专题01 三角形的三边关系、高线、中线及角平分线（10考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题01 三角形的三边关系、高线、中线及角平分线 目录 【典型例题】 1 【考点一 三角形的分类】 1 【考点二 构成三角形的条件】 3 【考点三 确定第三边的取值范围】 5 【考点四 画三角形的高】 6 【考点五 与三角形的高有关的计算问题】 8 【考点六 根据三角形中线求长度】 11 【考点七 根据三角形的中线求面积】 14 【考点八 三角形角平分线的定义】 17 【考点九 利用网格求三角形面积】 19 【考点十 三角形的稳定性】 22 【过关检测】 24 【典型例题】 【考点一 三角形的分类】 例题：（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形． ∴Q表示的是等边三角形． 故选：A． 【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案． 【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形． 故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）三角形按边长关系，可分为（    ） A．等腰三角形，等边三角形 B．直角三角形，不等边三角形 C．等腰三角形，不等边三角形 D．直角三角形，等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类方法即可得到答案． 【详解】解：三角形按边长关系，可分为等腰三角形和不等边三角形， 故选C． 3．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（    ） A．表示等边三角形 B．表示锐角三角形 C．表示等腰三角形 D．表示三边都不相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类可直接选出答案． 【详解】解：三角形根据边分类如下： 由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 故选：C． 【考点二 构成三角形的条件】 例题：（22-23七年级下·吉林长春·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大与第三边，任意两边之差小于第三边．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可． 【详解】解：A、，故、、不能组成三角形，A不符合题意； B、，故、、能组成三角形，故B符合题意； C、，故、、不能组成三角形，故C不符合题意； D、，故、、不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．15，12，20 B．4，7，11 C．6，7，15 D．5，5，10 【答案】A 【分析】本题考查了构成三角形的条件：任两边之和大于第三边；根据此条件，逐项判断，若两根较短木棒的长度和大于长木棒长度，则可构成三角形，否则不能． 【详解】解：A、，能摆成三角形； B、，不能摆成三角形； C、，不能摆成三角形； D、，不能摆成三角形； 故选：A． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2、2、3 B．2、2、5 C．5、5、11 D．1、2、3 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，比较两条较短的线段的长度和与较长线段的大小关系，即可． 【详解】解：A、，能组成三角形，符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选A． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三边关系进行判断即可． 【详解】解：，故选项A不能摆成三角形， ，故选项B不能摆成三角形， ，故选项C能摆成三角形， ，故选项D不能摆成三角形， 故选：C． 【考点三 确定第三边的取值范围】 例题：（23-24七年级下·江苏徐州·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第三边的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边长为x，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：设第三边长为x，根据题意得： ， 即， ∵第三边的长为奇数， ∴x的值为5， 即第三边的长是5． 故答案为：5 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）三角形三边长分别为2，a，4．则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形的任意一边都大于另两边的差，小于另两边的和，据此列得，即可求出a的取值范围 【详解】解：由三边关系得， ∴ 故答案为 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如果的两边长a、b满足条件，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论．本题主要考查的是三角形的三边关系，非负数的性质，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 【详解】解：、满足条件， ，， ，． 、、为三角形的三边长， ，即． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南平顶山·阶段练习）一个三角形的两边长分别为5和7，若第三边x为最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 【答案】20或22 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ∴， ∵x为最长边且为偶数， ∴x的值是8或10， ∵， ， ∴此三角形的周长为20或22． 故答案为：20或22． 【考点四 画三角形的高】 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了作三角形的高线，从点B作，交的延长线于点E，确定图形即可． 【详解】过点B作，交的延长线于点E，如图所示．    故选：D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）四位同学画出如下的线段，其中能表示高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：所给图形中，线段能表示的高的是D选项， 故选：D． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在△ABC中，∠BAC为钝角，现利用一块含30°角的透明直角三角板，画AC边上的高，下列三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段，叫三角形的高线是解答此题的关键． 【详解】解：三角形高线即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段， 则A、B、C均不是高线，D符合题意， 故选：D． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，中，交BC的延长线于D点，交的延长线于E，，下列说法错误的是（    ）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．线段长表示点C到直线的距离 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高，点到直线的距离，根据三角形的高的定义，点到直线的距离进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是的高，是的高，是的高，线段长表示点到直线的距离； 故选项A，B，C正确，选项D错误； 故选D． 【考点五 与三角形的高有关的计算问题】 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线与中线，根据求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴ 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，直接根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵， ∴都是的高， ∴， ∴， 故答案为： ． 2．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）中，，D是上一点，连接，过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F，若，，，则的值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的高和三角形的面积，运用等面积法是解题的关键． 利用即可求解． 【详解】解∵过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．    (1)求的面积； (2)求的长； (3)和的面积有何关系？ 【答案】(1)30 (2) (3)和的面积相等 【分析】（1）利用面积公式进行计算即可； （2）利用面积公式进行求解即可； （3）利用中线平分面积，作答即可． 【详解】（1）解：的面积； （2）∵的面积，， ∴； （3）∵为的中线， ∴， ∵的边上的高为， ∴． 