专题1.5 二次函数的应用（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题1.5 二次函数的应用 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数解决拱桥问题】 1 【考点二 利用二次函数解决销售问题】 6 【考点三 利用二次函数解决投球问题】 11 【考点四 利用二次函数解决喷水问题】 17 【考点五 利用二次函数解决图形问题】 24 【考点六 利用二次函数解决图形运动问题】 30 【过关检测】 37 【典型例题】 【考点一 利用二次函数解决拱桥问题】 例题：如图所示的是一座古桥，桥拱为抛物线型，桥的跨径为，此时水位在处，在水面以上的桥墩都为，桥拱最高点P离水面．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求此桥拱所在抛物线的表达式． (2)当水位上涨时，若有一艘船在水面以上部分高，宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【变式训练】 1．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面的宽度为．这时拱高(点到的距离)为．    (1)你能求出在图()的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？ (2)如果将直角坐标系建成如图()所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？请求出()中的解析式． 2．图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2， ，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为轴、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离．    (1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式； (2)若桥拱最高点离水面为警戒水位，求警戒水位处水面的宽度． (3)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 3．悬索桥是特大跨径桥梁的主要形式之一，它是以通过桥塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁，缆索可以近似的看作一条抛物线． 如图1是某悬索桥单侧结构图纸．按照设计，需从缆索垂下49个吊杆，把桥面吊住，这些吊杆等距离的分布在两个桥塔之间． 为了求出吊杆的长度，小明以悬索桥单侧结构图纸的“桥面”为x轴，以主桥中心线为y轴，建立了如图2所示的坐标系．设缆索形成的抛物线顶点为G，缆索的两个端点A和D分别固定在桥塔、上，根据图1中的数据，得图2中，，． (1)求出抛物线的解析式； (2)求桥塔向左数第5个吊杆的长度是多少米． 【考点二 利用二次函数解决销售问题】 例题：某商场以元/千克的价格购进一批产品进行销售，经过市场调查，日销售量（千克）是销售价格（元/千克）的一次函数，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 日销售量（千克） (1)请求出与之间的函数表达式． (2)求日销售利润为元时的销售价格． (3)若商场每售出千克产品需另行支出元的人工费用，求商场日获利润的最大值． 【变式训练】 1．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．经过市场调研发现，每月销售的数量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其对应关系如表： x/（元/件） 22 25 30 35 … y/件 280 250 200 150 … 在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的， (1)请求出y关于x的函数关系式． (2)设小明每月获得利润为w（元），求售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？ 2．第十四届中国长江三峡国际旅游节于2023年9月16日在宜昌开幕，长江的微笑精灵－江豚是宜昌生态文明的“形象代言人”，此次旅游节吉祥物“豚宝”（如图1）成为了大众喜爱的、带得走的文创产品．某商店销售“豚宝”的公仔毛线玩具，进价为30元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量（件）与销售价（元/件）之间的关系如图2所示． (1)求关于的函数表达式； (2)由于某种原因，该商品进价提高了元/件，物价部门规定该玩具售价不得超过40元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润是2400元，求的值． 3．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售产品的一些数据． 销售价格（单位：元件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 【考点三 利用二次函数解决投球问题】 例题：（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023·河南安阳·统考一模）小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为的点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为．弹跳球落到倾斜角为的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线的．    (1)求抛物线的解析式； (2)若斜面被坐标平面截得的截图与轴的交点的坐标为，求抛物线的对称轴． 2．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 3．（2023·河南信阳·校考三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式． (2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． (3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，则______（填“＞”“＜”“＝”）． 【考点四 利用二次函数解决喷水问题】 例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上    (1)求该抛物线的表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离； (3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度 【变式训练】 1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 3．（2023·江西抚州·校联考三模）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．    (1)的值为______； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______； (4)若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 【考点五 利用二次函数解决图形问题】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长的砖墙，然后打算用长的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于）的长方形施工区域．      (1)设施工区域的一边为，施工区域的面积为．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当围成的施工区域面积为时，的长是多少？ (3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用． 【变式训练】 1．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中分别靠现有墙（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设的长为x米． (1)则的长为 　 　米（用含x的代数式表达）； (2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？ (3)直接写出当为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？ 2．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；    (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；      (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．    【考点六 利用二次函数解决图形运动问题】 例题：（2023·江苏·模拟预测）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． (1)当t为何值时，的面积为； (2)求四边形面积的最小值． 【变式训练】 1．（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）如图，等腰三角形的直角边，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线运动，点Q沿射线运动，的连线与直线相交于点D．设点P运动的时间为，的面积为S． (1)求S关于的函数关系式． (2)当t为多少时，的面积与的面积相等？ (3)当点P在边上运动时，过点P作于点E．在点P，Q运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在中，，，，点P从点A出发以的速度向点C运动，到点C停止，过点P作交点Q，以线段的中点为对称中心将旋转得到，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为，与重合部分的面积为S（）．    (1)求当点D落在边上时t的值； (2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)直接写出当是等腰三角形时t的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（   ） A．水面宽度为 B．抛物线的解析式为 C．最大水深为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 二、填空题 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为 元，每日的销售量为 件，每日的利润 ，所以每件降价 元时，每日获得的利润最大为 元． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ． 三、解答题 7．（23-24九年级下·江苏淮安·期末）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ； (2)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少? 8．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 9．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 10．（2024·浙江·模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动．学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，篮球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究： 如图，篮框距离地面，某同学身高，站在距离篮球架处，从靠近头部的O点将球正对篮框投出，球经过最高点时恰好进入篮框，球全程在同一水平面内运动，轨迹可看作一条抛物线．不计篮框和球的大小、篮板厚度等． (1)求抛物线C的表达式； (2)研究发现，当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框．若该同学正对篮框，改用跳投的方式，出手点O位置升高了，要能保证进球，求L的取值范围．（计算结果保留小数点后一位） 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为的水管，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度与距离水池中心O的水平距离之间的关系式，并求水流最大竖直高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至，则水管的高度增加多少米？ 12．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）“急行跳远”是田径运动项目之一，运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系．某中学一名运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 1.5 2 2.5 3 竖直高度 0 0.75 0.9375 1 0.9375 0.75 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足条件的函数关系式； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，求该运动员两次的成绩哪一次比较好？请说明理由． 13．（2024·湖北十堰·一模）超市销售一种水果，进价为20元/件，经过市场调查发现，该水果的日销售量（件）与当天的销售单价（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单件（元/件） 20 30 40 日销售量（件） 400 300 200 (1)求与的关系式； (2)求该水果每天获得的利润（元）的最大值； (3)春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为元，该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元/件，在实际销售过程中，发现该水果每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点， 所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．已知轴，，，，点B为抛物线的顶点，点A，B，O，E，M在同一平面内． (1)求水流抛物线的函数表达式； (2)现有一个底面半径为3，高为11的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） (3)在（2）的情况下，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，求出长的取值范围． 15．（2024·河南漯河·二模）2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕．