专题1.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（8考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题1.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1 【考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 2 【考点三 求二次函数与x轴的交点坐标】 8 【考点四 求二次函数与y轴的交点坐标】 9 【考点五 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 11 【考点六 已知二次函数上对称的两点求对称轴】 14 【考点七 根据二次函数的增减性求最值】 16 【考点八 二次函数的平移】 20 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 例题：（23-24九年级上·山西吕梁·期中）把二次函数化为顶点式为 ． 【变式训练】 1．（2023·辽宁丹东·模拟预测）将二次函数化成形式为 ． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）把二次函数用配方法化成的形式是 ． 3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）把抛物线化成的形式是 ，该图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 例题：（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题： (1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． (2)求出它的图象与x轴的交点坐标． (3)在直角坐标系中，画出它的图象． (4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？ (5)根据图象说明：当x为何值时， 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 2．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______________． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 【考点三 求二次函数与x轴的交点坐标】 例题：（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·广东江门·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ． 【考点四 求二次函数与y轴的交点坐标】 例题：（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数图像与轴交点坐标为 ． 3．将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【考点五 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 例题：（2024·新疆乌鲁木齐·一模）下列关于抛物线的说法正确的有（    ）个 ①开口向上；②对称轴是；③当时，y取最小值5；④当或时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2024·四川成都·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．函数图象一定经过点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，函数图象与x轴有两个交点 2．（2024·浙江·模拟预测）下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象与轴无交点 C．函数的最大值为5 D．当时，的值随值的增大而减小 3．（2024·河北·模拟预测）若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点； ④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【考点六 已知二次函数上对称的两点求对称轴】 例题：（23-24九年级上·湖南湘西·期末）某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ． 2．（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 3．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【考点七 根据二次函数的增减性求最值】 例题：（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数的最大值是___________，最小值是___________． 【变式训练】 1．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数的最小值是______，最大值是______． 2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数. （1）当时，二次函数的最小值为________； （2）当时，二次函数的最小值为1，则________. 3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函数， （1）当时，二次函数的最大值为______． （2）当时，二次函数的最大值为6，则的值为______． 【考点八 二次函数的平移】 例题：（2024·吉林长春·模拟预测）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江·假期作业）抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则 ， ． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 3．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东河源·一模）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点在函数图象上，当时， D．函数值y随x的增大而增大 4．（2024·山西大同·模拟预测）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、填空题 6．（2024·广西南宁·模拟预测）二次函数的对称轴是直线 ． 7．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ． 9．（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为，且过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为何值时，随的增大而增大； (3)求将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点? 12．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数． (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图像； … 0 1 2 3 … … 0 … (2)根据图像，完成下列填空： ①当时，随的增大而______； ②当时，的取值范围是______． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______； (2)表中的_______，_______； (3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）； (4)写出这个函数的一条性质___________． 14．（2024·河南南阳·二模）已知二次函数 ． (1)当时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出x的取值范围． (2)若点是该函数图象上不同的两点，求m的值． (3)当时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 15．（2024·河北保定·三模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点且，点为抛物线的对称轴右侧图像上的一点（不含顶点）． (1)的值为 ，抛物线的顶点坐标为 ； (2)设抛物线在点和点之间的部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)若点的坐标满足时，连接．将直线与抛物线围成的封闭图形记为． ①求点的坐标； ②直接写出封闭图形的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1 【考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 2 【考点三 求二次函数与x轴的交点坐标】 8 【考点四 求二次函数与y轴的交点坐标】 9 【考点五 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 11 【考点六 已知二次函数上对称的两点求对称轴】 14 【考点七 根据二次函数的增减性求最值】 16 【考点八 二次函数的平移】 20 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 例题：（23-24九年级上·山西吕梁·期中）把二次函数化为顶点式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与轴的交点坐标是； ②顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为； ③交点式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，． 