即：和的面积相等． 【点睛】本题考查与三角形的高和中线有关的计算．熟练掌握高线和中线的定义，以及中线平分三角形面积，是解题的关键． 【考点六 根据三角形中线求长度】 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）是的中线，它把分成的两个三角形的周长差是，，则边长 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线得到，根据题意，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵它把分成的两个三角形的周长差是， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 2．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，在中，为边上的中线，已知的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线的定义，根据题意得，分别表示出、的周长即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴ ∵的周长, ∴ ∴的周长 故答案为： 3．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．    (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式求出即可解决问题； （2）根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据角的和差关系即可求出； 【详解】（1）解：是边上的高，，的面积为24， ， 为边上的中线， 是的中点， ． （2）解：为边的高， ，． ． 为的角平分线， ， ． 【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题． 【考点七 根据三角形的中线求面积】 例题：（23-24八年级上·吉林·阶段练习）在中，三条中线交于点，若的面积是6，则面积与面积之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，三条中线交于点， ∴， ∴ 又∵分别为的中点， ∴ ∴ ∴面积与面积之和是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，中，为与的交点，，已知的面积是36，的面积是3.6，则的面积是 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了三角形的面积，熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形是解题的关键．根据，得出与、与的面积相等，从而求出的面积与的面积之和是的面积的一半，再求出的面积、的面积，即可得出与之间的数量关系，从而得出与的面积之间的关系，求解即可． 【详解】解：， ，， ， 的面积是36， ， 的面积是3.6 ， ， ， ， ， 的面积是， 故答案为：2.4． 2．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积等知识．根据三角形的中线的性质即可解决问题． 【详解】解：是的中线， ， ， 、为的两个三等分点 ，， ， 故答案为：6． 3．（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）已知的面积为a．如图①，延长的边到点D，延长到点E，使，，连接，若的面积为S，则 ．（用含a的式子表示） 如图②，像上面那样，将各边均顺次延长一倍，得到，此时，我们称向外扩展了一次； 如图③，再将②中的各边均顺次延长一倍，连接所得的端点，得到，称将向外扩展了二次．…，若将扩展n次后得到，的面积记作，则 （用含a的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积和等积变形等知识点的应用，如图①连接，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积即可；如图②根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，相加得出；如图③，由图②得到向外扩展了一次得到的的面积，向外扩展了二次得到的的面积,…，找出规律即可； 【详解】解：如图①，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 如图②，同图①的方法得到，，， ∴， ∴的面积为； 如图③，由图②得：的面积为； ∴向外扩展了一次得到的的面积为； ∴向外扩展了二次得到的，可以看作是向外扩展了一次得到， ∴的面积为的面积； ∴向外扩展了二次得到的的面积，…， 同理：向外扩展了n次得到的的面积为， 故答案为：． 【考点八 三角形角平分线的定义】 例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，，平分，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，可得，再由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，即可得到结果． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质可角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键． 2．（2023春·上海·七年级阶段练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE． 【答案】见解析 【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，再利用等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，即可证明结论． 【详解】证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴BC//DE． 【点睛】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解答本题的关键． 【考点九 利用网格求三角形面积】 例题：（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求的面积．    【答案】 【分析】利用割补法由正方形的面积减去三个三角形的面积即可． 【详解】解：如图，    ． 【点睛】本题考查的是求解网格三角形的面积，熟知割补法求解图形面积是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为的网格，每一小格均为正方形，已知．    (1)画出中边上的中线； (2)画出中边上的高． (3)直接写出的面积为_________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)6． 【分析】（1）取的中点，连接，即为所求； （2）取格点，连接，即为所求； （3）用直接利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）如图，即为所求；    （3）； 故答案为：6． 【点睛】本题考查格点画三角形的中线和高线，求三角形的面积．熟练掌握中线和高线的定义，是解题的关键． 2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．    (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可； （2）根据三角形的中线的定义画出图形即可； （3）利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求；    （2）如图，线段即为所求； （3）． 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形的高，中线，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三角形的高，中线的定义，属于中考常考题型． 【考点十 三角形的稳定性】 例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解∶ 斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是三角形的稳定性， 故答案为∶ 三角形的稳定性． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）三角形在日常生活和生产中有很多应用，如家用梯子的设计中都有三角形结构，这样做的依据是三角形具有 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：家用梯子的设计中都有三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定性． 2．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题． 【详解】解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 . 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）下列每组数分别是三个木棒的长度（单位：），能用它们摆成三角形的是（　　） A．3 ，4 ，7 B．1 ，5 ，8 C．2 ，2 ，4 D．9 ，9 ， 1 【答案】D 【分析】本题考查构成三角形的条件．