中国女排在决赛中以击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠．爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究． 经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为（单位：），距击球点的水平距离为（单位：）． 小华第一次发球时，测得与的几组数据如下表： 水平距离 0 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 (1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离近似满足的函数关系式． (2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由． (3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度（单位：）的取值范围是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 二次函数的应用 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数解决拱桥问题】 1 【考点二 利用二次函数解决销售问题】 6 【考点三 利用二次函数解决投球问题】 11 【考点四 利用二次函数解决喷水问题】 17 【考点五 利用二次函数解决图形问题】 24 【考点六 利用二次函数解决图形运动问题】 30 【过关检测】 37 【典型例题】 【考点一 利用二次函数解决拱桥问题】 例题：如图所示的是一座古桥，桥拱为抛物线型，桥的跨径为，此时水位在处，在水面以上的桥墩都为，桥拱最高点P离水面．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求此桥拱所在抛物线的表达式． (2)当水位上涨时，若有一艘船在水面以上部分高，宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)此船不能通过桥洞，理由见解析 【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可； （2）求出当时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点P的坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：此船不能通过桥洞，理由如下： 当时，即， 解得或， ∵， ∴此船不能通过桥洞． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键． 【变式训练】 1．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面的宽度为．这时拱高(点到的距离)为．    (1)你能求出在图()的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？ (2)如果将直角坐标系建成如图()所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？请求出()中的解析式． 【答案】(1) (2)形状不变、表达式有变化， 【分析】（1）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可； （2）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把，代入求出、的值即可． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式是， 由图象知，点，在函数图象上，代入得： ， ． 该抛物线的解析式是； （2）设该抛物线的解析式是， 由图象知，点，在函数图象上，代入得： ， 解得：，． 该抛物线的解析式是， 与（1）抛物线比较，形状不变、表达式有变化． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点． 2．图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2， ，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为轴、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离．    (1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式； (2)若桥拱最高点离水面为警戒水位，求警戒水位处水面的宽度． (3)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)船不能通过桥洞，理由见解析． 【分析】（1）抛物线的顶点的坐标为，抛物线的表达式可写为 根据抛物线的图象过点，即可求得的数值． （2）根据题意可得，求解即可得到答案． （3）根据题意可得，求解即可得到答案． 【详解】（1）根据题意可知，抛物线的顶点的坐标为，所以抛物线的表达式可写为． 因为抛物线的图象过点，可得 ． 解得． 所以，此桥拱截面所在抛物线的表达式为． （2）根据题意可得 ． 解得 ，． 此时水面宽为． 答：警戒水位处水面的宽度为． （3）船不能通过桥洞，理由如下： 根据题意可得 ． 解得 ，． ． 所以，船不能通过桥洞． 【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．悬索桥是特大跨径桥梁的主要形式之一，它是以通过桥塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁，缆索可以近似的看作一条抛物线． 如图1是某悬索桥单侧结构图纸．按照设计，需从缆索垂下49个吊杆，把桥面吊住，这些吊杆等距离的分布在两个桥塔之间． 为了求出吊杆的长度，小明以悬索桥单侧结构图纸的“桥面”为x轴，以主桥中心线为y轴，建立了如图2所示的坐标系．设缆索形成的抛物线顶点为G，缆索的两个端点A和D分别固定在桥塔、上，根据图1中的数据，得图2中，，． (1)求出抛物线的解析式； (2)求桥塔向左数第5个吊杆的长度是多少米． 【答案】(1) (2)30.6米 【分析】（1）根据所见平面坐标系，得，，设抛物线的解析式为，把代入，求出a值即可求解； （2）先求出M点横坐标为160，再把把代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴； （2）解：由题意， 从缆索垂下共49个吊杆，以最中间吊杆为y轴，从桥塔到最中间吊杆共有25个吊杆， ∴桥塔向左数第5个吊杆的M点横坐标为， ∴把代入得， ∴米． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求函数解析式和抛物线上点的坐标特征是解题的关键． 【考点二 利用二次函数解决销售问题】 例题：某商场以元/千克的价格购进一批产品进行销售，经过市场调查，日销售量（千克）是销售价格（元/千克）的一次函数，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 日销售量（千克） (1)请求出与之间的函数表达式． (2)求日销售利润为元时的销售价格． (3)若商场每售出千克产品需另行支出元的人工费用，求商场日获利润的最大值． 【答案】(1) (2)日销售利润为元时的销售价格是或元 (3)公司日获利润的最大值是元 【分析】（1）设，根据表格数据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据日销售利润为元，列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）设日获利润为元，根据题意，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设，则 解得： ∴ （2）解：依题意， ∴ ∴ ∴， ∴日销售利润为750元时的销售价格是15或25元． （3）解：设日获利润为元，依题意得， ∴对称轴 ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，W有最大值 ∴（元） 即公司日获利润的最大值是810元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． 