直接用配方法将二次函数解析式化成顶点式即可求解． 【详解】解：， 故答案是：． 【变式训练】 1．（2023·辽宁丹东·模拟预测）将二次函数化成形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数化为顶点式：；利用配方法整理即可得解． 【详解】解：， 所以，． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）把二次函数用配方法化成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，注意掌握二次函数的解析式有三种形式：一般式：（，、、为常数）；顶点式：；交点式（与轴）：． 【详解】解：， 即：， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）把抛物线化成的形式是 ，该图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 直线 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式，即可求解． 【详解】解：，对称轴为直线，顶点坐标为 故答案为：，直线，． 【考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 例题：（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题： (1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． (2)求出它的图象与x轴的交点坐标． (3)在直角坐标系中，画出它的图象． (4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？ (5)根据图象说明：当x为何值时， 【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象与x轴的交点坐标为， (3)见解析 (4)时，y随着x的增大而增大 (5)时， 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象与不等式，熟练掌握配方法的操作，整理成顶点式形式，求出顶点坐标和对称轴更加简便． （1）利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可； （2）令解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标； （3）利用五点法作出函数图象即可； （4）根据函数图象利用二次函数的增减性解答； （5）写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，； （3）解：函数图象如图所示； （4）解：由函数图象可知，时，y随着x的增大而增大； （5）解：由函数图象可知，当时，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 【答案】(1)图象的顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象见解析， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）解析式化成顶点式，即可得到结论； （2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴，y轴的交点，再根据图象求当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：， 二次函数的图象的，对称轴为直线； （2）解：二次函数图象如下图： 当时，则y的取值范围是， 故答案为：． 2．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质： （1）设这个二次函数的解析式是，然后利用待定系数法解答即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）根据当时，y取得最小值，最小值为，当时，，当时，，即可写出y的取值范围． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式是， 把点代入得： ，解得：， ∴这个二次函数的解析式是； （2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： （3）解：根据题意得：， ∴当时，y取得最小值，最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围为． 故答案为： 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据函数图象，可以写出A、B、C的坐标，从而可以求得b、c的值； （2）根据（1）中b、c的值可以写出函数解析式，从而可以画出函数图象； （3）根据函数图象，可以写出当时，y的取值范围． 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得， 点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 则， 解得， 即b、c的值分别是2，3； （2）由（1）知，，， ， 该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，图象开口向下， 由对称性可知，图象过点， 所画的函数图象如图所示； （3）由图象可得， 当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【考点三 求二次函数与x轴的交点坐标】 例题：（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，令，代入函数解析式求出的值即可． 【详解】解： 当时，， 解得：， 二次函数的图象与x轴的交点坐标是，， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·广东江门·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，理解抛物线与x轴有交点，即，与y轴有交点即是解题的关键．令，代入抛物线的解析式求出x值，写出坐标形式即可． 【详解】解：把代入，得： ， 解得：， 则抛物线与x轴的交点坐标为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，正确利用时求出的值是解题关键． 直接利用抛物线与轴交点求法：令，得到一元二次方程求解即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得：，， 故抛物线与轴的交点坐标分别为：，． 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 【考点四 求二次函数与y轴的交点坐标】 例题：（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，令，然后求出的值，即可以得到抛物线与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标． 【详解】解：令， 得， 抛物线与轴的交点坐标是：， 令， 即， 解得，， 所以抛物线与轴交点的坐标是，． 故答案为：；，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点问题． 直接令，即可求出抛物线与y轴交点的纵坐标． 【详解】当时，， ∴二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是9． 故答案为：9． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数图像与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键．令，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，可得， 所以，该函数的图像与轴交点坐标为． 故答案为：． 3．将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”得到新的二次函数，再令即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据平移得新抛物线的解析为：， 令，则， ∴新抛物线与轴的交点为， 故答案为：． 【考点五 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 例题：（2024·新疆乌鲁木齐·一模）下列关于抛物线的说法正确的有（    ）个 ①开口向上；②对称轴是；③当时，y取最小值5；④当或时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数与不等式之间的关系，先把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，由此即可判断①②③，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可判断④． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y取最小值； 当时，解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， ∴当或时，， ∴正确的有①④， 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·四川成都·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．函数图象一定经过点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，函数图象与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：对于二次函数，对称轴是直线，A选项说法正确． 