专题22.8 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题（4大考点）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题22.8 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题 目录 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 13 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 24 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 33 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 例题：（23·24上·淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 【变式训练】 1．（23·24上·大同·阶段练习）综合与探究 如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点．    (1)求直线与抛物线的解析式； (2)设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 2．（23·24上·中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点P为第二象限内抛物线上一动点，过点P作轴，交于点Q，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值． 3．（23·24上·邯郸·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式：______； (2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)，连接．设点D的横坐标为，的面积为S． ①求S关于的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，S有最大值，并求这个最大值． 4．（23·24上·江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．    (1)求二次函数解析式及顶点D坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在点F，使为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23·24上·滨海新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．      (1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标； (2)当点在第四象限时，面积是否有最大值？若有，求出点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由； (3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 6．（23·24上·省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点为．直线l与抛物线交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直线与抛物线的对称轴交于点，为线段上一动点（点不与点，重合），过点作交抛物线于点，设点的横坐标为． ①当为何值时，四边形是平行四边形； ②设的面积为，当为何值时，最大？最大值是多少？ 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 例题：（2024·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值． ①求该抛物线的解析式； ②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值． 【变式训练】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·广东江门·期中）在 中，，，，点P 从点A 出发，沿边向点B以1cm/s 的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2 cm/s 的速度移动．如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动． (1)设运动开始后第时，四边形  的面积是，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围; (2)t为何值时，S 最小?最小值是多少? 3．（23-24九年级下·福建泉州·期中）已知直线与抛物线有一个公共点，且． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； (2)说明直线与抛物线有两个交点； (3)若直线与拋物线的另一个交点记为，求面积的最小值． 4．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线交轴于，两点，与轴交于点． (1)求的值以及拋物线的顶点的坐标； (2)已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点，求面积的最小值． 5．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，若的两根分别是，． (1)求b，c的值． (2)已知二次函数的图象上有不与点B重合的一点P，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上． ①求点P的坐标． ②平移二次函数的图象，使其顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，且与相交于点Q，求面积的最小值． 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 例题：（2024·陕西西安·三模）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 2．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，矩形，边在线段上（M点在N点的左侧），P、Q点在抛物线上，设，当n为何值时，矩形的周长最大，最大值是多少？ (3)在（2）的结论下，矩形保持不动，沿x轴平移抛物线，平移后的抛物线与矩形的两边交于点E、F，且直线平分矩形的面积，请直接写出平移后的抛物线解析式． 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 例题：（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求出二次函数解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标和的周长；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 4．（2024·四川泸州·一模）抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，点D为线段上的一个动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，求点D的坐标； (3)连结，过点D作，与抛物线在第一象限的部分相交于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 5．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． (3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.8 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题 目录 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 13 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 24 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 33 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 例题：（23·24上·淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 【答案】(1)； (2)点，的面积的最大值为． 【分析】（）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （）设点的坐标，然后作轴交于点，然后用面积和差求出关于的二次函数，转化为二次函数的最值问题． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入解析式，得： 解得： ， ∴二次函数的表达式为； （2）如图，过点作轴的平行线与交于点，      设直线解析式为，且过点，点， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ， 当时，面积最大， 此时，点，的面积的最大值为． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，添加辅助线使其转化为求二次函数最值． 【变式训练】 1．（23·24上·大同·阶段练习）综合与探究 如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点．    (1)求直线与抛物线的解析式； (2)设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)的最大值为， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点坐标，利用，转化为二次函数最值即可． 【详解】（1）解：二次函数与直线交于、两点， ∴，解得：；，解得， ∴，； （2）∵，当时，，解得：， ∴， ∵、， ∴， ∴， 设：，则：， ∴， ∴， 即：， ∴当时，取得最大值为，此时：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．（23·24上·中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点P为第二象限内抛物线上一动点，过点P作轴，交于点Q，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)，4． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）求得，利用得到S关于的函数关系式，并利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 代入得，解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：依题意得：， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为4． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的关系式是解决问题的关键． 3．（23·24上·邯郸·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式：______； (2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)，连接．设点D的横坐标为，的面积为S． ①求S关于的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，S有最大值，并求这个最大值． 【答案】(1) (2)①；时，最大，值为 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入得，，计算求解，进而可得抛物线解析式； （2）①如图，连接，，，过作轴，交于，待定系数法求直线解析式为，则，，，根据求解，进而可得；②由，的图象与性质，计算求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴， 故答案为：； （2）①解：如图，连接，，，过作轴，交于，    设直线解析式为， 将，代入得，，解得，， ∴直线解析式为， ∴，，， ∴， 整理得，， ∴； ②解：∵，， ∴当时，最大，值为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（23·24上·江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．    (1)求二次函数解析式及顶点D坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在点F，使为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的最大值是，点的坐标是 (3)存在，点F的坐标为或或 【分析】（1）根据二次函数的图象与轴的交点为，两点，与轴交于点，可以求得该函数的解析式； （2）根据题意可以得到直线的函数解析式，然后根据的面积记为，利用二次函数的性质可以得到的最大值，以及此时点的坐标； （3）分、、三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解： 二次函数过，两点， 设二次函数解析式为， 二次函数过点， ， 解得，， 即二次函数解析式为； ∵ ∴顶点． （2）解：设直线解析式为：， ，， ， 解得，， 直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，    设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点．， 即的最大值是，此时点的坐标是． （3）解：，， ①当时，如图，    为等腰直角三角形，， 点； ②当时， 同理可得：点，； ③当时， 同理可得：点； 故点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，等腰三角形的性质、勾股定理的运用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答，（3）问要注意分类求解，避免遗漏解． 5．（23·24上·滨海新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．      (1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标； (2)当点在第四象限时，面积是否有最大值？若有，求出点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由； (3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1)，点，； (2)最大为，此时点； (3)或或． 【分析】（）由题意得，，求出代入即可求解； （）过点作于点，交于点， 则，则，从而即可求解； （）分情况讨论，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，然后由中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）由题意得：，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为， 令，解得：，， ∴点，； （2）有，理由： 设的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，交于点， 则，      则，则点，， ∴， ， ， ， 由，，则， 由， ∴当时，最大，为，此时点； （3）由（）可知：， ∴设，由题意可知， 当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：； 当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：； 当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：； 综上：或或． 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 6．（23·24上·省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点为．直线l与抛物线交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直线与抛物线的对称轴交于点，为线段上一动点（点不与点，重合），过点作交抛物线于点，设点的横坐标为． ①当为何值时，四边形是平行四边形； ②设的面积为，当为何值时，最大？最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2)①；②，最大值是． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①根据平行四边形的性质可得，，得到关于的方程，求解即可；②由题意可得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将、点、点代入抛物线解析式可得 ，解得，即抛物线为 设直线l的解析式为 将点、点代入得 解得，即直线l的解析式为 综上：， （2）由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点 则，所以 点，，点 ①连接，如下图： ∵四边形是平行四边形 ∴，即 化简可得：，解得，（舍去） 即，四边形是平行四边形； ②连接、，如下图： 由题意可得： ∴ ∵，开口向下，对称轴为 ∴当时，面积最大，为 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式． 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 例题：（2024·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值． ①求该抛物线的解析式； ②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是用含的代数式表示； （1）当时，，故抛物线的顶点坐标为； （2）①由当 时，函数有最大值，知抛物线的对称轴为直线，且，故，即，得，而该抛物线过点，有，得，从而抛物线解析式为； ②求出，，设直线的解析式为，由直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个 交点，可得，故，即可解得点坐标为，与点重合，由直线，值直线恒过点，，联立，得，可得，故，从而得当时， 有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当 时，函数有最大值， 抛物线的对称轴为直线，且， ，即， 该抛物线的解析式为， 该抛物线过点， ， 解得， ， 抛物线解析式为； ②如图， 在中，令得， 解得，， ，， 设直线的解析式为， 联立得， 直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个 交点， ， 解得 （舍去），， ， 解得， 点坐标为，与点重合， 直线， 直线恒过点， ， 联立，得， ， ，， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 【变式训练】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 2．