【变式训练】 1．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．经过市场调研发现，每月销售的数量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其对应关系如表： x/（元/件） 22 25 30 35 … y/件 280 250 200 150 … 在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的， (1)请求出y关于x的函数关系式． (2)设小明每月获得利润为w（元），求售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元 【分析】此题主要考查待定系数法求一次函数解析式、根据实际问题求二次函数解析式及根据二次函数的增减性求最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 【详解】（1）设y与x的函数关系式为， ，得， 即y与x的函数关系式为； （2）由题意可得， ， ∵在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当售价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元． 2．第十四届中国长江三峡国际旅游节于2023年9月16日在宜昌开幕，长江的微笑精灵－江豚是宜昌生态文明的“形象代言人”，此次旅游节吉祥物“豚宝”（如图1）成为了大众喜爱的、带得走的文创产品．某商店销售“豚宝”的公仔毛线玩具，进价为30元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量（件）与销售价（元/件）之间的关系如图2所示． (1)求关于的函数表达式； (2)由于某种原因，该商品进价提高了元/件，物价部门规定该玩具售价不得超过40元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润是2400元，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关于的函数表达式为，利用待定系数法进行计算即可得到答案； （2）设利润为元，则，再根据二次函数的性质可得时，取最大值2400，由此进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 由题意可得：， 解得：， 关于的函数表达式为， （2）解：设利润为元， 由题意可得： ， 对称轴为直线， ∵， ， ∵物价部门规定该玩具售价不得超过40元/件， ∴时，取最大值2400， ， 解得：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键． 3．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售产品的一些数据． 销售价格（单位：元件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 【答案】(1)； (2)当时，w最大，最大值为； (3)4． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求得成本q与销售件数y之间的函数关系式，进而得出q关于x的函数关系式，则可写出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案； （3）根据得出w关于x的二次函数，写成其对称轴，让其等于40，可解得a的值． 【详解】（1）∵y与x之间满足一次函数关系， ∴设其解析式为， 将，代入， 得 解得： ， 经检验，其它各组数据也满足函数关系式， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）∵销售A产品的成本q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例， ∴设其解析式为， 将代入，得， 解得， ∴ 由（1），， ∴ ， ∴ ， ∴当时，w最大，最大值为． ∴当销售价格x为元时，w最大，最大值是元； （3）由题意得： ， 把代入得． 答：a的值是4． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 【考点三 利用二次函数解决投球问题】 例题：（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能；理由见解析 【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为， 把代入解析式得，， 解得，， ∴关于的函数表达式为：， 即：． （2）解：不能得满分，理由如下， 根据题意，令，且， ∴， 解方程得，，（舍去）， ∵， ∴不能得满分． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·河南安阳·统考一模）小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为的点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为．弹跳球落到倾斜角为的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线的．    (1)求抛物线的解析式； (2)若斜面被坐标平面截得的截图与轴的交点的坐标为，求抛物线的对称轴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，由题意得，该抛物线的顶点坐标是，抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解． （2）由题意，设解析式为，将点代入，得出解析式为，联立抛物线的解析式得出反弹点的坐标为，依题意，设抛物线的解析式为，将代入抛物线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ． 由题意得，该抛物线的顶点坐标是， ． 该抛物线经过点， 解之，得． （2）由题意，设解析式为，将点代入， ， 解得：, ∴ 令， 解之，得舍去， 反弹点的坐标为． 由题意，设抛物线的解析式为 将代入抛物线的解析式，得舍去或 即抛物线的对称轴为直线 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 2．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．    (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【答案】(1)的最高点坐标为，，； (2)符合条件的n的整数值为4和5． 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； （2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 3．（2023·河南信阳·校考三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式． (2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． (3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，则______（填“＞”“＜”“＝”）． 