专题05 解题技巧专题：全等三角形中多解、动点、最值与新定义型问题（5大考点）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题05 解题技巧专题：全等三角形中多解、动点、最值与新定义型问题 目录 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 1 【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 7 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 16 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 22 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 29 【典型例题】 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 2．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，，，动点从点出发（不含点）以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，且始终保持，当点运动 秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知是的高，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离点的方向运动，连接，设运动时间为秒；（1）当为 秒时，的面积为；（2）当为 秒时，．    【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 例题：（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23八年级上·山东日照·期末）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分； ②点P到三边所在直线的距离相等； ③若、分别垂直，于M、N，则； ④． 其中正确的是（　　）    A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．①②③④ 3．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，中，，于点D，过点A作且，点E是上一点且，连接，，连接交于点G．下列结论中正确的有（    ）个． ①；②；③平分；④．    A．2 B．3 C．4 D．5 4．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，平分，若M，N为边上的动点，那么的最小值为 ．    4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的中线，是的平分线，，，若E，F分别是边和上的动点，则的最小值是 ． 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知中，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时． ①请写出和之间的数量关系为 ，位置关系为 ； ②求证：； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． (3)拓展延伸：如图③，当点在的 延长线上且其他条件不变时，若，求线段的长．并求的面积． 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【变式训练】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 3．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解题技巧专题：全等三角形中多解、动点、最值与新定义型问题 目录 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 1 【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 7 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 16 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 22 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 29 【典型例题】 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【答案】或5 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴ ∴ ∴ ∵点P的运动时间为每秒3个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴ ∴ ∴ ∴（秒） 综上所述，当t的值为或5秒时，与全等． 故答案为：或5． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 【答案】1或 【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ②当，时，， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等， 故答案为：1或 2．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，，，动点从点出发（不含点）以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，且始终保持，当点运动 秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 【答案】1或3或4 【分析】设点P运动时间为t秒，根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【详解】解：∵， ∴， 设点P运动时间为t秒， ∵，， ∴当时， ， ∴， 解得：（舍）或； 当时， ， ∴， 解得：或； 综上：1秒或3秒或4秒时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：1或3或4． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知是的高，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离点的方向运动，连接，设运动时间为秒；（1）当为 秒时，的面积为；（2）当为 秒时，．    【答案】 或； 2或4 【分析】（1）根据面积公式列出方程，求出的值，分两种情况分别求出t的值即可； （2）假设，根据全等三角形的对应边相等得出，分别用含t的代数式表示和，得到关于t的方程，从而求出t的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 若D在B点右侧，则， ∴ ； 若D在B点左侧，则， ∴； 综上所述：当t为秒或秒时，的面积为； 故答案为：或； （2）动点E从点C沿射线方向运动2秒或当动点E从点C沿射线的反向延长线方向运动4秒时，． 理由如下： ①当E在射线上时，D必在上，则需．如图所示，    ∵， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴； ②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需．如图，    ∵， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴． 综上可知，当或时． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及面积的计算；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，注意分类讨论． 【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 例题：（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵，， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使，    ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于M，    ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 2．（22-23八年级上·山东日照·期末）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分； ②点P到三边所在直线的距离相等； ③若、分别垂直，于M、N，则； ④． 其中正确的是（　　）    A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，借助辅助线综合运用角平分线的性质和判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点P作，，，由角平分线的性质定理可得出即可判断①②， 利用全等三角形的判定以及性质可判断③，利用角平分线的定义可判断④． 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、D，    ①∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的角平分线上，点P到三边所在直线的距离相等， 故①，②正确； ③在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故③正确； ④∵平分，平分， ∴，， ∴， 故④正确． 综上所述，①②③④正确． 故选：D． 3．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，中，，于点D，过点A作且，点E是上一点且，连接，，连接交于点G．下列结论中正确的有（    ）个． ①；②；③平分；④．    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由“”可证，再由全等三角形的性质依次判断即可． 【详解】解：，， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ，，故②正确； ，， ， 平分，故③正确； ， ， ∵，， ，故④正确； ∴正确的结论①②③④，共有4个． 故选：C． 4．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；由证明，得到，由三角形的外角性质得：，得出，①正确；根据全等三角形的性质得出，，②正确；作于G，于H，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，②正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴，①正确； 作于G，于H，如图所示： 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设 ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选：B． 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接ME， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识．在射线上取一点，使得．过点作于．利用等积法求得，证明，推出，推出，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在射线上取一点，使得．过点作于． ∵， ∴， 平分， ， ，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，平分，若M，N为边上的动点，那么的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】如图，在上取，连接，可证，得，于是．过点C作于点F，，即的最小值为．由等积法求得． 【详解】解：如图，在上取，连接， ∵， ∴． ∴． ∴． 过点C作于点F，， 即的最小值为． ∵ ∴，解得． ∴的最小值为．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，垂线段最短；理解垂线段最短是解题的关键． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的中线，是的平分线，，，若E，F分别是边和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质等等，过点C作于G，延长交于H，连接，证明得到，，再证明得到，则当共线且时最小，即此时最小，最小值为的长；由三角形中线的性质得到，则点C到的距离为，则可利用等面积法求出． 【详解】解：如图所示，过点C作于G，延长交于H，连接， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时最小，即此时最小，最小值为的长； ∵为边上的中线， ∴， ∴点C到的距离为， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5； (2)，； (3)或时，与全等； 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）只要证明即可解决问题； （2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段上时，，②当点Q在射线上时，时； （3）分两种情形求解即可①如图2中，当时，，②如图3中，当时，；再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意得， ，， ①当点Q在线段上时，，如图， ∴； ②当点Q在射线上时，，如图， ∴； （3）解：存在，理由如下， ①如图2中，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ②如图3中，当时， ∵，， ， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，或时，与全等． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)＝ (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）可证明≌，从而得出结果； （2）可证明≌从而得出，进而得出结论； （3）证明≌，从而得出，从而得出． 【详解】（1）∵，， ∴≌， ∴， 故答案为：＝； （2），理由如下： ∵，， ∴≌， ∴. ∵， ∴； （3），理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴≌， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知中，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时． ①请写出和之间的数量关系为 ，位置关系为 ； ②求证：； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． (3)拓展延伸：如图③，当点在的 延长线上且其他条件不变时，若，求线段的长．并求的面积． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析 (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用,等腰直角三角形的性质： （1）①根据条件，，，，判定，即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到； （3）根据条件判定，得出，进而得到，最后根据，，即可求得线段的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）①如图1，由题意，，，，，， ， 在和中， ， ， ，， ，即； 故答案为：，； ②由①得， ， ； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图，由同理可得， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，由(1)同理可得， 在和中， ， ， ， ， ，， ． ， ，即 ． 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 【变式训练】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论； ②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：①延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ；    ②连接，过点作与延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ．    【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键． 3．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；，证明见解析； (2)是的“旋补中线”， 证明见解析 【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】（1）解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， 故答案为：； 探索一：； 证明：如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴是的“旋补中线”． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$