专题1.4 解题技巧专题：用待定系数法求二次函数的表达式（6大考点）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题1.4 解题技巧专题：用待定系数法求二次函数的表达式 目录 【考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式】 1 【考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式】 6 【考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式】 11 【考点四 一点一对称轴求二次函数的解析式】 16 【考点五 已知顶点式求二次函数的解析式】 25 【考点六 已知交点式求二次函数的解析式】 29 【典型例题】 【考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式】 例题：（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【变式训练】 1．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 2．（2024·浙江嘉兴·二模）已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 3．（2023·广西北海·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)D是抛物线上一动点（点D不与点C重合），设点D的横坐标为m，连接，，当的面积等于的面积时，求m的值； (3)当时，二次函数的最小值为，求t的值． 【考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线，求该抛物线的表达式． 【变式训练】 1．（2023·河南南阳·统考三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的表达式； (2)当时，抛物线有最小值5，求的值． 2．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，已知二次函数的图像经过点，点．    (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)点在该二次函数图像上，当时，n的最大值为，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围． 3．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差． 4．（23-24八年级下·云南·期末）已知抛物线经过点和点． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当自变量x满足时，求y的取值范围； (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 【考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式； 2．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小． 3．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的面积为4时，求点D的坐标； (3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点四 一点一对称轴求二次函数的解析式】 例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值． 【变式训练】 1．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 2．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 3．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式． (2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值． 4．（2023·河南商丘·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴正半轴的交点坐标是 ，对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式． (2)点A，B均在这个抛物线上，点A的横坐标为a，点B的横坐标为，将A，B两点之间的部分（包括A，B两点）记为图象G，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h． ①当A，B两点的纵坐标相等时，求h的值； ②当时，直接写出a的取值范围． 【考点五 已知顶点式求二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【变式训练】 1．（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为，且过点． (1)求其解析式； (2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点． 2．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)①当函数值时，直接写出x的取值范围； ②当时，直接写出函数的最大值． 3．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）如图，抛物线过点、顶点、点C和点D． (1)求抛物线的解析式； (2)求点C和点D的坐标； (3)时，自变量x的取值范围为______． (4)方程的解的情况怎样？ 【考点六 已知交点式求二次函数的解析式】 例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点，和． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式 2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式． (1)抛物线经过点三点． (2)已知二次函数的图象过两点，并且以为对称轴． (3)已知二次函数的图象经过一次函数x图象与x轴、y轴的交点，且过． 3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该二次函数上． ①当时，求的值； ②当时，的最小值为，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 解题技巧专题：用待定系数法求二次函数的表达式 目录 【考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式】 1 【考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式】 6 【考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式】 11 【考点四 一点一对称轴求二次函数的解析式】 16 【考点五 已知顶点式求二次函数的解析式】 25 【考点六 已知交点式求二次函数的解析式】 29 【典型例题】 【考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式】 例题：（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 【变式训练】 1．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入，即可求解； （2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ， 图象顶点的坐标为． （2）解：一次函数的图象经过点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ． 