【答案】(1) (2)不能得满分 (3)＜ 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可； （2）令，解得x，与12.4m比较即可； （3）令，解得x，根据（2）所得即可比较与． 【详解】（1）由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得． ∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）令，解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为m． ∵，即，∴， ∴小军第一次投掷实心球不能得满分． （3）∵， 解得（负值已舍去）， ，， ，， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【考点四 利用二次函数解决喷水问题】 例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上    (1)求该抛物线的表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离； (3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度 【答案】(1) (2)14米 (3)米 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）求出抛物线与x轴正半轴交点的横坐标即可； （3）利用待定系数法求出抛物线的表达式，化为顶点式，求出最大值，与（2）中水柱喷水的半径为时的最大高度比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴； （2）在中， 令，得， 解得或（舍去）， ∴水柱落地点与雕塑的水平距离是14米； （3）当水柱喷水的半径为时，抛物线经过，，代入，得 ， 解得． ∴， ∴当时，喷水池水柱的最大高度是米； 由（2）知，当水柱喷水的半径为时，， ∴当时，喷水池水柱的最大高度是米． ∵， ∴喷水池水柱的最大高度是米． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，用到了待定系数法、函数的顶点式和最值问题等知识，读懂题意准确计算是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为； (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】(1)，喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； （3）根据，求出点的坐标，利用灌溉车行驶时距离绿化带的增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ∴， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，舍去， 喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为； （3）解：∵， 点的纵坐标为， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 3．（2023·江西抚州·校联考三模）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．    (1)的值为______； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______； (4)若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为米 (3) (4)水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树，理由见解析 【分析】（1）代入抛物线与y轴的交点的坐标即可求解； （2）根据已知条件求出抛物线解析式及直线解析式，设抛物线上一点P点横坐标为t，作作轴交于点Q，用t表示P点和Q点的坐标，并计算的长度，建立关于t的二次函数，在取值范围内求最大值即可； （3）代入B点横坐标到一次函数解析式，求出对应纵坐标；代入点、抛物线对称轴及B点横坐标到二次函数解析式，建立不等式进行求解； （4）根据平移求得平移后的抛物线解析式，代入到抛物线解析式和直线解析式进行对比即可． 【详解】（1）代入到抛物线解析式，得：； 故答案为：1； （2）设抛物线的解析式为 将点代入，得 抛物线的解析式为 即 坡地经过点 的解析式为 如解图，    设抛物线上一点，过点P作轴交于点Q， 则，的长为 ， 函数图像开口向下，d有最大值 根据顶点公式当时，有最大值 水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； 故答案为：水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； （3）由（2）知，直线的解析式为， 时， ， 抛物线的解析式为，即， 当时，，要使水柱能超过点B则， 解得 故答案为：； （4）不能； 当灌溉装置水平向后移动4米时，由（2）可得平移后的抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线OB解析式，得 水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求解二次函数解析式和直线解析式、平移规律求二次函数解析式、根据坐标关系及二次函数求线段最大值是解题的关键． 【考点五 利用二次函数解决图形问题】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长的砖墙，然后打算用长的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于）的长方形施工区域．      (1)设施工区域的一边为，施工区域的面积为．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当围成的施工区域面积为时，的长是多少？ (3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用． 【答案】(1)； (2)当的长是12米时，围成的施工区域面积为； (3)拨款够用．理由见解析 【分析】（1）根据题意可得到S与x的函数关系式为：，自变量x的取值范围是：； （2）当围成的施工区域面积为时：，解一元二次方程即可求得； （3）由，结合，利用二次函数的性质即可求得最大面积，以及所需费用，即可判断. 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 解得：， ∴S与x的函数关系式为：； （2）解：由（1）知：， ∵围成的施工区域面积为， ∴， 解得：（舍去）或， ∴当的长是12米时，围成的施工区域面积为； （3）解：拨款够用．解析如下： ∵， ∵，函数图像的对称轴为直线：， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，施工区域有最大面积， 所需费用为， 答：拨款够用． 【点睛】本题是面积问题(二次函数综合)，考查了二次函数的性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中分别靠现有墙（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设的长为x米． (1)则的长为 　 　米（用含x的代数式表达）； (2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？ (3)直接写出当为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当长为16米时，游乐园的面积是320平方米； (3)当为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米． 