是或或． 【分析】（1）先求得顶点，再得到，，根据N为中点，列式计算即可求解； （2）计算得到，推出，得到．利用二次函数的性质即可求解； （3）确定和时，不合题意；再分时和两种情况讨论，画出图形，数形结合即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P， ∴， ∵轴， ∴，， ∵N为中点， ∴， 解得， ∵点P在y轴左侧， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，解得， 所以． 当时，， 所以． ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的值最小，最小值为， 此时点P的坐标为； （3）解：当时，M，N重合，不合题意； 当时，P，N重合，不合题意； 当时（如图），    ，符合题意； 当时（如图），    ． 由， 解得， 又∵， ∴当或时，的值大于0，即； 综上可知，m的取值范围是或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，中点公式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 3．（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，已知抛物线图象经过点，且对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交AC于E，交于F． ①求C点坐标； ②求证：四边形是矩形； ③连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点C坐标为②见解析③存在，的最小值是2 【分析】（1）把点A的坐标和对称轴代入解析式求解即可； （2）①把点的坐标代入抛物线解析式求解即可；②先求点B的坐标，再证为直角三角形，最后再证四边形是矩形；③利用矩形的对角线相等，求出的最小值即可； 【详解】（1）解：（1）∵的对称轴为直线， ∴ ， 把点代入， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）①解：∵把代入抛物线得：， 解得：， ∵位于第一象限， ∴， ∴， ∴点C坐标为；    ②证明：令y=0，则， 解得： ∴ ， 又∵ ∴；；； ∴， ∴为直角三角形，， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； ③存在； 连接，过C点作，垂足为H，    ∵四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小， ∵， ∴的最小值等于， ∴的最小值是2． 【点睛】本题考查了二次函数与矩形的综合，矩形的判定和性质，勾股定理及逆定理，垂线段的性质，熟练运用这些性质是解题的关键． 4．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数． (1)当时，该函数图象的对称轴为直线，与轴相交于点和点，与轴交于点 ①求该函数的表达式； ②点是直线下方的抛物线图象上的动点，于点，当取最大值时，求点坐标； (2)若，已知点，点，若二次函数的图象与线段有交点时，求的取值范围． 【答案】(1)①，② (2)当或时，二次函数的图像与线段有交点． 【分析】（1）①结合抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，利用待定系数法求解即可；②如图，连接，过作轴交于，求解，结合，可得直线为，设，则，，而，，则,当面积最大，则最大；再进一步求解即可； （2）由题意可得，从而求得抛物线的顶点为，抛物线与x轴的交点为、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数， 把点代入得，， ∴该函数的表达式为； ②如图，连接，过作轴交于， ∵， 当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴, ∴， 而，，则, ∴当面积最大，则最大； ∴当时，面积最大， ∴y=， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴抛物线的顶点为， 把代入得，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为、， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图像与线段有交点， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，当时，二次函数的图像与线段有交点， 综上所述，当或时，二次函数的图像与线段有交点． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，运用数形结合思想是解题的关键． 【考点三 二次函数中的将军饮马型最值问题】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 【变式训练】 1．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C，对称轴为直线．    (1)点B的坐标为__________． (2)求抛物线的解析式． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)抛物线的解析式 (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点关于对称轴对称求解即可； （2）根据对称轴和点A坐标，列出方程组，解之即可； （3）首先判断出最小时，的周长最小，连接BC交对称轴于点P，可得此时最小，求出直线的解析式，求出与的交点即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点，点B，对称轴为直线， ∴， 即； （2）由题意知， 解得 ∴抛物线的解析式； （3）∵是定值， ∴最小时，的周长最小， ∵点A，点B关于对称轴对称， 连接交对称轴于点P，此时最小， 由（1）（2）知点，点， 设的解析式为， 得，解得：， ∴所在直线解析式为， 令，则， ∴点P坐标为．    【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、待定系数法、最短路径等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 2．（2023·山东烟台·统考二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值； (3)设点F是抛物线上一点，其横坐标为，在抛物线上是否存在一点M，使得被直线平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M（，）或M（，） 【分析】对于（1），将点A的坐标的代入关系式求出m的值，可得答案； 对于（2），分别求出点B，点C的坐标，再判断的最小值，然后根据勾股定理求出答案； 对于（3），先求出点F的坐标，进而求出直线的表达式，设点，表示点G的坐标，然后将点G的坐标代入，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）把点代入中，得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）由，令，， ∴点C的坐标为． 令，则， 解得，， ∴点B的坐标为， ∴，． 连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小， ∵A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴． 在中，， ∴的最小值为； （3）∵点F是抛物线上一点，其横坐标为， ∴， ∴． 设直线的表达式为，将点B、F代入可得 ∴ ∴． 设点， ∴线段的中点G的坐标为． ∵直线平分线段， ∴直线过点G， ∴将点G的坐标代入，得， 解得，， 当时，； 当时，， ∴点M（，）或M（，）． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求二次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，待定系数法求一次函数关系式，解一元二次方程等． 3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．    (1)请分别求出k，m，a，b的值； (2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由． 【答案】(1)，，，； (2) (3)或或或． 【分析】（1）待定系数法求k，m，a，b的值； （2）由求出Q点坐标，再利用将军饮马模型求线段的最小值； （3）不确定直角三角形的直角顶点，所以分三类讨论，利用勾股定理建立方程求出P点坐标． 【详解】（1）∵直线过点和点， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线过点和点，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴，，，； （2）过点Q作轴，垂足为N，作关于y轴的对称点，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）存在点P，使是直角三角形，P点坐标为或或或．理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设P点坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴P点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的表达式，将军饮马模型，直角坐标系中的直角三角形问题，渗透了数形结合和分类思想，题型常规，难度不大． 【考点四 二次函数中的胡不归最值问题】 例题：（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的最大值为， (3)或 【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可； （2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解； （3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为； 设（）， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为， ， ． 