点在二次函数的图象上， ， ， ，即， 令， 当时，， 解得：，， 抛物线与轴交点为和， 抛物线开口向上， 的解为：或， 的取值范围是或． 2．（2024·浙江嘉兴·二模）已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入，计算求解即可；②由题意知，，则图象开口向上，对称轴为直线，进而可得当时，y随x的增大而增大； （2）由点在二次函数的图象上，可得，将点代入得，进而可得． 【详解】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴a的值为； ②解：由题意知，， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大； （2）证明：∵点在二次函数的图象上， ∴， 将点代入得， ∴． 3．（2023·广西北海·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)D是抛物线上一动点（点D不与点C重合），设点D的横坐标为m，连接，，当的面积等于的面积时，求m的值； (3)当时，二次函数的最小值为，求t的值． 【答案】(1) (2)的值为或或3 (3)的值为或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的解析式，可得，根据的面积等于的面积，可得点的纵坐标为4或，分别求解即可； （3）根据二次函数图象开口向上，对称轴为，分类讨论：当时，根据二次函数图象的性质，可得当时，二次函数取得最小值，代入即可求得；当时，根据二次函数图象的性质，可得当时，二次函数取得最小值，代入即可求得． 【详解】（1）∵抛物线（）与轴交于点 将点坐标代入得： 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）∵点是抛物线与轴的交点， ∴ ∵的面积等于的面积 ∴点的纵坐标为4或 当时，点与点关于对称轴直线对称，即； 当时，代入得：，解得 综上所述，的值为或或3． （3）由题意可知，二次函数的对称轴为直线，，抛物线开口向上 当时，． 当时，随的增大而减小 ∴当时，二次函数取得最小值 即 解得，（舍去） 当，即时，随的增大而增大 ∴当时，二次函数取得最小值 即 整理，得 解得，（舍去） 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质等，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线，求该抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数待定系数法，将和代入解出即可求出． 【详解】解：将和代入，得：， 解得：， 抛物线的表达式为． 【变式训练】 1．（2023·河南南阳·统考三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的表达式； (2)当时，抛物线有最小值5，求的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)或 【分析】（1）点，点代入抛物线的解析式求出的值，即可得到抛物线的解析式； （2）当时，即，此时当时，抛物线取得最小值； 当时，即，此时当时，抛物线取得最小值． 【详解】（1）解：将点，点代入抛物线的解析式可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：， 抛物线的最小值是，对称轴为， 和不可能在抛物线对称轴的两侧， 当时，即， 此时当时，抛物线取得最小值，即， 解得：（舍去）或， 即， 当时，即， 此时当时，抛物线取得最小值，即， 解得：（舍去）或， 即， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，已知二次函数的图像经过点，点．    (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)点在该二次函数图像上，当时，n的最大值为，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围． 【答案】(1)该二次函数表达式；顶点坐标： (2) 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）把代入抛物线解析式求得对应的x的值，再根据函数最大值和最小值，即可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图像经过点，点， ，解得， 该二次函数为， ， 顶点为； （2）让，则， 解得：， 当时，， 当时，n的最大值为，最小值为， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 3．（2024·浙江温州·三模）已知关于x的二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）将、代入求解． （2）根据抛物线开口方向，将函数解析式化为顶点式可得时，y取最小值，时y取最大值，进而求解． 【详解】（1）解：将、代入得， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴时，y最小值为， ∵， ∴时，为最大值， ∴当时，y的最大值与最小值的差为． 4．（23-24八年级下·云南·期末）已知抛物线经过点和点． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当自变量x满足时，求y的取值范围； (3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 【答案】(1)解析式为：；顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，平移性质等． （1）将点和点代入中求出的值，即可计算出本题答案； （2）利用二次函数顶点式可得当时取得最小值，再求出和时对应的函数值即可得到本题答案； （3）根据题意分别设抛物线左右平移解析式，利用函数性质得到最值情况，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：将点和点代入中得， ，解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴二次函数对称轴为：， ∵， ∴此时函数有最小值， ∵自变量x满足时， 当时，， 当时，， ∴自变量x满足时，y的取值范围为：； （3）解：∵将此抛物线沿x轴平移m个单位后， ∴设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为， ∵当自变量满足时，的最小值为5， ∴，即， 此时时，，即，解得：（舍去）， 设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为， ∵当自变量满足时，的最小值为5， ∴，即， 此时时，，即，解得：（舍去）， 综上所述：的值为：或． 【考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将化为顶点式求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入 得， 解得 ∴； （2）∵ ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据待定系数法求解析式方法即可求解，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴可设抛物线的函数解析式为．      ∵抛物线经过点， 则， 解得，    ∴抛物线的函数解析式为． 2．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)当点D的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）与对称轴的交点即为点D，此时的周长最小． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将A、B、C三点代入， 得， 解得：，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线的对称轴为， 如图，连接与对称轴交于点D， ∵，， ∴B、C关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵为定值， 此时的周长取得最小值，点D即为所求； 设直线解析式为， 将A、C两点代入得， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ∴当点D的坐标为时，的周长最小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，最短路径问题，掌握两直线交点求法是求出点D的关键． 3．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的面积为4时，求点D的坐标； (3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为； (3)存在点D，使得，点D的坐标为 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据三角形面积公式可求与平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标； （3）取点，连接，则，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如下图，过点D作，交y轴与点M，连接，设点M的坐标为，使得的面积为4， ， 则， ， 点， 直线的解析式为， 的解析式为， 联立抛物线解析式， 解得：， 点D的坐标为； （3）存在， 取点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， 点， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得： ， 解得：（舍去），， 点D的坐标为， 综上所述：存在点D，使得，点D的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式． 【考点四 一点一对称轴求二次函数的解析式】 例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，即可求出b的值，再将点A的坐标代入，求出c的值，即可得出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得出点D坐标； （2）作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，此时的值最小，求出所在直线的表达式，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴点D的坐标为． （2）解：作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M， 把代入得：， ∴， ∴， 设所在直线为， 把，代入得： ，解得： ， ∴所在直线的表达式为：为， 把代入得：， 解得：， ∴，．    【点睛】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 【变式训练】 1．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：抛物线向下平移个单位后解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，， 解得，此时抛物线与只有1个交点； ②当抛物线经过点时，， 解得， 当抛物线经过时，， 解得，    根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点， ∴时，满足题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，准确计算． 2．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的解析式得出，，从而求得三角形的面积，设点P的坐标为，根据即可求得的值，从而得出点P的坐标； （3）利用待定系数法可求得直线AC的解析式为，设点，再根据两点间的距离可表示，然后利用二次函数的最值即可得出答案． 【详解】（1）已知抛物线的对称轴为直线， 可设抛物线的表达式为， 将点，点代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）由（1）知抛物线表达式为， 令，解得或， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴，， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为， ∴ ∵， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，， ∴满足条件的点P有两个，分别为，； （3）如解图，设直线AC的解析式为，    将点，代入， 得， 解得， ∴直线AC的解析式为， 由于点Q在AC上，可设点， 则点，其中， ∴ ∴当时，DQ长度有最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质及最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式． (2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再令，解方程求出点坐标； （2）先根据对称性求出的坐标，再求出，设平移后的解析式为，再根据，求出坐标，在代入平移后的解析式即可求出． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 抛物线解析式为； 令，则， 解得，， ； （2）令，则， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线向上平移个单位长度后的解析式为， ，， ， 把代入得： ， 解得． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式． 4．（2023·河南商丘·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴正半轴的交点坐标是 ，对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式． (2)点A，B均在这个抛物线上，点A的横坐标为a，点B的横坐标为，将A，B两点之间的部分（包括A，B两点）记为图象G，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h． ①当A，B两点的纵坐标相等时，求h的值； ②当时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①h的值为4；②a的取值范围为 【分析】（1）利用待定系数法求出b、c即可； （2）①由A，B两点的纵坐标相等可得A，B两点关于抛物线的对称轴对称，即可求出a，结合抛物线的顶点即可求出h； ②分四种情况（见解析），先求出h关于a的表达式，根据可得关于a的不等式，求解即可． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式是：； （2）①∵A，B两点的纵坐标相等， ∴A，B两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 解得：； ∴， ∵， ∴图象G的最高点的纵坐标为9， ∴； ②当时，， 当时，， 当时，， ⅰ、当时，， ∵，∴， 解得：， 又∵， ∴此种情况不存在； ⅱ、当时，， ∵，∴， 解得：， 又∵， ∴此种情况不存在； ⅲ、当时，， ∵，∴， 解得：； ⅳ、当时，， ∵，∴， 解得：； 综上，当时，a的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数的解析式、抛物线的对称性等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 【考点五 已知顶点式求二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）直接用待定系数法求即可； （2）先求出其最大值和最小值，再根据其差值为9即可求； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定的范围即可． 