专题07 等腰三角形的性质与判定（7考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题07 等腰三角形的性质与判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 1 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 3 【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】 7 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】 12 【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】 14 【考点六 等腰三角形的判定】 18 【考点七 等腰三角形的性质和判定综合问题】 24 【过关检测】 28 【典型例题】 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 例题：（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的另一边长为 ． 2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形的一边长为，它的周长为，则它的底边长为 ． 3．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为 ． 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】 例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ． 【变式训练】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】 例题：如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．    【变式训练】 1．如图，在中，，平分并交于点，则 ．    2．两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，为中点，已知． (1)求的长． (2)求的长． 【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】 例题：如图，点，在的边上，，    (1)若求的度数； (2)求证： 【变式训练】 1．如图，已知，点F是的中点，连接，请判断与的位置关系． 2．如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 3．如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【考点六 等腰三角形的判定】 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·重庆江北·期中）如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，平分，平分，和交于点E，求证：    (1)； (2)是等腰三角形． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示，在四边形ABCD中，的平分线与的平分线相交于点F，与的延长线交于点E，连接． 求证： (1)是等腰三角形． (2)若．则________． 【考点七 等腰三角形的性质和判定综合问题】 例题：如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【变式训练】 1．如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求线段的长． 2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，， (1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由． (2)求重叠部分的面积． 3．如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 3．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（22-23八年级上·山西大同·期末）如图，在是边的中线，点分别在边和上，于点F，则以下结论；其中正确的结论是（   ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③ 二、填空题 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，在等腰三角形中，，，则 度．    7．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，平分交于点D，，则 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图：在中，过点作于点，过点作，，若，求的度数． 12．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．    13．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知中，， (1)若点D为边上的一个点，且，则__________； (2)若过点A的直线l恰好把分成两个等腰三角形，则的度数可能是___________． 14．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在中，，，的平分线交边于点．    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，求证：； 15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知，在中，． (1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数； (2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； 16．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是    （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 等腰三角形的性质与判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 1 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 3 【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】 7 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】 12 【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】 14 【考点六 等腰三角形的判定】 18 【考点七 等腰三角形的性质和判定综合问题】 24 【过关检测】 28 【典型例题】 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 例题：（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的另一边长为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键． 分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若腰长为3，则底边长为：， ∵， ∴不能组成三角形，舍去； 若底边长为3，则腰长为：， ∵， ∴能组成三角形， ∴该等腰三角形的腰长为5． 故答案为：5． 2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形的一边长为，它的周长为，则它的底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有一条边长为，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰长为时，底边长为，三角形的三边长为，，，不能构成三角形； 当底边长为时，腰长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形； 所以等腰三角形的底边长为． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系等知识点，根据题意列出方程式求得a、b的值是解答本题的关键． 根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形； （2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形周长为． 所以三角形的周长为20， 故答案为：20． 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分别为，根据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键 【详解】解：设等腰三角形两个内角度数分别为， 当顶角度数为时，可得， 解得， ∴顶角的度数为； 当顶角度数为时，可得， 解得 ∴顶角度数为 故答案为或 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴， ； ②当E在点时，， 则 ； ③当E在时，， 则 ； 故答案为：或或． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】 例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据三边关系确定等腰三角形的底和腰，再根据“优美比”的定义，求解即可． 【详解】解：∵等腰的两边长分别是3和9， 当腰长为3时，，不能组成三角形，不符合题意， ∴腰长为9，底边为3， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【详解】解：当腰是底的2倍时，底边为，则，可以构成三角形； 当底是腰的2倍时，底边为，则，不能构成三角形； 故答案为：． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 【答案】12或16 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断，再分两种情况进行讨论：当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：∵将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，且为等腰三角形， ∴， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，连接，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，如图所示： ∴， ∴； ∵为等腰的最短边， ∴不可能是“通径”． 综上分析可知：或16． 故答案为：12或16． 3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】 例题：如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．如图，在中，，平分并交于点，则 ．    【答案】10 【详解】解：，平分， ， ， 故答案为：10． 2．两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，为中点，已知． (1)求的长． (2)求的长． 【详解】（1）解：连接，如下图， 根据题意，，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意，， 又∵，， ∴在中，， ∴． 【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】 例题：如图，点，在的边上，，    (1)若求的度数； (2)求证： 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ， ∴， （2）过点作于.    ∵， ∴， ∴. 【变式训练】 1．如图，已知，点F是的中点，连接，请判断与的位置关系． 