【分析】（1）根据的长=篱笆总长得出结论； （2）根据矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和=320列出方程，解方程即可，并根据BE的取值范围得出结论； （3）根据游乐场的面积=矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和列出函数解析式，由函数的性质求出最大． 【详解】（1）解：由题意知，， 设的长为x米，则的长为米， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得， ∵， 解得， ∴， 答：当长为16米时，游乐园的面积是320平方米； （3）解：设游乐场的面积为y平方米， 由题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为360， 答：当为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意用x表示的长． 2．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；    (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；      (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，    ∴， ∴， ∵，当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 【考点六 利用二次函数解决图形运动问题】 例题：（2023·江苏·模拟预测）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． (1)当t为何值时，的面积为； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或时，的面积为； (2)四边形面积的最小值为． 【分析】（1）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论； （2）利用配方法求出函数顶点坐标求得面积的最大值，即得四边形面积的最小值． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； 由题意得：， 解得或， ∴或时，的面积为； （2）解：∵且， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值是． 此时，四边形面积取得最小值，最小值为． 【点睛】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出的长是解题关键． 【变式训练】 1．（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）如图，等腰三角形的直角边，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线运动，点Q沿射线运动，的连线与直线相交于点D．设点P运动的时间为，的面积为S． (1)求S关于的函数关系式． (2)当t为多少时，的面积与的面积相等？ (3)当点P在边上运动时，过点P作于点E．在点P，Q运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)当，的面积与的面积相等 (3)线段的长度是定值， 【分析】（1）分点在线段上，和点在线段的延长线上两种情况，讨论求解即可． （2）求出的面积，令列式计算即可． （3）过作，交直线于点，证明和都是等腰直角三角形，推出，进而，得到连接，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，得到，即可得解． 【详解】（1）解：∵点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动， ∴在边的运动时间为：； ①当时，， 此时：， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②当时：此时：， ∴； 综上：； （2）解：∵等腰三角形的直角边， ∴， ①当时，，即：， 此方程无解； ②当时，，即：， 整理，得：， 解得：（舍去）； ∴当，的面积与的面积相等； （3）解：线段的长度是定值； 过作，交直线于点， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴和都是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴，即：， 连接，则四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，是解题的关键．注意分类讨论． 2．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在中，，，，点P从点A出发以的速度向点C运动，到点C停止，过点P作交点Q，以线段的中点为对称中心将旋转得到，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为，与重合部分的面积为S（）．    (1)求当点D落在边上时t的值； (2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)直接写出当是等腰三角形时t的值． 【答案】(1)2 (2) (3)1或或 【分析】（1）由题意易得，然后可得方程，进而问题可求解； （2）由题意可分当时和当时，进而分类求解即可； （3）由题意可当时，当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：如图，当点D落在边上时，      ． 由，解得， 所以当点D落在边上时t的值是2． （2）解：当时，如图，    ，． ； 当时，如图，    ，， ． 综上，； （3）解：当时，如图，      ， 由，解得； 当时，如图5， ，， 由，解得（负值舍去）；    当时，如图6， ，， 由， 解得，（舍去）． 综上，当是等腰三角形时t的值为1或或． 【点睛】本题主要考查勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质是解题的关键． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可． 【详解】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为， ∴ ∴ 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（   ） A．水面宽度为 B．抛物线的解析式为 C．最大水深为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键． 利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可． 【详解】解：设解析式为， 将抛物线上点， 带入抛物线解析式中得， 解得， 解析式为． 选项A中，，，水面宽度为故选项A错误，不符合题意； 选项B中，解析式为，故选项B错误，不符合题意； 选项C中，池塘水深最深处为点，水面，所以水深最深处为点到水面的距离为米，故选项C正确，符合题意； 选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为米，减少为原来的．故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 【答案】205 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．由可获得利润，即可知当时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值． 