令， 则， 函数图象一定经过点，B选项说法正确． 二次项系数是， 二次函数图象开口向下． 在对称轴，即直线，的右侧，y的值随x值的增大而减小． 当时，y的值随x值的增大而减小，C选项说法错误． 当时，二次函数表达式为． 令，则． ， 一元二次方程有两个不相同的实数根． 当时，函数图象与x轴有两个交点，D选项说法正确． 故选C． 2．（2024·浙江·模拟预测）下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象与轴无交点 C．函数的最大值为5 D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将，，代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象的开口向下，故A错误，不符合题意； 令，则， ∵， ∴函数图象与轴有交点，故B错误，不符合题意； ∵， ∴函数的最大值为，故C错误，不符合题意； ∴当时，的值随值的增大而减小，故D正确，符合题意； 故选：D． 3．（2024·河北·模拟预测）若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点； ④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，根与系数的基本关系．根据求出的范围即可判断①；求出对称轴即可判断②；把函数表达式整理成为，即可判断③，根据，利用根与系数的关系即可求出的的范围，从而可以判断④． 【详解】解：二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点， ， 整理得：， ，故①正确； ， 函数图象关于对称， ，开口向上， 当时，y随x的增大而增大；故②错误； ， 当时，，则恒过定点，故③正确； 若线段上有且只有5个横坐标为整数的点，根据二次函数的对称轴是， 则， ， 即：， 解得：，故④错误， 故选：C． 【考点六 已知二次函数上对称的两点求对称轴】 例题：（23-24九年级上·湖南湘西·期末）某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的图象过点利，可以求得该函数的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数的图象过点利， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为直线． 故答案为：直线． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数与轴的两交点坐标关于对称轴对称是解题关键．由抛物线的对称性得到点A与点B是抛物线上的对称点，即可求出对称轴． 【详解】解： 、两点为二次函数与轴的两交点坐标， 点A与点B是抛物线上的对称点， 又、关于直线对称， 对称轴为直线， 故答案为：直线． 2．（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，由于时的函数值相等，根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 【详解】二次函数在时，函数值均为． 对称轴为直线： 即： 故答案为：． 3．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意得出，从而得出抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，根据对称性得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，则， 解得：， 点的横坐标是， 故答案为：． 【考点七 根据二次函数的增减性求最值】 例题：（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数的最大值是___________，最小值是___________． 【答案】 5 1 【分析】先把解析式配成顶点式得到，由于，根据二次函数的性质得时，y的值最大；当时，y有最小值，然后分别计算对应的函数值． 【详解】解：， 当时，y有最小值1， ∵， ∴时，y的值最大，最大值为5；当时，y有最小值1， 故答案为：5；1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，根据顶点式求出最小值． 【变式训练】 1．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数的最小值是______，最大值是______． 【答案】 1 【分析】根据二次函数图像与性质，在范围内求出最值即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ， 当时，，即二次函数的最小值是； 到的距离为；到的距离为， 当时，代入得，即二次函数的最大值是； 时，函数的最小值为，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数最值求法是解决问题的关键． 2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数. （1）当时，二次函数的最小值为________； （2）当时，二次函数的最小值为1，则________. 【答案】 或 【分析】（1）将代入，再把解析式为变形为顶点式，即可求得二次函数最小值； （2）先求抛物线的对称轴为：，分三种情况：当时，即时，此时在对称轴的右侧，当时，即时，此时对称轴在内，③当时，即时，此时在对称轴的左侧，分别讨论增减性，找何时取最小值，代入得关于的方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，， ∵，则开口向上， ∴二次函数的最小值为， 故答案为：； （2）二次函数，则对称轴为：， 分三种情况： ①当时，即时，此时在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，，解得：； ②当时，即时，此时对称轴在内， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，，解得：； ∵， ∴， ③当时，即时，此时在对称轴的左侧，随的增大而减小， ∴当时，有最小值，，解得：（舍去）； 综上所述，或； 故答案为：或 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好此类题要掌握以下几点：形如二次函数：①当时，抛物线有最小值，当时，；②当时，对称轴右侧，随的增大而增大，对称轴的左侧，随的增大而减小；③如果自变量在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象． 3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函数， （1）当时，二次函数的最大值为______． （2）当时，二次函数的最大值为6，则的值为______． 【答案】 1 8或 【分析】（1）将代入，再根据二次函数的性质求解即可； （2）先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 当时，函数有最大值1， 故答案为：1； （2）解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 【考点八 二次函数的平移】 例题：（2024·吉林长春·模拟预测）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， ∴将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江·假期作业）抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 由题意知，，根据上加下减，左加右减，可得平移后的抛物线为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的抛物线为， ∴，， 故答案为：，． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 3．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 运用配方法即可将其化为顶点式． 【详解】解： 故选：C． 2．（2024·广东河源·一模）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 把点向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 3．（2024·广东广州·模拟预测）关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点在函数图象上，当时， D．函数值y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．由于，由此可以确定二次函数的对称轴、顶点坐标，最大或最小值及图象的增减性． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，故A不正确； 函数有最大值，最大值为，故B不正确 当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确； 当时，，故C正确． 故选：C． 4．（2024·山西大同·模拟预测）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线； 则抛物线开口向上，反之，抛物线开口向下，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵，且抛物线开口向下， ∴ 故选：C 5．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意可得抛物线的对称轴是直线，再根据抛物线的性质可得时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，继而得，可判断①②③，时，，可得，即可判断④． 