【答案】垂直 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接，证明，得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】答： 连接 ∵ ∴ ∴ 又∵点F是的中点 ∴． 2．如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【详解】（1）解：线段与的长相等，理由如下： 连接，如图所示：      ∵，是边上的高， ∴， ∴为的垂直平分线， ∵点在上， ∴， 又∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 3．如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到,相减后即可得到正确的结论. （2）由等腰三角形三线合一的性质得到，，即可得到，设，根据三角形的内角和定理可得，解题即可． 【详解】（1）过点作于.    ∵. ∴, ∴. （2）∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 根据三角形的内角和可得， 解得：， ∴， 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，方程思想，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解答此题的关键． 【考点六 等腰三角形的判定】 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； （2）， ， 平分， ， ， ， ，， 的周长为： ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·重庆江北·期中）如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证； （2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）在上取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，平分，平分，和交于点E，求证：    (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，，从而可求证； （2）由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，从而有，由等腰三角形的判定条件可求证是等腰三角形． 【详解】（1）解：证明：， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ∴， 是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示，在四边形ABCD中，的平分线与的平分线相交于点F，与的延长线交于点E，连接． 求证： (1)是等腰三角形． (2)若．则________． 【答案】(1)见解析； (2)7 【分析】（1）由平行线的性质得出，则，可得出，则结论得证； （2）证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 是等腰三角形． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：7 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【考点七 等腰三角形的性质和判定综合问题】 例题：如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形； （3）解：的周长为15， ， ， ， 即， 平分的周长， ， 的周长． 【变式训练】 1．如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，， (1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由． (2)求重叠部分的面积． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由图形折叠的性质可知：， ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中， ， 解得：， ∴， ∴． 故重叠部分的面积为10． 3．如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，然后推出，，结合已知条件，得到结论． （2）根据等腰三角形的三线合一，得到，根据的周长，利用已知条件，求出答案． 【详解】（1）证明：根据题意得： 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接， 当时， ， ， 的周长，，， 的周长的周长． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．分两种情况讨论：①当角为顶角；②当为底角，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当角为顶角时，顶角度数为； ②当为底角时，顶角：， 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 3．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出，进而求出的长，利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； 故选A． 4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确地做出辅助线是解题的关键．过作于，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B 5．（22-23八年级上·山西大同·期末）如图，在是边的中线，点分别在边和上，于点F，则以下结论；其中正确的结论是（   ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查的是全等三角形、等腰直角三角形的性质，利用面积法证明是解答本题的关键．①设，则，从而可得到，，从而可得到；②运用反证法可判断②；③由，可知，由直角三角形斜边上的中线的性质可知，从而可判断③．④证明：的面积=四边形的面积，所以的面积+的面积=四边形的面积+的面积． 【详解】解：∵，，是边的中线， ∴，，， ①设，则， ∵， ∴， ∴． ∴，故①正确；    ②由①得，如果，则， ∴， ∴为的平分线， ∴， ∴，与已知条件矛盾， ∴②错误的； ③在和中， ， ∴， ∴， ∵，M是的中点， ∴， ∴， 即；故③正确． ④由③知 ∴， ∴，即． ∴， ∴，故④错误； 故选D． 二、填空题 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，在等腰三角形中，，，则 度．    【答案】70 【分析】本题主要考查了等边对等角的性质，三角形内角和问题，根据等腰三角形等边对等角可得出，再根据三角形三角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：70． 7．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，平分交于点D，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是等腰三角形的三线合一，根据等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴是边上的中线， ∴． 故答案为：4． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出，，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键； 根据题意分三种情况讨论：①当，②当，③当，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴①当时， 则有； ②当时， 则有； ③当时， 则有， ． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图：在中，过点作于点，过点作，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线性质等知识，先由直角三角形的两个锐角互余得到，再由等腰三角形等边对等角及平行线性质得到答案，熟练掌握三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线性质，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 【详解】解：在中，过点作于点，， ， ， ， ， ． 12．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，连接，由等腰三角形的三线合一性质得出，证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：连接，如图所示： ，为的中点， ， 在和中， ， ， ．    13．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知中，， (1)若点D为边上的一个点，且，则__________； (2)若过点A的直线l恰好把分成两个等腰三角形，则的度数可能是___________． 【答案】(1)40； (2)或或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．三角形内角和定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． （1）由，根据等边对等角的性质，即可求得的度数； （2）分别从①，②，，③，去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵中，，点D为边上的一个点，且， ∴； 故答案为：40 （2）有三种情况：①， ∵， ∴， ∵， ∴， ②，， ∴， ∵， ∴， ∴， ③， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或或． 14．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在中，，，的平分线交边于点．    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由内角和定理，得，于是，得，所以； （2）过点E作，交于点F，可证，求证，所以，可证，线段等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形．    （2）证明：过点E作，交于点F， 则． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行的性质，等角对等边，三角形内角和定理；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知，在中，． (1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数； (2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用截长补短法构造全等三角形，是解题的关键： （1）证明，得到，利用角的和差关系，进行求解即可； （2）延长至点，使，先证明，再证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点，使， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是    （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【答案】（1）5；；20；（2）2；，周长为18；（3） 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （3）由（2）知，，然后利用等量代换即可证明、、有怎样的数量关系． 【详解】解：（1）． 理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ∵， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有，，，，共5个， ， 即， 的周长． 故答案为：5；；20； （2）， 平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， 等腰三角形有，， ，即． 可得的周长为18． （3）， 由（1）知， ， ， ， 又， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$