【详解】解： ∴当时，取最大值41， （万元）， 年所获利润的最大值205万元， 故答案为：205． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为 元，每日的销售量为 件，每日的利润 ，所以每件降价 元时，每日获得的利润最大为 元． 【答案】 5 625 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据单件利润=单件售价单件成本，即可得出单件利润；根据每日销售量增加的销售量，即可得出每日销售量；根据总利润=单件利润×销售量，即可得出y关于x的表达式；将y关于x的表达式化为顶点式，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 单件的利润为元， 每日的销售量为件， 每日的利润， ∵，， ∴当时，y有最大值625， ∴每件降价5元时，每日获得的利润最大为625元， 故答案为：，，，5，625． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ． 【答案】 9米/ 162平方米/ 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设的长为米，则的长为米，利用面积公式列出二次函数解析式，求最值即可． 【详解】解：设的长为米，则的长为米 则窗框的面积 ∵ ∴ ∴当时，窗框的面积最大，最大面积为； 故答案为：9米，162平方米． 三、解答题 7．（23-24九年级下·江苏淮安·期末）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ； (2)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少? 【答案】(1)； (2)销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）每件进价是40元，销售单价为元，则每件利润为元，从而根据利润等于每件的利润乘以销售量可得关于的函数关系式； （2）每天的销售量不少于38件，可得不等式，解得的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， 与的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：， ， 解得：． ， 对称轴为，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为：． 销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 8．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意和图形，可以写出y与x的函数关系式，再根据岸堤的可用长度不超过和，可以求得x的取值范围； （2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， ， 岸堤的可用长度不超过， ， 解得， 又， ， ， y与x之间的函数解析式是，自变量x的取值范围是； （2）， 当时，y随x的增大而减小， ， 当时，y取得最大值，此时， 答：的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是． 9．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 【答案】(1) (2)9米 (3)米 【分析】（1）设抛物线表达式为，将点、代入得，计算求解，进而可得抛物线的表达式． （2）由题意知，，由，可知当时，y取得最大值，最大值为9，然后作答即可． （3）当时， ，可求，，根据货箱最宽为，计算求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， 将点、代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意知，， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为9． ∴在正常水位时桥面距离水面的高度为9米． （3）解：根据题意，当时， ， 解得，， ∴货箱最宽为（米）． ∴若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程是解题的关键． 10．（2024·浙江·模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动．学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，篮球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究： 如图，篮框距离地面，某同学身高，站在距离篮球架处，从靠近头部的O点将球正对篮框投出，球经过最高点时恰好进入篮框，球全程在同一水平面内运动，轨迹可看作一条抛物线．不计篮框和球的大小、篮板厚度等． (1)求抛物线C的表达式； (2)研究发现，当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框．若该同学正对篮框，改用跳投的方式，出手点O位置升高了，要能保证进球，求L的取值范围．（计算结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型． （1）以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，抛物线的顶点坐标为，则设其表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）可设抛物线的表达式为，结合题意可知抛物线的抛球点位，，，将其代入求得，则，可知由题意可知，当时，，即， 计算出，时，的值，根据距离蓝框的距离即可求解． 【详解】（1）解：以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，则设其表达式为， 将代入，可得：， ∴， ∴抛物线C的表达式为； （2）解：由（1）可设抛物线的表达式为， ∵改用跳投的方式，出手点O位置升高了， 则抛物线的最高点抛物线的基础上升高， ∴抛物线的抛球点位，，， 将其代入，得， 解得：， 由球的运动可知，最高点在抛出点的右侧，则， ∴，则， ∴ ∵当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框， ∴当时，，即， 若，则，解得：， 此时距离蓝框的距离或， 若，则，解得：， 此时距离蓝框的距离或， 即：或 亦即：或． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为的水管，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度与距离水池中心O的水平距离之间的关系式，并求水流最大竖直高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至，则水管的高度增加多少米？ 【答案】(1)，水流最大竖直高度的长为m (2)水管的高度增加米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设抛物线的解析式为，由A点坐标为，B点坐标为，进而求得a，k后得解，再令，从而求出水流喷出的最大高度； （2）依据题意，设抛物线为，结合此时B为，求出m，从而得抛物线解析式，再令，即可得解． 【详解】（1）由题意，A点坐标为，B点坐标为． 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点A，点B， ∴， ∴． ∴． ∴时，． ∴水流最大竖直高度的长为． （2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线为． 