（23-24九年级上·广东江门·期中）在 中，，，，点P 从点A 出发，沿边向点B以1cm/s 的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2 cm/s 的速度移动．如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动． (1)设运动开始后第时，四边形  的面积是，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围; (2)t为何值时，S 最小?最小值是多少? 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，动点问题的理解，对于（1），根据列出关系式即可； 对于（2），将二次函数关系式配方，再讨论极值即可． 【详解】（1）根据题意可知，， ∴， ∴； （2）， 当时，． 3．（23-24九年级下·福建泉州·期中）已知直线与抛物线有一个公共点，且． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； (2)说明直线与抛物线有两个交点； (3)若直线与拋物线的另一个交点记为，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由可得，即得到，即可求解； （）联立函数式得，可得，即可求证； （）画出函数图象，设抛物线对称轴交直线于点，求出二次函数对称轴，得到，即得，解方程得，的面积为，得，进而可得，由关于的方程有实数根，得，根据，即可得，进而求解； 本题考查了求二次函数图象的顶点坐标，一次函数和二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，二次函数的几何应用，掌握二次函数与一次函数交点坐标的求法及一元 二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线顶点的坐标为； （2）证明：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 由得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与抛物线有两个交点； （3）解：如图，设抛物线对称轴交直线于点， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 由， 解得，， ∴ 设的面积为， 则， ∴， ∵关于的方程有实数根， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，由方程可得， ， 即， 解方程得，符合题意， ∴面积的最小值为． 4．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线交轴于，两点，与轴交于点． (1)求的值以及拋物线的顶点的坐标； (2)已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点，求面积的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）利用待定系数法即可求解； （2）求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，解方程，即可求解； （3）由顶点始终在直线上，推出点的坐标为，求得关于k的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把点代入拋物线，得， 解得， ， 顶点的坐标为． （2）当时，， ∴点的坐标为． 设直线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， 即． 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 解得（舍去）， 点的坐标为． （3）设平移后的拋物线为， 则交点的坐标为，即点的纵坐标为． 的最小值为， ， 即面积的最小值为． 5．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，若的两根分别是，． (1)求b，c的值． (2)已知二次函数的图象上有不与点B重合的一点P，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上． ①求点P的坐标． ②平移二次函数的图象，使其顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，且与相交于点Q，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；②的最小值为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线的解析式为，设，则，解方程，即可求解； ②由顶点始终在直线上，推出，由三角形面积公式得，当取最小值时，取最小值，求得关于b的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵的两根分别是，， ∴抛物线交x轴于，， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得抛物线解析式为， 令，则， ∴，设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P关于x轴对称的点恰好在直线上， ∴设，则， 即点在抛物线上， ∴， 整理得， 解得，， ∵点P不与点B重合， ∴； ②∵点，， ∴直线的方程为， 抛物线在平移过程中的顶点坐标为， ∵顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，即顶点始终在直线上， ∴， 即， ∵抛物线与相交于点Q，      ∵， ∴当取最小值时，取最小值， ∵ ， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 例题：（2024·陕西西安·三模）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 (3)抛物线向右平移的距离是4个单位 【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）①根据，结合四边形是矩形，可得A、C坐标，连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到点P是的中点，求出P、Q坐标，进而证明四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点B的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴点C的坐标为， ∴将点C坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，点C的纵坐标为， ∴矩形的周长 ， ∵ ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点B的坐标为， ∴点C的坐标为，点A的坐标为， 连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，如图：    ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点P， 由平移的性质可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点P是的中点，Q是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，矩形的性质，勾股定理，平移的性质等等，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 (3)抛物线向右平移的距离是4个单位 【分析】（1）将和代入，利用待定系数法求解； （2）由抛物线的对称性可得，进而可得，再由，用含t的式子表示出矩形的周长，最后根据二次函数的性质求解； （3）由得出点A，B，C，D及矩形对角线交点P的坐标，由直线平分矩形的面积，知直线必过点P，根据知线段平移后得到的线段是，由线段的中点Q平移后的对应点是P，结合是的中位线，即可求出抛物线平移的距离． 【详解】（1）解：当时，， ， 将和代入，得：， 解得， ； （2）解：由抛物线的对称性可得， ， ， ， 矩形的周长为， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：如图， 当时，点A，B，C，D的坐标分别为，，，， ∴矩形对角线的交点P的坐标为， ∵直线平分矩形的面积， ∴点P是和的中点， ∴， ∵， ∴线段平移后得到的线段是，线段的中点Q平移后的对应点是P， 由平移知，， ∴是的中位线， ∴， 即抛物线向右平移的距离是4个单位． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 2．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)①当时，是等腰三角形；②当时，的周长最大，最大值为9 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标，用建立方程组求解即可；②先表示出，然后建立的周长关于的函数关系式，确定出最大值． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴ 将点，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①设，则， ∵过点P作x轴的平行线，与直线交于点C， ∴， ∴， 当点P在x轴上方时，，是钝角， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴或（舍去）， ∴当时，是等腰三角形； ②当点在轴下方时，， ∴ ∵，则，点, ∴，， ∵，， ∴ ， ∴当时，p最大，最大值为9， ∴当时，的周长最大，最大值为9． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面内两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形的周长，极值的确定，解本题的关键是表示出的长度． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，矩形，边在线段上（M点在N点的左侧），P、Q点在抛物线上，设，当n为何值时，矩形的周长最大，最大值是多少？ (3)在（2）的结论下，矩形保持不动，沿x轴平移抛物线，平移后的抛物线与矩形的两边交于点E、F，且直线平分矩形的面积，请直接写出平移后的抛物线解析式． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为； (3)平移后的抛物线的解析式为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，得到，，根据矩形的周长公式得到关于的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意直线经过矩形的中心点，分向右平移和向左平移两种情况讨论，分别计算求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴交轴于点， ∵， ∴， ∴，， 则， ∴矩形的周长为， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：由（2）得，， ∴，连接，设矩形的中心为点，则， 由题意得直线经过点， ∴， 如图， 当抛物线向右平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为，且， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； ∴平移后的抛物线的解析式为； 当抛物线向右平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为，且， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； ∴平移后的抛物线的解析式为； 综上，平移后的抛物线的解析式为或． 【点睛】本题考查了是二次函数的综合运用，考查了待定系数法，二次函数的性质，轴对称变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 例题：（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵当时，， ∴， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴． ∴当点在一条直线上时，有最小值，即的长度． 如图，连接交抛物线的对称轴于点P， 又∵为定值， ∴此时，的周长最小． 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点P的坐标为， 即当的周长最小时，点P的坐标为． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． (1)求出二次函数解析式； (2)连接，求证：是直角三角形； (3)在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标和的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，的周长最小值为． 【分析】（1）把、代入，求出a和b的值，即可得出函数解析式； （2）先求出点D和点B的坐标，根据两点之间的距离公式，求出，再根据勾股定理逆定理，得出为直角三角形即可； （3）连接交抛物线对称轴于，连接，由，，知，由得抛物线对称轴是直线，而，关于抛物线对称轴对称，可知当、、共线时，最小，此时也最小，故此时的周长最小，设直线为，将，代入得直线为，令得，故． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得：， ∴此二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴，此二次函数对称轴为直线， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形； （3）解：存在点，使的周长最小， 连接交抛物线对称轴于，连接，如图： ，， ， 由得抛物线对称轴是直线， ，关于抛物线对称轴对称， ， ， 而当、、共线时，最小，此时也最小，因，故此时的周长最小， 设直线为，将，代入得： ，解得， 直线为， 令得， ； ，， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，勾股定理逆定理，以及轴对称的性质． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，点Q坐标为： 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先确定顶点坐标，然后根据三角形面积即可求解； （3）根据抛物线的对称性可得当点Q与点A、C共线时，的周长最小，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）由（1）得， ∴顶点坐标， ∵， ∴的面积为：； （3）解：连接与直线交于点Q，    ∵点A与点B关于对称， ∴， ∴的周长为， ∴当点Q与点B，C共线时，的周长最小，为， ∵ 设直线的解析式为：，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点Q坐标为： ． 3．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为； (3)的最大值为，此时． 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）连接，设，根据列得二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得, ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，设， 依题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 4．（2024·四川泸州·一模）抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，点D为线段上的一个动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，求点D的坐标； (3)连结，过点D作，与抛物线在第一象限的部分相交于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，求出，证明四边形为正方形，知，由对称性得，而A，D，E共线，可知此时的周长最小，求出直线的表达式为，直线解析式为；联立，即可解得； （3）设，求出直线的表达式为，由设直线表达式为，把代入可得直线的表达式为：，联立，可解得，故，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点， ∴把和代入 得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，如图1： 在中，令得， ∴， ∵， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，此时有最小值为的长， ∴此时的周长最小， 设直线的表达式为， 将代入 得：， 解得， ∴直线的表达式为， 同理，由可得直线解析式为 联立， 解得， ∴， （3）解：由已知点， 设 （如图2） 设直线的表达式为， 把代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为， 由设直线表达式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的表达式为：， 联立， 解得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点为． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 5．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． (3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最大值为， 【分析】利用待定系数法求解即可； 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时的周长最小，得点，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得的解析式为，令即可求得点G； 结合题意可得是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设与交于点C，则和是等腰直角三角形，则有，设，则，即可求得和，利用二次函数的性质即可求得的最大值，即此时的点P． 【详解】（1）解：根据题得，，解得， 则抛物线的解析式为； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，此时的周长最小，如下图： 则， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， 设的直线解析式为，则，解得 则的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设与交于点C，如图， ∵轴于点N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ∵， ∴当时，的最大值为，此时． 【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，轴对称的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质及其上对应点的几何意义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$