故的最大值为，． （3）解：存在， 如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接， ∵抛物线的对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ； 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， ，且经过， 直线解析式为， 当时，，   ； 综上所述：存在，的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且，    (1)求抛物线解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)存在， 【分析】（1）根据点的坐标，可求出点的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，根据题意分别计算出直线的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程组求解即可； （3）如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，根据点的坐标可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，根据抛物线的特点可得点的坐标，由此可求出的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，将，，代入得， ，解得，， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在一点，使得，理由如下： 如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，    ∵， ∴，即点是满足题意的点， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：，， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， ∵关于轴对称， ∴直线的解析式为：， ∴，， ∴是满足题意的点， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， 综上所述，点坐标为或． （3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下： 如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，    ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，，则， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小即是最小， ∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 2．（2023·山东济南·统考三模）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3．    (1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴； (2)设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标； (3)如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)，直线 (2)或 (3) 【分析】（1）将，代入抛物线即可得出抛物线的解析式，利用对称轴的公式可得出对称轴直线解析式； （2）设对称轴直线交轴于点，作于点，由此得出，设点，可表达点的坐标；再根据点的位置进行分情况讨论； （3）过点作于点，交于点，根据的面积最大时可得点的坐标，作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，由此可得，即的最小值为，再求出的最值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线， ，解得， 抛物线的解析式为：； 其对称轴为直线，即； （2）设对称轴直线交轴于点，作于，    由旋转的性质可知：， ，， ， 又， ， ，， 设点， ①当点在轴上方时，有， 则：， 整理得，解得，（舍去）； ②当点在轴下方时，有， 则：， 整理得，解得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． （3）令，解得或， ， 直线的解析式：； 如图，过点作于点，交于点， 设点，， ， ， 当时，的面积有最大值， ，． 作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，    ，， ， ， 的最小值为， ，， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、函数图象上点的坐标特征等知识．本题综合性较强，难度较大，准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键． 3．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线(为常数)与轴交于点（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，点的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点为轴上任意一点；在(2)的结论下，当的值最小时，请直接写出点的坐标和此时的最小值． 【答案】(1)，； (2)最大面积为：，； (3)，最小值为：． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）利用图形面积和差，转化为二次函数求最值即可； （3）先过点作垂线段，当三点共线时，再根据垂线段最短，最后用等面积法求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∵抛物线和一次函数的图象都经过点、 ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为：，一次函数解析式为：， （2）如图，过作轴，交轴于点，交于点， 设，则， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴当时，面积最大，最大值为， 此时，即点； （3）如图，过作轴，交轴于点，交于点，过作于点， 由（2）可知：，∴， ∴， 由得：当时，，∴， 则有， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，， 则当点三点共线时有最小值， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数、图形面积计算等，解题的关键是如何找到等线段． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 难点探究专题：二次函数中求线段及线段和最值问题 目录 【考点一 利用二次函数求单线段最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求单线段最小值问题】 14 【考点三 二次函数中的将军饮马型最值问题】 22 【考点四 二次函数中的胡不归最值问题】 33 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求单线段最大值问题】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 【变式训练】 1．（23·24上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 2．（23·24上·西青·期中）如图，抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为点坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交拋物线于点，求线段长度的最大值． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，直线：与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求线段的最大值； (3)连接，设与y轴交于点E，若四边形是平行四边形，求点P的坐标． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线相交于B、C两点，与x轴交于点．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点二 利用二次函数求单线段最小值问题】 例题：（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)若点P为抛物线上一点，轴交直线于点M，求的最小值． 【变式训练】 1．（2023春·安徽·九年级专题练习）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点． (1)求和的值； (2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值； (3)求线段的最小值． 2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交于点M，Q，直线交x轴于点N．    (1)若点P在y轴的左侧，且N为中点，求抛物线的解析式； (2)求线段长的最小值，并求出当的长度最小时点P的坐标； (3)若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且，求m的取值范围． 3．（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，已知抛物线图象经过点，且对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交AC于E，交于F． ①求C点坐标； ②求证：四边形是矩形； ③连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 4．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数． (1)当时，该函数图象的对称轴为直线，与轴相交于点和点，与轴交于点 ①求该函数的表达式； ②点是直线下方的抛物线图象上的动点，于点，当取最大值时，求点坐标； (2)若，已知点，点，若二次函数的图象与线段有交点时，求的取值范围． 【考点三 二次函数中的将军饮马型最值问题】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C，对称轴为直线．    (1)点B的坐标为__________． (2)求抛物线的解析式． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·山东烟台·统考二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值； (3)设点F是抛物线上一点，其横坐标为，在抛物线上是否存在一点M，使得被直线平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．    (1)请分别求出k，m，a，b的值； (2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由． 【考点四 二次函数中的胡不归最值问题】 例题：（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且，    (1)求抛物线解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 2．（2023·山东济南·统考三模）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3．    (1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴； (2)设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标； (3)如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值． 3．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线(为常数)与轴交于点（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，点的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点为轴上任意一点；在(2)的结论下，当的值最小时，请直接写出点的坐标和此时的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$