根据三角形的三边关系逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能摆成三角形．故本选项不符合题意； B、，不能摆成三角形．故本选项不符合题意； C、，不能摆成三角形．故本选项不符合题意； D、，能摆成三角形．故本选项符合题意； 故选：D 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，2024年4月27日龙里河大桥正式通车运营，该桥是世界首座车行道与玻璃步道共桥面的高山峡谷景观桥，大桥为双塔双索面叠合梁半漂浮体系斜拉桥，如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（　　）    A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形的稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故选C． 3．（24-25八年级上·全国·课前预习）下列各图中，正确画出边上的高线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了画三角形的高线．根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：边上的高线是 故选：A 4．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，关于高的说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：中，，，边上的高分别为线段，线段，线段． 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 5．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为（    ）． A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：∵点E是的中点，的面积为6， ∴的面积为， ∵为边上的中线， ∴的面积的面积为12． 故选：D． 二、填空题 6．（22-23七年级上·四川泸州·开学考试）一个三角形的三个角的比是，最大的角是 度．这是一个 三角形． 【答案】 110 钝角 【分析】本题主要考查根据比的相关知识进行解答，三角形的内角和等于，度数之比为，则说明把180°平均分成三份，先求出一份的大小，再计算出较大角的度数，确定什么三角形即可． 【详解】解：(度)， 则这个三角形为钝角三角形． 故答案为：110；钝角． 7．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系、绝对值化简，根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质进行求解即可． 【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D在边上，．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积计算公式的实际应用．熟练掌握等高的三角形面积之比等于底的比是解题的关键． 由题意知，，则，即，由，可得，则，即，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得，， 故答案为：3． 9．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是，若线段能围成三角形，则x的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形三边的关系，解不等式组，先根据题意得到，由三角形三边关系定理得：，再分情况求出不等式组的解集是，即可得到答案． 【详解】解：由点在数轴上的位置得：， ∵线段能围成三角形， ∴由三角形三边关系定理得：， 当时，解得：， 此时，， 由不等式①得：， 由不等式②得：（矛盾，不成立，舍去） 由不等式③得：，恒成立， 当时，解得：， 此时，， 由不等式①得：， 由不等式②得：，恒成立， 由不等式③得：，（矛盾，不成立，舍去） 当时，解得：， 此时，， 由不等式①得：，恒成立， 由不等式②得： 由不等式③得：， ∴不等式组的解集是， 当时， 此时，x无解， 综上，x的范围是， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】此题考查了三角形的高、中线、角平分线等相关线段的性质，根据相关性质和角之间的关系逐项进行判断即可 ． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故④正确，符合题意； ∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， ∴与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 三、解答题 11．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解一元一次不等式，解题的关键是利用非负性求出，的值． （1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解； （2）根据第题意，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 解得，， ，， ∴． （2）解：∵， ． 12．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数． （1）由三角形三边关系定理即可得到答案； （2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． （2）解：，，， ． 13．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质，三角形面积公式，掌握三角形中线平分三角形面积是解题关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由三角形中线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：为的中线，为中线， ， ， ， ， ， ． 14．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上． (1)在图①中，在右侧找到格点，使； (2)在图②中，画出，使； (3)在图③中，画射线，使平分四边形的面积． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）取格点，连接，由网格可得，，即，故点即为所求； （）取格点，由网格可得，，即，故即为所求； （）取格点，画射线，由网格可得，即射线即为所求． 本题考查了网格作图，根据网格特点求出图形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，射线即为所求． 15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． （3）解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 16．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图1，在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图1，用，分别表示和的面积． 则，． ∵，∴． 【性质应用】 (1)如图2，D是的边上的一点．若，，则______． (2)如图3，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则______，______． (3)如图3，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是解本题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案； （2）同（1）的方法即可求出答案； （3）同（1）的方法即可求出答案． 【详解】（1），， ， 故答案为：； （2）， ， ， ； ， ， ； 故答案为：，； （3）， ， ， ； ， ， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的三边关系、高线、中线及角平分线 目录 【典型例题】 1 【考点一 三角形的分类】 1 【考点二 构成三角形的条件】 3 【考点三 确定第三边的取值范围】 5 【考点四 画三角形的高】 6 【考点五 与三角形的高有关的计算问题】 8 【考点六 根据三角形中线求长度】 11 【考点七 根据三角形的中线求面积】 14 【考点八 三角形角平分线的定义】 17 【考点九 利用网格求三角形面积】 19 【考点十 三角形的稳定性】 22 【过关检测】 24 【典型例题】 【考点一 三角形的分类】 例题：（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）三角形按边长关系，可分为（    ） A．等腰三角形，等边三角形 B．直角三角形，不等边三角形 C．等腰三角形，不等边三角形 D．直角三角形，等腰三角形 3．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（    ） A．表示等边三角形 B．表示锐角三角形 C．表示等腰三角形 D．表示三边都不相等的三角形 【考点二 构成三角形的条件】 例题：（22-23七年级下·吉林长春·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．15，12，20 B．4，7，11 C．6，7，15 D．