又此时B为， ∴． ∴． ∴抛物线为， 令， ∴， ， ∴水管的高度增加米． 12．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）“急行跳远”是田径运动项目之一，运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系．某中学一名运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 1.5 2 2.5 3 竖直高度 0 0.75 0.9375 1 0.9375 0.75 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足条件的函数关系式； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，求该运动员两次的成绩哪一次比较好？请说明理由． 【答案】(1)最大值为， (2)第二次的成绩比较好，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与轴的交点问题，掌握待定系数法和求与轴的交点是解题的关键． （1）由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，得，将时，，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）令，分别求出两次的成绩，再比较大小即可． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为， ∴， 即该运动员竖直高度的最大值为， 当时，，代入得， 解得， ∴函数关系式为； （2）解：第二次的成绩比较好， 理由如下：第一次训练：令， 即， 解得，， ∴第一次的成绩为4米， 第二次训练：令，即， 解得，， ∴第二次的成绩为4.4米， ∵， ∴第二次的成绩比较好． 13．（2024·湖北十堰·一模）超市销售一种水果，进价为20元/件，经过市场调查发现，该水果的日销售量（件）与当天的销售单价（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单件（元/件） 20 30 40 日销售量（件） 400 300 200 (1)求与的关系式； (2)求该水果每天获得的利润（元）的最大值； (3)春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为元，该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元/件，在实际销售过程中，发现该水果每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1) (2)4000元 (3)22元 【分析】本题考查一次函数解析式的应用、二次函数的应用等知识，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值即可； （3）根据“日销售利润日销售量（销售单价成本单价）”列出函数解析式，求出函数对称轴为，再根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，且，得出，求解，从而得出结论． 【详解】（1）解：设与的关系式为， 根据题意，将点、代入， 可得，解得， ∴与的关系式为； （2）根据题意，该水果每天获得的利润 ， ∵ ∴当时，该水果每天获得的利润取最大值，最大值为4000元； （3）由题意，可得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，且， ∴，解得， ∴最小值为22． 故答案为：22． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点， 所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．已知轴，，，，点B为抛物线的顶点，点A，B，O，E，M在同一平面内． (1)求水流抛物线的函数表达式； (2)现有一个底面半径为3，高为11的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） (3)在（2）的情况下，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，求出长的取值范围． 【答案】(1) (2)水流不能流到圆柱形水杯内，理由见解析； (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）由题意得出抛物线的对称轴为：．得出，把点代入抛物线结合，求出，，即可得解； （2）根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案； （3）求出当时的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案． 【详解】（1）解：轴，，点为水流抛物线的顶点， 抛物线的对称轴为：． ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：． 解得：， ， 水流抛物线的函数表达式为：； （2）解：不能， 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． （3）解：当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内， ， 即． 15．（2024·河南漯河·二模）2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕．中国女排在决赛中以击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠．爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究． 经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为（单位：），距击球点的水平距离为（单位：）． 小华第一次发球时，测得与的几组数据如下表： 水平距离 0 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 (1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离近似满足的函数关系式． (2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由． (3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度（单位：）的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． （1）根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可； （2）将代入抛物线解析式，求得值与2.24比较即可； （3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为，利用二次函数图象上点的坐标特征来求解即可． 【详解】（1）解：由表格，可知抛物线顶点坐标为； 设与之间的函数关系式为． 将代入，得 ， 解得， 经检验，表格中其他数据也满足上述关系． 排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离满足的函数表达式为：； （2）能，理由如下： 当时，． ， 小华这次发球能过网； （3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为：． 把，代入， 解得． ． 把代入， 解得． 把，代入， 解得． ． 把代入， 解得． 小华的击球点高度的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$