【详解】（1）解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 图象经过点 解得 该二次函数的解析式为； （2）①当时，最小值为，最大值为 此时方程无实数解， ②当时， 的最小值为，当时，该二次函数最大值与最小值的差是9 当时，该二次函数最大值为 时， 时， 解得（舍去）或， 即当时，二次函数最大值与最小值的差是9； （3）如图，此函数大致图象如下 由，当时，，此时点为 由图知时，交点只有一个， 当时，图中也符合只有一个交点． 该函数图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为或． 【变式训练】 1．（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为，且过点． (1)求其解析式； (2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点． 【答案】(1) (2)1或3 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式； （2）根据（1）所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答． 【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为， ∴可设该抛物线解析式为． ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）对于， 令，则， ∴， 解得：， ∴该抛物线与x轴的两个交点分别为，， ∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点． 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移．根据题意设出为顶点式的抛物线解析式，再根据待定系数法求出该解析式是解题关键． 2．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)①当函数值时，直接写出x的取值范围； ②当时，直接写出函数的最大值． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】(1)设函数的解析式为，将代入解析式，即可求解； (2)①首先可求得与x轴的另一个交点的坐标为，再根据函数图象，即可解答；②令，则，再根据在此范围内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】（1）解：设函数的解析式为， 将代入解析式，解得， ∴函数的解析式为； （2）解：①二次函数的图象经过点、顶点坐标为， 对称轴为直线，与x轴的另一个交点的坐标为， 当函数值时，； ②在中，令，则， 当时，由图象可知：y随x的增大而减小， 故当时，函数的最大值为3． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 3．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）如图，抛物线过点、顶点、点C和点D． (1)求抛物线的解析式； (2)求点C和点D的坐标； (3)时，自变量x的取值范围为______． (4)方程的解的情况怎样？ 【答案】(1) (2)， (3) (4)没有实数根 【分析】（1）根据抛物线过点、顶点，由待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程即可； （3）根据图象得出结论； （4）把方程的解的情况转化为抛物线与直线的交点情况即可． 【详解】（1）解：抛物线过点、顶点， 则， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，， ，； （3）解：由图象和（2）知，时，自变量的取值范围为； （4）解：抛物线最低点为， 抛物线与直线没有交点， 方程没有实数根． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与轴的交点、二次函数的图象性质，关键是求出抛物线解析式． 【考点六 已知交点式求二次函数的解析式】 例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点，和． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 【答案】(1) (2)顶点坐标为；对称轴为直线 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据顶点坐标公式求解即可． 【详解】（1）设 将代入，则 ∴ （2）∵， ∴顶点坐标为；对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴是直线，其顶点坐标是 ． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式 【答案】 【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为，将点代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，，， ∴设抛物线的表达式为， 将点代入得：，解得：， ∴． ∴该抛物线的函数关系式为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式． 2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式． (1)抛物线经过点三点． (2)已知二次函数的图象过两点，并且以为对称轴． (3)已知二次函数的图象经过一次函数x图象与x轴、y轴的交点，且过． 【答案】(1)x (2) (3) 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为：，代入求得a即可； （2）利用对称轴方程和把两已知点的坐标代入中可得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用一般式求抛物线解析式． 【详解】（1）解：设， 把代入得：， 解得：， 则抛物线的解析式为x； （2）解：根据题意可知：， 解得， 则二次函数的解析式为； （3）当时，，则直线与y轴的交点坐标为， 当时，，解得，则直线与x轴的交点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，要根据题目给定条件，选择恰当方法设出关系式，再用待定系数法求解． 3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该二次函数上． ①当时，求的值； ②当时，的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的解析式为. (2)①的值为或；② 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）①把代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即． 【详解】（1）设二次函数的解析式为， 把点代入得， 解得， ， 该二次函数的解析式为； （2）①时，则， 解得，； 故的值为或； ， 当时，函数有最小值， 当时，即时，有最小值， 故的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$