专题02 三角形的内角和与外角（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题02 三角形的内角与外角 目录 【典型例题】 1 【考点一 三角形内角和定理的证明】 1 【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】 4 【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 6 【考点四 三角形折叠中的角度问题】 8 【考点五 直角三角形的两个锐角互余】 10 【考点六 三角形的外角的定义及性质】 11 【过关检测】 14 【典型例题】 【考点一 三角形内角和定理的证明】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 【答案】C 【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由，则，．由，得，故符合题意． B、由，则，．由，得，故符合题意． C、由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意． D、由，得，，则．由，得，，由，得，故符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 【答案】C 【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】A、，，，由 ，得 ，故A不符合题意； B、，，，由 ，得 ，故B不符合题意； C、，，，无法证得三角形的内角和等于，故C符合题意； D、如图，，，，，，，，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键． 2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（    ） 定理：三角形的内角和为． 已知：．    求证：． 证明：延长到点，过点作， ◎（两直线平行，内错角相等）， ___▲______（_____※______）． （平角定义）， （等量代换）． A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 【详解】证明：延长到点，过点作， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． （平角定义）， （等量代换）． ∴四个选项中只有B选项结论错误，符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，过点作．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质可求得出的度数，然后在中利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（    ）    A．45° B．60° C．90° D．105° 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质得出，，由平行线的性质得出，再由三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得，，再根据三角形内角和定理得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，和分别平分和，若，则的大小为______ ．    【答案】/110度 【分析】由三角形的内角和定理可求得，再由角平分线的定义可求得，从而可求． 【详解】， ， 和分别平分和， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，解答的关键是明确三角形的内角和为． 【变式训练】 1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，，．求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为，分别列出和的内角和等式，再根据已知条件，即可求解． 【详解】，，． ， 是角平分线， ， 在中，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，掌握三角形内角和为是解题的关键． 2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在中，是的角平分线，作交于点E，，，求的度数．    【答案】 【分析】利用三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质求出，再利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵，， ， 平分， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【考点四 三角形折叠中的角度问题】 例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知中，，现将进行折叠，使顶点、均与顶点A重合，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠得到，结合三角形内角和求出的度数． 【详解】解：在中，， ∵折叠， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到角相等． 【变式训练】 1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，将沿着平行于的直线折叠，使得点落到点处，若，，则的度数为______．    【答案】100 【分析】根据三角形的内角和定理，即可求出，然后根据平行线的性质，即可求出，再根据折叠的性质可得，从而求出． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质：， ∴． 故答案为：100． 【点睛】此题考查的是三角形的内角和应用、平行线的性质和折叠的性质，掌握三角形的内角和定理、平行线的性质和折叠的性质是解决此题的关键． 2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为(如图丙)，则的大小为______°．    【答案】72 【分析】设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设，根据翻折不变性可知，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、三角形的内角和定理，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 【考点五 直角三角形的两个锐角互余】 例题：（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形两锐角互余是解题关键． 【变式训练】 1．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，直线，于点A，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两个锐角互余及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余及平行线的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余及平行线的性质是解题的关键． 2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，，，，则_________．    【答案】/30度 【分析】利用同角的余角相等进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查垂直的定义，互余关系．熟练掌握同角的余角相等，是解题的关键． 【考点六 三角形的外角的定义及性质】 例题：（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知直线，被直线，所截，且，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形外角的性质求出，再根据平行线的性质即可得到的度数 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线和三角形外角的性质． 【变式训练】 1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）如图，若，，，则___________． 【答案】/149度 【分析】延长交于点，由三角形的外角性质可求得的度数，再次利用三角形的外角性质即可求的度数． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵，，是的外角， ， ∵，是的外角， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解题的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 2．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是_____．    【答案】/40度 【分析】利用平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质是解决本题的关键． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，是延长线上一点，过点作于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 根据三角形的外角性质可得，由此解答即可． 【详解】解：， ， ，， ， ． ， ， ． 故选：A． 2．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 标记、交于点，根据“两直线平行，同位角相等”，得出，根据，得出，根据“三角形三个内角的和等于”，得出，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，标记、交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，平分交边于点D，交边于点E．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义，根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，折叠的性质计算求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ， ， 由折叠的性质可得，； ， 故选：D． 5．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）在中，若，则此三角形是 （填“锐角”、“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，由，，求得，再根据三角形分类即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 7．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，直线，若，，则∠B的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线和三角形内角和；解题的关键是熟练掌握平行线和对顶角的性质，从而完成求解． 根据平行线的性质得，再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】， ， ，， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用平行线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图是一张三角形纸片，，若 沿 的垂直平分线 折叠，折痕与 交 于点 ， 再沿过点 的直线 折叠，点 恰好落到点 处，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角的性质；根据折叠的性质可得，根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴, 故答案为：． 10．（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义． 先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：30． 三、解答题 11．（2024·四川攀枝花·模拟预测）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角形的高、中线以及角平分线，三角形内角和定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由三角形的面积公式，得出，再利用中线的定义，即可求出的长； （2）由三角形内角和定理，得出，进而得出，再由三角形内角和定理，求出，即可得出的度数． 【详解】（1）解：为边上的高，的面积为24， ， ， 为边上的中线， ； （2）解：，， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 12．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，三角形内角和问题，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行，即可判断与的位置关系； （2）结合（1）根据角平分线定义可得，再根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2），， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ． 13．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，是高，是角平分线，与交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题的关键． （1）先根据三角形内角和求出，由角平分线的定义求出，由直角三角形两锐角互余得，然后根据求解即可； （2）根据角平分线的定义得，结合三角形内角和可得，然后根据对顶角相等即可求解． 【详解】（1）在中，， ． 平分， ． 是边上的高， ． ∴在中，， ． （2）是的角平分线， ， ， ∴在中，． ． 14．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与、的数量关系．写出结论，无须证明． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质等知识，涉及分类讨论思想，灵活运用这些知识是关键． （1）由三角形内角和可求得，由角平分线定义、三角形外角性质及三角形内角和即可求得的度数； （2）分及两种情况考虑，利用三角形内角和定理、角平分线定义及三角形外角的性质即可得到数量关系． 【详解】（1）解：，， ； 平分， ， ； ， ， ； （2）解：猜想：或 证明如下： ①当时； ； 平分， ， ； ， ， ； ②当时，如图； ； 平分， ， ； ， ， ； 综上：或 15．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）【探究】（1）请把下面证明步骤括号里的内容补充完整．    如图1，点D，E，F分别是三角形的边上的点，．求证：． 证明：， （①） ， （②） ． 【归纳】在四边形中，如果，，则． 【运用】（2）如图2，过三角形内的一点P，分别画的平行线与三角形的两边交于M、N点；画的平行线与三角形的两边交于G、H点；画的平行线与三角形的两边交于E、F点．请你运用上面归纳的结论，说明三角形的内角和为（即：） 【拓展】（3）如图3，受以上思路的启发，你能再寻找一种方法说明三角形内角和为吗？请你试一试． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；（2）证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，三角形内角和定理的证明，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互． （1）根据平行线的性质解答即可； （2）根据归纳可得，四边形对边平行，则对角相等即可证明； （3）延长到D，过点C作，根据平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：， （两直线平行，内错角相等） ， （两直线平行，同位角相等） ． （2）证明：如图2所示，，    由归纳的结论，可知，，， 又， ． （3）证明：如图3，延长到D，过点C作．   （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等）． ， ． 16．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，于点D． (1)如图1，若的平分线交于点E，，，则的度数为______． (2)如图2，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F均在直线上，若，试说明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形综合题，涉及翻折变换，三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题， （2）由折叠可知和，由得出，再根据三角形外角的性质可得出，从而得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：由折叠可知，． ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 17．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）知识点探索：三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？ （1）如图1，探索与的数量关系，并说明理由． 初步应用 （2）如图2，求的和． 解：∵， __________． 又∵ ∴__________． 拓展应用 （3）如图3，平分，平分，求证： （4）如图4，，，将沿折叠，若，则_______． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角和性质： （1）根据三角形的内角和定理和邻补角，进行证明即可； （2）利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可； （3）利用角平分线的性质和三角形的外角的性质，进行证明即可； （4）利用三角形的外角的性质和折叠的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴； （2）∵，． 又∵ ∴． 故答案为：； （3）∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 18．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义： （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则． （3）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （2）平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （3）、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又，，， 即， ， 又∵，， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形的内角与外角 目录 【典型例题】 1 【考点一 三角形内角和定理的证明】 1 【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】 4 【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 6 【考点四 三角形折叠中的角度问题】 8 【考点五 直角三角形的两个锐角互余】 10 【考点六 三角形的外角的定义及性质】 11 【过关检测】 14 【典型例题】 【考点一 三角形内角和定理的证明】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 【变式训练】 1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（    ） 定理：三角形的内角和为． 已知：．    求证：． 证明：延长到点，过点作， ◎（两直线平行，内错角相等）， ___▲______（_____※______）． （平角定义）， （等量代换）． A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等 【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】 例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，过点作．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（    ）    A．45° B．60° C．90° D．105° 2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，的顶点D，E在的边BC上，，，若，则的度数为（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，和分别平分和，若，则的大小为______ ．    【变式训练】 1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，，．求的度数． 2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在中，是的角平分线，作交于点E，，，求的度数．    【考点四 三角形折叠中的角度问题】 例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知中，，现将进行折叠，使顶点、均与顶点A重合，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，将沿着平行于的直线折叠，使得点落到点处，若，，则的度数为______．    2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为(如图丙)，则的大小为______°．    【考点五 直角三角形的两个锐角互余】 例题：（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，直线，于点A，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，，，，则_________．    【考点六 三角形的外角的定义及性质】 例题：（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知直线，被直线，所截，且，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）如图，若，，，则___________． 2．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是_____．    【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，是延长线上一点，过点作于点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，平分交边于点D，交边于点E．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 6．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）在中，若，则此三角形是 （填“锐角”、“直角”或“钝角”）三角形． 7．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，直线，若，，则∠B的度数为 ． 8．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 9．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图是一张三角形纸片，，若 沿 的垂直平分线 折叠，折痕与 交 于点 ， 再沿过点 的直线 折叠，点 恰好落到点 处，则的度数为 ． 10．（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 三、解答题 11．（2024·四川攀枝花·模拟预测）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 12．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 13．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，是高，是角平分线，与交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 14．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与、的数量关系．写出结论，无须证明． 15．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）【探究】（1）请把下面证明步骤括号里的内容补充完整．    如图1，点D，E，F分别是三角形的边上的点，．求证：． 证明：， （①） ， （②） ． 【归纳】在四边形中，如果，，则． 【运用】（2）如图2，过三角形内的一点P，分别画的平行线与三角形的两边交于M、N点；画的平行线与三角形的两边交于G、H点；画的平行线与三角形的两边交于E、F点．请你运用上面归纳的结论，说明三角形的内角和为（即：） 【拓展】（3）如图3，受以上思路的启发，你能再寻找一种方法说明三角形内角和为吗？请你试一试． 16．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，于点D． (1)如图1，若的平分线交于点E，，，则的度数为______． (2)如图2，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F均在直线上，若，试说明． 17．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）知识点探索：三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？ （1）如图1，探索与的数量关系，并说明理由． 初步应用 （2）如图2，求的和． 解：∵， __________． 又∵ ∴__________． 拓展应用 （3）如图3，平分，平分，求证： （4）如图4，，，将沿折叠，若，则_______． 18．（23-24七年级下·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【问题改编】 （1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； 【问题推广】 （2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数； （3）如图3，在中，分别平分、，M、N、Q分别在的延长线上，分别平分、，分别平分、．若，则的度数为______．（结果用含n的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$