5，5，10 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2、2、3 B．2、2、5 C．5、5、11 D．1、2、3 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12 【考点三 确定第三边的取值范围】 例题：（23-24七年级下·江苏徐州·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第三边的长是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）三角形三边长分别为2，a，4．则a的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如果的两边长a、b满足条件，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 ． 3．（23-24七年级下·河南平顶山·阶段练习）一个三角形的两边长分别为5和7，若第三边x为最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 【考点四 画三角形的高】 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）四位同学画出如下的线段，其中能表示高的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在△ABC中，∠BAC为钝角，现利用一块含30°角的透明直角三角板，画AC边上的高，下列三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，中，交BC的延长线于D点，交的延长线于E，，下列说法错误的是（    ）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．线段长表示点C到直线的距离 【考点五 与三角形的高有关的计算问题】 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，若，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，则的长为 ． 2．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）中，，D是上一点，连接，过B、C两点分别作直线的垂线，垂足为E、F，若，，，则的值是 ．    3．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）三角形如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，．    (1)求的面积； (2)求的长； (3)和的面积有何关系？ 【考点六 根据三角形中线求长度】 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）是的中线，它把分成的两个三角形的周长差是，，则边长 ． 2．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，在中，为边上的中线，已知的周长为，则的周长为 ． 3．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．    (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 【考点七 根据三角形的中线求面积】 例题：（23-24八年级上·吉林·阶段练习）在中，三条中线交于点，若的面积是6，则面积与面积之和是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，中，为与的交点，，已知的面积是36，的面积是3.6，则的面积是 ． 2．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为 ． 3．（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）已知的面积为a．如图①，延长的边到点D，延长到点E，使，，连接，若的面积为S，则 ．（用含a的式子表示） 如图②，像上面那样，将各边均顺次延长一倍，得到，此时，我们称向外扩展了一次； 如图③，再将②中的各边均顺次延长一倍，连接所得的端点，得到，称将向外扩展了二次．…，若将扩展n次后得到，的面积记作，则 （用含a的式子表示） 【考点八 三角形角平分线的定义】 例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，，平分，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数． 2．（2023春·上海·七年级阶段练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE． 【考点九 利用网格求三角形面积】 例题：（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求的面积．    【变式训练】 1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为的网格，每一小格均为正方形，已知．    (1)画出中边上的中线； (2)画出中边上的高． (3)直接写出的面积为_________． 2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．    (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 【考点十 三角形的稳定性】 例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）三角形在日常生活和生产中有很多应用，如家用梯子的设计中都有三角形结构，这样做的依据是三角形具有 ． 2．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是 . 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）下列每组数分别是三个木棒的长度（单位：），能用它们摆成三角形的是（　　） A．3 ，4 ，7 B．1 ，5 ，8 C．2 ，2 ，4 D．9 ，9 ， 1 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，2024年4月27日龙里河大桥正式通车运营，该桥是世界首座车行道与玻璃步道共桥面的高山峡谷景观桥，大桥为双塔双索面叠合梁半漂浮体系斜拉桥，如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（　　）    A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形的稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 3．（24-25八年级上·全国·课前预习）下列各图中，正确画出边上的高线的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，关于高的说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 5．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为（    ）． A．3 B．6 C．9 D．12 二、填空题 6．（22-23七年级上·四川泸州·开学考试）一个三角形的三个角的比是，最大的角是 度．这是一个 三角形． 7．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ． 8．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D在边上，．若，则 ． 9．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是，若线段能围成三角形，则x的范围是 ． 10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有 ．（只填序号） 三、解答题 11．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 12．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 13．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 14．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上． (1)在图①中，在右侧找到格点，使； (2)在图②中，画出，使； (3)在图③中，画射线，使平分四边形的面积． 15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 16．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图1，在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图1，用，分别表示和的面积． 则，． ∵，∴． 【性质应用】 (1)如图2，D是的边上的一点．若，，则______． (2)如图3，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则______，______． (3)如图3，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$