【详解】根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线， ∴二次函数图象在时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，③错误； ∴，即抛物线开口向下，①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴该函数图象的顶点坐标不为，②错误； ∵时，， ∴， ∴是方程的一个根，④正确； 综上，①④正确， 故选：D． 二、填空题 6．（2024·广西南宁·模拟预测）二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求抛物线的对称轴．根据二次函数的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线． 故答案为：3 7．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得． 【详解】解：令，解得：， 即抛物线与x轴的两个交点坐标为， 由于抛物线的对称轴是直线，即， 解得： 故答案为：． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．熟练掌握抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系，是解题的关键．抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系：抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有没有交点． 根据抛物线与x轴有一个交点，根的判别式等于0的性质解答即可． 【详解】二次函数的图象的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于时，满足当时，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 时，满足当时，随的增大而减小， 故答案为：． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数 的性质是解决问题的关键.也考查了待定系数法求抛物线解析式. 利用交点式求出抛物线的解析式为则根据二次函数的性质可对①②进行判断；利用 时， 可对③进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为，则写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断. 【详解】∵抛物线经过点， ∴设抛物线的解析式为 把代入得 解得 ∴抛物线解析式为即 ， ∴抛物线开口向上，所以①正确； 抛物线的对称轴是直线 所以②正确； 抛物线与轴的交点坐标为所以③错误； ∵抛物线与轴交于点， 且抛物线开口向上， ∴当时， ， 的解集是所以④正确. 故答案为： ①②④. 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为，且过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为何值时，随的增大而增大； (3)求将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点? 【答案】(1) (2) (3)将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）先根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，根据题意和平移性质可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：由可得抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点． 12．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数． (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图像； … 0 1 2 3 … … 0 … (2)根据图像，完成下列填空： ①当时，随的增大而______； ②当时，的取值范围是______． 【答案】(1)，0，函数的图像见详解 (2)增大； 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、描点法绘制函数图像等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． （1）分别计算出时，时的函数值，再在平面直角坐标系中描点，最后用平滑的曲线连接起来即可； （2）①根据图像即可解答；②根据图像，找出抛物线位于轴下方的图像对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， 当时，． 故答案为：，0； 画出函数图形如下图所示： （2）①由图可知，当时，随的增大而增大； 故答案为：增大； ②由表可知，抛物线与轴相交于点，， 由图可知，当时，的取值范围是． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______； (2)表中的_______，_______； (3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）； (4)写出这个函数的一条性质___________． 【答案】(1)，对称轴 (2) (3) (4)时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将表中已知数据代入即可得到函数表达式； （2）根据（1）求出的解析式代数求值； （3）确定函数图象的开口方向和对称轴，然后根据递减性得出答案； （4）根据函数图象的开口方向和对称轴的位置来确定性质． 【详解】（1）解：将代入， ，解得， ， 故对称轴； （2）解：根据函数解析式：， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， ， 故答案为：； （3）解：根据，， 开口向下， 对称轴， 当时，随的增大而增大， 故，则， 故答案为：； （4）解：根据二次函数的图象可得， 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 14．（2024·河南南阳·二模）已知二次函数 ． (1)当时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出x的取值范围． (2)若点是该函数图象上不同的两点，求m的值． (3)当时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 【答案】(1)①；②或 (2) (3)或或或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质并利用分类讨论是解题的关键． （1）①把抛物线化为顶点式，即可得到答案；②先判断函数的增减性，再求出时的自变量值，据此即可得到答案； （2）把点A坐标代入解析式求出t的值，得到函数解析式，再把顶点B的坐标代入即可求出m的值； （3）分情况利用图象的最低点到x轴的距离为1列方程进行解答即可． 【详解】（1）①当时．， ∴该函数图象的顶点坐标为； ②当时．， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∵当时，，解得， ∴当时，或； （2）∵点是该函数图象上不同的两点， ∴把代入得到，，解得， ∴， 把代入得，， 解得， ∵点是该函数图象上不同的两点， ∴ （3）由题意可得，， 将该函数图像沿y轴向上平移t个单位后得到的解析式为， ∵图象的最低点到x轴的距离为1， ∴或 即或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去） ∴或， 将该函数图像沿y轴向下平移t个单位后得到的解析式为， ∵图象的最低点到x轴的距离为1， ∴或 即或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去） ∴或， 综上可知，或或或 15．（2024·河北保定·三模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点且，点为抛物线的对称轴右侧图像上的一点（不含顶点）． (1)的值为 ，抛物线的顶点坐标为 ； (2)设抛物线在点和点之间的部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)若点的坐标满足时，连接．将直线与抛物线围成的封闭图形记为． ①求点的坐标； ②直接写出封闭图形的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数． 【答案】(1)， (2) (3)①； ②个 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）令，求出、两点的坐标，再根据求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式即可求出，从而确定函数的解析式，可得到抛物线的顶点坐标； （2）当时，；当时，，； （3）①联立方程组，即可求解；②求出直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：或， ，， ， ， ， 将点代入， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点为， 故答案为：，； （2）解：当时，， 解得：或， 点为抛物线的对称轴右侧图像上的一点， ， 当时，； 当时，， ； （3）解：①联立方程组， 解得：或（舍）； 点坐标为； ②设直线的解析式为，将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 封闭图形的边界上的整点为，，，，，，，，，，共有个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$